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第二十五章 一元二次方程全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 一元二次方程的概念与一般形式
题型2 直接开平方法
题型3 配方法
题型4 公式法
题型5 因式分解法
题型6 选择最优解法
题型7 根的判别式
题型8 根与系数的关系
核心提升：重难题型归纳
题型1 增长率/降低率问题
题型2 几何面积问题
题型3 握手/互赠问题
题型4 营销利润问题
题型5 含参方程与判别式
题型6 根与系数的关系变形求值
题型7 整体思想与换元法
题型专练：高频重难特训
◆◆题型1 一元二次方程的概念与一般形式
1. 下列方程中，不是一元二次方程一般形式的是（ ）
0
1
.
2
=
+
−x
A
x
x
B
3
.
2 =
2
1
.
2
2
=
+ x
x
C
x
x
D
2
1
3.
2
=
−
【答案】 C
【详解】A.
,0
1
-
2
=
+
x
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，符合一元二次方程 的
定义.
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B.方程
x
x
3
.
2 =
，移项可得
0
3
2
=
−x
x
，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，
符合一元二次方程 的定义.
C.方程
2
1
.
2
2
=
+ x
x
，左边是分式形式，不满足一元二次方程是整式方程的条件，所以不是一元二次方程.
D.方程
x
x
2
1
3
2
=
−
，移项可得
0
1
2
3
2
=
−
−x
x
，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整
式方程，符合一元二次方程 的定义.
2. 【易错题】若关于x 的一元二次方程
5
9
)3
2
2
+
=
+
−
x
x
m
x
m
（
化为一般形式后不含一次项，则m 的值
为（ ）
A. 0
B. ±3
C. 3
D. −3
【答案】 D
【详解】移项整理得
0
5
-
9
-
)3
2
2
=
+
−
x
x
m
x
m
（
∵不含一次项，∴
0
9
2
=
−
m
，解得
3
=
m
.
,0
3
−
m
3
m
综上
3
−
=
m
3. 若𝑥 = −1是关于x 的一元二次方程𝑥2 −2𝑥 + 𝑚 = 0的一个根，则m=________.
【答案】
3
−
=
m
【详解】把
1
−
=
x
代入
0
2
2
=
+
−
m
x
x
中得
0
1
-
2
-
1
-
2
=
+
m
）
（
）
（
解得
3
−
=
m
4. 将一元二次方程𝑥 = 3 − 2𝑥2化为一般形式为________________，其中二次项系数a=________，一次项
系数b=________，常数项c=________.
【答案】 a=2, b=1, c=-3
【详解】移项得
0
3
2
2
=
−
+ x
x
， 所以 a=2, b=1, c=-3
◆题型2 直接开平方法
5.解方程
81
2 =
x
.
【答案】
9
=
x
【详解】
81
=
x
9
=
x
6.解方程
25
16
2 =
x
【答案】
5
4
=
x
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【详解】
25
16
=
x
5
4
=
x
7.解方程
98
)1
2
2 =
−
x
（
【答案】
6
,8
2
1
−
=
=
x
x
【详解】
49
)1 2 =
−
x
（
7
1
=
−
x
-7
1
-
x
7
1
=
=
−
或
x
6
,8
2
1
−
=
=
x
x
8.解方程
0
36
)1
2
4
2
=
−
−
x
（
【答案】
1
,2
2
1
−
=
=
x
x
【详解】
9
)1
2
2 =
−
x
（
3
1
2
=
−
x
3
1
2
3
1
2
−
=
−
=
−
x
x
或
1
,2
2
1
−
=
=
x
x
◆题型3 配方法
9. 用配方法解一元二次方程𝑥2 + 8𝑥 − 1 = 0，将它转化为(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛的形式，则m+n=________.
【答案】 21
【详解】
0
1
8
2
=
−
+ x
x
17
)
4
(
16
1
16
8
1
8
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
x
x
x
x
x
21
17
4
17
,4
=
+
=
+
=
=
n
m
n
m
10. 【配方思想】求证：无论x 取任何实数，代数式𝑥2 + 8𝑥 + 18的值总大于0.
