1 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
第二十七章反比例函数全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 反比例函数得概念与定义
题型2 求反比例函数解析式
题型3 图象所在象限与增减性
题型4 图象上点得坐标关系
题型5 系数k 得几何意义
题型6 反比例函数与一次函数图象共存判断
核心提升：重难题型归纳
题型1 反比例函数与一次函数交点问题
题型2 交点与三角形面积综合
题型3 反比例函数的实际应用
题型专练：高频重难特训
◆题型1 反比例函数的概念与定义
1.已知函数y = (m −
2) xm2 −1（m 为常数）。
（1）若该函数是反比例函数，则m =________；
（2）若该函数是正比例函数，则m =________。
【详解】（1）m2 −1 =−1 且m −
2 ≠0
m2 = 0
且m ≠
2
m = 0
综上
m = 0
（2）m2 −1 = 1
且m −
2 ≠0
m2 = 2
且m ≠
2
m =±
2
综上
m =−
2
2 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）
A. y =−x
B. y =
2
x
C. y = 1 −
1
x
D. y = x2 −2x + 1
【详解】A 选项：y =−x - 这是y = kx 的形式（k =−1），是正比例函数，不是反比例函数
B 选项：y =
2
x - 这是y =
k
x 的形式（k = 2），符合反比例函数定义✓
C 选项：y = 1 −
1
x - 化简：y =
x−1
x
- 这不是y =
k
x 的形式，不是反比例函数
D 选项：y = x2 −2x + 1 - 化简：y = (x −1)2 - 这是二次函数，不是反比例函数
∴选B
◆题型2 求反比例函数解析式
3. 已知反比例函数y =
k
x 的图象经过点(3, −2)。
（1）求k 的值；
（2）写出y 关于x 的函数解析式；
（3）当x =−6 时，求y 的值。
【详解】（1）将点(3, −2) 代入y =
k
x：
−2 = k
3
k =−2 × 3
k =−6
∴k =−6
（2）将k =−6 代入y =
k
x：
∴y =−
6
x
（3）将x =−6 代入y =−
6
x：
y =−6
−6
y = 1
∴当x =−6 时，y = 1
4. 已知y 是x 的反比例函数，当x = 2 时，y = 8。
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）当x = 4 时，求y 的值。
【详解】（1）设反比例函数为y =
k
x（k ≠0）
将x = 2，y = 8 代入：
8 = k
2
3 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
k = 8 × 2
k = 16
将k = 16 代入：
∴y =
16
x
（2）将x = 4 代入y =
16
x ：
y = 16
4
y = 4
∴当x = 4 时，y = 4
◆题型3 图象所在象限与增减性
5. 反比例函数y =
6
x 的图象在第________象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而________。
【详解】对于反比例函数y =
k
x：
当k > 0 时，图象在第一、三象限；当k < 0 时，图象在第二、四
象限
本题中k = 6 > 0，所以图象在第一、三象限。
判断增减性：- 在第一象限内（x > 0，y > 0）：当x 增大时，
6
x 减小，所以y 随x 的增大而减小- 在
第三象限内（x < 0，y < 0）：当x 增大（从负值趋向0）时，y 也减小
∴图象在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小
6. 函数y =
k−2
x
的图象在第一、三象限内，则k 的取值范围是________。
【详解】图象在第一、三象限，说明k −2 > 0。
解不等式：
k −2 > 0
k > 2
∴k > 2
◆题型4 图象上点的坐标关系
7. 【易错题】若点A(1, y1)，B(2, y2) 都在反比例函数y =−
3
x 的图象上，则y1 与y2 的大小关系是（）
A. y1 > y2
B. y1 < y2
C. y1 = y2
D. 无法确定
【详解】将A(1,y1) 代入y =−
3
x：
y1 =−3
1 =−3
将B(2,y2) 代入y =−
3
x：
y2 =−3
2 =−1.5
4 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
比较大小：
−3 <−1.5
y1 < y2
∴选B
8. 已知反比例函数y =
k
x（k < 0）的图象上有两点(x1, y1)，(x2, y2)，当x1 < x2 < 0 时，y1 与y2 的大小
关系为（）
A. y1 > y2
