专题1.2 常用逻辑用语（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 充分条件与必要条件的判断】..................................................................................................................3
【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】.........................................................................................................4
【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】.................................................................................................5
【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】.................................................................................................6
【题型5 根据命题的真假求参数】..........................................................................................................................7
【题型6 常用逻辑用语与集合综合】......................................................................................................................9
1、常用逻辑用语
考点要求
真题统计
考情分析
(1)必要条件、充分条件、
充要条件
(2)全称量词与存在量词
(3)全称量词命题与存在量
词命题的否定
2022 年天津卷：第2 题，5 分
2023 年新高考I 卷：第7
题，5 分
2024 年新课标Ⅱ卷：第2
题，5 分
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，
从近几年高考情况来看，常用逻辑用语
较少单独命题考查，偶尔以已知条件的
形式出现在其他考点的题目中，难度不
大.重点关注以下两点：①集合与充
分、必要条件相结合的问题的求解；②
命题的否定和全称量词命题与存在量词
命题的真假判断.
知识点
1 常用逻辑用语
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
"若p,则q"是假命题
推出关系及
符号表示
由p 通过推理可得出
q，记作：p⇒q
由条件p 不能推出结论
q，记作：
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p
既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p⇔q，那么p 与q 互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词
命题
含有全称量词的命题
形式
“对M 中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为
“∀ x ∈ M
，
p ( x ) ”
4．存在量词与存在量词命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词
命题
含有存在
量词
的命题
形式
“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为
“∃ x ∈ M
，
p ( x ) ”
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件
设
.
(1)若
，则
是
的充分条件(
)，
是
的必要条件；若
，则
是
的充分不必要条
件，
是
的必要不充分条件，即
且
；
(2)若
，则
是
的必要条件，
是
的充分条件；
(3)若
，则
与
互为充要条件.
2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立；要判断全称量词
命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量
词命题就是假命题.
【题型1 充分条件与必要条件的判断】
【例1】（2025·天津滨海新·三模）已知a、b∈R，则“a≠b”是“a
2≠b
2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求出a
2≠b
2的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解答过程】由a
2≠b
2可得a≠b且a≠−b，
因为“a≠b”⇒“a≠b且a≠−b”，“a≠b”⇐“a≠b且a≠−b”，
因此，“a≠b”是“a
2≠b
2”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式1-1】（2025·陕西渭南·三模）设x , y ∈R，则“xy >0”是“x
2+ y
2>0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义结合特殊值法即可判断.
【解答过程】由xy >0可知x>0，y >0或x<0，y <0，此时x
2+ y
2>0，
即“xy >0”⇒“x
2+ y
2>0”；
但当x
2+ y
2>0时，取x =1，y =0，此时xy =0，
即“x
2+ y
2>0” ⇒“xy >0”，
综上所述，“xy >0”是“x
2+ y
2>0”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合A = {x|3ax−2≤0)，则使得“1∈A且2∉A”成立的一
个充分不必要条件是（ ）
A．1
3 <a< 2
3
B．a<0
C．1
3 <a≤2
3
D．a> 1
3
【解题思路】当1∈A且2∉A时求出a的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.
【解答过程】由题可知1∈A且2∉A ⇔{
3a−2≤0
6a−2>0)，解得1
3 <a≤2
3，
所以使得“1∈A且2∉A”成立的一个充分不必要条件是集合{a|
1
3 <a≤2
3))的一个真子集，
因为只有选项A 中的{a|
1
3 <a< 2
3))是{a|
1
3 <a≤2
3))的真子集，
故选：A.
【变式1-3】（2025·天津河东·二模）已知x∈R，命题p：x
3≠1，命题q：| x|≠1，则p 是q 的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
【解题思路】由命题间的必要不充分条件判断即可.
【解答过程】命题p：x
3≠1即x≠1，
命题q：| x|≠1即x≠±1，
所以命题q能推出命题p，而命题p不能推出命题q，
所以p 是q 的必要不充分条件.
故选：C.
【题型2 根据充分条件、必要条件求参数】
【例2】（2025·吉林延边·一模）若“x ≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”，则实数m的取值范围是
（ ）
A．m<0
B．m≤0
C．m>0
D．m≥0
【解题思路】根据充分不必要条件的判断即可得到实数m的取值范围.
【解答过程】由＂x ≥m＂的充分不必要条件是＂0≤x<1＂，
得{x∣0≤x<1}⊆{x∣x ≥m}，但{x∣0≤x<1}≠{x∣x ≥m}，
所以m≤0．
故选：B.