【详解】
2
)
4
(
18
16
16
8
18
8
2
2
2
+
+
=
+
−
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
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0
2
4
0
)
4
2
2
＞
）
（
（
+
+
+
x
x
所以代数式x2 + 8x + 18的值总大于0.
◆题型4 公式法
11. 用公式法解方程
0
2
7
2
2
=
−
+
−
x
x
【详解】
33
16
49
)
2
(
)
2
(
4
7
4
2
,7
,2
2
2
=
−
=
−
−
−
=
−
−
=
=
−
=
ac
b
c
b
a
4
33
7
2
-
2
33
7
-
2
4
2
−
−
=
=
−
−
=
）
（
a
ac
b
b
x
4
33
7
4
33
7
1
−
=
−
+
−
=
x
4
33
7
4
-
33
-
7
-
2
+
=
=
x
12. 解方程
0
3
2
2
2
=
+
+
x
x
【详解】
13.解方程 𝑥(2𝑥 − 4) = −5 − 8𝑥
【详解】 展开整理：
2x2 −4x + 8x + 5 = 0
2x2 + 4x + 5 = 0
a = 2, b = 4, c = 5
Δ = b2 −4ac = 16 −4 × 2 × 5 = 16 −40 = −24 < 0
∴ 原方程无实数根.
◆题型5 因式分解法
14.解方程 3(𝑥 − 3) = 2𝑥(3 − 𝑥)
【详解】原方程化为：3(x −3) = −2x(x −3)
3(x −3) + 2x(x −3) = 0
(x −3)(3 + 2x) = 0
∴x −3 = 0 或 3 + 2x = 0
∴x1 = 3, x2 = −3
2
15. 若代数式𝑥2 + 2𝑥的值为0，则x 的值为（ ）
A. 2
B. 0
C. −2 或0
D. −2
【答案】 C
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【详解】 x2 + 2x = 0
x(x + 2) = 0
x = 0 或 x + 2 = 0
∴x1 = 0, x2 = −2，
选 C.
◆题型6 选择最优解法
16.选择适当的方法解方程
0
16
2
2
=
−
x
x
【详解】
8
,0
0
8
0
2
0
)
8
(
2
2
1
=
=
=
−
=
=
−
x
x
x
x
x
x
或
17.选择适当的方法解方程
0
1
3
2
2
2
=
+
+
x
x
【详解】
2
1
3
-
4
2
3
2
-
2
2
4
3
2
-
2
4
4
8
12
1
2
4
)
3
2
(
4
1
,3
2
,2
2
2
2
=
=
=
−
−
=
=
−
=
−
=
−
=
=
=
=
a
ac
b
b
x
ac
b
c
b
a
2
1
3
,
2
1
3
2
1
−
−
=
+
−
=
x
x
18.解方程
2
2
)
5
(
)1
2
x
x
−
=
−
（
【详解】
0
)
5
(
)1
2
2
2
=
−
−
−
x
x
整理，得（
因式分解，得
0
)
6
3
)(
4
=
+
+
x
x
（
0
6
3
0
4
=
−
=
+
x
x
或
2
,4
2
1
=
−
=
x
x
◆题型7 根的判别式
19. 已知a，b，c 为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x 的方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 无法判断
【答案】 A
【详解】∵P(a, c) 在第四象限，∴a > 0, c < 0
Δ = b2 −4ac
∵a > 0, c < 0, ∴ac < 0, ∴−4ac > 0
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又 b2 ≥0
∴Δ = b2 −4ac > 0
∴ 方程有两个不相等的实数根，
选 A.
20. 若关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2 −6𝑥 + 9 = 0有实数根，求k 的取值范围.
【答案】 k ≤1 且 k ≠0
【详解】∵ 是一元二次方程，∴k ≠0
有实数根，∴Δ ≥0
Δ = (−6)2 −4 ⋅k ⋅9 = 36 −36k ≥0
36 ≥36k
k ≤1
又 ∵k ≠0
∴k ≤1 且 k ≠0
◆题型8 根与系数的关系
21. 若m，n 是一元二次方程3𝑥2 −5𝑥 + 1 = 0的两个实数根，求m+n−mn 的值.
【详解】由韦达定理：m + n =
5
3，mn =
1
3
∴m + n −mn = 5
3 −1
3 = 4
3
22. 已知方程𝑥2 −𝑘𝑥 − 3 = 0的两个根互为相反数，则k=________，方程的根为________.