B. y1 < y2
C. y1 = y2
D. 无法确定
【详解】已知k < 0，图象在第二、四象限。
已知x1 < x2 < 0，说明两点都在第二象限（x < 0）。
在第二象限内，对于反比例函数y =
k
x（k < 0）：- 当x < 0 时，y > 0 - 当x 增大时，
k
x 增大（因为k < 0，
x 增大时
k
x 从负值趋向0，即增大）
所以y 随x 的增大而增大。
因为x1 < x2，所以y1 < y2。
∴选B
◆题型5 系数k 的几何意义
9. 如图，点P 是反比例函数y =
k
x 图象上的一点，PA ⊥x 轴于点A，PB ⊥y 轴于点B，若矩形OAPB
的面积为6，则k 的值为________。
【详解】设点P 的坐标为(a,b)。
因为P 在y =
k
x 上，所以b =
k
a，即ab = k。
由题意，PA ⊥x 轴于A，PB ⊥y 轴于B。- 点A 的坐标为(a,0) - 点B 的坐标为(0,b)
矩形OAPB 的面积：
S = |OA| × |OB| = |a| × |b| = |ab|
因为ab = k，所以：
S = |k|
已知矩形面积为6：
5 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
|k| = 6
k = 6 或k =−6
由图可知，点P 在第一象限（a > 0，b > 0），所以k = ab > 0。
∴k = 6
10. 【易错题】如图，点A 在双曲线y =
k
x 上，AB ⊥x 轴于点B，且△AOB 的面积是2，则k 的值
是________。
【详解】设点A 的坐标为(a,b)。
因为A 在y =
k
x 上，所以b =
k
a，即ab = k。
由题意，AB ⊥x 轴于B，所以点B 的坐标为(a,0)。
△AOB 的面积：
S△AOB = 1
2 × |OB| × |AB| = 1
2 × |a| × |b| = 1
2 |ab|
因为ab = k，所以：
S△AOB = 1
2 |k|
已知△AOB 的面积为2：
1
2 |k| = 2
|k| = 4
k = 4 或k =−4
由图可知，点A 在第二象限（a < 0，b > 0），所以k = ab < 0。
∴k =−4
◆题型6 反比例函数与一次函数图象共存判断
11. 【易错题】函数y =
k
x 与y =−kx + k（k ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）
6 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】情况1：k > 0 - 反比例函数y =
k
x（k > 0）：图象在第一、三象限- 一次函数y =−kx + k：- 斜
率−k < 0，图象从左上到右下- y 截距k > 0，与y 轴交于正半轴- 图象过第一、二、四象限
两个图象的组合：反比例在第一、三象限，一次函数过一、二、四象限。
情况2：k < 0 - 反比例函数y =
k
x（k < 0）：图象在第二、四象限- 一次函数y =−kx + k：- 斜率−k > 0，
图象从左下到右上- y 截距k < 0，与y 轴交于负半轴- 图象过第一、三、四象限
两个图象的组合：反比例在第二、四象限，一次函数过一、三、四象限。
故选A
12. 【中考链接题】已知反比例函数y =
k
x（k ≠0），当x > 0 时，y 随x 的增大而增大，则一次函数y =
kx −k 的图象大致是（）
【详解】第一步：确定k 的符号
已知“当x > 0 时，y 随x 的增大而增大”。
对于反比例函数y =
k
x：- 当k > 0 时，在第一象限内（x > 0），y 随x 的增大而减小- 当k < 0 时，
在第四象限内（x > 0），y 随x 的增大而增大
由题意，x > 0 时y 随x 的增大而增大，所以k < 0。
第二步：分析一次函数y = kx −k 的图象
已知k < 0：- 斜率k < 0：图象从左上到右下- y 截距−k：因为k < 0，所以−k > 0，图象与y 轴
交于正半轴
图象特征：过第一、二、四象限，从左上到右下，与y 轴交于正半轴。
故选C
7 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
◆题型1 反比例函数与一次函数交点问题
1．如图，直线y = kx + b 与双曲线y =
m
x（x < 0）相交于A( −3, 1)，B 两点，与x 轴相交于点C( −4, 0)。
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求点B 的坐标。
【详解】（1）求反比例函数解析式：
将A( −3,1) 代入y =
m
x：
1 = m
−3
m = 1 × ( −3)
m =−3
∴反比例函数为y =−
3
x
求一次函数解析式：
直线y = kx + b 经过A( −3,1) 和C( −4,0)，代入得方程组：
1 =−3k + b ⋯①
0 =−4k + b ⋯②
①−②得：
1 −0 =−3k −( −4k)
