1 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
第二十六章 二次函数全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 二次函数的概念与一般形式
题型2 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐 的图像与性质
题型3 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐤 的图像与性质
题型4 二次函数 𝐲= 𝐚(𝐱−𝐡)𝟐 的图像与性质
题型5 二次函数 𝐲= 𝐚(𝐱−𝐡)𝟐+ 𝐤 的图像与性质
题型6 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐛𝐱+ 𝐜 的图像与性质
题型7 二次函数图像与系数的关系
题型8 抛物线形实际应用
题型9 二次函数图像变换综合
核心提升：重难题型归纳
题型1 二次函数与几何综合
题型2 二次函数与一次函数综合
题型3 二次函数的实际应用——面积问题
题型4 二次函数的实际应用——利润问题
题型5 二次函数与方程、不等式的综合
题型6 含参二次函数问题
题型专练：高频重难特训
◆题型1 二次函数的概念与一般形式
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. 𝑦= 𝑥2 +
1
𝑥 B. 𝑦= (𝑥+ 1)2 −𝑥2 C. 𝑦= 2𝑥2 −3𝑥+ 1 D. 𝑦= 3𝑥−2
【详解】A 含 1
x 不是整式；B 展开为 y = 2x + 1 是一次函数；C 是二次函数；D 是一次函数。
故选C
2. 若 𝑦= (𝑚−2)𝑥𝑚2−2 + 3𝑥−1 是关于 𝑥 的二次函数，则 𝑚 的值为________。
2 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】需 m2 −2 = 2 且 m −2 ≠0。由 m2 = 4 得 m = ±2，又 m ≠2，故 m = −2。
3.【易错题】若 𝑦= (𝑚2 −4)𝑥2 + 3𝑥−1 是关于 𝑥 的二次函数，则 𝑚 的取值范围是________。
【详解】二次项系数 m2 −4 ≠0，即 m ≠±2。
4. 将二次函数 𝑦= (𝑥−1)(2𝑥+ 3) 化为一般形式为________________，其中二次项系数为________，一
次项系数为________，常数项为________。
【详解】y = (x −1)(2x + 3) = 2x2 + 3x −2x −3 = 2x2 + x −3。
二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为-3.
5.已知二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像经过点 (0,3)，(1,0)，(−1,8)，求这个二次函数的解析式。
【详解】代入三点：c = 3；a + b + 3 = 0；a −b + 3 = 8。解得 a = 1，b = −4，c = 3。
故y = x2 −4x + 3
◆题型2 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐 的图像与性质
6. 抛物线 𝑦= 3𝑥2 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。
【详解】a = 3 > 0，开口向上；y = ax2 型对称轴为 y 轴，顶点 (0,0)。
7. 已知二次函数 𝑦= −2𝑥2。
(2) 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3) 当 𝑥> 0 时，𝑦 随 𝑥 的增大而________；当 𝑥< 0 时，𝑦 随 𝑥 的增大而________。
【详解】a = −2 < 0，开口向下；右侧(x > 0)递减，左侧(x < 0)递增。
故(1) 开口向下；对称轴 y 轴（x = 0）；顶点 (0,0)；(2) 减小；增大
8.点 𝐴 在抛物线 𝑦=
1
2 𝑥2 上，且点 𝐴 的横坐标为 2，求点 𝐴 的坐标。
【详解】将 x = 2 代入 y =
1
2 x2：y =
1
2 × 4 = 2。
故A(2,2)
9. 已知抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 经过点 (2,8)，求这个二次函数的解析式。
【详解】代入 (2,8)：8 = 4a，a = 2。
故y = 2x2
◆题型3 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐤 的图像与性质
10. 抛物线 𝑦= 2𝑥2 + 3 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。
【详解】开口向上；对称轴 y 轴（x = 0）；顶点 (0,3)
11. 将抛物线 𝑦= −𝑥2 向上平移 4 个单位，得到的抛物线解析式为________________。
3 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】y = −x2 + 4
