专题1.1 集合（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 元素与集合的关系】..................................................................................................................................2
【题型2 集合中元素个数问题】..............................................................................................................................4
【题型3 子集的个数问题】......................................................................................................................................5
【题型4 判断集合间的关系】..................................................................................................................................6
【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】.........................................................................................................7
【题型6 集合的交、并、补集运算】......................................................................................................................8
【题型7 与集合的运算有关的含参问题】..............................................................................................................9
【题型8 集合中的新定义问题】............................................................................................................................10
1、集合
考点要求
真题统计
考情分析
(1)集合的概念
(2)集合间的基本关系
(3)集合的基本运算
2023 年I 卷：第1 题，5 分、Ⅱ
卷：第2 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第1 题，5 分
2025 年全国一卷：第2 题，5 分
2025 年全国二卷：第3 题，5 分
2025 年北京卷：第1 题，4 分
2025 年天津卷：第1 题，5 分
集合是高考数学的必考考点，新高考
对集合的考查相对稳定，考查内容、
频率、题型、难度均变化不大.常见以
一元一次、一元二次不等式的形式，
结合有限集、无限集来考查集合的
交、并、补集等运算，偶尔涉及集合
的符号辨识，一般出现在高考的单选
题的前3 题中，以简单题为主.
知识点 集合
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A 都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A 且属于B 的所有元素组
成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A 或属于B 的元素组成的
集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U 中不属于A 的元素组成
的集合称为集合A 相对于集合
U 的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
4．集合的运算性质
(1)
，
，
．
(2)
，
，
．
(3)
，
，
．
【常用结论】
(1)若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真子集
有
个．
(2)空集是任何集合
的子集，是任何非空集合
的真子集．
(3)
．
(4)
,
．
【题型1 元素与集合的关系】
【例1】（2025·辽宁·三模）已知集合A ={1,2),B ={x
2−y
2∣x , y ∈A)，则下列判断错误的是（ ）
A．1∈B
B．0∈B
C．3∈B
D．−3∈B
【解题思路】根据题意，求出集合B，利用元素与集合的关系判断.
【解答过程】依题意可得B ={−3,0,3)，所以−3∈B ,0∈B ,3∈B ,1∉B.
故选：A.
【变式1-1】（2025·辽宁·二模）设集合A ={x| 2 x−1>m).若2∈A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3
B．m≥3
C．m<3
D．m>3
【解题思路】根据元素与集合的关系，求m的取值范围.
【解答过程】因为2∈A，所以2×2−1>m，所以m<3.
故选：C.
【变式1-2】（2025·陕西汉中·二模）已知集合A ={2m+❑√3n|m∈Z ,n∈N ))，则（ ）
A．❑√3∉A
B．−2+5 ❑√3∉A
C．4∈A
D．−1+2❑√3∈A
【解题思路】根据有理数和无理数的概念以及无理数数的拆分，对各个选项判断即可.
【解答过程】因为A ={2m+❑√3n|m∈Z ,n∈N ))，
设❑√3=2m+❑√3n,则：有理数部分：0=2m⇒m=0，无理数部分:❑√3=❑√3n⇒n=1，
m=0∈Z, n=1∈N,符合条件，所以❑√3∈A，故A 错误；
设−2+5 ❑√3=2m+❑√3n,则有理数部分:−2=2m⇒m=−1，无理数部分:5 ❑√3=❑√3n⇒n=5，
m=−1∈Z, n=5∈N,符合条件，故−2+5 ❑√3∈A，故B 错误；
设4 =2m+❑√3n,则：有理数部分:4 =2m⇒m=2，无理数部分：0=❑√3n⇒n=0∈N ，故4∈A,故C
正确；
设−1+2❑√3=2m+❑√3n,则有理数部分：−1=2m⇒m=−0.5 (非整数，矛盾)，故−1+2❑√3∉A，故D
错误．
故选：C.
【变式1-3】（2025·河南·一模）已知集合A ={x∣3ax−2≤0)，若1∈A且2∉A，则（ ）
A．1
3 <a<2
3
B．a<0
C．1
3 <a≤2
3
D．a>2
3
【解题思路】根据题意列出不等式组即可求出结果.
【解答过程】由题可知1∈A且2∉A ⇔{
3a−2≤0,
6a−2>0,)
解得1
3 <a≤2
3.
故选：C.
【题型2 集合中元素个数问题】
【例2】（2025·全国一卷·高考真题）设全集U ={x|x 是小于9的正整数)}，集合A ={1,3,5}，则∁U A
中元素个数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【解题思路】根据补集的定义即可求出．
【解答过程】因为U ={1,2,3,4,5,6,7,8)，
所以∁U A ={2,4,6,7,8)，则∁U A中的元素个数为5，
故选：C．
【变式2-1】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合A ={(x , y)|x =y))，B ={(x , y)|x =y
3))，则A ∩B中元素
的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题思路】将集合A与集合B所代表方程的关系进行联立求解，利用代入法得到一个关于y的方程，求解
y的值后再得到对应的x值，从而确定两个集合的交集.
