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第07 讲：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数
章节总结
第一部分：典型例题讲解
题型一：集合的表示
1．（2025 高三·全国·专题练习）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，例：
0.3333……就是一个无限循环小数，可记为
，同理：
……，若集合
，则A 中所有元素的和为（ ）
A．44
B．110
C．132
D．143
【答案】D
【知识点】无穷等比数列各项的和、列举法表示集合
【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集
合，求和可得所求．
【详解】因为
，
所以
，所以
，
所以n 可以为1，3，9，11，33，99，
所以
可以为
因为a 和b 是不同的数字，所以
可以为
，
此时
，所以A 中所有元素的和为
.
故选：D.
2．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知集合
，则A 子集的个数
为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】D
【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、列举法求集合中
元素的个数
【分析】结合题意 ，由集合
中元素的特性解出集合
，再求子集数即可；
【详解】由已知可得
，
所以
，所以
，
所以A 子集的个数为
个，
故选：D.
3．（多选）（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．由
所确定的实数集合为
B．同时满足
的整数解的集合为
C．集合
可以化简为
D．
中含有三个元素
【答案】BC
【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合
【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x 的取值范围，
用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由
，
，
，用列举法可判
定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D.
【详解】解：对于选项A，
当
都是正数时，原式
当
都是负数时，原式
当
两正一负时，原式
当
两负一正时，原式
故A 错误；
对于选项B，由
，得
，
所以符合条件的整数解的集合为
，故B 正确；
对于选项C，由
，
，
，
可以得到符合条件的数对有
，
，
，故C 正确；
对于选项D，当
时，
；当
时，
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
，
所以集合A 含有四个元素2，1，0，
，故D 错误.
故选：BC.
4．（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习）已知集合
，
，记非空集合S 中元素的个数为
，已知
，记
实数
的所有可能取值构成集合是T，则
.
【答案】
【知识点】描述法表示集合、集合新定义、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】先分析得
，进而得到
或
，再分类讨论
的取值情况，结合二次
方程的判别式得到关于
的方程或不等式，从而得解.
【详解】对于
，有
，
所以集合
中有两个元素，即
，
因为
，所以
或
，
对于
，易知
必是方程中的一解，
当
时，
，所以
有唯一解，且
无解，
则
，解得
；
当
时，若
有唯一解，由上述分析可知
无解，不满足题意；
若
有两解，则
有唯一解，
即
，解得
或
；
综上，实数
的所有可能取值为
，则
.
故答案为：.
5．（24-25 高三上·江西抚州·阶段练习）集合
中的所有元素中最大
的元素为 ，最小的元素为 .
【答案】 7
【知识点】描述法表示集合、利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式，结合不等式的性质即可求解.
【详解】由
知，
，当
，
时，得最大元素
，
又
，当
时，得最小元素
.
故答案为：7；
.
题型二：集合的基本关系
1．（2025·河南·二模）已知集合
，
，若
，则a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】先求解集合
，然后根据
列不等式组即可求解.
【详解】由题意可得
，又
，
，
所以
，解得
.
故选：B.
2．（2025 高三上·全国·专题练习）已知集合
，若
，则符合题意的一个集合C 为 （写出符合题意的一个集合即可，不
必写出所有集合）；集合
，若
，且
，则
．
【答案】
（答案不唯一，也可以是
）
【知识点】补集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、求集合的子集（真子集）
【详解】由已可得
．又
，所以C 是
中
的一个．显然1 是方程
与
的公共解，且
，则
解得
所以
．
3．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）设集合
，
，则满足
且
的集合有 个
【答案】12
【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】由集合的包含关系及交集运算即可求解.
【详解】因为
且
，
，
．
中一定含有4 或5 或4、5．当
中含有一个元素时，
或
，共2 个；
当中含有两个元素时，
，
，
，
，
，共5 个；
当中含有三个元素时，
，
，
，
，共4 个；
当中含有四个元素时，
，共1 个．
所以满足条件的集合有
个．
故答案为：12
4．（24-25 高三上·四川巴中·阶段练习）设
，关于
的不等式
的
解集为
．
(1)求
；
(2)设集合
，若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）解二次不等式，由
取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集；
（2）由
先求
，再利用
，建立不等式，即可求实数
的取值范围．
【详解】（1）不等式
，即
.
因为
，所以
，
所以由
，可得
，
即
.
