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第二十六章 二次函数全章高频重点题型突破
◆题型1 二次函数的概念与一般形式
1. 【详解】A 含
1
x 不是整式；B 展开为 y = 2x + 1 是一次函数；C 是二次函数；D 是一次函数。
故选C
2.【详解】需 m2 −2 = 2 且 m −2 ≠0。由 m2 = 4 得 m = ±2，又 m ≠2，故 m = −2。
3.【详解】二次项系数 m2 −4 ≠0，即 m ≠±2。
4.【详解】y = (x −1)(2x + 3) = 2x2 + 3x −2x −3 = 2x2 + x −3。
二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为-3.
5.【详解】代入三点：c = 3；a + b + 3 = 0；a −b + 3 = 8。解得 a = 1，b = −4，c = 3。
故y = x2 −4x + 3
◆题型2 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐 的图像与性质
6. 【详解】a = 3 > 0，开口向上；y = ax2 型对称轴为 y 轴，顶点 (0,0)。
7. 【详解】a = −2 < 0，开口向下；右侧(x > 0)递减，左侧(x < 0)递增。
故(1) 开口向下；对称轴 y 轴（x = 0）；顶点 (0,0)；(2) 减小；增大
8.【详解】将 x = 2 代入 y =
1
2 x2：y =
1
2 × 4 = 2。
故A(2,2)
9. 【详解】代入 (2,8)：8 = 4a，a = 2。
故y = 2x2
◆题型3 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐤 的图像与性质
10.【详解】开口向上；对称轴 y 轴（x = 0）；顶点 (0,3)
11.【详解】y = −x2 + 4
12.【详解】顶点 (0, −2)，k = −2。代入 (1,0)：0 = a −2，a = 2。
故y = 2x2 −2
◆题型4 二次函数 𝐲= 𝐚(𝐱−𝐡)𝟐 的图像与性质
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13.【详解】开口向下；对称轴 x = 3；顶点 (3,0)
14.【详解】左移 3：x 替换为 x + 3，y = 2(x + 3)2。
故选B
15.【详解】h = 2，代入 (4,8)：8 = 4a，a = 2。
故y = 2(x −2)2
◆题型5 二次函数 𝐲= 𝐚(𝐱−𝐡)𝟐+ 𝐤 的图像与性质
16.【详解】开口向下；对称轴 x = 1；顶点 (1,3)
17.【详解】右移 2：y = 3(x −2)2；上移 4：y = 3(x −2)2 + 4。
故选C
18.
【详解】（1）
1
)
2
(
3
4
4
4
3
4
2
2
2
−
−
=
+
−
+
−
=
+
−
=
x
x
x
x
x
y
(2) 开口向上；对称轴 x = 2；顶点 (2, −1)
19.
【详解】（1）
1
)3
(
8
9
9
6
8
6
2
2
2
−
−
=
+
−
+
−
=
+
−
=
x
x
x
x
x
y
（2）令 y = 0：(x −3)2 = 1，x = 2 或 x = 4。
故该抛物线与 x 轴的交点坐标 (2,0)，(4,0)
◆题型6 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐛𝐱+ 𝐜 的图像与性质
20. 【详解】y = (x −2)2 + 1，顶点 (2,1)。
故选A
21.【详解】由图像：开口向上 ⇒a > 0（A 正确）；对称轴在右侧 ⇒b < 0（B 错）；与 y 轴交于负半轴
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⇒c < 0（C 错）；x = 1 时 y > 0，a + b + c > 0（D 错）。
故选A
22. 已知点 𝐴(−1, 𝑦1)，𝐵(2, 𝑦2)，𝐶(3, 𝑦3) 都在抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 1 上，则 𝑦1，𝑦2，𝑦3 的大小关系为
________。
【详解】y = (x −1)2。y1 = (−1 −1)2 = 4；y2 = (2 −1)2 = 1；y3 = (3 −1)2 = 4。y2 < y1=y3
故y2 < y1=y3
23. 【详解】(1) x2 −2x −3 = 0，(x −3)(x + 1) = 0。
1
,3
2
1
−
=
=
x
x
该抛物线与 x 轴的交点坐标（3，0），（-1，0）
(2) x = 0 时 y = −3。
该抛物线与 y 轴的交点坐标；（0，-3）
（3）图略
◆题型7 二次函数图像与系数的关系
24.【详解】由图像：开口向下 ⇒a < 0（A 错）；对称轴在左侧 ⇒b < 0（B 错）；与 y 轴交于正半轴 ⇒c > 0
（C 正确）；与 x 轴有两个交点 ⇒b2 −4ac > 0（D 错）。
故选C
25.【详解】由图像：开口向上 ⇒a > 0，①正确；对称轴 x = 1，b = −2a < 0，②正确；与 y 轴交于负
半轴 ⇒c < 0，③错误；与 x 轴有两个交点 ⇒Δ > 0，④正确；顶点在 x 轴下方 ⇒a + b + c < 0，⑤正
确；2a + b = 2a −2a = 0，⑥正确。共 5 个。
故D（5 个正确：①②④⑤⑥）
26. 【详解】代入三点：a + b + c = 0；9a −3b + c = 0；c = 3。解得 a = −1，b = −2，c = 3。
故y = −x2 −2x + 3
◆题型8 抛物线形实际应用
27. 【详解】(1) 以水面中点为原点，向上为正。抛物线过 (±4,0)，顶点 (0,4)。
设 y = −ax2 + 4，代入 (4,0)，0 = −16a + 4，a =
1
4。
（2）水面上涨 1 m，令 y = 1：1 = −
1
4 x2 + 4，x2 = 12，x = ±2√3，宽 = 4√3 m。
故(1) y = −
1
4 x2 + 4；(2) 4√3 m
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◆题型9 二次函数图像变换综合
28. 【详解】y = (x −1)2 + 2，左移 2：y = (x + 1)2 + 2，下移 3：y = (x + 1)2 −1 = x2 + 2x。
故y = x2 + 2x
29.