【详解】设两根为 x1, x2，由题意 x1 + x2 = 0
由韦达定理：x1 + x2 = k = 0
∴k = 0
方程化为 x2 −3 = 0，x2 = 3，x = ±√3
∴x1 = √3, x2 = −√3
23. 若𝑥1，𝑥2是方程2𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 0的两个根，求下列各式的值：
(1) （x₁−3）（x₂−3）；
(2) （x₁−x₂）².
【详解】由韦达定理：x1 + x2 = −
4
2 = −2，x1x2 = −
3
2
(1)
(x1 −3)(x2 −3)
= x1x2 −3(x1 + x2) + 9
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= −3
2 −3 × (−2) + 9
= −3
2 + 6 + 9
= 27
2
(2)
(x1 −x2)2
= (x1 + x2)2 −4x1x2
= (−2)2 −4 × (−3
2)
= 4 + 6
= 10
◆题型1 增长率/降低率问题
1．今年3 月份某图书角中有藏书2500 册，到今年5 月份藏书数量增长到3600 册.求该图书角这两个月藏书
的平均增长率.
【详解】设平均增长率为 x，则：
2500(1 + x)2 = 3600
(1 + x)2 = 3600
2500 = 1.44
1 + x = ±1.2
x = 0.2 = 20% 或 x = −2.2（不合实际，舍去）
∴ 平均增长率为 20%.
2. 受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由每平方米40000 元下降到每平方米32400 元，求最近
两年该市房价的年平均下降率.
【详解】设年平均下降率为 x，则：
40000(1 −x)2 = 32400
(1 −x)2 = 32400
40000 = 0.81
1 −x = ±0.9
x = 0.1 = 10% 或 x = 1.9（不合实际，舍去）
∴ 年平均下降率为 10%.
3.有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25 台电脑被感染.
(1) 求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑；
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(2) 若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过600 台？
【详解】(1) 设每轮传播中平均一台电脑感染 x 台电脑.
第一轮后共有 (1 + x) 台被感染；
第二轮后共有 (1 + x)2 台被感染.
(1 + x)2 = 25
1 + x = ±5
x = 4 或 x = −6（不合实际，舍去）
∴ 每轮传播中平均一台电脑感染 4 台电脑.
(2) 四轮后共有 (1 + 4)4 = 54 = 625（台）
625 > 600
∴ 四轮感染后，被感染的电脑超过 600 台.
◆题型2 几何面积问题
4． 某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条"之"字路，余下部分绿化，绿化的
面积为551 m².已知整个长方形空地的长为30 m、宽为20 m，求道路的宽.
【详解】设道路宽为 x m.
利用平移法，两条“之”字路可平移为矩形两条边的宽度：
绿化部分长 (30 −x) m，宽 (20 −x) m.
(30 −x)(20 −x) = 551
600 −30x −20x + x2 = 551
x2 −50x + 49 = 0
(x −1)(x −49) = 0
x = 1 或 x = 49
∵x < 20（宽为 20 m）
∴x = 49 不合实际，舍去.
∴ 道路的宽为 1 m.
5． 将一条长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.如果要使这两个正
方形的面积之和等于17 cm²，那么这条铁丝剪成的两段的长度分别是多少？
【详解】设一段长为 x cm，则另一段长 (20 −x) cm.
两个正方形边长分别为
x
4 cm 和
20−x
4
cm.
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(x
4)
2
+ (20 −x
4
)
2
= 17
x2 + (20 −x)2
16
= 17
x2 + (20 −x)2 = 272
x2 + 400 −40x + x2 = 272
2x2 −40x + 128 = 0
x2 −20x + 64 = 0
(x −8)(x −12) = 0
x = 8 或 x = 12
∴ 铁丝剪成的两段长度分别为 8 cm 和 12 cm.
◆题型3 握手/互赠问题
6. 毕业晚会上，同学们互送照片，每人给每位同学一张照片，一共送出90 张照片，问毕业晚会上一共有多
少位同学？
【详解】设毕业晚会上一共有 n 位同学.