12. 已知抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘 的顶点坐标为 (0,−2)，且经过点 (1,0)，求这个二次函数的解析式。
【详解】顶点 (0,−2)，k = −2。代入 (1,0)：0 = a −2，a = 2。
故y = 2x2 −2
◆题型4 二次函数 𝐲= 𝐚(𝐱−𝐡)𝟐 的图像与性质
13. 抛物线 𝑦= −(𝑥−3)2 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。
【详解】开口向下；对称轴 x = 3；顶点 (3,0)
14.【易错题】将抛物线 𝑦= 2𝑥2 向左平移 3 个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A. 𝑦= 2(𝑥−3)2 B. 𝑦= 2(𝑥+ 3)2 C. 𝑦= 2𝑥2 −3 D. 𝑦= 2𝑥2 + 3
【详解】左移 3：x 替换为 x + 3，y = 2(x + 3)2。
故选B
15.已知抛物线 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 的顶点坐标为 (2,0)，且经过点 (4,8)，求这个二次函数的解析式。
【详解】h = 2，代入 (4,8)：8 = 4a，a = 2。
故y = 2(x −2)2
◆题型5 二次函数 𝐲= 𝐚(𝐱−𝐡)𝟐+ 𝐤 的图像与性质
16.抛物线 𝑦= −2(𝑥−1)2 + 3 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。
【详解】开口向下；对称轴 x = 1；顶点 (1,3)
17.【易错题】将抛物线 𝑦= 3𝑥2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到的抛物线解析式为
（ ）
A. 𝑦= 3(𝑥+ 2)2 + 4 B. 𝑦= 3(𝑥+ 2)2 −4 C. 𝑦= 3(𝑥−2)2 + 4 D. 𝑦= 3(𝑥−2)2 −4
【详解】右移 2：y = 3(x −2)2；上移 4：y = 3(x −2)2 + 4。
故选C
18. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3。
(2) 用配方法将其化为 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘 的形式；
(3) 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
【详解】（1）
1
)
2
(
3
4
4
4
3
4
2
2
2
−
−
=
+
−
+
−
=
+
−
=
x
x
x
x
x
y
(2) 开口向上；对称轴 x = 2；顶点 (2, −1)
4 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
19. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −6𝑥+ 8。
(2) 用配方法将其化为顶点式；
(3) 求该抛物线与 𝑥 轴的交点坐标。
【详解】（1）
1
)
3
(
8
9
9
6
8
6
2
2
2
−
−
=
+
−
+
−
=
+
−
=
x
x
x
x
x
y
（2）令 y = 0：(x −3)2 = 1，x = 2 或 x = 4。
故该抛物线与 x 轴的交点坐标 (2,0)，(4,0)
◆题型6 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐛𝐱+ 𝐜 的图像与性质
20. 抛物线 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 5 的顶点坐标为（ ）
A. (2,1) B. (2,−1) C. (−2,1) D. (−2,−1)
【详解】y = (x −2)2 + 1，顶点 (2,1)。
故选A
21.【易错题】已知二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 𝑎> 0 B. 𝑏> 0 C. 𝑐> 0 D. 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0
【详解】由图像：开口向上 ⇒a > 0（A 正确）；对称轴在右侧 ⇒b < 0（B 错）；与 y 轴交于负半轴
⇒c < 0（C 错）；x = 1 时 y > 0，a + b + c > 0（D 错）。
故选A
22. 已知点 𝐴(−1, 𝑦1)，𝐵(2, 𝑦2)，𝐶(3, 𝑦3) 都在抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 1 上，则 𝑦1，𝑦2，𝑦3 的大小关系为
________。
【详解】y = (x −1)2。y1 = (−1 −1)2 = 4；y2 = (2 −1)2 = 1；y3 = (3 −1)2 = 4。y2 < y1=y3
5 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故y2 < y1=y3
23. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3。
(2) 求该抛物线与 𝑥 轴的交点坐标；