【解答过程】将x =y代入x =y
3，得y =y
3，解得y =±1或0，
所以A ∩B ={(−1,−1),(0,0),(1,1)).则A ∩B中元素的个数为3 个.
故选：C.
【变式2-2】（2025·新疆喀什·二模）已知集合A ={1,2}，B ={2,4 }，则C ={xy ∣x∈A , y ∈B}的元素
个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题思路】根据给定条件，求出集合C即可.
【解答过程】集合A ={1,2},B ={2,4}，则C ={xy ∣x∈A , y ∈B}={2,4,8}，
所以集合C 的元素个数为3 个.
故选：C.
【变式2-3】（2025·安徽合肥·三模）已知集合A ={0,1,2,3,4,5},B ={0,2,4,6,8}，则图中阴影部分所示集
合的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【解题思路】根据题意，得到阴影部分表示的集合为∁A ∪B B，结合集合运算法则，即可求解.
【解答过程】由题意得，图中阴影部分表示的集合为∁A ∪B(B)，
因为集合A ={0,1,2,3,4,5},B ={0,2,4,6,8}，
可得∁A ∪B(B)={1,3,5}，
所以阴影部分所示集合的元素个数为3个.
故选：B．
【题型3 子集的个数问题】
【例3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合A ={0,2)，B ={−1,1,2)，C ={ab|a∈A ,b∈B))，则集
合C 的子集有（ ）
A．64 个
B．63 个
C．16 个
D．15 个
【解题思路】根据题意，求得集合C ={0,−2,2,4)，结合集合子集个数的计算方法，即可求解.
【解答过程】由集合A ={0,2)，B ={−1,1,2)，且C ={ab|a∈A ,b∈B))，
因为a∈A，b∈B，可得集合C ={0,−2,2,4)，所以集合C的子集有2
4=16个.
故选：C.
【变式3-1】（2025·安徽安庆·二模）若集合P ={x ∣−2≤x <m−m
2, x ∈Z)，当m=1
2时，集合P的非空
真子集个数为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．4
【解题思路】先确定集合P中的元素，再求其非空真子集个数.
【解答过程】根据题意，当m=1
2时，
集合P ={x∣−2≤x<1
4 , x∈Z)={−2,−1,0)，
集合P中有3 个元素，所以集合P的非空真子集个数为2
3−2=6.
故选：C.
【变式3-2】（2025·黑龙江·三模）已知集合A ={2, 3}， B ={x| 0<x<5，x∈N}，，则满足
A ⊆C ⊆B的集合C 的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解题思路】利用子集求解即可.
【解答过程】由题知B ={x| 0<x<5, x∈N)={1, 2, 3, 4 }.
因为A ⊆C ⊆B，所以根据子集的定义，
集合C必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4，
即集合{1, 4 }的子集个数为2
2=4个.
故选：C.
【变式3-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合A ={0,1,2)，B ={1,2,3)，若集合
C ={z∈N
*|z =xy , x∈A)且y ∈B}，则C的子集的个数为（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
【解题思路】首先求集合C中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解.
【解答过程】由条件可知，xy =0×1=0×2=0×3=0，xy =1×1=1，1×2=2×1=2，1×3=3，
2×2=4，2×3=6，
所以集合C ={1,2,3,4,6)，集合C的子集的个数为2
5=32个.
故选：C.
【题型4 判断集合间的关系】
【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合A ={x| x =n
2),n∈Z),B ={x| x =n
4),n∈Z)，则（ ）
A．A =B
B．A ⊆B
C．A ⊇B
D．A ∩B =∅
【解题思路】根据子集的定义以及符号表示，可得答案.
【解答过程】由n
2 =2n
4 (n∈Z)，则A ⊆B.
故选：B.
【变式4-1】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合A ={x|x =k
2 +1
4),k ∈Z),B ={y|y =l
4 +1
2),l∈Z)，则
（ ）
A．A ∩B =∅
B．A =B
C．A⫋B
D．B⫋A
【解题思路】由集合A ={x| x =2k −1
4
+1
2 ,k ∈Z }，即可判断集合间的关系.
【解答过程】由A ={x|x =k
2 +1
4),k ∈Z)={x| x =2k −1
4
+1
2 ,k ∈Z }，显然2k −1为奇数，
而B ={y|y =l
4 +1
2),l∈Z)，所以A⫋B.
故选：C.
【变式4-2】（2025·山西·三模）设集合S =¿是4 与6 的公倍数}，T =¿，则（ ）
A．S∈T
B．T ⊆S
C．S⊆T
D．S =T
【解题思路】由题意可知：S ={x∈N
*| x =12m,m∈N
*)，则T是S的真子集，对比选项分析即可.
【解答过程】由题意可知：S ={x∈N
*| x =12m,m∈N
*)，
显然24 的倍数均为12 的倍数，但12 的倍数不一定是24 的倍数，例如12，
所以T是S的真子集，对比选项可知B 正确，ACD 错误.
故选：B.
【变式4-3】（2025·天津·一模）已知集合M ={x|x =m+1
6 ,m∈Z))，N ={x|x =n
2 −1
3 ,n∈Z))，
P={x|x =p
2 +1
6 , p∈Z))，则M、N、P的关系满足（ ）
A．M =N ⊆P
B．M ⊆N =P
C．M ⊆N ⊆P
D．N ⊆P⊆M
【解题思路】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解.