每人给其他 (n −1) 人各送一张，共 n 人：
n(n −1) = 90
n2 −n −90 = 0
(n −10)(n + 9) = 0
n = 10 或 n = −9（不合实际，舍去）
∴ 毕业晚会上一共有 10 位同学.
7. 于老师购买了2304 张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一
张签名卡，签名卡恰好用完.设该班级有x 名学生，请列方程并求解该班级有多少名学生.
【详解】于老师向每位同学赠送：共 x 张
同学间互赠：共 x(x −1) 张
x + x(x −1) = 2304
x + x2 −x = 2304
x2 = 2304
x = ±48
∵x > 0，∴x = 48
∴ 该班级有 48 名学生.
◆题型4 营销利润问题
8.. 某商场一款品牌服装平均每天可以售出10 件，每件盈利40 元.商场决定采取适当的降价措施，扩大销售
量，增加盈利.经市场调查发现：每件服装每降价1 元，平均每天就可以多售出2 件.如果需要盈利700 元，
同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？
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【详解】设每件降价 x 元，则每件盈利 (40 −x) 元，每天售出 (10 + 2x) 件.
(40 −x)(10 + 2x) = 700
400 + 80x −10x −2x2 = 700
−2x2 + 70x + 400 = 700
2x2 −70x + 300 = 0
x2 −35x + 150 = 0
(x −5)(x −30) = 0
x = 5 或 x = 30
∵ 尽可能让利于顾客，∴ 取较大降价.
∴ 每件降价 30 元.
9.某商场将进货价为30 元的台灯以40 元售出，平均每月能售出600 个.调查表明：这种台灯的售价每上涨1
元，其月销售量就减少10 个. 要实现每月10000 元的销售利润目标，且售价不能低于60 元/个，
(1)求这种台灯的定价；
(2) 商场应进货多少个？
【详解】设每个台灯涨价 x 元，则售价为 (40 + x) 元，销量为 (600 −10x) 个.
(1) 每个利润为 (40 + x −30) = (10 + x) 元.
(10 + x)(600 −10x) = 10000
6000 −100x + 600x −10x2 = 10000
−10x2 + 500x −4000 = 0
x2 −50x + 400 = 0
(x −10)(x −40) = 0
x = 10 或 x = 40
当 x = 10 时，售价 = 40 + 10 = 50 < 60，不合题意.
当 x = 40 时，售价 = 40 + 40 = 80 ≥60，符合题意.
∴ 台灯的定价为 80 元.
(2) 月销售量 = 600 −10 × 40 = 200（个）
∴ 商场应进货 200 个.
◆题型5 含参方程与判别式
10. 已知关于x 的一元二次方程(𝑚−2)𝑥2 −4𝑥 + 1 = 0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为
________.
【详解】∵ 是一元二次方程，∴m −2 ≠0，即 m ≠2
∵ 有两个不相等的实数根，∴Δ > 0
Δ = (−4)2 −4(m −2) ⋅1 = 16 −4(m −2) = 16 −4m + 8 = 24 −4m > 0
4m < 24
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m < 6
又 ∵m ≠2
∴m < 6 且 m ≠2
11. 已知关于x 的一元二次方程3𝑥2 + 𝑚𝑥 − 2 = 0，求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根.
【详解】Δ = m2 −4 × 3 × (−2) = m2 + 24
∵m2 ≥0
∴m2 + 24 ≥24 > 0
即 Δ > 0 恒成立
∴ 无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根.
◆题型6 根与系数的关系变形求值
12. 已知关于x 的一元二次方程x2 + (m −2)x − m = 0.
(1) 求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2) 如果方程的两个实数根为x1，x2，且
1
)1
1
2
1
−
=
+
+
x
x
）（
（
，求m 的值.
【详解】（1）Δ = (m −2)2 −4 × 1 × (−m)
= m2 −4m + 4 + 4m
= m2 + 4
∵m2 ≥0
∴m2 + 4 ≥4 > 0
即 Δ > 0 恒成立
∴ 无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根.
（2）由韦达定理：x1 + x2 = −(m −2) = 2 −m，x1x2 = −m
1
1
2
1
2
1
−
=
+
+
+
x
x
x
x
2
4
2
1
1
2
-
=
−
=
−
−
=
+
−
+
m
m
m
m
13. 已知m，n 是关于x 的一元二次方程x2 −2(a + 1)x + a2 + 5 = 0的两个实数根.