(3) 求该抛物线与 𝑦 轴的交点坐标；
(4) 在直角坐标系中画出该函数的大致图像。
【详解】(1) x2 −2x −3 = 0，(x −3)(x + 1) = 0。
1
,3
2
1
−
=
=
x
x
该抛物线与 x 轴的交点坐标（3，0），（-1，0）
(2) x = 0 时 y = −3。
该抛物线与 y 轴的交点坐标；（0，-3）
（3）图略
◆题型7 二次函数图像与系数的关系
24.【中考高频】二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. 𝑎> 0 B. 𝑏＞0 C. 𝑐> 0 D. 𝑏2 −4𝑎𝑐< 0
【详解】由图像：开口向下 ⇒a < 0（A 错）；对称轴在左侧 ⇒b < 0（B 错）；与 y 轴交于正半轴 ⇒c > 0
（C 正确）；与 x 轴有两个交点 ⇒b2 −4ac > 0（D 错）。
故选C
25.【易错题】二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像如图所示，下列结论：①𝑎> 0；②𝑏< 0；③𝑐> 0；④
𝑏2 −4𝑎𝑐> 0；⑤𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0；⑥2𝑎+ 𝑏= 0，其中正确的个数是（ ）
6 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
【详解】由图像：开口向上 ⇒a > 0，①正确；对称轴 x = 1，b = −2a < 0，②正确；与 y 轴交于负
半轴 ⇒c < 0，③错误；与 x 轴有两个交点 ⇒Δ > 0，④正确；顶点在 x 轴下方 ⇒a + b + c < 0，⑤正
确；2a + b = 2a −2a = 0，⑥正确。共 5 个。
故D（5 个正确：①②④⑤⑥）
26. 已知二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像经过点 (1,0)，(−3,0)，(0,3)。求这个二次函数的解析式；
【详解】代入三点：a + b + c = 0；9a −3b + c = 0；c = 3。解得 a = −1，b = −2，c = 3。
故y = −x2 −2x + 3
◆题型8 抛物线形实际应用
27. 如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面 4 m，水面宽 8 m。
(2) 建立适当的坐标系，求抛物线的解析式；
(3) 若水面上涨 1 m，此时水面宽是多少？
【详解】(1) 以水面中点为原点，向上为正。抛物线过 (±4,0)，顶点 (0,4)。
设 y = −ax2 + 4，代入 (4,0)，0 = −16a + 4，a =
1
4。
（2）水面上涨 1 m，令 y = 1：1 = −
1
4 x2 + 4，x2 = 12，x = ±2√3，宽 = 4√3 m。
故(1) y = −
1
4 x2 + 4；(2) 4√3 m
7 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
◆题型9 二次函数图像变换综合
28. 【易错题】将抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 3 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，求所得抛物线
的解析式。
【详解】y = (x −1)2 + 2，左移 2：y = (x + 1)2 + 2，下移 3：y = (x + 1)2 −1 = x2 + 2x。
故y = x2 + 2x
29. 将抛物线 𝑦= 2𝑥2 −4𝑥+ 1 关于 𝑥 轴对称，求所得抛物线的解析式。
【详解】关于 x 轴对称，y 取相反数：y = −(2x2 −4x + 1) = −2x2 + 4x −1。
故y = −2x2 + 4x −1
◆题型1 二次函数与几何综合
1. 已知抛物线 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3 与 𝑥 轴交于 𝐴，𝐵 两点，顶点为 𝑃，求 △𝐴𝐵𝑃 的面积。
【详解】令 y = 0：(x −1)(x −3) = 0，
3
,1
2
1
=
=
x
x
A(1,0)，B(3,0)，AB = 2。顶点 P(2,−1)，高 = 1。S =
1
2 × 2 × 1 = 1。
故S△ABP = 1
2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 𝑦= −𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 经过点 𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的顶点为 𝑃，求 △𝐴𝐵𝑃 的面积。
【详解】(1) 代入 A(−1,0)，B(3,0)：−1 −b + c = 0，−9 + 3b + c = 0，解得 b = 2，c = 3。
8 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（2）y = −(x −1)2 + 4，P(1,4)，AB = 4，高 = 4。S =
1
2 × 4 × 4 = 8。
故(1) y = −x2 + 2x + 3；(2) S△ABP = 8
