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第18 讲 向量的数量积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共16 小题）
1．已知圆
交抛物线
的准线于
，
两点
点在上方）
且
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）过抛物线
的焦点
的直线与抛物线交于
，
两点，若
，求直线的斜
率．
【解答】解：（1）由题意可得
，解得
，
所以抛物线
的方程为
．
（2）由（1）可知焦点
的坐标为
，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，
所以
，
，
抛物线的准线方程为
，联立圆
的方程
，
所以
，
所以
，
，
所以
，
不满足
，
所以直线的斜率不存在不满足条件．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
由
，得
，
设
，
，
，
，
则
，
，
则
，
，
又
，
所以
，
，
，
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解得
，
所以直线的斜率为2．
2．已知抛物线
的焦点在
轴上，顶点在原点且过点
，过点
的直线交抛物线
于
，
两点，
是线段
的中点，过点
作
轴的垂线交
于点
．
（1）求抛物线
的方程；
（2）是否存在直线，使得以
为直径的圆
经过点
？若存在，求出直线的方程；
若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可设抛物线
的方程为
，而
在抛物线上，
，即
，
抛物线
的方程为：
．
（2）由题意可设
，代入
，得：
，
设
，
，
，
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
若以
为直径的圆
经过点
，则
，
，
，即
，
．
存在直线，的方程：
．
3．已知抛物线
过点
．
（1）求抛物线
的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于
为坐标原点）的直线，使得直线
与的距离等于
？若
存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线
的焦点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，设
与抛物线
相交
于点
，
，
与抛物线
相交于点
，
，求
的最小值．
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【解答】解：（1）将
代入
，得
，解得
．
故所求抛物线
的方程为
，其准线方程为
．
（2）假设存在符合题意的直线，其方程为
，
由
得
．
直线与抛物线
有公共点，
△
，解得
，
由直线
与的距离
，可得
，解得
．
，
，
符合题意的直线存在，其方程为
．
（3）由题意可知：设
，
，
，
，
设直线
的斜率为
，则
的方程为
，联立
，得
，
，
．
，
直线
的斜率为
，方程为
，设
，
，
，
．
联立
，化为
，
，
．
，当且仅当
时取等号．
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当
时，
的最小值为16．
4．已知
是抛物线
上一点，经过点
的直线与抛物线
交于
，
两点（不同于点
，直线
，
分别交直线
于点
，
（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；
（2）已知
为原点，求证：
为定值．
【解答】解：（1）将
代入
，得
，
抛物线方程为
，焦点坐标为
，
，准线方程
；．
（3 分）
（2）证明：设
，
，
，
，
，
，
，
，
因为直线不经过点
，则直线的斜率存在，
设直线方程为
，
与抛物线方程联立得到
，消去
，整理得：
，
则由韦达定理得：
，
，
（6 分）
直线
的方程为：
，
即
，
令
，得
，
（9 分）
同理可得：
，
（10 分）
又
，
，
则
，
（13 分）
，即
为定值
．
（14 分）．
方法二：证明：设
，
，
，
，
，
，
，
，
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设直线方程为
，
于抛物线方程联立得
，整理得：
，
则由韦达定理得：
，
，
（6 分）
直线
的方程为：
，
即
，
令
，得
，
（9 分）
同理可得：
，
（10 分）
又
，
，
则
，
（13 分）
，即
为定值
．
（14 分）
5．已知抛物线
的焦点为
，过点
作直线交抛物线
于
，
两
点．椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，点
是它的一个顶点，且其离心率
．
（1）分别求抛物线
和椭圆
的方程；
（2）经过
，
两点分别作抛物线
的切线
，
，切线
与
相交于点
．证明：
；
（3）椭圆
上是否存在一点
，经过点
作抛物线
的两条切线
，
，
为切点），使得直线
过点
？若存在，求出点
及两切线方程，若不存在，试说
明理由．
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【解答】解：（1）抛物线
的焦点为
，
可得
，解得
，
可得抛物线
的方程为
；
设椭圆
的方程为
，半焦距为
．
由已知可得：
，
，
，
解得
，
．
所以椭圆
的方程为
；
（2）证明：显然直线的斜率存在，
否则直线与抛物线
只有一个交点，不合题意，
故可设直线的方程为
，
设
，
，
，
，
代入抛物线方程
，消去
并整理得
，
．
抛物线
的方程为
，求导得
，
过抛物线
上
、
两点的切线方程分别是
，
，
即
，
，
解得两条切线
，
的交点
的坐标为
，
，即
，
，
，
，
，
．
（3）假设存在点
满足题意，由（2）知点
必在直线
上，
又直线
与椭圆
有唯一交点，故
的坐标为
，
设过点
且与抛物线
相切的切线方程为
，其中点
，
为切点．