（2）
，
由（1）得
或
，
要使
，则需
，
又
，
解得
，
所以
的取值范围为
.
题型三：集合的基本运算
1．（多选）（2025 高二·全国·专题练习）（多选）设
、
、
是全集
的三个非空子
集，且
，则下面结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【知识点】利用Venn 图求集合、判断两个集合的包含关系
【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可.
【详解】因为
，画出韦恩图如图．
对于选项A，结合韦恩图可知，当
时A 错误；
对于选项B，由德摩根公式可知，
，
结合韦恩图可知，
，即
，故B 正确；
对于选项C，由德摩根公式可知
，故C 正
确；
对于选项D，由德摩根公式可知，
，
结合韦恩图可知，当
时，D 错误．
故选：BC．
2．（25-26 高二上·全国·课后作业）已知集合
．
(1)若
，求实数m 的取值范围；
(2)若
且
，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集
合或参数
【分析】（1）先求得
，根据
，得到
，分
和
，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解；
（2）解：由（1）知：集合
，根据题意，分
，
和
，三
种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由
，即
，可得
，所以
，
因为
，所以
，
当
时，有
，解得
，满足题意；
当
时，则满足
，解得
，即
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
（2）解：由（1）知：集合
，
，
①当
时，则满足
，解得
；
②当
时，则满足
，此时满足条件的m 不存在；
③当
时，则满足
，解得
，
综上可得，实数m 的取值范围为
．
3．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知集合
，
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的值；
(3)若
，求实数
的取值范围；
(4)若将题干中集合
，
变为集合
，
或
．若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
．
【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数
【分析】（1）由
，结合数轴即可求解；
（2）结合数轴即可求解；
（3）由条件得到
或
，进而可求解；
（4）由
和
两种情况讨论即可.
【详解】（1）因为
，所以
，画出数轴如图：
所以
，解得
，故实数
的取值范围是
．
（2）画出数轴如图，因为
，
所以
，解得
．
（3）因为
，所以
或
．
又因为
，所以
或
．
故实数
的取值范围是
．
（4）①若
，则
，所以
．
②若
，因为
，所以
，解得
．
综上所述，实数
的取值范围是
．
4．（24-25 高三上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S 看成全集时，
S 的子集A 的补集为
，且
. 类似的，对于集合A，B，我们把集合
，且
叫作集合A 与B 的差集，记作
.据此回答下列问题:
(1)在图中用阴影表示出集合
(其中U 是全集，A，B 为U 的子集);
(2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求
;
(3)若集合
，集合
，且A-B=⌀，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
.
【知识点】集合新定义、根据集合的包含关系求参数
【分析】（1）将集合A 中B 的部分去掉涂色即可；
（2）根据差集的概念，求出
的结果，进而再一次利用差集的概念求得
；
（3）因为
，得到
.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可.
【详解】（1）将集合A 中B 的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：
（2）
，
，根据差集概念，
，
令
，再根据差集概念得：
（3）因为
，所以
.
由
可得
.
当
时，
，不等式
不成立，此时
，满足
.
当
时，
.
因为
，所以
.
解
，因为
，此不等式恒成立.
解
，两边同乘
得
，即
.
结合
，则
.
当
时，
.
因为
，所以
.
解
，两边同乘
（不等号变向）得
，即
.
解
，两边同乘
（不等号变向）得
，即
，
结合
，取
.
综上，
的取值范围是
题型四：充分条件与必要条件
1．（2025·天津红桥·二模）已知命题
，命题
，则命题
是命题
的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断指数函数的单调性
【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论.
【详解】根据题意由指数函数
的单调性可知
能推出
，
即充分性成立；
由
可推出
，不能推出
，即必要性不成立；
因此命题
是命题
的充分不必要条件.
故选：A
2．（2025·云南昆明·二模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由对数函数的单调性解不等式
【分析】根据对数函数的性质可得
，即可求解.
【详解】由
可得
，
故“
”是“
”的充分不必要条件
故选：A
3．（2025·江西景德镇·三模）函数
为偶函数的充要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】由奇偶性求参数、根据充要条件求参数
【分析】由
为偶函数，得到
对任意的
恒成立，求得
，利用函
数的奇偶性的定义进行验证，即可求解.
【详解】若
为偶函数，则
对任意的
恒成立，
即
，
所以
对任意的
恒成立，故
；
若
，则
，
所以
，故
为偶函数，
所以
为偶函数的充要条件为
.
