专题1.2 常用逻辑用语（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 充分条件与必要条件的判断】..................................................................................................................3
【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】.........................................................................................................4
【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】.................................................................................................5
【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】.................................................................................................6
【题型5 根据命题的真假求参数】..........................................................................................................................7
【题型6 常用逻辑用语与集合综合】......................................................................................................................9
1、常用逻辑用语
考点要求
真题统计
考情分析
(1)必要条件、充分条件、
充要条件
(2)全称量词与存在量词
(3)全称量词命题与存在量
词命题的否定
2022 年天津卷：第2 题，5 分
2023 年新高考I 卷：第7
题，5 分
2024 年新课标Ⅱ卷：第2
题，5 分
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，
从近几年高考情况来看，常用逻辑用语
较少单独命题考查，偶尔以已知条件的
形式出现在其他考点的题目中，难度不
大.重点关注以下两点：①集合与充
分、必要条件相结合的问题的求解；②
命题的否定和全称量词命题与存在量词
命题的真假判断.
知识点
1 常用逻辑用语
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
"若p,则q"是假命题
推出关系及
符号表示
由p 通过推理可得出
q，记作：p⇒q
由条件p 不能推出结论
q，记作：
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p
既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p⇔q，那么p 与q 互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词
命题
含有全称量词的命题
形式
“对M 中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为
“∀ x ∈ M
，
p ( x ) ”
4．存在量词与存在量词命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词
命题
含有存在
量词
的命题
形式
“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为
“∃ x ∈ M
，
p ( x ) ”
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件
设
.
(1)若
，则
是
的充分条件(
)，
是
的必要条件；若
，则
是
的充分不必要条
件，
是
的必要不充分条件，即
且
；
(2)若
，则
是
的必要条件，
是
的充分条件；
(3)若
，则
与
互为充要条件.
2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立；要判断全称量词
命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量
词命题就是假命题.
【题型1 充分条件与必要条件的判断】
【例1】（2025·天津滨海新·三模）已知a、b∈R，则“a≠b”是“a
2≠b
2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2025·陕西渭南·三模）设x , y ∈R，则“xy >0”是“x
2+ y
2>0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合A = {x|3ax−2≤0)，则使得“1∈A且2∉A”成立的一
个充分不必要条件是（ ）
A．1
3 <a< 2
3
B．a<0
C．1
3 <a≤2
3
D．a> 1
3
【变式1-3】（2025·天津河东·二模）已知x∈R，命题p：x
3≠1，命题q：| x|≠1，则p 是q 的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】
【例2】（2025·吉林延边·一模）若“x ≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”，则实数m的取值范围是
（ ）
A．m<0
B．m≤0
C．m>0
D．m≥0
【变式2-1】（2025·山东济南·二模）已知A ={x∣1< x<2},B ={x∣x<a}，若“x∈A”是“x∈B”
的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1
B．a≥1
C．a≤2
D．a≥2
【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知p：x ≥a，q：|x +2a)<3，且p是q的必要不充分条件，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞，−1)
B．(−∞，−1)
C．[1，+ ∞)
D．(1，+∞)
【变式2-3】（2025·江西萍乡·二模）集合A ={x∣−1< x<2},B ={x∣−2< x<m}，若x∈B的充分条件
是x∈A，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−1,2)
B．[2,+∞)
C．(−2,2)
D．(2,+∞)
【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例3】（2025·河北唐山·一模）已知命题p:∀x∈R , x
2>0；命题q:∃x>0,ln x<0．则（ ）
A．p和q都是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q是假命题
D．p和q都是假命题
【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x
2= x，
则（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【变式3-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x
2= x，
则（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【变式3-3】（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题p:∀x∈R ,
❑√x
2+1> x
，命题q:∃x>0,❑√x> x
2，则
（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】
【例4】（2025·贵州黔东南·三模）命题“∀x∈R , x +| x|≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R , x +| x|≥0
B．∃x∉R , x +| x|<0
C．∀x∈R , x +| x|<0
D．∃x∈R , x +| x|<0
【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）命题“∀x∈(0,2)，2 x−x
2≥sin( πx
2 )”的否定是（ ）
A．∀x∉(0,2)，2 x−x
2≥sin( πx
2 )
B．∀x∈(0,2)，2 x−x
2<sin( πx
2 )
C．∃x∈(0,2)，2 x−x
2<sin( πx
2 )
D．∃x∉(0,2)，2 x−x
2≥sin( πx
2 )
【变式4-2】（2025·云南·模拟预测）命题“∀x∈R , x
2+ x−5≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x
2+ x−5<0
B．∃x0∈R，x0
2+ x0−5<0
C．∀x∉R，x
2+ x−5<0
D．∃x0∉R，x0
2+ x0−5<0
【变式4-3】（2025·湖南邵阳·二模）命题“∀x>1，e
x−2>0”的否定为（ ）
A．∀x ≤1，e
x−2>0
B．∀x>1，e
x−2≤0
C．∃x ≤1，e
x−2>0
D．∃x>1，e
x−2≤0
【题型5 根据命题的真假求参数】
【例5】（2025·河北·模拟预测）若命题“∃x∈R , x
2+2 x +a≤0”为真命题，则a 的取值范围是（ ）
A．(−∞,1]
B．(−∞,1)
C．(−∞,0]
D．(−∞,0)
【变式5-1】（24-25 高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“∀x∈R，x
2−2ax +6a>0”是假命题，则a
的取值范围是（ ）
A．(0，6)
B．(−∞,0)∪(6,+∞)
C．[0，6)
D．(−∞,0)∪[6,+ ∞)
【变式5-2】（25-26 高一上·全国·单元测试）已知命题“∃x0∈{x|−1≤x ≤1},−x0
2+3 x0+a>0”为真
命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a<−2)
B．{a|a<4)
C．{a|a>−2))
D．{a|a>4))
【变式5-3】（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题p:∀x∈{x|1≤x ≤2)，都有x
2−a≥0，命题
q:存在x0∈R , x0
2+2a x0+2−a=0，若p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤−2)
B．{a|a≤1)
C．{a|a≤−2或a=1)
D．{a|−2<a<1或a>1)
【题型6 常用逻辑用语与集合综合】
【例6】（2025·广东茂名·二模）设集合A ={x)−5 x +6<0),B ={x|x>−2))，则x∈A是x∈B的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（2025·甘肃兰州·一模）已知集合A ={−1,0,1},B ={1,2,3}，以下判断正确的是（ ）
A．x∈A是x∈B的充分条件
B．x∈A ∩B是x∈B的既不充分也不必要条件
C．x∈A是x∈A ∪B的必要条件
D．x∈A ∩B是x∈{1}的充要条件
【变式6-2】（24-25 高一上·甘肃甘南·期末）已知集合P ={x|a+1≤x ≤2a+1))，Q ={x|−2≤x ≤5)).