1 =−3k + 4k
1 = k
k = 1
将k = 1 代入②：
0 =−4 × 1 + b
0 =−4 + b
b = 4
∴一次函数为y = x + 4
（2）联立一次函数和反比例函数的方程组：
8 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
y = x + 4
y =−3
x
将①代入②：
x + 4 =−3
x
两边同乘x（x ≠0）：
x(x + 4) =−3
x2 + 4x =−3
x2 + 4x + 3 = 0
因式分解：
(x + 1)(x + 3) = 0
解得：
x =−1 或x =−3
当x =−3 时，y =−3 + 4 = 1，即点A( −3,1)
当x =−1 时，y =−1 + 4 = 3，即点B
∴点B 的坐标为( −1,3)
◆题型2 交点与三角形面积综合
2．【中考链接题】如图，直线y = kx + b 与双曲线y =
m
x（x < 0）相交于A( −3, 1)，B 两点，与x 轴
相交于点C( −4, 0)。
（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB 的面积；
（3）直接写出当x < 0 时，关于x 的不等式kx + b <
m
x 的解集。
【详解】（1）同第1 题（1），已求得：- 反比例函数：y =−
3
x - 一次函数：y = x + 4 - 点B( −1,3)
（2）已知A( −3,1)，B( −1,3)，C( −4,0)，O(0,0)
方法：用S△AOB = S△AOC + S△BOC
计算S△AOC：- 底边OC 在x 轴上，|OC| = | −4 −0| = 4 - 高为点A 的纵坐标的绝对值|yA| = |1| = 1
9 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
S△AOC = 1
2 × |OC| × |yA| = 1
2 × 4 × 1 = 2
计算S△BOC：- 底边OC 在x 轴上，|OC| = 4 - 高为点B 的纵坐标的绝对值|yB| = |3| = 3
S△BOC = 1
2 × |OC| × |yB| = 1
2 × 4 × 3 = 6
计算S△AOB：
S△AOB = S△AOC + S△BOC = 2 + 6 = 8
∴△AOB 的面积为8
（3）求x + 4 <−
3
x（x < 0）的解集。
这等价于求一次函数图象在反比例函数图象下方的部分对应的x 的范围。
由图象可知：- 当x <−3 时，一次函数图象在反比例函数图象上方- 当−3 < x <−1 时，一次函数图
象在反比例函数图象下方- 当−1 < x < 0 时，一次函数图象在反比例函数图象上方
∴不等式的解集为−3 < x <−1
◆题型3 反比例函数的实际应用
3．近视眼镜镜片的度数y（单位：度）是关于镜片焦距x（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示。
（1）求近视眼镜镜片的度数y 关于镜片焦距x 的函数解析式；
(2)若某近视眼镜的镜片为500 度，求其焦距。
【详解】（1）设反比例函数为y =
k
x
由图象可知，图象经过点(0.25,400)，即当x = 0.25 时，y = 400。
代入y =
k
x：
400 =
k
0.25
k = 400 × 0.25
k = 100
将k = 100 代入：
∴y =
100
x
（2）将y = 500 代入y =
100
x ：
10 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
500 = 100
x
x = 100
500
x = 0.2
∴焦距为0.2 米。
4. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防"蚊虫叮咬"，对教室进行"薰药消毒"。已知药物在燃烧释放过程
中，室内空气中每立方米含药量y(mg)与燃烧时间x(min)之间的关系如图所示。根据图象所示信息，解答下
列问题：
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围。
(2) 据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg 时，对人体无毒害作用。从消毒开始，至少在多少
分钟内，师生不能待在教室？
【详解】（1）由图象可知，图象分两段：- 第一段（0 ≤x ≤12）：正比例函数，从O(0,0) 到A(12,12) -
第二段（x > 12）：反比例函数，从A(12,12) 开始
求第一段（0 ≤x ≤12）的解析式：
设正比例函数为y = k1x
将A(12,12) 代入：
12 = k1 × 12
k1 = 1
∴第一段为y = x（0 ≤x ≤12）
求第二段（x > 12）的解析式：
设反比例函数为y =
k2
x
将A(12,12) 代入：
12 = k2
12
k2 = 12 × 12