故选：B．
4．（2025·河南开封·二模）设
，则
的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，当
时，满足
，但是不符合
，故
不是
的
一个充分条件，故A 错误；
对于B，
，即
，即
，所以
是
的必要不充分
条件，故B 错误；
对于C，
，即
，故
是
的充要条件，故C 错误；
对于D，
，即
，
，故
是
的一个充分不必要条
件，故D 正确.
故选：D
5．（2024 高三·全国·专题练习）若不等式
的一个充分条件为
，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据充分不必要条件求参数
【分析】根据绝对值的定义求解不等式，利用充分条件的定义建立不等式组，可得答案.
【详解】由不等式
，可得
（
不合题意），
要使得
是
的一个充分条件，
则满足
，解得
.
故选：D.
6．（多选）（2025·河南·三模）若
，则“
”的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】根据不等式相关性质即可求解.
【详解】
，故“
”是“
”的充要条件，故A 错误；
由
得
能推出
，
反之不成立，所以“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
由
可得
，
故
，反之不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，故C 正确；
易知“
”是“
”的充分不必要条件，故D 正确.
故选：BCD.
7．（多选）（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）已知集合
，
，若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的可能取值
为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含
关系求参数
【分析】由题意可得根据题意推出
是A 的真子集，分
，
讨论，即可求得实
数
的可能取值范围，从而得结论．
【详解】由题意集合
，
，
因为“
”是“
”的必要不充分条件，故
是A 的真子集，
当
时，则
，即
时，符合题意，
当
时，则
，所以
，
综上，实数
的范围为
，结合选项可知AB 符合题意.
故选：AB．
8．（24-25 高三上·山东潍坊·阶段练习）已知集合
，若“
”是“
”的充分不必要
条件，则实数
的所有取值组成的集合是 .
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数
【分析】用列举法表示集合
，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求
解即得.
【详解】依题意，
，
，显然
，
由“
”是“
”的充分不必要条件，得
，
当
时，
，符合题意，当
时，方程
的根为和
，
显然
，否则
，不符合题意，因此
，解得
，此时
，符合题意，
所以实数
的所有取值组成的集合是
.
故答案为：
9．（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，非空集合
.
是
的充分不必要条件，求
的取值范围.
【答案】
.
【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元
二次不等式
【分析】根据
是
的充分不必要条件，可得
是
的真子集，进而得到不等式
组，求出结果即可.
【详解】由题知，
，
是
的充分不必要条件，
是
的真子集，
则
或
，
解得
，
故
的取值范围是
.
题型五：“的”字结构与“是”字结构对比
1．（24-25 高三上·广东阳江·阶段练习）设
，则“
”是“
”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的必要不充分条件
【分析】先解一元二次不等式，再应用充分必要条件定义判断即可.
【详解】解不等式
，得
，
因为
是
的真子集，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：A.
2．（2025·辽宁·一模）“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】解不等式，得到
或
，根据推出关系得到答案.
【详解】
或
，
或
，但
或
，
故“
”是“
”的充分而不必要条件，A 正确，BCD 错误.
故选：A
3．（2025·江苏·一模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】既不充分也不必要条件、由指数函数的单调性解不等式
【分析】依题意由
可得
，由
可得
，再根据充分条件、必要条
件的定义判断即可.
【详解】由
可得
，由
可得
，
所以由
推不出
，即充分性不成立；
由
也推不出
，即必要性不成立；
所以“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．（24-25 高二上·河南南阳·期末）“
，
”成立的一个必要不充分条
件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据必要不充分条件求参数
【分析】根据题中命题成立，先求出
；再逐项判断即可.
【详解】由题意可得，
在
上能成立，
即
在
上能成立，
因为
时，
；
所以为使
在
上能成立，只需
；
因此，A 选项，
是“
，
”成立的既不充分又不必要条件；
B 选项，
是“
，
”成立的充分不必要条件；
C 选项，
是“
，
”成立的充要条件；
D 选项，
是“
，
”成立的必要不充分条件；
故选：D
5．（24-25 高二上·陕西西安·期末）二次函数
在区间
上单调递增
的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调
区间求参数值或范围
【分析】根据给定条件，求出在指定区间上单调递增的
的范围，再利用充分不必要条件
的定义判断得解.