(1) 若(m−1)(n−1)=28，求a 的值；
(2) 已知等腰△ABC 的一边长为7，若m，n 恰好是△ABC 另外两边的长，求△ABC 的周长.
【详解】由韦达定理：m + n = 2(a + 1)，mn = a2 + 5
方程有实数根：Δ = 4(a + 1)2 −4(a2 + 5) = 4(a2 + 2a + 1 −a2 −5) = 4(2a −4) = 8a −32 ≥0
∴a ≥4
(1)
(m −1)(n −1) = mn −(m + n) + 1
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= a2 + 5 −2(a + 1) + 1
= a2 + 5 −2a −2 + 1
= a2 −2a + 4 = 28
a2 −2a −24 = 0
(a −6)(a + 4) = 0
a = 6 或 a = −4
∵a ≥4，∴a = −4 舍去.
∴a = 6
(2)
①当7 为底边长时，此时方程x2 −2(a + 1)x + a2 + 5 = 0有两个相等的实数根.
2
0
)
5
(
4
)1
4
2
2
=
=
+
−
+
=
a
a
a
解得
（
不能构成三角形
，
＜
方程变为
+
=
=
=
+
−
7
3
3
3
0
9
6
2
n
m
x
x
②当7 为腰长时，设m=7.
将m=7 代入方程，
得
0
5
)1
(
14
-
49
2
=
+
+
+
a
a
解得
4
10
=
=
a
a
或
当a=10 时，方程变为
0
105
22
2
=
+
−
x
x
，解得x=7 或x=15
不能组成三角形
＜
+
15
7
7
当a=4 时，方程变为
7
3
,0
21
10
2
=
=
=
+
−
x
x
x
x
或
解得
综上，ABC
的周长为17.
◆题型7 整体思想与换元法
14. 对于实数a，b，定义运算"※"：𝑎※𝑏 = 𝑎2 − 2𝑏，例如：5※1=5²−2×1=23.如果x※x=0，那么x 的值为
________.
【详解】x※x = x2 −2x = 0
x(x −2) = 0
x = 0 或 x = 2
15. 【阅读材料】解方程(𝑥−1)2 −5(𝑥−1) + 4 = 0时，可以将x-1 看成一个整体，设x-1=y，则原方程
化为y2 −5𝑦 + 4 = 0，解得y₁=1，y₂=4.当y=1 时，即x-1=1,解得x=2;当y=4 时，即x-1=4，解得x=5,所以
原方程的解为x₁=2，x₂=5.
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请利用上述方法解方程：(3x−5)²−4(5−3x)+3=0.
【详解】∵(5 −3x) = −(3x −5)
∴−4(5 −3x) = −4 × [−(3x −5)] = 4(3x −5)
原方程化为：(3x −5)2 + 4(3x −5) + 3 = 0
设 y = 3x −5，方程化为：
y2 + 4y + 3 = 0
(y + 1)(y + 3) = 0
y = −1 或 y = −3
当 3x −5 = −1 时，3x = 4，x =
4
3
当 3x −5 = −3 时，3x = 2，x =
2
3
∴x1 = 4
3 , x2 = 2
3
一、选择题
1．一元二次方程(𝑥−3)2 = 4的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根
D. 只有一个实数根
【答案】B
【详解】 Δ：展开得 x2 −6x + 5 = 0，Δ = 36 −20 = 16 > 0，有两个不相等的实数根.选 B.
2. 一元二次方程𝑥2 −𝑥 + 1 = 0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
【答案】D
【详解】解： 𝛥= (−1)2 −4 × 1 × 1 = 1 −4 = −3 < 0，没有实数根.选 D.
3. 一次聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手10 次，则参加聚会的人数为（ ）
A. 4 人
B. 5 人
C. 6 人
D. 7 人
【答案】B
【详解】解： 设参加聚会的人数为 n，则 n(n−1)
2
= 10，n(n −1) = 20，n = 5.选 B.
故选：B．
4. 某市平均房价由每平方米40000 元下降到每平方米32400 元，设年平均下降率为x，则可列方程为（ ）
A. 40000(1−x)²=32400
B. 40000(1+x)²=32400
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C. 40000−2×40000x=32400
D. 40000(1−2x)=32400
【答案】A
【详解】两年下降，列方程 40000(1 −x)2 = 32400.选 A.