◆题型2 二次函数与一次函数综合
3.已知一次函数 𝑦= 𝑥+ 1 的图像与二次函数 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 的图像交于 𝐴，𝐵 两点，求 𝐴，𝐵 两点的
坐标。
【详解】联立 x + 1 = x2 −2x −3，x2 −3x −4 = 0，(x −4)(x + 1) = 0。x = −1 时 y = 0；x = 4 时 y = 5。
A(−1,0)，B(4,5)
4. 如图，一次函数 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏 的图像与二次函数 𝑦= 𝑥2 的图像交于 𝐴(−1,1)，𝐵(2,4) 两点。
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 当 𝑥 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？
【详解】(1) 代入 A(−1,1)，B(2,4)：−k + b = 1，2k + b = 4，解得 k = 1，b = 2。
（2）x + 2 > x2，x2 −x −2 < 0，(x −2)(x + 1) < 0，−1 < x < 2。
故(1) y = x + 2；(2) −1 < x < 2
5.【易错题】如图，已知抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 与直线 𝑦= 𝑥+ 1 交于 𝐴，𝐵 两点，求 𝐴，𝐵 两点的坐
标及 △𝐴𝑂𝐵 的面积（𝑂 为原点）。
9 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】联立 x + 1 = x2 −2x −3，得 x = −1 或 x = 4，A(−1,0)，B(4,5)。
直线 x −y + 1 = 0，O 到直线距离 d =
1
√2，AB = 5√2，S =
1
2 × 5√2 × √2
2 = 5。
故A(−1,0)，B(4,5)；S△AOB = 5
◆题型3 二次函数的实际应用——面积问题
6. 如图，用长为 20 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 𝑥 m，花圃的面积为
𝑦 m2。
(2) 求 𝑦 关于 𝑥 的函数关系式，并写出自变量 𝑥 的取值范围；
(3) 当 𝑥 为何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？
【详解】y = x(20 −2x) = −2x2 + 20x = −2(x −5)2 + 50。
故(1) y = −2x2 + 20x（0 < x < 10）；(2) x = 5 时最大 50 m
2
7.【易错题】如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为 9 m），另三
边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆。设矩形花园垂直于墙的边 𝐴𝐵 的长为 𝑥 m，面积为 𝑦 m2。已知篱笆
总长为 24 m。
(2) 直接写出 𝑦 与 𝑥 的函数关系式，并写出 𝑥 的取值范围；
(3) 当边 𝐴𝐵 的长为多少时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？
【详解】平行于墙的边长 = 24 −3x，y = x(24 −3x) = −3x2 + 24x = −3(x −4)2 + 48。
约束：24 −3x ≤9 ⇒x ≥5；24 −3x > 0 ⇒x < 8。
在 [5,8) 上递减，x = 5 时 ymax = −75 + 120 = 45。
故(1) y = −3x2 + 24x（5 ≤x < 8）；(2) AB = 5 时最大 45 m
2
8. 某农场欲围建一个矩形养鸡场，其中一边利用现有的一堵墙（墙长 20 m），另外三边用总长为 40 m 的
篱笆围成。设矩形养鸡场垂直于墙的边长为 𝑥 m，面积为 𝑦 m2。
(1) 求 𝑦 关于 𝑥 的函数关系式，并写出自变量 𝑥 的取值范围；
10 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2) 当 𝑥 为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
【详解】y = x(40 −2x) = −2(x −10)2 + 200。约束：40 −2x ≤20 ⇒x ≥10。x = 10 时 ymax = 200。
故(1) y = −2x2 + 40x（10 ≤x < 20）；(2) x = 10 时最大 200 m
2
◆题型4 二次函数的实际应用——利润问题
9. 【易错题】某专卖店销售的一款童装每件进价为 80 元，销售价为 120 元，每天可售出 20 件。如果
每件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件，设每件童装降价 𝑥 元。当每件童装降价多少元时，平均每
天盈利最大？最大利润是多少？
【详解】】W = (40 −x)(20 + 2x) = −2x2 + 60x + 800 = −2(x −15)2 + 1250。