【详解】二次函数
在区间
上单调递增，则
，解得
，
显然选项ABD 中条件都不能推出
，而
真包含于
，
所以所求的一个充分不必要条件为
.
故选：C
6．（2025 高三·全国·专题练习）使得“
”成立的一个充分条件是 ．
【答案】
(答案不唯一)
【知识点】由指数函数的单调性解不等式、判断命题的充分不必要条件
【分析】将
转化为
，利用指数函数的单调性求解.
【详解】解：因为
，
所以
等价于
，
则
，解得
，
所以使得“
”成立的一个充分条件是
(答案不唯一)，
故答案为：
（答案不唯一）．
题型六：全称量词与存在量词
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若
，则（ ）
A．
是真命题，且
B．
是真命题，且
C．
是假命题，且
D．
是假命题，且
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断、对数的运算
【分析】先利用特殊值判断命题
的真假，再结合全称量词命题的否定是存在量词命题可
得答案.
【详解】因为当
时，
，所以
是假命题，
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以
.
故选：C.
2．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知命题“
，使
”是假命
题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】A
【知识点】根据全称命题的真假求参数
【分析】由题意可得出
，由此可求得实数
的取值范围.
【详解】因为命题“
，使
”是假命题，
所以
，解得
或
，
故实数
的取值范围是
或
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：
，
；q：
，
.均为真命题，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参
数、根据全称命题的真假求参数
【分析】
，分
和
，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出
为真命题，需满足
，再利用根的判别式得到
为真命题，需满足
，求交集
得到答案.
【详解】
恒成立，
当
时，
，满足要求，
当
时，需满足
，解得
，
故
为真命题，需满足
，
，
，则
，解得
，
故
为真命题，需满足
，
综上，
的取值范围为
故选：D
4．（24-25 高三上·河南·阶段练习）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、求指数函数在区间内的值域、一元二
次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等
式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.
【详解】由题意，命题“
”是假命题，
等价于其否定“
”是真命题，
令
，则
对
恒成立，
即
，需满足
，
而
，
，当且仅当
，即
时取等号.
所以
，即
.
故选：A.
5．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题
“
，
”的否定为真命题，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、判断一般幂函数的单调性
【分析】写出命题的否定，依题意可得
在区间
内有解，根据函数的单调性
求出
，即可得解.
【详解】由题意得
“
，
”为真命题，
所以
在区间
内有解，
又知
在区间
内单调递增，所以
，
故
的取值范围为
．
故答案为：
6．（2024 高三·全国·专题练习）已知命题
，命题
，若
为假命题且
为真命题，求实数
的取值范围为
.
【答案】
【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用、根据全称或特称命题的真假判断复合命题
的真假、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】假命题的否定是真命题，二次不等式求解借助二次函数的开口方向和判别式来建
立不等关系，得出范围；最高项系数含参的二次型函数要注意分类讨论参数.
【详解】依题意，
是假命题，所以
，
是真命题，
则
，解得
或
.
又因为
是真命题，
所以当
时，
，不合题意；
当
时，
，所以
当
时，函数
的图象开口向上，一定存在满足条件的
综上，
或
.
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
7．（24-25 高三上·上海嘉定·阶段练习）若命题“对任意的
，都有
”为
假命题，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】根据“存在
，
”为真命题，讨论
，
，
求解.
【详解】命题“对任意的
，都有
”为假命题，
则“存在
，
”为真命题，
当
时，
满足；
当
时，
满足；
当
时，需
，解得
；
综上：
.
故答案为：
题型七：一元二次不等式
1．（2026 高三·全国·专题练习）若关于
的不等式
的解集中恰有3 个
整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】分类
时，分别得出解析计算求参.
【详解】不等式
可化为
，
当
时，不等式的解集为
，要使解集中恰有3 个整数，则这3 个整数只能是4，
5，6，所以
；
当
时，不等式的解集为
，此时不符合题意；
当
时，不等式的解集为
，要使解集中恰有3 个整数，则这3 个整数只能是0，
1，2，所以
．
综上可知，实数
的取值范围是
．
故选：C．
2．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）命题
：
，
为真的一个充分
不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题
【分析】由题意
在
上恒成立，得
，进而得
，即得.