【解答过程】N ={x|x =n
2 −1
3 ,n∈Z)),故N ={x|x =3n−2
6
,n∈Z)),
由于P={x|x =p
2 +1
6 , p∈Z))，故P={x|x =3 p+1
6
, p∈Z))，
由于n, p为任意整数，故3n−2
6
=3(n−1)+1
6
= 3 p+1
6
，因此N =P,
M ={x|x =m+1
6 ,m∈Z)),故M ={x|x =3⋅(2m)+1
6
,m∈Z))，
故M ⊆P，
所以M ⊆N =P，
故选：B．
【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】
【例5】（2025·河南·模拟预测）已知集合A ={0,1)，B ={0,a+1,a−1)，若A ⊆B，则a=（ ）
A．2
B．0
C．0或2
D．−2或2
【解题思路】分a+1=1和a−1=1两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【解答过程】
当
①
a+1=1时，解得a=0，此时B ={0,1,−1)，满足题意，
当
②
a−1=1时，解得a=2，此时B ={0,3,1)，满足题意，
故选：C.
【变式5-1】（2025·河南·二模）已知集合A ={x||x−3
2)≤1
2))，B ={x|a<x <a+2))，若A ⊆B，则a 的
取值范围为（ ）
A．(1,2)
B．(0,1)
C．[1,2)
D．[0,1)
【解题思路】先求解集合A，然后根据A ⊆B列不等式组即可求解.
【解答过程】由题意可得A ={x|1≤x ≤2))，又B ={x|a<x <a+2))，A ⊆B，
所以{
1>a
2<a+2)，解得0<a<1.
故选：B.
【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合A ={x|−1≤x ≤3)),B ={−t ,t )，若B⊆A，则实数t的取值
范围是（ ）
A．[−1,0)
B．[0,1)
C．[−1,0)∪(0,1)
D．[−2,0)∪(0,2)
【解题思路】根据集合的包含关系列不等式，解不等式可得结论.
【解答过程】由B⊆A，得{
−1≤t ≤3
−1≤−t ≤3
t ≠−t )，
解得−1≤t ≤1且t ≠0，
故实数t的取值范围是[−1,0)∪(0,1)．
故选：C．
【变式5-3】（2025·陕西铜川·三模）已知集合A ={x∣x<m},B ={x∣−2<x<3}，若A ⊇B，则实数m
的取值范围为（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,−2)
C．(3,+∞)
D．[3,+∞)
【解题思路】根据B⊆A，结合图象列不等式即可求解.
【解答过程】因为B⊆A，
所以∀x∈B , x∈A,
所以由数轴得m≥3.
即m的取值范围为[3,+∞).
故选：D.
【题型6 集合的交、并、补集运算】
【例6】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合A ={−4,0,1,2,8},B ={x∣x
3=x),则A ∩B =（ ）
A．{0,1,2}
B．{1,2,8}
C．{2,8}
D．{0,1}
【解题思路】求出集合B后结合交集的定义可求A ∩B.
【解答过程】B ={x| x
3=x)={0,−1,1)，
故A ∩B ={0,1)，
故选：D.
【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）已知集合M ={x∈Z|2<x<5))，N ={1,2,3)，则M ∪N =（ ）
A．{3)
B．{1,2,3)
C．{3,4)
D．{1,2,3,4)
【解题思路】求出集合M，再根据并集概念计算.
【解答过程】解：由 M ={x| x∈Z | 2<x<5}={3,4}，N ={1,2,3}
所以M ∪N ={1,2,3,4}
故选：D.
【变式6-2】（2025·广东茂名·二模）已知集合M ={x∈N| | x| ≤2},N ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，则
M ∩N =（ ）
A．{0,1,2)
B．{−2,−1,0,1,2)
C．[−2,2)
D．{1,2)
【解题思路】先解绝对值不等式，再用交集定义即可求得.
【解答过程】由| x| ≤2可得−2≤x ≤2，则M ={x∈N| | x| ≤2}={0,1,2}，
因N ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，则M ∩N ={0,1,2}.
故选：A.
【变式6-3】（2025·天津·高考真题）已知集合U ={1,2,3,4,5), A ={1,3),B ={2,3,5)，则∁U ( A ∪B)=
（ ）
A．{1,2,3,4)
B．{2,3,4)
C．{2,4)
D．{4)
【解题思路】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【解答过程】由A ={1,3),B ={2,3,5)，则A ∪B ={1,2,3,5)，
集合U ={1,2,3,4,5)，
故∁U ( A ∪B)={4)
故选：D.
【题型7 与集合的运算有关的含参问题】
【例7】（2025·山东威海·三模）已知集合A ={1,2,❑√m},B ={1,m}，若A ∩B =B，则m=（ ）
A．0
B．0 或2
C．1 或2
D．0 或1
【解题思路】由A ∩B =B得集合A，B之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解.
【解答过程】由A ∩B =B，得B⊆A，
因为B ={1,m)，所以m≠1，
因为集合A ={1,2,❑√m)，
所以m=2或m=❑√m，解得m=2或m=0（m=1不合题意舍去），
所以m=0或2.