故降价 15 元时，最大利润 1250 元
10. 某商店销售一种成本为每件 30 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 50 元。经市场调查发现：
当每件售价定为 40 元时，每天可售出 60 件；当每件售价每提高 1 元时，每天的销售量就减少 2 件。
(1) 求每天销售利润 𝑊（元）与每件售价 𝑥（元）之间的函数关系式；
(2) 当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【详解】销量 = 140 −2x，W = (x −30)(140 −2x) = −2x2 + 200x −4200 = −2(x −50)2 + 800。
故(1) W = −2x2 + 200x −4200（30 ≤x ≤50）；(2) 售价 50 元时最大利润 800 元
◆题型5 二次函数与方程、不等式的综合
11. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3。
(1) 当 𝑥 为何值时，𝑦= 0？
(2) 当 𝑥 为何值时，𝑦> 0？
(3) 当 𝑥 为何值时，𝑦< 0？
【详解】
3
,1
0
)3
)(
1
(
0
3
4
2
1
2
=
=
=
−
−
=
+
−
x
x
x
x
x
x
故(1) x = 1 或 x = 3；(2) x < 1 或 x > 3；(3) 1 < x < 3
12. 已知二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像经过点 (−1,0)，(3,0)，(0,−3)。
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 当 𝑥 为何值时，𝑦> 0？
【详解】(1) 设 y = a(x + 1)(x −3)，代入 (0,−3)：−3 = −3a，a = 1。
故(1) y = x2 −2x −3；(2) x < −1 或 x > 3
11 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
13.【易错题】已知关于 𝑥 的一元二次方程 𝑥2 −2𝑥+ 𝑘= 0。
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 𝑘 的取值范围；
(2) 若方程的两个实数根为 𝑥1，𝑥2，且满足 𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 6，求 𝑘 的值。
【详解】(1) Δ = 4 −4k > 0，k < 1。
（2）x1 + x2 = 2，x1x2 = k。x1
2 + x2
2 = 4 −2k = 6，k = −1（满足 k < 1）。
故(1) k < 1；(2) k = −1
◆题型6 含参二次函数问题
14. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −2𝑚𝑥+ 𝑚2 −1。
求证：无论 𝑚 取何值，该抛物线与 𝑥 轴总有两个交点；
【详解】（1）
0
4
4
4
4
)1
(
4
)
2
(
2
2
2
2
＞
=
+
−
=
−
−
−
=
m
m
m
m
∴无论 m 取何值，该抛物线与 x 轴总有两个交点；
15.【易错题】已知二次函数 𝑦= (𝑚−1)𝑥2 −2𝑚𝑥+ 𝑚+ 1。若该抛物线与 𝑥 轴有两个交点，求 𝑚 的取
值范围。
【详解】】Δ = 4m2 −4(m −1)(m + 1) = 4 > 0 恒成立。需 m −1 ≠0，m ≠1。
一、选择题
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. 𝑦= 2𝑥+ 1 B. 𝑦=
1
𝑥2 C. 𝑦= 𝑥2 −2 D. 𝑦= (𝑥−1)2 −𝑥2
【答案】C
【详解】A 为一次函数；B 等于号右边不是整式；D 化简后没有二次项。
故选：C．
2. 抛物线 𝑦= −(𝑥−2)2 + 3 的顶点坐标是（ ）
A. (2,3) B. (−2,3) C. (2,−3) D. (−2,−3)
12 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】A
【详解】（2，3）
故选：A
3．【易错题】将抛物线 𝑦= 3𝑥2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线的解析式为
（ ）
A. 𝑦= 3(𝑥+ 2)2 + 1 B. 𝑦= 3(𝑥+ 2)2 −1 C. 𝑦= 3(𝑥−2)2 + 1 D. 𝑦= 3(𝑥−2)2 −1
【答案】B
【详解】 y = 3(x + 2)2 −1
故选：B．
4.二次函数 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 5 的最小值为（ ）
A. −1 B. 1 C. 3 D. 5
【答案】B
【详解】
1
)
2
(
5
4
4
4
5
4
2
2
2
+
−
=
+
−
+
−
=
+
−
=
x
x
x
x
x
y
故选B
5.【中考高频】已知抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 与 𝑥 轴的一个交点坐标为 (𝑚, 0)，则代数式 𝑚2 −2𝑚+ 2024