【详解】因命题
为真，故
在
上恒成立，
故
，解得
，
故命题
为真的一个充分不必要条件为
的子集，
故选：B
3．（24-25 高三上·陕西渭南·阶段练习）关于
的不等式
，其中
，则该不等式的解集不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】考虑
和
两种情况，当
时将不等式变形为
，根据
根的大小关系得到
，
，
三种情况，解不等式对比选项即可.
【详解】当
时，不等式
，即
，
，
故不等式的解集为
，故A 可能；
当
时，
，即
，
当
时，
的解集为
，故D 可能；
当
时，不等式
无解；
当
时，
的解集为
，故B 可能.
故选：C
4．（2025·湖北·三模）已知
.
(1)解关于
的不等式
(2)若不等式
的解集为
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】（1）求出
，结合二次不等式的求解方法可得答案；
（2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案.
【详解】（1）由题意知
，即
，
解得
.
所以所求不等式的解集为
.
（2）不等式
的解集为
，所以方程
的两根为
，
所以
，解得
，
故
的值为
，
的值为
.
5．（20-21 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于
的不等式
.
【答案】答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式
【分析】当
时，不等式化为
；当
时，
可化为
，后讨论
与4 的大小可得答案.
【详解】当
时，不等式化为
；
当
时，
.
当
时，若
，不等式解为
或
；
若
，不等式解为
；
若
，不等式解为
或
；
当
时，此时
，
，
不等式解为
.
综上，
时，不等式解为
；
时，不等式解为
或
；
时，不等式解为
；
时，不等式解为
或
；
时，不等式解为
.
6．（23-24 高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数
(1)求函数
的解析式；
(2)求关于x 的不等式
解集.（其中
）
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、已知f（g（x））求解析式
【分析】（1）令
，则
，即可得
；
（2）将不等式转化为
，比较
和
的大小解不等式即可.
【详解】（1）由题意，函数
，令
，所以
，
则
，所以
.
（2）由（1）知
，即不等式转化为
，则
，
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
综上所述，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题
1．（2025·江西上饶·二模）若不等式
恒成立，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】利用换元法，把原不等式转化为
恒成立问题，再分
，
，
讨论即可.
【详解】设
，则
，
.
原不等式可化为：
.
因为
，所以
，
.
当
时，
，所以
在
恒成立，所以
；
当
时，
，所以
成立；
当
时，
，所以
在
上恒成立，所以
.
综上可得：
.
故选：A
2．（24-25 高三上·河南许昌·期中）
，
恒成立，则实
数
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值
【分析】分离参数变为
在
上恒成立，利用基本不等式求解最值得
，即可得解.
【详解】
，
恒成立，
即
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，则实数
的最大值为
.
故选：C
3．（23-24 高二上·浙江·期中）若关于x 的不等式
在区间
上有解，
则实数m 的最小值为（ ）
A．9
B．6
C．
D．5
【答案】D
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值
【分析】问题化为
在区间
上有解，应用基本不等式求右侧最小值，即可求
参数范围.
【详解】关于x 的不等式
在区间
上有解，
等价于
在区间
上有解，即
在区间
上有解，
又
，当且仅当
时，
取最小值6.
故
，可得
.
故选：D
4．（24-25 高三上·广东广州·期末）若对
，
恒成立，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】令
，
，分
和
两种情况讨论，分别求出
，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围.
【详解】令
，
，依题意可得
，
恒成立，
当
时，则
，解得
；
当
时，则
，解得
；
综上可得
的取值范围是
.
故选：B
5．（24-25 高三上·安徽池州·期中）已知关于
的不等式
在
上有解，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次不等式在某区间上有解问题
【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最
值，可得答案.
【详解】由题，
，
，即
，即
在
上有解，
设
，则
，
，
易知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，则
，所以
.
故选：B.
6．（24-25 高三下·上海·阶段练习）若不等式
对任意
恒成
立，则实数m 的值为
【答案】
/
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果.
【详解】解：若
，则当
趋于
时，
趋于
，不满足题意；
当
时，
是方程
的一个根，
不等式
对任意
恒成立，
且方程
的两根不相等，
所以
是方程
的根，
，
，得
，
此时原不等式等价于
，显然
时恒成立，
实数m 的值为
，
故答案为：
．
7．（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于
的不等式
的解集为
．
(1)求实数
的值；
(2)
，都有
，求实数的取值范围
(3)若存在实数
，使不等式
成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问
题、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】（1）由题意可得
是方程
的两根，结合韦达定理求解即
可；
（2）由（1）可知
，求出
在
上的最小值，即可得答案；
（3）结合（2）求出
在
上的最大值，即可得答案
【详解】（1）由题意可得
是方程
的两根，
由韦达定理可得
，
解得
;
（2）因为
，
所以
，
当
时，则
的最小值为
，
所以
，
所以实数的取值范围为
；
（3）由（2）可知当
时，则
的最大值为
，
所以实数的取值范围为
.