【详解】关于 x 轴对称，y 取相反数：y = −(2x2 −4x + 1) = −2x2 + 4x −1。
故y = −2x2 + 4x −1
◆题型1 二次函数与几何综合
1.【详解】令 y = 0：(x −1)(x −3) = 0，
3
,1
2
1
=
=
x
x
A(1,0)，B(3,0)，AB = 2。顶点 P(2,−1)，高 = 1。S =
1
2 × 2 × 1 = 1。
故S△ABP = 1
2. 【详解】(1) 代入 A(−1,0)，B(3,0)：−1 −b + c = 0，−9 + 3b + c = 0，解得 b = 2，c = 3。
（2）y = −(x −1)2 + 4，P(1,4)，AB = 4，高 = 4。S =
1
2 × 4 × 4 = 8。
故(1) y = −x2 + 2x + 3；(2) S△ABP = 8
◆题型2 二次函数与一次函数综合
3.【详解】联立 x + 1 = x2 −2x −3，x2 −3x −4 = 0，(x −4)(x + 1) = 0。x = −1 时 y = 0；x = 4 时 y = 5。
A(−1,0)，B(4,5)
4. 【详解】(1) 代入 A(−1,1)，B(2,4)：−k + b = 1，2k + b = 4，解得 k = 1，b = 2。
（2）x + 2 > x2，x2 −x −2 < 0，(x −2)(x + 1) < 0，−1 < x < 2。
故(1) y = x + 2；(2) −1 < x < 2
5.【详解】联立 x + 1 = x2 −2x −3，得 x = −1 或 x = 4，A(−1,0)，B(4,5)。
直线 x −y + 1 = 0，O 到直线距离 d =
1
√2，AB = 5√2，S =
1
2 × 5√2 × √2
2 = 5。
故A(−1,0)，B(4,5)；S△AOB = 5
◆题型3 二次函数的实际应用——面积问题
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6. 【详解】y = x(20 −2x) = −2x2 + 20x = −2(x −5)2 + 50。
故(1) y = −2x2 + 20x（0 < x < 10）；(2) x = 5 时最大 50 m
2
7.【详解】平行于墙的边长 = 24 −3x，y = x(24 −3x) = −3x2 + 24x = −3(x −4)2 + 48。
约束：24 −3x ≤9 ⇒x ≥5；24 −3x > 0 ⇒x < 8。
在 [5,8) 上递减，x = 5 时 ymax = −75 + 120 = 45。
故(1) y = −3x2 + 24x（5 ≤x < 8）；(2) AB = 5 时最大 45 m
2
8. 【详解】y = x(40 −2x) = −2(x −10)2 + 200。约束：40 −2x ≤20 ⇒x ≥10。x = 10 时 ymax = 200。
故(1) y = −2x2 + 40x（10 ≤x < 20）；(2) x = 10 时最大 200 m
2
◆题型4 二次函数的实际应用——利润问题
9.【详解】】W = (40 −x)(20 + 2x) = −2x2 + 60x + 800 = −2(x −15)2 + 1250。
故降价 15 元时，最大利润 1250 元
10.
【详解】销量 = 140 −2x，W = (x −30)(140 −2x) = −2x2 + 200x −4200 = −2(x −50)2 + 800。
故(1) W = −2x2 + 200x −4200（30 ≤x ≤50）；(2) 售价 50 元时最大利润 800 元
◆题型5 二次函数与方程、不等式的综合
11.
【详解】
3
,1
0
)
3
)(
1
(
0
3
4
2
1
2
=
=
=
−
−
=
+
−
x
x
x
x
x
x
故(1) x = 1 或 x = 3；(2) x < 1 或 x > 3；(3) 1 < x < 3
12. 【详解】(1) 设 y = a(x + 1)(x −3)，代入 (0, −3)：−3 = −3a，a = 1。
故(1) y = x2 −2x −3；(2) x < −1 或 x > 3
13.【详解】(1) Δ = 4 −4k > 0，k < 1。
（2）x1 + x2 = 2，x1x2 = k。x1
2 + x2
2 = 4 −2k = 6，k = −1（满足 k < 1）。
故(1) k < 1；(2) k = −1
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◆题型6 含参二次函数问题
14. 【详解】（1）
0
4
4
4
4
)1
(
4
)
2
(
2
2
2
2
＞
=
+
−
=
−
−
−
=
m
m
m
m
∴无论 m 取何值，该抛物线与 x 轴总有两个交点；
15.
【详解】】Δ = 4m2 −4(m −1)(m + 1) = 4 > 0 恒成立。需 m −1 ≠0，m ≠1。
1．C
2．A
3．B
4．B
5．D
6．D
7．B
8．D
9. 【答案】x = 3；(3,1)
10.【答案】m = 10
11. 【答案】 y = (x −1)2 + 2
12. 【答案】𝑥= 2
13. 【答案】10%
14.【答案】6
15.【答案】(1) y = (x −2)2 −1。(2) 开口向上，x = 2，(2,−1)。（3）最大值 8，最小值 −1。
16. 【答案】y = 3(x −1)2 −2。
17.【答案】（1）A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)。（2）S = 6。
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18. 【答案】（1）y = −
25
6 x2 +
10
3 x （2）会出现失误
19.【答案】（2）m = 2 或 m = −2
20. 【答案】售价定为每件 55 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 2250 元。
