文档文本内容
第01 讲 集合和常用逻辑用语
目录
01 题型归纳目录..................................................................................................................................2
02 思维导图..........................................................................................................................................3
03 方法技巧与总结归纳......................................................................................................................4
技巧1、集合中的运算性质........................................................4
技巧2、由
个元素组成的集合
的子集个数.................................4
技巧3、容斥原理................................................................4
技巧4、从集合与集合之间的关系上看..............................................4
技巧5、易错点规避技巧：三查三看................................................5
04 真题回归..........................................................................................................................................6
05 题型归纳，举一反三......................................................................................................................8
题型一：集合的定义..............................................................8
题型二：集合的并、交、补运算....................................................8
题型三：集合间的基本关系........................................................9
题型四：充分必要条件的判断......................................................9
题型五：全称量词、存在量词与命题的否定.........................................10
题型六：求参数问题.............................................................11
题型七：新定义问题.............................................................12
06 精选名校模拟题............................................................................................................................14
技巧1、集合中的运算性质
（1）交集的运算性质．
，
，
，
，
，
．
（2）并集的运算性质
，
，
，
，
，
．
（3）补集的运算性质
，
，
，
，
．
补充性质：
．
．
（4）结合律与分配律
结合律：
．
分配律：
．
技巧2、由
个元素组成的集合
的子集个数
的子集有
个，非空子集有
个，真子集有
个，非空真子集有
个．
技巧3、容斥原理
．
技巧4、从集合与集合之间的关系上看
设
．
（1）若
，则
是
的充分条件（
），
是
的必要条件
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小
大”．
（2）若
，则
是
的必要条件，
是
的充分条件；
（3）若
，则
与
互为充要条件．
技巧5、易错点规避技巧：三查三看
1、查代表元素，看集合本质
2、查空集情况，看子集关系
3、查元素特性，看互异无错
1．（2025 年高考全国二卷数学真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知集合
，
，则
中元素个
数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
3．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
6．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则
（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
8．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，
若
，则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
13．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
15．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
题型一：集合的定义
【例题1】（2025·高三·广东·月考）已知集合
，则
的真子集个数为（ ）
A．1
B．3
C．7
D．15
【例题2】（2025·云南·模拟预测）已知集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【方法技巧与总结】
集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和
无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异
性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。
【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知集合
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式2】（2025·高三·四川·月考）已知
，则
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·高三·云南昆明·月考）已知
，则
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
题型二：集合的并、交、补运算
【例题3】（2025·高三·河南·月考）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题4】（2025·高三·北京西城·月考）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、
并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
【变式4】（2025·高三·福建龙岩·月考）已知
为实数集，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（2025·四川德阳·一模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6】（2025·云南·一模）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：集合间的基本关系
【例题5】（2025·江苏·模拟预测）集合
，下列选项不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题6】（2025·广东江门·模拟预测）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合
的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数
满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
【变式7】已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8】（2025·广东江门·模拟预测）设
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式9】（2025·广西·模拟预测）已知集合
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型四：充分必要条件的判断
【例题7】（2025·四川成都·模拟预测）“
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【例题8】（2025·四川成都·一模）已知
，
为非零向量，则“存在实数
，使
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【方法技巧与总结】
抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
【变式10】（2025·河北·模拟预测）已知函数
，则“函数
的图象的一条对
称轴为
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式11】（2025·山东聊城·模拟预测）“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12】（2025·江苏·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型五：全称量词、存在量词与命题的否定
【例题9】（2025·高三·江苏扬州·开学考试）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题10】（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“
，使
”是假命题，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定
结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当¬ p的真假不易判断时，可转化为去判断p的真假.
【变式13】（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在
上的函数
，则命题“
，
，
”的否定为（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【变式14】（2025·陕西汉中·一模）若
，使得
成立，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式15】（2025·云南·一模）已知命题“
”是真命题，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：求参数问题
【例题11】（2025·新疆喀什·二模）已知集合
，
，
且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题12】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知全集
，若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．3
C．-1 或-3
D．1 或3
【方法技巧与总结】
确定性分析：明确集合元素特征，根据方程、不等式等条件确定参数的初步范围。
互异性检验：求出参数值后，验证集合内元素是否互不相同，排除违背互异性的解。
空集优先原则：涉及子集、交集问题时，先讨论空集情况，避免遗漏。
数形结合法：对含不等式的集合，借助数轴直观分析区间端点关系，列不等式（组）求解。
分类讨论：按集合间的包含、相等关系分类，逐一求解后整合结果。
【变式16】（2025·江苏无锡·模拟预测）已知集合
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式17】（2025·山西晋中·二模）已知
，
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式18】（2025·高三·山东青岛·开学考试）设
，且
是
成立的充分不必要
条件，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：新定义问题
【例题13】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：
.若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题14】（2025·上海·三模）已知集合
是由平面向量组成的集合，若对任意
，均有
，则称集合
是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方
法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定
理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
【变式19】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性
的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形式表示
和
除以
的余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合
中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式20】（2025·北京丰台·二模）已知
是平面直角坐标系
中的点集．设
是
中两点间距离的最大值，
是
中的点与原点
连线的斜率，是
表示的图
形的面积，给出下列四个结论：①
；②
；③
；④
．其中所有正确结论
的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式21】（2025·北京·模拟预测）集合
的所有三个元素的子集记为
记
为集合
中的最大元素，则
（ ）
A．10
B．40
C．45
D．50
1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川成都·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·新疆·模拟预测）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·高三·云南楚雄·期中）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·河北·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·安徽·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·上海闵行·一模）已知非零实数
、
，则“
”是“
”成立的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
9．（2025·上海闵行·一模）如果“若
，则
”和“若
，则
”中有且仅有一个真命题，称
与
具有
“
－关系”．已知函数
的定义域为
，
为偶函数，则
与下列选项中的
具有“
－关系”的为（ ）
A．
：对任意
都有
B．
：对任意
都有
C．
：对任意
都有
D．
：对任意
都有
10．（2025·山东聊城·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
11．（2025·广东汕尾·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·江苏·模拟预测）已知集合
，则
中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
13．（2025·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7 和0.6，两人各投篮一次，事件
为甲投
中，事件
为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件
互相独立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合
、
、
是全集
的三个真子集，
、
、
的关系如Venn 图所
示，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（多选题）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．存在
，使得
D．存在
，使得
16．（多选题）（2025·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12 名同学参加100 米、400
米、1500 米三个项目，其中有8 人参加“100 米比赛”，有7 人参加“400 米比赛”，有5 人参加“1500
米比赛”，“100 米和400 米”都参加的有4 人，“100 米和1500 米”都参加的有3 人，“400 米和1500
米”都参加的有3 人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2 人
B．只参加100 米比赛的有3 人
C．只参加400 米比赛的有3 人
D．只参加1500 米比赛的有3 人
17．（2025·吉林长春·三模）设集合
，
，则
．
18．（2025·安徽·二模）已知等差数列
的公差为
，若集合
，则
．