题型九：基本不等式及其应用
1．（2025·河南·模拟预测）若
，且
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【知识点】条件等式求最值
【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可．
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：B.
2．（2025·山东济宁·二模）若圆
关于直线
对称，其中
，
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由题意得直线
过圆心，即得
，利用基本不等式即可求解.
【详解】由
得
，
所以圆心为
，又圆关于直线
对称，
则直线
过圆心，即
，
所以
，
又
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
，
故选：C.
3．（多选）（2025·河北张家口·三模）已知
，
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的取值范围为
【答案】BCD
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式判断BC，根据
，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求
值域，判断AD.
【详解】A.由条件可知，
，
，则
，故A 错误；
B.由题意可知，
，则
，当
时等号成立，
则
的最小值为
，故B 正确；
C.
，当
，即
时等号成立，
则
的最小值为
，故C 正确；
D.
，
当
，
均单调递增，且
时，
，
则
在区间
上单调递增，
∴当
时取得最大值5，且
时，
，
所以
的取值范围为
，故D 正确.
故选：BCD.
4．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知实数
满足
，那么不存在这样的
，使得（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、条件等式求最值
【分析】由基本不等式即可判断A，令
，结合
代入计算，即可判断B，将
转化为斜率，即可判断C，结合换元法以及二次函数的值域即可判断D.
【详解】对于A，因为
，即
，解得
，
又
，即
，解得
，所以
，故A 符合题意；
对于B，令
，则
，代入
，可得
，
展开可得
，由
可得
，
即
，故B 不符合题意；
对于C，
表示圆
上的点
与点
连线的斜率，
设过点
的直线方程为
，即
，
由圆心
到直线的距离
可得
，
即
，即不存在符合题意的
，故C 符合题意；
对于D，由
可得
，则
，
令
，则
，所以
，
且函数
在
上单调递增，所以
，即
，
即不存在符合题意的
，故D 符合题意；
故选：ACD
5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数
，
满足
，则
的最小值是
．
【答案】
/0.25
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基
本不等式“1”的妙用求解.
【详解】方法一
设
，
，则
，
，
，
当且仅当
，
，即
，
时取等号，
．
方法二
，
，
，
当且仅当
，
时取等号，
．
故答案为：
6．（2025 高三上·全国·专题练习）若两个正实数x，y 满足
，且不等式
有解，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、函数不等式能成立（有解）问题
【详解】由于
，当
且仅当
，即
时取等号，而不等式
有解，所以
，即
，解得
或
．
7．（24-25 高三上·吉林通化·阶段练习）（1）已知
，
， 求
的最小值；
（2）已知
，求
的最大值；
【答案】（1）4；（2）
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）由基本不等式即可求解；
（2）由基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
；
（2）因为
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最大值为
.
题型十：复数的综合应用
1．（24-25 高一下·山东济宁·期中）已知
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模
【分析】根据复数的模的计算公式得到
，即可化简
，从而判断其虚部.
【详解】因为
，所以
，
又
，即
，所以
，所以
的虚部为2.
故选：C
2．（2025·山东临沂·二模）若复数
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】由复数的四则运算以及复数的虚部的概念即可求解.
【详解】由题意
.
故选：A.
3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出
，再求出
的模.
【详解】由
，得
，
所以
.
故选：B
4．（2025·贵州黔东南·三模）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】复数的除法运算
【分析】根据复数的除法计算方法，求解.
【详解】已知
,则
.
故选:A.
5．（2025·湖北·模拟预测）已知复数
满足
（是虚数单位），复数
在复
平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的乘方运算以及除法运算求解即可.
【详解】∵
，∴
，
∴
，
∴复数
在复平面内对应的点
，位于第二象限.
故选：B.
6．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可.
【详解】
，所以
对应的点
位于第四象限.
故选：D
7．（2025 高三·全国·专题练习）设复数
在复平面内对应的点为
，则
的虚部为
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】B
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数
【分析】先得到
，利用复数除法法则得到
，求出虚部.