故选：B.
【变式7-1】（2025·贵州·二模）已知集合A ={x|−3≤x<3))，B ={y|y <m))，若A ∩B =∅，则m的取值
范围是（ ）
A．(−∞,−3)
B．[−3,+∞)
C．(−∞,−3)
D．[3,+∞)
【解题思路】根据给定条件，利用交集的结果求出范围.
【解答过程】集合A ={x|−3≤x <3))，B ={y|y <m))，而A ∩B =∅，则m≤−3，
所以m的取值范围是(−∞,−3).
故选：C.
【变式7-2】（2025·北京海淀·二模）已知集合A ={−1,0,1,2),B ={x∣a<x<2}．若a∈Z，且
A ∩B ={1)，则a=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【解题思路】根据交集的结果直接得出答案.
【解答过程】由题意知，A ={−1,0,1,2},B ={x)a<x<2}，
因为a∈Z , A ∩B ={1}，
所以a=0.
故选：B.
【变式7-3】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合M ={x|−3<x<2)), N ={x|a<x<4))，若
M ∪N ={x|−3<x<4))，则实数a的取值范围为（ ）
A．[−3,2)
B．(−3,2)
C．[−3,2)
D．[2,4)
【解题思路】根据数集的并集运算求参数的取值范围.
【解答过程】因为M ={x|−3<x<2)), N ={x|a<x<4))，M ∪N ={x|−3<x<4))，
所以−3≤a<2.
故选：A.
【题型8 集合中的新定义问题】
【例8】（2025 高三·全国·专题练习）已知集合P ={4,5,6)，Q ={1,2,3)，定义
P−Q ={x|x =p−q , p∈P ,q∈Q))，则集合P−Q的所有真子集的个数为（ ）
A．32
B．31
C．30
D．29
【解题思路】由题定义先得P−Q ={1,2,3,4,5)，进而可得真子集的个数为2
5−1=31.
【解答过程】集合P ={4,5,6)，Q ={1,2,3)，
定义P−Q ={x|x =p−q , p∈P ,q∈Q))，
则P−Q ={1,2,3,4,5)，元素个数为5，
故集合P−Q的所有真子集的个数为2
5−1=31，
故选：B.
【变式8-1】（2025·黑龙江·二模）已知集合A ={1,2)，B ={3,4)，定义集合：
A ∗B ={(x , y)|x∈A , y ∈B))，则集合A ∗B的非空子集的个数是（ ）个．
A．16
B．15
C．14
D．13
【解题思路】先确定集合A ∗B有四个元素，则可得其非空子集的个数.
【解答过程】根据题意，A ∗B ={(x , y)|x∈A , y ∈B))={(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4))，
则集合A ∗B的非空子集的个数是2
4−1=15.
故选：B.
【变式8-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B={x| x∈A且x∉B}，则对于集合
A={x| x =6n+5，n∈N}，B={y | y =3m+7，m∈N}，C =x| x∈A B且x<1000}，以下说法正
确的是（ ）
A．若在横线上填入
∩
，则
”
”
C 的真子集有212
1
﹣
个.
B．若在横线上填入
∪
，则
”
”
C 中元素个数大于250.
C．若在横线上填入”\”，则C 的非空真子集有2153
2
﹣个.
D．若在横线上填入
∪
”
∁N
，则
”
∁NC 中元素个数为13.
【解题思路】根据各个选项确定相应的集合C，然后由集合与子集定义得结论．
【解答过程】x =6n+5=3×(2n+1)+2，y =3m+7 =3(m+2)+1，集合A ,B无公共元素，
选项A 中，集合C为空集，没有真子集，A 错；
选项B 中，由6n+5<1000得n<165 5
6，由3m+7<1000得m<331，因此C中元素个数为166+331=497
，B 正确；
选项C 中，C中元素个数为166，非空真子集个数为2
166−2，C 错；
选项D 中，∁N C =∁N( A ∪∁N B)=∁N A ∩∁N(∁N B)=∁N A ∩B，而B⊆∁N A，因此其中元素个
数为331 个，D 错．
故选：B．
【变式8-3】（2025·北京·高考真题）已知集合A ={1,2,3,4,5,6,7,8), M ={(x , y)∣x∈A , y ∈A)，从M
中选取n 个不同的元素组成一个序列：(x1, y1),(x2, y2),…,(xn, yn)，其中(xi, yi)称为该序列的第i 项
(i=1,2,…,n)，若该序列的相邻项(xi, yi),(xi+1, yi+1)满足：{
|xi+1−xi)=3,
|yi+1−yi)=4)或
{
|xi+1−xi)=4 ,
|yi+1−yi)=3)
(i=1,2,…,n−1)，则称该序列为K 列．
(1)对于第1 项为(3,3)的K 列，写出它的第2 项．
(2)设Γ为K 列，且Γ中的项(xi, yi)(i=1,2,…,n)满足：当i 为奇数时，xi∈{1,2,7,8}：当i 为偶数时，
xi∈{3,4,5,6}.判断(3,2)，(4,4)能否同时为Γ中的项，并说明理由；
(3)证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
【解题思路】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设(3,2)与(4,4)能同时在Γ中，导出矛盾，从而得出(3,2)与(4,4)不能同时在Γ中的结论；
（3）假设全体元素构成一个K 列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【解答过程】（1）根据题目定义可知，{
xi+1=xi±3
yi+1=yi± 4)或{
xi+1=xi± 4
yi+1=yi±3)，
若第一项为(3,3)，显然x2=0或−1不符合题意（不在集合A中），所以下一项是(6,7)或(7,6)；
（2）假设二者同时出现在Γ中，由于K 列取反序后仍是K 列，故不妨设(3,2)在(4,4)之前.