的值为（ ）
A. 2021 B. 2023 C. 2025 D. 2027
【答案】D
【详解】把
)
0,
m
（
代入 y = x2 −2x −3 中得，
3
2
0
3
2
2
2
=
−
=
−
−
m
m
m
m
𝑚2 −2𝑚+ 2024=3+2024=2027，故选D
6. 如图，二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 𝑎> 0 B. 𝑏> 0 C. 𝑐< 0 D. 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0
13 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】D
【详解】开口向下 ⇒a < 0；对称轴在左侧 ⇒b < 0；与 y 轴交正半轴 ⇒c > 0；x = 1 时由图像 y =
a + b + c < 0，D 正确。
7.【易错题】已知二次函数 𝑦= (𝑎−1)𝑥2 + 2𝑥+ 1 的开口向上，则 𝑎 的取值范围是（ ）
A. 𝑎> 0 B. 𝑎> 1 C. 𝑎< 0 D. 𝑎< 1
【答案】B
【详解】开口向上，a −1 > 0，a > 1。
故选B
8. 已知点 𝐴(−2,𝑦1)，𝐵(1,𝑦2)，𝐶(3,𝑦3) 都在抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 1 上，则 𝑦1，𝑦2，𝑦3 的大小关系是
（ ）
A. 𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3 B. 𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2 C. 𝑦2 < 𝑦1 < 𝑦3 D. 𝑦2 < 𝑦3 < 𝑦1
【答案】D
【详解】y = (x −1)2。y1 = (−3)2 = 9，y2 = 02 = 0，y3 = 22 = 4。y2 < y3 < y1。
故选D
二、填空题
9. 抛物线 𝑦= 2(𝑥−3)2 + 1 的对称轴是________，顶点坐标是________。
【答案】x = 3；(3,1)
【详解】x = 3；(3,1)
10.【易错题】已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −6𝑥+ 𝑚 的最小值为 1，则 𝑚 的值为________。
【答案】m = 10
【详解】
10
40
4
4
36
4
1
4
36
4
4
4
2
=
=
=
−
=
−
=
−
m
m
m
m
a
b
ac
11. 将抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 3 化为顶点式为________________。
【答案】 y = (x −1)2 + 2
【详解】
2
)1
(
3
1
1
2
3
2
2
2
2
+
−
=
+
−
+
−
=
+
−
=
x
x
x
x
x
y
14 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
12. 已知抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 经过点 𝐴(1,0)，𝐵(3,0)，则抛物线的对称轴为________。
【答案】𝑥= 2
【详解】
2
2
3
1
=
+
=
x
13. 某商品原价 100 元，连续两次涨价后售价为 121 元，则平均每次涨价的百分率为________。
【答案】10%
【详解】
舍去
或
（
1.2
%,
10
1.0
1.1
1
1.1
1
10
11
1
121
)
1
100
2
1
2
−
=
=
=
−
=
+
=
+
=
+
=
+
x
x
x
x
x
x
14. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 的图像与 𝑥 轴交于 𝐴，𝐵 两点，与 𝑦 轴交于点 𝐶，则 △𝐴𝐵𝐶 的面
积为________。
【答案】6
【详解】令y=0,
1
,3
0
)1
)(
3
(
0
3
2
2
1
2
−
=
=
=
+
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
令x=0 则y=-3,
6
3
1
3
2
1
=
+
=
）
（
ABC
S
三、解答题
15. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3。
(1) 用配方法将其化为 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘 的形式；
(2) 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3) 当 −1 ≤𝑥≤3 时，求函数的最大值和最小值。
【答案】(1) y = (x −2)2 −1。(2) 开口向上，x = 2，(2, −1)。（3）最大值 8，最小值 −1。
【详解】
1
)
2
(
3
4
4
4
3
4
2
2
2
−
−
=
+
−
+
−
=
+
−
=
x
x
x
x
x
y
（2）a=1＞0，所以开口向上，对称轴x=2， 顶点坐标（2，-1）
（3）当x=-1 时，最大值为8； 当x=2 时，最小值为-1.