【详解】由题意可知
，所以
，
则
的虚部为
.
故选：B.
8．（多选）（2025·湖北武汉·二模）若复数
，则（ ）
A．
B．
在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．复数
满足
，则
的最大值为
【答案】BCD
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的除法运算、共轭复数的概念及计
算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数除法求出
，再结合共轭复数、复数的模及几何意义逐项判断.
【详解】复数
，
对于A，
，A 错误；
对于B，
在复平面内对应的点
位于第四象限，B 正确；
对于C，
，C 正确；
对于D，由
，得在复平面内复数
对应点的轨迹是以原点为圆心，1 为半径的圆，
表示该圆上的点与点
的距离，所以
的最大值为
，D 正确.
故选：BCD
第二部分：新定义题
1．（24-25 高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G 满足“如果
，则
，且
时，
”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数
域的命题：①
是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则
；③集合
是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【知识点】集合新定义
【分析】根据新定义，逐项判断分析即可.
【详解】对①：当
时，有
，所以0 是任何数域的元素，故①正确；
对②：取非0 实数
，则
，再由
，则
，可得任意正整数属于
，故②正确；
对③：若
为数域，取
，
，则
不成立，故③错误；
对④：任取有理数
，
，令
，
，则
，
，
，且
，所以有理数集
是数域，故④正确.
所以正确的有：①②④.
故选：B.
2．（多选）（25-26 高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，
，都有
，且
，则称集合M 为闭集合.下列说法错误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合
为闭集合
D．若集合
，
为闭集合，则
也为闭集合
【答案】ABD
【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系
【详解】取
，
，则
，故A 错误；取
，
，则
，
0 不是无理数，故B 错误；设
，
，则
，
，故C 正确；取
，
，由C
选项可知
是闭集合，同理可证
也是闭集合，则
为被2 整除或被3 整除的全
体整数集，取
，
，则
，5 不能被2 或3 整除，即
，故D 错
误.
3．（多选）（2025·浙江温州·模拟预测）给定
，若集合
，且存在
，满足
，则称P 为“广义等差集合”．记P 的元素个
数为
，则（ ）
A．
是“广义等差集合”
B．
是“广义等差集合”
C．若P 不是“广义等差集合”，当
时，
的最大值为4
D．若P 不是“广义等差集合”，若
的最大值为4，则n 可以是13
【答案】ABC
【知识点】集合新定义
【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据
时，设
，利用裂项相消得
矛盾求解C.
【详解】对于A, 取
，则符合“广义等差集合”的定义，故A 正确，
对于B，取
故B 正确，
对于C，当
时，
，如
时，设
，
由题意可知
两两不相同，则
矛盾，故
，当
时，取
,满足P 不是“广义等差集合”，故
的最大值为4，故C 正
确，
对于D,当
时，取
，这与
矛盾，故D 错误，
故选：ABC
【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具
体的解题过程中；
2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问
题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力.
4．（24-25 高一上·四川眉山·期中）已知集合
是实数集
的非空子集，若
，则称集合
为闭集合.
(1)若集合
均是闭集合.求证：
是闭集合；
(2)若集合
均是闭集合.集合
一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反
例；
(3)若
均是闭集合，且
都是
的真子集.求证：存在常数
，但
.
【答案】(1)证明见解析
(2)不一定，举例见解析
(3)证明见解析
【知识点】交集的概念及运算、集合新定义、并集的概念及运算
【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明；
（2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断；
（3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明.
【详解】（1）
且
为闭集知：
，
成立，
故而
，从而命题成立.
（2）取
，
知
不一定是闭集合.
（3）若
或
，且
均是
的真子集，命题显然成立，
故不妨设存在
满足
，且存在
满足
,
取
知
，否则
或者
而得出矛盾，故命题成立.
5．（2025·广东·模拟预测）已知
.设集合
或
，且
，集合
.若集合
中的元素
满足
，则称
为
的
“相邻元”.对于整数
，若集合
存在一个子集
满足：（i）集合
中的元素个数为
；
（ii）
，在集合
中都至少有
个“相邻元”，则称
是“好数”.
(1)当
时，直接写出
的“相邻元”；
(2)当
时，求证：
是“好数”；
(3)当
时，若整数
满足
，且
，求
证：
是“好数”.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】集合新定义、集合的应用
【分析】（1）根据题干的定义即可求得结果.