显然，在K 列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走奇
数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在Γ中.
（3）法1：若M中的所有元素构成K 列，考虑K 列中形如(xi, yi)(xi, yi∈{1,2,7,8})的项，
这样的项共有16个，由题知其下一项为(xi+1, yi+1), xi+1, yi+1∈{3,4,5,6}，共计16 个，
而(xi+1, yi+1)≠(3,3),(6,3),(3,6),(6,3)，因为只能6 由2 来，3 只能由7 来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12 个点，
即对于16 个(xi, yi)，有12 个(xi+1, yi+1)与之相对应，矛盾．
综上，由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
法2：假设全体元素构成一个K 列，则n=64.
设T 1={(x , y)) x∈{1,2,7,8), y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8))，T 2={(x , y)) x∈{3,4,5,6), y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8)).
则T 1和T 2都包含32个元素，且T 1中元素的相邻项必定在T 2中.
如果存在至少两对相邻的项属于T 2，那么属于T 2的项的数目一定多于属于T 1的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于T 2.
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2m和2m+1，
否则将导致属于T 2的项的个数比属于T 1的项的个数多2，此时m=1,2,3,⋯,31.
从而这个序列的前2m项中，第奇数项属于T 1，第偶数项属于T 2；
这个序列的后64−2m项中，第奇数项属于T 2，第偶数项属于T 1.
如果不存在相邻的属于T 2的项，那么也可以看作上述表示在m=0或m=32的特殊情况.
这意味着必定存在m∈{0,1,2,...,32)，使得{
(x2k −1, y2k −1)∈T 1,(x2k , y2k)∈T 2,1≤k ≤m
(x2k −1, y2k −1)∈T 2,(x2k , y2k)∈T 1,m+1≤k ≤32).
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故T 1中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数
的点的数量一定分别是m和32−m（不一定对应）.
但容易验证，T 1和T 2都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点，所以
m=32−m=16，得m=16.
从而有{
(x2k −1, y2k −1)∈T 1,(x2k , y2k)∈T 2,1≤k ≤16
(x2k −1, y2k −1)∈T 2,(x2k , y2k)∈T 1,17≤k ≤32).
这就得到T 1={(xk , yk))k =1,3,5,...,29,31,34,36,...,62,64).
再设T 3={(x , y)) x∈{1,2,3,4,5,6,7,8), y ∈{1,2,7,8))，
T 4={(x , y)) x∈{1,2,3,4,5,6,7,8), y ∈{3,4,5,6)).
则同理有{
(x2k −1, y2k −1)∈T 3,(x2k , y2k)∈T 4,1≤k ≤16
(x2k −1, y2k −1)∈T 4,(x2k , y2k)∈T 3,17≤k ≤32).
这意味着T 3={(xk , yk))k =1,3,5,...,29,31,34,36 ,...,62,64).
从而得到T 3=T 1，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）已知集合M ={x∣2 x−1>5}, N ={1,2,3}，则M ∩N =（ ）
A．{1,2,3}
B．{2,3}
C．{3}
D．∅
【解题思路】先求出集合M，再根据集合的交集运算即可解出.
【解答过程】因为M ={x| 2 x−1>5)={x| x>3)，所以M ∩N =∅，
故选：D.
2．（2025·辽宁·二模）设集合A ={x| 2 x−1>m).若2∈A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3
B．m≥3
C．m<3
D．m>3
【解题思路】根据元素与集合的关系，求m的取值范围.
【解答过程】因为2∈A，所以2×2−1>m，所以m<3.
故选：C.
3．（2025·广东揭阳·二模）已知集合A ={(x , y)|
x
2
4 +y
2
3 ≤1), x∈Z, y ∈Z)，则A 中元素的个数为
（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【解题思路】首先求出x 的值，然后代入x
2
4 +y
2
3 ≤1分别求出y 的值即可.