15 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
16. 已知抛物线的顶点坐标为 (1, −2)，且经过点 (2,1)。
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 求该抛物线与 𝑥 轴的交点坐标。
【答案】y = 3(x −1)2 −2。
【详解】(1) 设y = a(x −1)2 −2，代入 (2,1)：a = 3，y = 3(x −1)2 −2。
（2）3(x −1)2 = 2，(x −1)2 =
2
3，x = 1 ± √6
3 。
该抛物线与 x 轴的交点坐标
）
，
），（
，
（
0
3
6
-
1
0
3
6
1+
17. 如图，抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 与 𝑥 轴交于 𝐴，𝐵 两点（点 𝐴 在点 𝐵 的左侧），与 𝑦 轴交于点 𝐶。
(1) 求 𝐴，𝐵，𝐶 三点的坐标；
(2) 求 △𝐴𝐵𝐶 的面积。
【答案】（1）A(−1,0)，B(3,0)，C(0, −3)。（2）S = 6。
【详解】(1) 令y=0，x2 −2x −3 = 0，
3
1
0
)
3
)(
1
=
−
=
=
−
+
x
x
x
x
或
（
所以A(−1,0)，B(3,0)，
令x=0 则y=-3
C(0, −3)。
（2）AB = 4，C 到 x 轴距离 3，
6
3
4
2
1
=
=
ABC
S
18. 某跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点 𝑂 的一条
抛物线。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 10
2
3 m，入水处距池边的距
离为 4 m。同时，运动员在距水面高度为5m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就
会出现失误。
(1) 求这条抛物线的解析式；
(2) 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，
距池边的水平距离为 3
3
5 m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。
16 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）y = −
25
6 x2 +
10
3 x （2）会出现失误。
【详解】（1）求抛物线的解析式
以跳台边缘 O 为原点，建立如图所示的直角坐标系：x 轴水平向右（指向池内），y 轴竖直向上。
由题意可知：
跳台距水面 10m，即水面所在直线为 y = −10；
运动员在空中的最高处距水面 10
2
3 m，即最高点距跳台的高度为 10
2
3 −10 =
2
3 m，即顶点纵坐标为 2
3；
抛物线经过原点 O(0,0)；
池边在 O 点左侧水平距离 2m 处，入水处距池边 4m，故入水点的横坐标为 −2 + 4 = 2，即入水点 B
的坐标为 (2, −10)。
因为抛物线经过原点，所以设抛物线解析式为：
y = ax2 + bx (a ≠0)
条件一： 顶点纵坐标为 2
3。
由顶点公式，y
顶点= −
b2
4a =
2
3，得：
b2 = −8a
3 ⋯⋯①
条件二： 抛物线过点 B(2, −10)。
将 x = 2，y = −10 代入 y = ax2 + bx：
4a + 2b = −10
化简得：
2a + b = −5 ⋯⋯②
由 ② 得：b = −5 −2a
代入 ①：
(−5 −2a)2 = −8a
3
25 + 20a + 4a2 = −8a
3
两边同乘 3，去分母：
75 + 60a + 12a2 = −8a
17 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
12a2 + 68a + 75 = 0
用求根公式：
a = −68 ± √682 −4 × 12 × 75
2 × 12
= −68 ± √4624 −3600
24
= −68 ± √1024
24
= −68 ± 32
24
a1 = −68 + 32
24
= −36
24 = −3
2
a2 = −68 −32
24
= −100
24
= −25
6
当 a = −
3
2 时，b = −5 −2 × (−
3