5. 一种商品原价200 元，连续两次降价后售价为162 元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率
为（ ）
A. 5%
B. 10%
C. 15%
D. 20%
【答案】B
【详解】 200(1 −x)2 = 162，(1 −x)2 = 0.81，1 −x = 0.9，x = 0.1 = 10%.选 B.
6. 某商场将进货价为30 元的台灯以40 元售出，平均每月能售出600 个.售价每上涨1 元，月销售量就减少
10 个.要实现每月10000 元的销售利润，且售价不能低于60 元，则台灯的定价应为（ ）
A. 50 元
B. 60 元
C. 80 元
D. 50 元或80 元
【答案】C
【详解】由综合攻坚第8 题可知定价为 80 元.选 C.
二、填空题
7. 关于x 的一元二次方程𝑥2 −3𝑥 + 𝑚 − 1 = 0有两个不相等的实数根x₁，x₂，则实数m 的取值范围为
________.
【答案】 m <
13
4
【详解】 Δ = 9 −4(m −1) = 9 −4m + 4 = 13 −4m > 0，m <
13
4 .
8. 一条直线上有n 个点，共可以构成15 条线段，则n=________.
【答案】n = 6
【详解】
n(n−1)
2
= 15，n(n −1) = 30，n = 6.
9. 某农场一种作物的产量两年内从300 千克增加到363 千克，设平均每年增产的百分率为x，则可列方程
为________________.
【答案】300(1 + 𝑥)2 = 363
10. 某商品2022 年每件进价为125 元，2024 年每件进价为80 元，则这种商品每件进价的年平均下降率为
________.
【答案】20%
【详解】 125(1 −x)2 = 80，(1 −x)2 = 0.64，1 −x = 0.8，x = 20%.
11. 有一种流感病毒，刚开始有2 人患了流感，经过两轮传染后共有128 人患流感.设每轮传染中平均一个
人传染x 个人，则可列方程为________________.
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【详解】2(1 + x)2 = 128 .
12. n 边形有________条对角线；若一个多边形有14 条对角线，则它的边数为________.
【答案】7
【详解】 n(n−3)
2
= 14，n(n −3) = 28，n = 7.
三、解答题
13. 选择适当的方法解下列方程：
(1) 2x²−16=0；
(2) 2x²−16x=0；
(3) x²−4x−1=0（用配方法）.
【详解】（1）（直接开平方法）
2x2 = 16
x2 = 8
x = ±2√2
∴x1 = 2√2, x2 = −2√2
（2）（因式分解法）
2x(x −8) = 0
2x = 0 或 x −8 = 0
∴x1 = 0, x2 = 8
（3）x2 −4x = 1
x2 −4x + 4 = 1 + 4
(x −2)2 = 5
x −2 = ±√5
x = 2 ± √5
∴x1 = 2 + √5, x2 = 2 −√5
14. 某公司今年1 月份盈利2 万元，到今年3 月份盈利4.5 万元，假设每月盈利的平均增长率相同.
(1) 求每月盈利的平均增长率；
(2) 预计今年4 月份盈利多少万元？
【详解】(1) 设每月盈利的平均增长率为 x.
2(1 + x)2 = 4.5
(1 + x)2 = 2.25
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1 + x = ±1.5
x = 0.5 = 50% 或 x = −2.5（不合实际，舍去）
∴ 每月盈利的平均增长率为 50%.
(2) 4 月份盈利 = 4.5 × (1 + 50%) = 4.5 × 1.5 = 6.75 （万元）
15. 根据素材完成任务.
(1) 【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4 月份生产100 个零部件，
同年6 月份生产144 个.求4 月份到6 月份生产数量的平均增长率；
(2) 【素材2】该零部件成本为30 元/个，当售价为40 元/个时，月销售量为600 个，售价每上涨1 元，月
销售量减少10 个.批发商为使月销售利润达到10000 元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个
多少元？
【详解】(1) 设平均增长率为 x.
