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第21 讲 向量的转换与计算
参考答案与试题解析
一．选择题（共1 小题）
1．
是抛物线
的焦点，过
作两条斜率都存在且互相垂直的直线
，
，
交
抛物线
于点
，
，
交抛物线
于点
，
，则
的最小值是
A．8
B．
C．16
D．
【解答】解：抛物线
的焦点
，设
的方程：
，
的方程
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由
，消去
得：
，
，
．
由
，消去
得：
，
，
，
（9 分）
，
．
当且仅当
，即
时，
有最小值16，
（12 分）
故选：
．
二．解答题（共14 小题）
2．已知抛物线
的准线为，焦点为
，
的同心在
轴的正半轴上，
且与
轴相切，过原点作倾斜角为
的直线
，交于点
，交
于另一点
，且
．
（Ⅰ）求
和抛物线
的方程；
（Ⅱ）过点
作两条斜率存在且互相垂直的相交线
、
，设
与抛物线
相交于点
、
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，
与抛物线
相交于点
、
，求
的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）准线交
轴于
，在
中，
，
，
，
抛物线方程是
，
在
中，
，
，
，
的方程是
．
（Ⅱ）由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设为
，
由
，得：
，
设
，
，
，
，则
，
是上述方程的两个实根，
，
，
，
的斜率为
，
设
，
，
，
，则同理得
，
，
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．
当且仅当
时，即
时，
取最小值16．
3．已知抛物线
过点
．
（1）求抛物线
的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于
为坐标原点）的直线，使得直线
与的距离等于
？若
存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线
的焦点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，设
与抛物线
相交
于点
，
，
与抛物线
相交于点
，
，求
的最小值．
【解答】解：（1）将
代入
，得
，解得
．
故所求抛物线
的方程为
，其准线方程为
．
（2）假设存在符合题意的直线，其方程为
，
由
得
．
直线与抛物线
有公共点，
△
，解得
，
由直线
与的距离
，可得
，解得
．
，
，
符合题意的直线存在，其方程为
．
（3）由题意可知：设
，
，
，
，
设直线
的斜率为
，则
的方程为
，联立
，得
，
，
．
，
直线
的斜率为
，方程为
，设
，
，
，
．
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联立
，化为
，
，
．
，当且仅当
时取等号．
当
时，
的最小值为16．
4．已知点
在抛物线
上，点
到抛物线
的焦点
的距离为2，
过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
、
，设
与抛物线相交于点
、
，
与抛
物线相交于点
、
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）求
的最小值．
【解答】解：（1）
点
在抛物线
上，点
到抛物线
的焦
点
的距离为2，
，
抛物线
的方程为
；
（2）设
，
，
，
，
，
，
，
由题意知，直线
的斜率存在且不为零，设为
，则
的方程为
．
由
，得
．
，
．
，
直线
的斜率为
，同理可得
，
．
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，
当且仅当
，即
时，
的最小值为16．
5．如图，已知直线与抛物线
交于
，
两点，点
的坐标为
，
交
于点
，
，抛物线的焦点为
．
（1）求
的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线
，过点
作两条斜率存在且互相
垂直的直线
，
，设
与曲线
相交于点
，
，
与曲线
相交于点
，
，求
的最小值．
【解答】解：（1）设
，
，
，
，由
，得
由已知得直线
的方程是
即
，
则有
，即
①
由
与
消去
，得
②
所以
③
把③代入①得
，解得
当
时方程②成为
，显然此方程有实数根
所以
；
（2）由（1）知抛物线方程为
由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设为
，则
的方程为
．
得
．
设
，
，
，
，则
，
是上述方程的两个实根，于是
，
，
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则
，
，
，
，
的斜率为
．
设
，
，
，
，则同理可得
，
，
，
．
．
当且仅当
，即
时，取最小值16．
6．已知平面内一动点
到点
的距离与点
到
轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，设
与轨迹
相交于点
，
，
与轨迹
相交于点
，
，求
的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设动点
的坐标为
，由题意得
，
化简得
．
当
时，
；当
时，
，
所以动点
的轨迹
的方程为
和
．
（Ⅱ）由题意知，直线
的斜率存在且不为零，设为
，则
的方程为
．
由
，得
．
设
，
的坐标分别为
，
，
，
，则
，
．
，
直线
的斜率为
．
设
，
，
，
，则同理可得
，
．
故
，
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当且仅当
，即
时，
的最小值为16．
7．已知椭圆
的方程为
，
为左焦点，点
在椭圆上．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，设
与椭圆
相交于点
，
．
与椭圆
相交于点
．
，求
的最小值．
【解答】解：（1）
椭圆
的左焦点
，右焦点
点
在椭圆上
，
椭圆
的方程
（2）设直线
的方程
由
可得
设
，
，
，
，则
，
，
直线
的方程
设
，
，
，
，则
，
，
，
，
，
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同理
当且仅当
即
时
取得最小值
8．设定点
，动圆
过点
且与直线
相切．
（1）求动圆圆心
的轨迹
的方程；
（2）过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，设
与轨迹
相交于点
，
，
与轨迹
相交于点
，
，求
的最小值．
【解答】解：（1）
定点
，动圆
过点
且与直线
相切，
依题意知，点
的轨迹
是以
为焦点，以直线经为准线的抛物线，
动圆圆心
的轨迹
的方程为
．
（2）由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设为
，
则
的方程为
．
由
，得
．
设
，
，
，
，则有
，
．
，
的斜率为
．
设
，
，
，
，则同理可得
，
．
故
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．
当且仅当
，即
时，
取得最小值16．
9．已知椭圆
的两个焦点是
和
，并且经过点
，抛物线的顶点
在
坐标原点，焦点恰好是椭圆
的右顶点
．
（Ⅰ）求椭圆
和抛物线
的标准方程；
（Ⅱ）过点
作两条斜率都存在且互相垂直的直线
、
，
交抛物线
于点
、
，
交抛物线
于点
、
，求
的最小值．
【解答】解：
设椭圆的标准方程为
，焦距为
，
则由题意得
，
，
，
，
椭圆
的标准方程为
．
（4 分）
右顶点
的坐标为
．
设抛物线
的标准方程为
，
，
抛物线
的标准方程为
．
（6 分）
（Ⅱ）设
的方程：
，
的方程
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由
消去
得：
，
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，
．
由
消去
得：
，
，
，
（9 分）
．
当且仅当
即
时，
有最小值16．
（13 分）
10．已知两点
及
，点
在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
是过原点的直线，是与
垂直相交于
点，与椭圆相交于
，
两点的直线，
，是否存在上述直线使
成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆
的方程为
，
、
、
构成等差数列，
可得
，即
，
又
，则
，
可得椭圆
的方程为
；
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（Ⅱ）设
，
两点的坐标分别为
，
，
，
，
假设存在直线使
成立，
（ⅰ） 当与
轴垂直时，满足
的直线的方程为
或
，
当
时，
，
，
的坐标分别为
，
，
．
，
当
时，同理可得
，
即此时的直线不存在；
（ⅱ） 当与
轴不垂直时，设的方程为
，
由与
垂直相交于
点且
，得
，
因为
，
，
，
可得
，
将
代入椭圆方程，得
，
由根与系数的关系得
，
，
，即为
，
即
，矛盾，故此时的直线也不存在．
综上可知，使
成立的直线不存在．
11．如图，已知点
和圆
，
是圆
的直径，从左到右
、
和
依次是
的四等分点，
（异于
，
是圆
上的动点，
，交
于
，
，直线
与
交于
，
为定值．
（1）求点
的轨迹曲线
的方程及
的值；
（2）设
是过原点的直线，直线与
垂直相交于
点，与轨迹
相交于
，
两点，
且
．是否存在直线，使
成立？若存在，求出直线的方程；若不存
在，请说明理由．
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【解答】解：（1）由题意，
，
，
，
设
，
，
，则
，
，
直线
与
交于
，故
，
①且
，②
①②相乘得
，
又点
是圆
上的动点，故
，（4 分）
要使
为定值，则
，解得
．
此时
．
即
时，点
的轨迹曲线
的方程为
．
（2）设
，
两点的坐标分别为
，
，
，