2) = −5 + 3 = −2
此时顶点横坐标 x = −
b
2a = −
−2
2×(−3
2) = −
2
3 < 0
顶点在 O 点左侧，抛物线对称轴在 y 轴左侧，b < 0 不符合抛物线向右延伸的实际方向，舍去。
当 a = −
25
6 时，b = −5 −2 × (−
25
6 ) = −5 +
25
3 =
−15+25
3
=
10
3
此时顶点横坐标 x = −
10
3
2×(−25
6 ) = −
10
3
−25
3
=
10
25 =
2
5 > 0，符合实际。
y = −25
6 x2 + 10
3 x
（2）判断是否会失误
运动员距池边的水平距离为 3
3
5 m，池边在 x = −2 处，故运动员的横坐标为：
x = −2 + 3 3
5 = −2 + 18
5 = −10
5 + 18
5 = 8
5
将 x =
8
5 代入抛物线解析式：
y = −25
6 × (8
5)
2
+ 10
3 × 8
5
= −25
6 × 64
25 + 80
15
= −64
6 + 16
3
= −32
3 + 16
3
= −16
3
此时运动员距水面的高度为：
10 −|−16
3 | = 10 −16
3 = 30
3 −16
3 = 14
3 ≈4.67m
因为 14
3 m < 5m，即运动员调整好入水姿势时，距水面高度不足 5m，尚未在 5m 高度以上完成规定动
作。
此次跳水会出现失误。
18 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
19.【易错题】已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −2𝑚𝑥+ 𝑚2 −1。
(1) 求证：无论 𝑚 取何值，该抛物线与 𝑥 轴总有两个交点；
(2) 若该抛物线与 𝑥 轴的两个交点之间的距离为 4，求 𝑚 的值。
【答案】（2）m = 2 或 m = −2
【详解】（1）证明抛物线与 x 轴总有两个交点
令 y = 0，得 x2 −2mx + m2 −1 = 0
计算判别式：
Δ = (−2m)2 −4 × 1 × (m2 −1)
= 4m2 −4m2 + 4
= 4
因为 Δ = 4 > 0，且 Δ 的值与 m 无关，恒为正数，
所以无论 m 取何值，方程 x2 −2mx + m2 −1 = 0 总有两个不相等的实数根，
即该抛物线与 x 轴总有两个交点。
（2）求 m 的值
由求根公式，方程 x2 −2mx + m2 −1 = 0 的两根为：
x = 2m ± √4
2
= 2m ± 2
2
= m ± 1
即 x1 = m + 1，x2 = m −1
两个交点分别为 (m + 1, 0) 和 (m −1, 0)，它们之间的距离为：
|x1 −x2| = |(m + 1) −(m −1)| = |2| = 2
20. 某商店将进货价为每件 40 元的商品按每件 50 元售出时，每天可售出 200 件。已知这种商品每涨价
1 元，每天的销售量就减少 10 件。问：将售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】售价定为每件 55 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 2250 元。
【详解】设每件商品涨价 x 元（x ≥0），则：
每件售价为 (50 + x) 元；
每件利润为 (50 + x −40) = (10 + x) 元；
每天销售量为 (200 −10x) 件。
设每天获得的总利润为 W 元，则：
W = (10 + x)(200 −10x)
展开：
19 / 19
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
W = 2000 −100x + 200x −10x2
W = −10x2 + 100x + 2000
提取公因数并配方：
W = −10(x2 −10x) + 2000
W = −10(x2 −10x + 25 −25) + 2000
W = −10(x −5)2 + 10 × 25 + 2000
W = −10(x −5)2 + 250 + 2000
W = −10(x −5)2 + 2250
因为 −10 < 0，所以当 x = 5 时，W 取最大值，最大值为 2250。
此时售价为：50 + 5 = 55（元）。
故售价定为每件 55 元时，每天获得的利润最大，最大利润为 2250 元。