k2 = 144
∴第二段为y =
144
x （x > 12）
11 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
综上所述：
y =
x
(0 ≤x ≤12)
144
x
(x > 12)
（2）需要求y ≥3 的时间段。
第一段（0 ≤x ≤12）：y = x
解不等式x ≥3：
x ≥3
所以在3 ≤x ≤12 时，y ≥3
第二段（x > 12）：y =
144
x
解不等式
144
x ≥3：
144 ≥3x
x ≤48
所以在12 < x ≤48 时，y ≥3
综合两段：
当3 ≤x ≤48 时，y ≥3
不能待在教室的时间：
48 −3 = 45（分钟）
∴至少在45 分钟内，师生不能待在教室
一、选择题
1．1.下列函数中，是反比例函数的是（）
A. y = 2x
B. y =
3
x
C. y =
1
x+1
D. y = x2
【答案】B
【详解】反比例函数的标准形式为y =
k
x（k ≠0）。
A：y = 2x 是正比例函数
B：y =
3
x 符合反比例函数定义✓
C：y =
1
x+1 不是y =
k
x 的形式
D：y = x2 是二次函数
∴选B
12 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2. 反比例函数y =−
2
x 的图象位于（）
A. 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第二、三象限
D. 第二、四象限
【答案】D
【详解】k =−2 < 0，所以图象在第二、四象限。
∴选D
3. 【易错题】已知点A( −1, y1)，B(2, y2)，C(3, y3) 都在反比例函数y =
6
x 的图象上，则y1，y2，y3 的大
小关系是（）
A. y1 < y2 < y3
B. y1 < y3 < y2
C. y3 < y2 < y1
D. y2 < y3 < y1
【答案】B
【详解】分别代入求值：
y1 = 6
−1 =−6
y2 = 6
2 = 3
y3 = 6
3 = 2
比较大小：
−6 < 2 < 3
y1 < y3 < y2
∴选B
4. 已知反比例函数y =
k
x，当x > 0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（）
A. k > 0
B. k < 0
C. k ≥0
D. k ≤0
【答案】B
【详解】当x > 0 时，y 随x 的增大而增大，说明在第四象限内y 随x 的增大而增大。
对于反比例函数，当k < 0 时，在第四象限内y 随x 的增大而增大。
∴选B
5. 若点(a, b) 在反比例函数y =
2
x 的图象上，则下列各点中也在该图象上的是（）
A. ( −a, b)
B. (a, −b)
C. ( −a, −b)
D. (b, −a)
【答案】C
【详解】(a,b) 在y =
2
x 上，所以b =
2
a，即ab = 2。
检验各选项，需要满足横纵坐标之积等于2：
A：( −a) × b =−ab =−2 ≠2，不在图象上
13 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
B：a × ( −b) =−ab =−2 ≠2，不在图象上
C：( −a) × ( −b) = ab = 2，在图象上✓
D：b × ( −a) =−ab =−2 ≠2，不在图象上
∴选C
6. 如图，点A 在反比例函数y =
k
x（x > 0）的图象上，AB ⊥x 轴于点B，若△AOB 的面积为4，则k
的值为（）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】C
【详解】△AOB 的面积=
1
2 |k|
已知面积为4：
1
2 |k| = 4
|k| = 8
由图可知点A 在第一象限，所以k > 0。
∴k = 8，选C
二、填空题
7. 已知反比例函数y =
k
x 的图象经过点(3, −2)，则k =________。
【答案】k =−6
【详解】将(3, −2) 代入y =
k
x：
−2 = k
3
k =−2 × 3 =−6
∴k =−6
8.反比例函数y =
m−1
x
的图象在第二、四象限内，则m 的取值范围是________。
【答案】m < 1
14 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】图象在第二、四象限，说明m −1 < 0。
解不等式：
m −1 < 0
m < 1
∴m < 1
9.已知y 与x + 2 成反比例，且当x = 2 时，y = 3，则y 关于x 的函数解析式为________。
【答案】y =
12
x+2
【详解】设y =
k
x+2
将x = 2，y = 3 代入：
3 =
k
2 + 2
3 = k
4
k = 3 × 4 = 12
∴y =
12
x+2
10. 一次函数y = 2x −4 与反比例函数y =
6
x 的图象交于A，B 两点，则A，B 两点的坐标分别为________。