令
，
，得
，解得
或
，
故不妨取
，
，即直线
过点
．
综上所述，椭圆
上存在一点
，
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经过点
作抛物线
的两条切线
、
、
为切点），能使直线
过点
．
此时，两切线的方程分别为
和
．
6．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆
上，
且满足
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设直线
与椭圆
交于不同的两点
，
，且
为坐标原点）．
证明：总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程．
【解答】解：（1）满足
，可得
的横坐标为
，纵坐标为
，
再由
，可得
，
，
解得
，
，
所以椭圆的方程为：
；
（2）证明：设
，
，
，
，
联立
，整理可得：
，
则
，
，
，
因为
，即
，
则
，
即
，
可得
，
原点
到直线的距离
为定值，
所以可证：存在一个确定的圆
与直线相切．
7．设
，
为双曲线
的左、右顶点，直线过右焦点
且与双
曲线
的右支交于
，
两点，当直线垂直于
轴时，
为等腰直角三角形．
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（1）求双曲线
的离心率；
（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点
点距离的最小值为3，
（ⅰ）求双曲线方程；
（ⅱ）已知直线
，
分别交直线
于
，
两点，当直线的倾斜角变化时，以
为直径的圆是否过
轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明
理由．
【解答】解：（1）由
轴时，
为等腰直角三角形，
可得
，
所以
，
即
，
故
，
因为
，
解得
，
故双曲线
的离心率为2；
（2）
由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点
的距离最小，
最小距离为
，
即
，
又
，
所以
，
，
所以
，
所以双曲线的方程为：
，
由题知直线的斜率不为0，
设直线
，
，
，
，
，
联立直线与双曲线的方程得
，化简得，
，
根据根与系数的关系得，
，
，①
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所以
，②
，③
设直线
，
直线
，
令
，可得
，
，
，
，
设
是以
为直径的圆上的任意一点，
则
，
则以
为直径的圆的方程为：
，
由对称性可得，若存在定点，则一定在
轴上，
令
，可得
，
即
，
将①②③代入，可得
，
即
，
解得
或2，
所以以
为直径的圆过定点
，
．
8．已知
，
是椭圆
的左、右焦点圆
与椭圆有且仅有两个公共点，点
在椭圆上．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设直线与椭圆
交于
，
两点，已知
，若
为定值，则直线是否
经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．
【解答】解：（1）因为圆
与椭圆
有且仅有两个公共点，
所以
，
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由题意，得
，解得
，
，
所以椭圆
的标准方程为
．
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
联立
，得
，
所以△
，
设
，
，
，
，由根与系数的关系可得，
，
，
而
，
，
，
，
所以
，
由
为定值，可得
，即
，
解得
或
（满足△
，
所以直线的方程为
或
，
所以直线过定点
或
，此时定值为
，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为
，
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不妨令
，
，
则
，
又
为定值，所以
，
直线的方程为
，
此时直线过点
，
，
，符合题意，
综上，若
为定值，则直线过定点
或
，且定值为
．
9．设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，双曲线
的左、右准
线与其一条渐近线
的交点分别为
，
，四边形
的面积为4．
（1）求双曲线
的方程；
（2）已知为圆
的切线，且与
相交于
，
两点，求
．
【解答】解：（1）设
，由直线
是双曲线
的一条渐近线，可得
①，
因为双曲线
的准线方程为
，
则
，可得
，所以
，
由双曲线的对称性，可得
，
结合四边形
的面积为4，可得
，解得
，
结合①，可得
，
所以双曲线
的方程为
；
（2）①当直线的斜率存在时，对于圆
，
不妨考虑
，
则由
，可得
，
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所以
，
所以
；
②当直线的斜率存在时，设
，
因为这些与
相交于
，
两点，所以
，
因为这些
与圆
相切，
所以
，即
，
设
，
，
，
，
联立方程组
，可得
，
结合
，可得△
，
则
，
所以
，
结合
，可得
．
综上所述，
．
10．已知椭圆
的离心率为
，以
的四个顶点为顶点的四边形的
面积为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
，
分别为椭圆
的左、右顶点，
是直线
上不同于点
的任意一点，
若直线
，
分别与椭圆相交于异于
，
的点
、
，试探究，点
是否在以
为直径的圆内？证明你的结论．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得
，
，又
，由此解得
，
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．
所以椭圆
的方程为
．
（Ⅱ）点
在以
为直径的圆内．证明如下：
方法1：由（Ⅰ）得