100(1 + x)2 = 144
(1 + x)2 = 1.44
1 + x = ±1.2
x = 0.2 = 20% 或 x = −2.2（不合实际，舍去）
∴ 平均增长率为 20%.
(2) 设涨价 y 元，则售价为 (40 + y) 元，销量为 (600 −10y) 个.
每个利润为 (40 + y −30) = (10 + y) 元.
(10 + y)(600 −10y) = 10000
6000 −100y + 600y −10y2 = 10000
y2 −50y + 400 = 0
(y −10)(y −40) = 0
y = 10 或 y = 40
∵ 尽可能让消费者得到实惠，∴y = 10
售价 = 40 + 10 = 50 元
16. 在△ABC 中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动，
点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动，且点P，Q 分别从点A，B 同时出发.
(1) 经过几秒后，△PBQ 的面积等于8 cm²？
(2) 线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由.
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【详解】设运动时间为 t 秒，则 AP = t cm，BQ = 2t cm
PB = (6 −t) cm
(1) △PBQ 的面积 =
1
2 × PB × BQ =
1
2 (6 −t) ⋅2t = t(6 −t)
t(6 −t) = 8
6t −t2 = 8
t2 −6t + 8 = 0
(t −2)(t −4) = 0
t = 2 或 t = 4
∵Q 在 BC 上运动，BQ ≤BC，即 2t ≤8，t ≤4
同时 P 在 AB 上，AP ≤AB，即 t ≤6
∴t = 2 或 t = 4 均满足.
∴ 经过 2 秒或 4 秒后，△PBQ 的面积等于 8 cm
2.
(2) △ABC 的面积 =
1
2 × 6 × 8 = 24 cm
2
若 PQ 将 △ABC 分成面积相等的两部分，则 △PBQ 的面积 = 12 cm
2
t(6 −t) = 12
t2 −6t + 12 = 0
Δ = 36 −48 = −12 < 0
∴ 方程无实数解.
∴ 线段 PQ 不能将 △ABC 分成面积相等的两部分.
17. 已知关于x 的一元二次方程𝑥2 −2(𝑚−1)𝑥 + 𝑚2 − 5 = 0.
(1) 当方程有两个实数根时，求m 的取值范围；
(2) 当方程的两个根𝑥1，𝑥2满足
12
2
1
2
2
2
1
+
=
+
x
x
x
x
时，求m 的值.
【详解】(1) Δ = [−2(m −1)]2 −4(m2 −5) = 4(m −1)2 −4(m2 −5)
= 4(m2 −2m + 1) −4m2 + 20
= 4m2 −8m + 4 −4m2 + 20
= −8m + 24 ≥0
m ≤3
(2) 由韦达定理：x1 + x2 = 2(m −1)，x1x2 = m2 −5
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x1
2 + x2
2 −x1x2 = (x1 + x2)2 −3x1x2
= 4(m −1)2 −3(m2 −5)
= 4m2 −8m + 4 −3m2 + 15
= m2 −8m + 19 = 12
m2 −8m + 7 = 0
m = 1 或 m = 7
由（1）知m ≤3，所以m=1
故m 的值为1.
18. 已知关于x 的一元二次方程
0
1
)1
2
(
2
2
=
+
+
+
−
k
x
k
x
，有两个不相等的实数根
2
1, x
x
.
(1) 求实数k 的取值范围；
(2) 若方程的两实数根满足
2
1
2
1
x
x
x
x
=
+
，求k 的值.
【详解】（1）
3
4
4
4
1
4
4
)1
(
4
)1
2
(
)1
(
1
4
)1
2
-
2
2
2
2
2
2
−
=
−
−
+
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
k
k
k
k
k
k
k
k
（
4
3
,0
3
4
0
＞
解得
＞
，即
＞
数根
方程有两个不相等的实
k
k −
（2）由根与系数的关系，得
1
,1
2
2
2
1
2
1
+
=
+
=
+
k
x
x
k
x
x
2
1
2
1
x
x
x
x
=
+
1
1
2
2 +
=
+
k
k
4
3
＞
k
1
2
1
2
0
1
2
+
=
+
+
k
k
k
，即
＞
.2
0
,1
1
2
2
=
=
+
=
+
k
k
k
k
或
解得
2
0
4
3
=
=
k
k
k
舍去
，
＞
又