（2）利用定义证明集合
中至少有8 个“相邻元”，即可证明结论.
（3）先求出当
时，
共有：
其次证明对于
，有在每一个
中，至多有一个“相邻
元”.
最后证明不能在
中均有“相邻元”，
.即可证明结论.
【详解】（1）
的“相邻元”为：
.
（2）因为
，所以
.
设
，显然
中每一个元素恰有9 个“相邻元”.
设
，构造
，
则集合
中的元素个数为
.
对集合
中的任意元素
，在集合
中至多存在一个
，
满足
，
从而
在集合
中至少有8 个“相邻元”，所以
是“好数”.
（3）设
，且
，且
.
①当
时，
集合
中的每一个元素均有2025 个“相
邻元”.
设
，则
中含有
个元素.
设
.
则
中含有
个元素，
.并且
两两交集为空集，
设
，则
共有：
②对于
，有在每一个
中，至多有一个“相邻元”.
下面证明该结论：设
，且均是
的“相邻
元”.
由于
，则与
不同元素在前
位，且后
位相同，即
，后
位相同.
设与
不同位置为
，即
；与
不同位置为，即
.
当
相同时，又
中与
差为1 的只有一个数，则
.
当
时，
，
所以在每一个
中，至多有一个“相邻元”.
③不能在
中均有“相邻元”，
.下面证明该结论：
元素中第
都是
中元素.
中第
都是
中元素.
故
中至少有3 个元素属于不同的
和
.
所以不存在
，均是的“相邻元”.
由①②③知在
中至少有2024 个“相邻元”，故：
是“好数”.
【点睛】集合新定义问题常见的求解方法：
（1）理解定义： 仔细阅读题目中给出的新定义，明确其内涵和外延。特别注意定义的
关键条件、限制和运算规则等，确保准确理解新定义的含义。
（2）列举法： 对于一些有限集合或元素个数较少的集合，可以通过列举出集合中的所有
元素，然后根据新定义进行分析和计算。
（3）性质分析法： 分析新定义所具有的性质，如对称性、传递性、封闭性等。利用这些
性质来简化问题的求解过程，或者通过判断集合元素是否满足这些性质来确定集合的特
征。
（4）转化法： 将新定义问题转化为熟悉的集合问题或其他数学问题。例如，将新定义的
运算转化为常规的集合运算，或者将集合元素的条件转化为方程、不等式等进行求解。
（5）特殊值法：对于一些抽象的集合新定义问题，可以通过选取特殊值来进行分析和验
证。选取一些满足条件的特殊元素代入新定义中，观察其规律和结果，从而推测出一般情
况下的结论。
（6）反证法：当直接证明某个结论比较困难时，可以考虑使用反证法。假设结论不成立，
然后根据新定义和已知条件推出矛盾，从而证明原结论成立。
6．（24-25 高三上·山东烟台·开学考试）若
为定义域D 上的单调函数，且存在区间
（其中
），使得当
时，
的取值范围恰为
，则称函数
是D 上的“优美函数”.
(1)写出
的一组值，使得函数
为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数
为“优美函数”，求实数t 的取值范围;
(3)若函数
为“优美函数”，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
，
，理由见解析
(2)
(3)
【知识点】一元二次方程根的分布问题、函数新定义
【分析】（1）假设其存在，则
为方程
的两根，解方程即可；
（2）假设其存在，则
为方程
的两根，令
，则问题转化为一元二次方
程在
有两个不等的实根，利用
和韦达定理即可；
（3）由题意得
，可得
，再代入原方程组中化简，转化为
一元二次方程有两个不等的正实数根．
【详解】（1）因为函数
单调递增，
若
在定义域区间上存在
，使得
的值域
，
则
，
，即
为方程
的两根，又
，得
，
，
又
在区间
上的值域为
，故
，
符合题意.
（2）因为函数
为递增函数，
要使
在定义域区间上存在
，使得
的值域
，
则只需
有两个不等的非负实根，
令
，
，则
在
有两个不等的实根
，
故
，即
，得
，
即t 的取值范围是
.
（3）函数
在定义域内单调递减，
依题意得
，两式相减，得
，
则
，
得
①
将①式代入方程组得
，则是方程
的两根，
令
，则
在
上有两个不同的实根，
则
，解得
，
故实数m 的取值范围为