(1)若a= 4，求(∁R P)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【变式6-3】（24-25 高一上·福建厦门·阶段练习）设全集U = R，集合A ={x|1≤x ≤5))，集合
B ={x|−1−2a≤x ≤a−2))．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“∀x∈B，则x∈A”是假命题，求实数a的取值范围．
一、单选题
1．（2025·辽宁·三模）“a>b”是“a
2>b
2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·天津和平·三模）命题“∃x∈N，x
2>1”的否定是（ ）
A．∀x∉N，x
2<1
B．∀x∈N，x
2<1
C．∀x∉N，x
2≤1
D．∀x∈N，x
2≤1
3．（2025·上海静安·模拟预测）“−2≤x ≤2”是“|x +2)+|x−2)≤4”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
4．（2025·甘肃·模拟预测）若命题p:∀x>1, x
2−3 x +2>0，则（ ）
A．p是真命题，且¬ p:∃x>1, x
2−3 x +2≤0
B．p是真命题，且¬ p:∃x ≤1, x
2−3 x +2≤0
C．p是假命题，且¬ p:∃x>1, x
2−3 x +2≤0
D．p是假命题，且¬ p:∃x ≤1, x
2−3 x +2≤0
5．（2025·吉林·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，| x|>0，命题q:∃x>0，x
3= x，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．p和¬q都是真命题
C．¬ p和q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
6．（2025·重庆·模拟预测）若A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，C 是D 的必要不充分条件，
则A 是D 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x
2>2
x，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
8．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“∃x∈(0,+∞)，2 x
2−ax +1<0”为假命题，则实数a的取值范
围是（ ）
A．(−∞,2❑√2)
B．(−∞,2)
C．(−∞,1)
D．(−∞, 1
2)
二、多选题
9．（24-25 高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“1
a > 1
b
”是“a<b”的充分不必要条件
B．A ∩B =∅. 是A =∅的必要不充分条件
C．若a，b，c∈R，则“ac
2>bc
2”的充要条件是“a>b”
D．若a，b∈R，则“a
2+b
2≠0”是“|a)+|b)≠0”的充要条件
10．（2025·重庆·三模）命题“存在x>0，使得m x
2+2 x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是（
）
A．m>−2
B．m>−1
C．m>0
D．m>1
11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合A ={a,a
2),B = {x ∣1≤x ≤4)，若“x∈A”是“x∈B”的充
分条件，则实数a的取值可以是（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．4
三、填空题
12．（2025·四川成都·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，2
x>1，则¬ p是
.
13．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：∀x>0，x
2−7 x +6≤0，则命题p 的否定为
．
14．（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“∀x∈R，m
2−1=(m+m
2) x
”为真命题，则m的取值为
.
四、解答题
15．（25-26 高一上·全国·课后作业）写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由．
(1)p:∃x∈R , x
2=−1；
(2)p：不论m取何实数，关于x的方程m
2 x
2+ x−1=0必有实数根；
(3)p：有的平行四边形的对角线相等；
(4)p：有些实数的绝对值是正数．
16．（24-25 高一上·四川绵阳·阶段练习）设p:实数x满足x
2−2ax−3a
2<0(a>0)，q：实数x满足
x−4
x−2 <0.
(1)若a=1，且p,q都为真命题，求x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
17．（24-25 高一下·河北保定·阶段练习）已知a∈R，命题p:∀x∈[1,2]，x
2≥a；命题q:∃x0∈R，
x0
2+2a x0−(a−2)=0．
(1)若p 是真命题，求a 的最大值；
(2)若p、q 中有且只有一个是真命题，求a 的取值范围．
18．（24-25 高一上·山东东营·期中）已知m∈R，命题p:∀x∈{x|0≤x ≤1))，不等式2 x−2≥m
2−3m
恒成立；命题q:∃x∈{x|−1≤x ≤1))，使得m≤1−x
2成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)若p和q至少有一个为真，求实数m的取值范围．
19．（24-25 高一上·辽宁·阶段练习）已知集合A ={x|−2≤x−1≤5}、集合B ={x|m+1≤x ≤2m−1}（
m∈R）.
(1)若A ∩B =∅，求实数m的取值范围；
(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