【解答过程】因为x∈Z, y ∈Z，所以x
2≥0 , y
2≥0，
又x
2
4 +y
2
3 ≤1，所以x
2
4 ≤1，可得x
2≤4，所以x 可能取值为−2,−1,0,1,2,
当x =−2时：代入x
2
4 +y
2
3 ≤1得y
2≤0，又y
2≥0，
所以y =0，此时得到元素(−2,0)；
当x =−1时：代入x
2
4 +y
2
3 ≤1得y
2≤9
4 ⇒−3
2 ≤y ≤3
2，∵y ∈Z，∴y =−1,0,1，
此时得到元素(−1,−1),(−1,0),(−1,1)；
当x =0时：代入x
2
4 +y
2
3 ≤1得y
2≤3，∴−❑√3≤y ≤❑√3.∵y ∈Z，∴y =−1,0,1，
此时得到元素(0,−1),(0,0),(0,1)；
当x =1时：代入x
2
4 +y
2
3 ≤1得y
2≤9
4 ⇒−3
2 ≤y ≤3
2，∵y ∈Z，∴y =−1,0,1，
此时得到元素(1,−1),(1,0),(1,1)；
当x =2时：代入x
2
4 +y
2
3 ≤1得1+y
2
3 ≤1，所以y =0，
此时得到元素(2,0)；
满足条件的元素分别为：
(−2,0)，(−1,−1),(−1,0),(−1,1)，(0,−1),(0,0),(0,1)，(1,−1),(1,0),(1,1)，(2,0)共11 个，
故选：C.
4．（2025·山西·三模）已知集合A ={x∣0≤x ≤3)，B ={x∣m−1≤x ≤m+1)，且B⊆A，则m的取值范
围是（ ）
A．[1,2)
B．(−∞,1¿∪)2,+∞¿¿
C．(1,2) D．[2,+∞)
【解题思路】根据B⊆A，由此列出满足题意的不等式组，求解出m 的取值范围.
【解答过程】因为B⊆A，所以{
m−1≥0
m+1≤3)，解得1≤m≤2．所以m的取值范围是[1,2)．
故选：A.
5．（2025·辽宁·三模）已知集合M ={( x , y)|y =1
2 −x)), N ={( x , y)|x
2=−2 y))，则M ∩N的子集个数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合M ∩N中的元素个数，进而的集合M ∩N的子集的个数，
得到答案.
【解答过程】根据题意，联立方程组{
y =1
2 −x
x
2=−2 y)
，可得x
2−2 x +1=0，
所以( x −1)
2=0，解得x =1, y =−1
2，即集合M ∩N ={(1,−1
2))，
所以集合M ∩N的子集个数为2 个．
故选：C．
6．（2025·四川·模拟预测）已知集合A ={x| x =n
2),n∈Z),B ={x| x =n
4),n∈Z)，则（ ）
A．A =B
B．A ⊆B
C．A ⊇B
D．A ∩B =∅
【解题思路】根据子集的定义以及符号表示，可得答案.
【解答过程】由n
2 =2n
4 (n∈Z)，则A ⊆B.
故选：B.
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合A ={3,4,5)，B ={2,3,4,8)，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2,8)
B．{3,4)
C．{2,5,8)
D．{3,4,5)
【解题思路】先求出集合A ,B的交集A ∩B，然后求出集合A ,B的并集A ∪B，最后求出阴影部分的元素
组成.
【解答过程】因为A ={3,4,5),B ={2,3,4,8)，
所以A ∩B ={3,4), A ∪B ={2,3,4,5,8)，
所以阴影部分表示的集合为{2,5,8).
故选：C.
8．（2025·山西临汾·三模）已知全集U ={1,2,3,4,5)，集合A ={1, 2)，B ={1, 3, 5)，则A ∪(∁U B)=
（ ）
A．{1,2,4)
B．{1,2,3)
C．{1,2,3,5)
D．{1,2,3,4)
【解题思路】根据补集、并集的定义计算可得.
【解答过程】因为全集U ={1,2,3,4,5)，A ={1, 2)，B ={1, 3, 5)，
所以∁U B ={2,4)，则A ∪(∁U B)={1,2,4).
故选：A.
二、多选题
9．（2025·江西·模拟预测）已知集合A ={x|ax ≤6))，B ={2,3)，下列结论正确的是（ ）
A．若a=0，则A =R
B．若a=0，则A =∅
C．若B⊆A，则a≤2
D．若B⊆A，则a可以取3
【解题思路】把a=0代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【解答过程】对于AB，若a=0，则任意实数x均满足0⋅x ≤6，因此A =R，A 正确，B 错误；
对于CD，由B⊆A，得{
2a≤6
3a≤6)，解得a≤2，C 正确，D 错误.
故选：AC.
10．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M 具有如下性质：
若
①
x , y ∈M，则x
y ∈M；
若
②
x , y ∈M，则x +y ∈M.下列说法中正确的有（ ）
A．−1∈M.
B．2025∈M.
C．若x , y ∈M，则xy ∈M.
D．若x , y ∈M，则x−y ∈M.
【解题思路】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质
，判断
①②
B.
【解答过程】对于A，若−1∈M，令x =y =−1，则x
y =1∈M , x +y =−2∈M，令x =−1, y =1，则
x
y =−1∈M , x +y =0∈M，令x =1, y =0，不存在x
y
，即y ≠0，矛盾，所以−1∉M，故A错误，
对于B，由于集合M非空，取任意元素x∈M，根据性质
，得
①
x
x =1∈M，再根据性质
，得
②
1+1=2∈M，进而1+2=3∈M ,⋯,2024∈M ,2025∈M，故B正确，
对于C，因为1∈M , x∈M，所以1
x ∈M，因为y ∈M , 1
x ∈M，所以
y
1
x
=xy ∈M
，故C正确，
对于D，若x =1, y =2，则x−y =−1∉M，故D错误，
故选：BC.