，
．设
，
．
点在椭圆上，
． ①
又点
异于顶点
、
，
．
由
、
、
三点共线可以得
．
从而
，
，
．
． ②
将①代入②，化简得
．
，
，于是
为锐角，从而
为钝角，
故点
在以
为直径的圆内．
方法2：由（Ⅰ）得
，
．设
，
，
，
，
则
，
，又
的中点
的坐标为
，
依题意，计算点
到圆心
的距离与半径的差
③
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
而两直线
与
的交点
在直线
上，
，即
④
又点
在椭圆上，则
，即
⑤
于是将④、⑤代入③，化简后可得
．
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11．已知椭圆
过点
，且离心率为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设直线
交椭圆
于
，
两点，判断点
与以线段
为直
径的圆的位置关系，并说明理由．
【解答】解法一：（1）由已知得
，解得
，
椭圆
的方程为
．
（2）设点
，
，
，
中点为
，
．
由
，化为
，
，
，
．
，
．
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，
故
．
，故
在以
为直径的圆外．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点
，
，
，则
，
．
由
，化为
，
，
，
从而
．
，又
，
不共线，
为锐角．
故点
在以
为直径的圆外．
12．已知圆
，经过椭圆
的右焦点
及上顶点
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，过圆外一点
，
倾斜角为
的直线交椭圆于
，
两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点
在以线段
为直径的圆
的内部，求
的取值范围．
【解答】解：（1）
圆
经过点
，
．
，
，
．
故椭圆的方程为
，
（4 分）
（2）设直线的方程为
．
由
消去
得
，
设
，
，
，
，则
，
（6 分）
．
，
，
，
，
（8 分）
（10 分）
点
在圆
的内部，
，即
，
解得
，
由△
，解得
．
又
，
，
（12 分）
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13．设
，
分别为椭圆
的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点
在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
为直线
上不同于点
的任意一点，若直线
与椭圆相交于异于
的
点
，证明：
为钝角三角形．
【解答】解：（Ⅰ）由题意：
，所以
，所求椭圆方程为
；
又点
在椭圆上，
，
；
故所求椭圆方程为：
．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
，
，设
，
，
，
则直线
的方程为：
，
；
由
得
；
因为直线
与椭圆相交于异于
的点
，所以
，所以
；
由
，得
，所以
；
从而
，
；所以
．
又
，
，
三点不共线，所以
为钝角；所以
为钝角三角形．
14．设
，
分别为椭圆
的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，
且
为它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
为右准线上不同于点
的任意一点，若直线
，
分别与椭圆相交于异
于
，
的点
、
，证明点
在以
为直径的圆内．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得
，
，
解得
，
，从而
．
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故椭圆的方程为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
．
设
，
．
点在椭圆上，
（1）
又点
异于顶点
、
，
，由
、
、
三点共线可以得
．
从而
，
，
．
．（2）
将（1）代入（2），化简得
．
，
，则
为锐角，从而
为钝角，
故点
在以
为直径的圆内．
15．设
，
分别为椭圆
的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且
直线
是它的右准线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
为椭圆右准线上不同于点
的任意一点，若直线
于椭圆相交于两点
，
，求证：
为锐角．
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【解答】解：（Ⅰ）依题意得
，解得
，
从而
．
故椭圆的方程为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
，设
，
，
点在椭圆上，
①
又
点异于顶点
、
，
，
由
、
、
三点共线可得
，
从而
，
．
②
．
，
，
于是
为锐角．
16．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为
，若△
的周长为6，且离心率
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
，
是椭圆
长轴的两个端点，点
是椭圆
上不同于
，
的任意一点，
直线
交直线
于点
，求证：以
为直径的圆过点
．
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【解答】（Ⅰ）解：设
、
，由已知可得
①，
②又
③，
由①②③可求得
，
，
所以椭圆
的方程为
；
（Ⅱ）证明：由题意知
，
．设
，
，
则直线
的方程为
，当
时，
，
所以
，
又点
，
在椭圆
上，
所以
，
因为
，
，
所以
，因此以
为直径的圆过点
．