，假设使
成立的直线存
在，
（ⅰ）当不垂直于
轴时，设的方程为
，
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由与
垂直相交于
点且
．得
，即
，
．
即
，
将
代入椭圆方程，得
由求根公式可得
，④
⑤
，
将④，⑤代入上式并化简得
⑥
将
代入⑥并化简得
，矛盾，即此时直线不存在；
（ⅱ）当垂直于
轴时，满足
的直线的方程为
或
，
当
时，
，
，
的坐标分别为
，
，
，
，
，
当
时，同理可得
，矛盾，即此时直线也不存在
综上可知，使
成立的直线不存在．
12．椭圆的一个顶点为
，焦点在
轴上，若右焦点到直线
的距离为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
是过原点的直线，直线与
垂直相交于点
且与椭圆相交于
、
两点，
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，是否存在上述直线使
成立？若存在，求出直线的方程；若不存
在，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆方程为
，
则
，设右焦点
，
则
，解得
，
则
，
则椭圆的方程为
；
（2）设
，
两点的坐标分别为
，
，
，
．
假设使
成立的直线存在．
①当不垂直于
轴时，设的方程为
，
由与
垂直相交于
点且
．
得
，即
．①
，
．
，
即有
，
即
．
将
代入椭圆方程
，
得
．
与
有两个交点，
，
，
．②
．③
将②代入③得
．
化简，得
．④
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，
由①、④得，
不成立．
②当垂直于
轴时，
则
为
轴，
点坐标为
，
，
．
，
，
，不合题意．
综上，不存在上述直线使
成立．
13．如图，已知点
和圆
，
是圆
的直径，从左到右
和
依次
是
的四等分点，
（异于
、
是圆
上的动点，
，交
于
，
，
直线
与
交于
，
为定值．
（1）求
的值及点
的轨迹曲线
的方程；
（2）设
是过原点的直线，是与
垂直相交于
点、与轨迹
相交于
，
两点的直线，
，是否存在上述直线，使
成立？若存在，求出直线的方程；若不存
在，请说明理由．
【解答】解：（1 ）易得
，
，
，设
，
，
，则
，
直线
与
交于
，故
，
①且
，②．
①②相乘得
，
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又点
是圆
上的动点，故
即
，
要使
为定值，则
，解得
，
此时
即
时，点
的轨迹曲线
的方程为
（2）设
，
两点的坐标分别为
，
，
，
，假设使
成立的直线存
在，
（ⅰ）当不垂直于
轴时，设的方程为
，
由与
垂直相交于
点且
，得
，即
，
，
，
即
，
将
代入椭圆方程，得
由求根公式可得
，④
⑤
将④，⑤代入上式并化简得
⑥
将
代入⑥并化简得
，矛盾，即此时直线不存在，
（ⅱ）当垂直于
轴时，满足
的直线的方程为
或
，
当
时，
，
，
的坐标分别为
，
，
；
当
时，同理可得
，矛盾，即此时直线也不存在
综上可知，使
成立的直线不存在．
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14．已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
，
为顶点的三角形的周长为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设
是过原点的直线，是与
垂直相交于
点、与椭圆相交于
，
两点的直线，
，是否存在上述直线使
成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
，
由题意知
所以
，又
，因此
故椭圆的标准方程为
（6 分）
（Ⅱ）设
，
两点的坐标分别为
，
，
，
，
假设使
成立的直线存在，
（ⅰ）当不垂直于
轴时，设的方程为
，
由与
垂直相交于
点且
得
，即
，
，
，
即
将
代入椭圆方程，得
由求根公式可得
，
因此
将
代入上式并化简得
，
即此时直线不存在；（10 分）
（ⅱ）当垂直于
轴时，满足
的直线的方程为
或
，
当
时，
，
，
的坐标分别为
，
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，
当
时，同理可得
，矛盾，即此时直线不存在
综上可知，使
成立的直线不存在．（14 分）
15．如图，已知抛物线
，点
，
，
，
，抛物线上的点
，
，过点
作直线
的垂线，垂足为
．
（Ⅰ）求直线
斜率的取值范围；
（Ⅱ）求
的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知
，
，
所以
，
故直线
斜率的取值范围是：
；
（Ⅱ）由
知
，
，
所以
，
，
设直线
的斜率为
，则
，即
，
则
，
，
联立直线
、
方程可知
，
，
故
，
，
又因为
，
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故
，
所以
，
令
，
，
则
，
由于当
时
，当
时
，
故
，即
的最大值为
．