11．（2025·河南·三模）已知全集U ={x||x)<4 , x∈Z))，集合M ={−1,2,a
2)，N ={−1,1,2,a)，
P ={−3,−1,2,3)，若M ⊆N，则（ ）
A．a的取值有3个
B．M ∩P ={−1,2)
C．P∪N ={−3,−1,0,1,2,3)
D．(∁U M )∩(∁U P)所有子集的个数为4
【解题思路】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出a的值，可判断A 选项；利用交集的定义
可判断B 选项；利用并集的定义可判断C 选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D 选项.
【解答过程】对于A 选项，因为M ={−1,2,a
2)，N ={−1,1,2,a)，且M ⊆N，
则a
2=1或a
2=a，且a≠±1，a≠2，解得a=0，故a的取值只有1个，故A 错误；
对于B 选项，M ={−1,2,0)，P ={−3,−1,2,3)，所以M ∩P ={−1,2)，故B 正确；
对于C 选项，N ={−1,1,2,0)，P∪N ={−3,−1,0,1,2,3)，故C 正确；
对于D 选项，U ={x||x)<4 , x∈Z))={x|−4<x<4 , x∈Z))={−3,−2,−1,0,1,2,3)，
所以∁U M ={−3,−2,1,3)，∁U P ={−2,0,1)，则(∁U M )∩(∁U P)={−2,1)，
其(∁U M )∩(∁U P)的子集的个数为2
2=4，故D 正确．
故选：BCD.
三、填空题
12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合A ={x∣2 x ≤1},B ={−1,0,1,2}，则A ∩B = {−1,0} .
【解题思路】解不等式求出集合A，即可求集合的交集.
【解答过程】解集合A 中的不等式2 x ≤1，得x ≤1
2，
A ∩B就是求既属于A 又属于B的元素，所以A ∩B ={−1,0}.
故答案为：{−1,0}.
13．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合A ={1,|a−1),a+2)，且2∈A，则实数a的值为 3
．
【解题思路】因为2∈A，则|a−1)=2或a+2=2，由此可解出a，再代入集合A验证，需要满足集合的互
异性，由此可得答案.
【解答过程】因为2∈A，所以分为以下两种情况：
①|a−1)=2⇒a=3或−1，当a=3时，集合A ={1,2,5)满足题意；
当a=−1时，集合A ={1,2,1)，违反了集合的互异性，故舍去；
②a+2=2⇒a=0，此时集合A ={1,1,2)，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，a=3.
故答案为：3.
14．（2025·上海崇明·二模）已知全集U =R，集合A ={1,2,4},B ={2,4,5}，则A ∩∁U B = {1} ．
【解题思路】由集合运算求出∁U B，然后得到A ∩∁U B.
【解答过程】∁U B =(−∞,2)∪(2,4)∪(4,5)∪(5,+∞)，∴A ∩∁U B ={1)，
故答案为：{1}.
四、解答题
15．（24-25 高一上·四川眉山·期末）已知集合A ={1,a−2,2a
2+5a)，且−3∈A.
(1)求a的值；
(2)写出集合A的所有真子集.
【解题思路】（1）由−3∈A，求得a=−1或a=−3
2，结合元素的特征，即可求解；
（2）由（1）知集合A ={1,−7
2 ,−3}，根据集合子集的概念，即可求解.
【解答过程】（1）当a−2=−3时，a=−1，A ={1,−3,−3}不满足集合元素的互异性，a=−1不合题
意；
当2a
2+5a=−3时，解得a=−1或a=−3
2，a=−1不合题意，
当a=−3
2时，A ={1,−7
2 ,−3}，符合题意；
综上，a=−3
2；
（2）由（1）可得A ={1,−7
2 ,−3}，故集合A 的所有真子集为：
∅，{1}，{−7
2 }，{−3}，{1,−7
2 }，{1,−3}，{−7
2 ,−3}.
16．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知集合A ={x ¿.
(1)当m=1时，求A ∩(∁R B)；
(2)若A ∩B =B，求实数m 的取值范围.
【解题思路】（1）先计算∁R B，再计算A ∩(∁R B)；
（2）由A ∩B =B得B⊆A，再分类讨论.
【解答过程】（1）当m=1时，B ={x|1≤x ≤2))，则∁R B ={x|x <1))或x>2)，
则A ∩(∁R B)={x|−3≤x <1))或2<x<4).
（2）若A ∩B =B，则B⊆A,
当B =∅时，2m−1>m+1，即m>2；
当B≠∅时，−3≤2m−1≤m+1<4，得−1≤m≤2，
则实数m 的取值范围为{m|m≥−1)).
17．（23-24 高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合
P ={x∈R|x
2−3 x +b=0)),Q ={x∈R|(x +1)(x
2+3 x−4)=0)).
(1)若b=4，存在集合M使得P为M 的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.