【答案】A(3,2)，B( −1, −6)或A( −1, −6)，B(3,2)
【详解】联立方程组：
y = 2x −4
y = 6
x
将①代入②：
2x −4 = 6
x
两边同乘x：
x(2x −4) = 6
2x2 −4x = 6
2x2 −4x −6 = 0
x2 −2x −3 = 0
因式分解：
(x −3)(x + 1) = 0
解得：x = 3 或x =−1
当x = 3 时，y = 2(3) −4 = 2
15 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
当x =−1 时，y = 2( −1) −4 =−6
∴A(3,2)，B( −1, −6)（或A( −1, −6)，B(3,2)）
三、解答题
11. 已知y 与x2 成反比例，且当x = 3 时，y = 4。
(1)写出y 关于x 的函数解析式；
(2)当x = 1.5 时，求y 的值。
【答案】（1）y =
36
x2
（2）y = 16
【详解】（1）设y =
k
x2
将x = 3，y = 4 代入：
4 = k
32
4 = k
9
k = 4 × 9 = 36
∴y =
36
x2
（2）将x = 1.5 代入y =
36
x2：
y =
36
(1.5)2
y = 36
2.25
y = 16
∴当x = 1.5 时，y = 16
12. 某蓄水池的排水管的排水速度v（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）成反比例，且当t = 8 时，
v = 5。
(1)写出v 关于t 的函数解析式；
(2)若要5h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
(3)如果每小时排水量不超过10m3，那么水池中的水至少要多少小时才能排完？
【答案】（1）v =
40
t
（2）每小时排水量为8m3
（3）至少需要4 小时
【详解】（1）设v =
k
t
16 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
将t = 8，v = 5 代入：
5 = k
8
k = 5 × 8 = 40
∴v =
40
t
（2）将t = 5 代入v =
40
t ：
v = 40
5 = 8
∴每小时的排水量为8m3
（3）v ≤10，即：
40
t ≤10
解不等式：
40 ≤10t
t ≥4
∴至少需要4 小时
13.如图，一次函数y = kx + b 的图象与反比例函数y =
m
x 的图象交于A( −2, 3)，B(n, −2) 两点。
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB 的面积；
(3)根据图象直接写出不等式kx + b >
m
x 的解集。
【答案】（1）反比例函数：y =−
6
x；一次函数：y =−x + 1
（2）S△AOB = 2.5
（3）x <−2 或0 < x < 3
17 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）将A( −2,3) 代入y =
m
x：
3 = m
−2
m = 3 × ( −2) =−6
∴反比例函数为y =−
6
x
求n 的值：
将B(n, −2) 代入y =−
6
x：
−2 =−6
n
n =−6
−2
n = 3
所以B(3, −2)
将A( −2,3)，B(3, −2) 代入y = kx + b：
3 =−2k + b ⋯①
−2 = 3k + b ⋯②
①−②得：
3 −( −2) =−2k −3k
5 =−5k
k =−1
将k =−1 代入①：
3 =−2 × ( −1) + b
3 = 2 + b
b = 1
∴一次函数为y =−x + 1
（2）已知A( −2,3)，B(3, −2)，O(0,0)
一次函数y =−x + 1 与y 轴交于点C(0,1)
用S△AOB = S△AOC + S△BOC 计算：
计算S△AOC：- 底边OC 在y 轴上，|OC| = |1| = 1 - 高为点A 的横坐标的绝对值|xA| = | −2| = 2
S△AOC = 1
2 × |OC| × |xA| = 1
2 × 1 × 2 = 1
计算S△BOC：- 底边OC 在y 轴上，|OC| = 1 - 高为点B 的横坐标的绝对值|xB| = |3| = 3
S△BOC = 1
2 × |OC| × |xB| = 1
2 × 1 × 3 = 1.5
计算S△AOB：
S△AOB = S△AOC + S△BOC = 1 + 1.5 = 2.5
∴△AOB 的面积为2.5
18 / 18
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
（3)求−x + 1 >−
6
x 的解集。
从图象可知，一次函数在反比例函数上方的部分为：- 当x <−2 时- 当0 < x < 3 时
∴不等式的解集为x <−2 或0 < x < 3