【解题思路】（1）确定P =∅，并求出集合Q，写出Q的真子集即得；
（2）分类讨论，P =∅时满足题意，P≠∅时，由集合Q中的元素属于集合P，分别代入求出参数b，得
集合P检验即可．
【解答过程】（1）当b=4时，方程x
2−3 x +b=0的根的判别式Δ =(−3)
2−4×1×4<0，所以P =∅.
又Q =¿，故P⊊Q.
由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，
用列举法可得这样的集合M共有6 个，分别为{−4),{−1),{1),{−4 ,−1),{−4,1),{−1,1).
（2）当P =∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x
2−3 x +b=0，
有Δ =9−4 b<0，所以b>9
4 .
当P≠∅时，因为Q ={−4 ,−1,1)，所以当−1∈P时，
(−1)
2−3×(−1)+b=0，即b=−4，此时P =¿，
因为4∉Q，所以P不是Q的子集；
同理当−4∈P时，b=−28，P ={7 ,−4)，也不是Q的子集；
当1∈P时，b=2，P ={1,2)，也不是Q的子集.
综上，满足条件的b的取值范围是{b|b>9
4)).
18．（24-25 高一上·广西河池·期末）已知集合U ={1,2,3,5,7,9), A ={2,3,5),B ={1,3,5,9).
(1)求A ∩(∁UB),(∁UA)∩(∁UB)；
(2)若集合C ={x∣(x−2)(x−a)=0)，是否存在实数a，使得A ∪C =A？若存在，试求出实数a的值；若
不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）求出∁UA ,∁UB，再求A ∩(∁U B),(∁U A)∩(∁U B)；
（2）分类讨论求出集合C，根据A ∪C =A得C ⊆A，可得答案.
【解答过程】（1）∵U ={1,2,3,5,7,9), A ={2,3,5),B ={1,3,5,9)，
∴∁UA ={1,9,7),∁UB ={2,7)，
∴A ∩(∁UB)={2)，
(∁UA)∩(∁UB)={7);
（2）存在.
C ={x ∣(x −2)(x −a)=0)，
当
①
a=2时，C ={2)，满足A ∪C =A，所以a=2；
当
②
a≠2时，C ={2,a)，要满足A ∪C =A，则C ⊆A，
因为A ={2,3,5)，所以a=3或5；
综上所述，a=2或3 或5.
19．（2025·湖北武汉·二模）已知集合A ={x|x =m+❑√3n,m∈Z ,n∈Z))，集合B 满足
B ={x|x∈A 且1
x ∈A))
．
(1)判断2+❑√3，3−❑√3，0，7+4 ❑√3中的哪些元素属于B；
(2)证明：若x∈B，y ∈B，则xy ∈B；
(3)证明：若x =m+❑√3n∈B，则m
2−3n
2=1．
【解题思路】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于A即可；
（2）先证明若x∈A，y ∈A，则xy ∈A，即可得到1
xy ∈A，从而得证；
（3）依题意可得1
x =
m
m
2−3n
2 +
−n
m
2−3n
2
❑√3∈A，从而求出m
2−3n
2=±1，再说明m
2−3n
2≠−1即可.
【解答过程】（1）因为
1
2+❑√3 =2−❑√3∈A，所以2+❑√3∈B；
因为
1
3−❑√3 =
3+❑√3
(3−❑√3)(3+❑√3)
=3+❑√3
6
∉A，所以3−❑√3∉B；
因为0没有倒数，所以0∉B；
因为
1
7+4 ❑√3 =
7−4 ❑√3
(7+4 ❑√3)(7−4 ❑√3)
=7−4 ❑√3∈A，所以7+4 ❑√3∈B；
综上可得2+❑√3∈B，7+4 ❑√3∈B.
（2）先证明：若x∈A，y ∈A，则xy ∈A；
设x =s+❑√3t，y =p+❑√3q，s,t , p,q为整数，
所以xy =( p+❑√3q)(s+❑√3t)=sp+3tq+(sq+tp)❑√3，
由于sp+3tq，sq+tp都是整数，所以xy ∈A，
当x∈B，y ∈B时，1
x ∈A，1
y ∈A，所以1
x ⋅1
y = 1
xy ∈A，所以xy ∈B；
（3）因为x =m+❑√3n∈B，
所以1
x =
1
m+❑√3n =
m−❑√3n
(m+❑√3n)(m−❑√3n)
=
m
m
2−3n
2 +
−n
m
2−3n
2
❑√3∈A，
所以
m
m
2−3n
2，
−n
m
2−3n
2都是整数，
所以(
m
m
2−3n
2)
2
−3(
−n
m
2−3n
2)
2
= m
2−3n
2
(m
2−3n
2)
2 =
1
m
2−3n
2为整数，
所以m
2−3n
2=±1，
假如m
2−3n
2=−1，则m
2+1=3n
2，则m
2+1应为3的倍数，
设k为整数，若m=3k，则m
2+1=9k
2+1不是3的倍数；
若m=3k +1，则m
2+1=9k
2+6k +2=3(3k
2+2k)+2不是3的倍数；
若m=3k +2，则m
2+1=9k
2+12k +5=3(3k
2+4 k +1)+2不是3的倍数；
所以m
2−3n
2≠−1，即m
2−3n
2=1.