【变式2-1】（2025·山东济南·二模）已知A ={x∣1< x<2},B ={x∣x<a}，若“x∈A”是“x∈B”
的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1
B．a≥1
C．a≤2
D．a≥2
【解题思路】利用充分不必要条件求参数，得到A ⊆B，即可求解.
【解答过程】因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A ⊆B，所以a≥2.
故选：D.
【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知p：x ≥a，q：|x +2a)<3，且p是q的必要不充分条件，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞，−1)
B．(−∞，−1)
C．[1，+ ∞)
D．(1，+∞)
【解题思路】利用绝对值不等式的解法化简q:−2a−3< x<−2a+3，再由充分条件与必要条件的定义，
结合集合的包含关系列不等式求解即可.
【解答过程】因为q：|x +2a)<3，
所以q:−2a−3< x<−2a+3，
记A = {x|−2a−3< x<−2a+3)；
p: x ≥a，记为B = {x| x ≥a)．
因为p是q的必要不充分条件，所以A⫋B，
所以a≤−2a−3，解得a≤−1．
故选：A．
【变式2-3】（2025·江西萍乡·二模）集合A ={x∣−1< x<2},B ={x∣−2< x<m}，若x∈B的充分条件
是x∈A，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−1,2)
B．[2,+∞)
C．(−2,2)
D．(2,+∞)
【解题思路】根据题意A是B的子集，从而求解.
【解答过程】A ={x∣−1< x<2},B ={x∣−2< x<m}，
因为x∈B的充分条件是x∈A，所以A ⊆B，
则m≥2，
故选：B.
【题型3 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例3】（2025·河北唐山·一模）已知命题p:∀x∈R , x
2>0；命题q:∃x>0,ln x<0．则（ ）
A．p和q都是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q是假命题
D．p和q都是假命题
【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明.
【解答过程】对于命题p:∀x∈R , x
2>0，因为当x =0时，x
2=0，故命题p是假命题；
对于命题q:∃x>0,ln x<0，当x = 1
e 时，ln 1
e =−1<0，故命题q是真命题.
故选：B.
【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x
2= x，
则（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【解题思路】判断出p、q的真假，即可得出结论.
【解答过程】对于命题p，不妨取x =3，则|1−3)>1，则命题p为假命题，
对于命题q，由x
2= x可得x =0或x =1，则命题q为真命题，
因此，¬ p和q都是真命题.
故选：B.
【变式3-2】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x
2= x，
则（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【解题思路】判断出p、q的真假，即可得出结论.
【解答过程】对于命题p，不妨取x =3，则|1−3)>1，则命题p为假命题，
对于命题q，由x
2= x可得x =0或x =1，则命题q为真命题，
因此，¬ p和q都是真命题.
故选：B.
【变式3-3】（2025·辽宁辽阳·二模）已知命题p:∀x∈R ,
❑√x
2+1> x，命题q:∃x>0,❑√x> x
2，则
（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【解题思路】利用❑√x
2+1>
❑√x
2判断命题p的真假，举例说明，令x = 1
2，可判断命题q的真假性.
【解答过程】由❑√x
2+1>
❑√x
2=|x)≥x，得p是真命题，¬ p是假命题；
当x = 1
2时，
❑√x =
❑√2
2 , x
2= 1
4 ，则∃x>0,❑√x> x
2，则q是真命题，¬q是假命题．
综上，p和q都是真命题.
故选：A.
【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】
【例4】（2025·贵州黔东南·三模）命题“∀x∈R , x +| x|≥0”的否定是（ ）
A．∃x∈R , x +| x|≥0
B．∃x∉R , x +| x|<0
C．∀x∈R , x +| x|<0
D．∃x∈R , x +| x|<0
【解题思路】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.
【解答过程】由全称量词命题的否定可知，
命题∀x∈R , x +| x|≥0的否定是∃x∈R , x +| x|<0，
故选：D.
【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）命题“∀x∈(0,2)，2 x−x
2≥sin( πx
2 )”的否定是（ ）
A．∀x∉(0,2)，2 x−x
2≥sin( πx
2 )
B．∀x∈(0,2)，2 x−x
2<sin( πx
2 )
C．∃x∈(0,2)，2 x−x
2<sin( πx
2 )
D．∃x∉(0,2)，2 x−x
2≥sin( πx
2 )
【解题思路】根据全称量词命题否定的规律，改变量词否定结论，找出结果.
【解答过程】易得全称量词命题“∀x∈(0,2)，2 x−x
2≥sin( πx
2 )”的否定是存在量词命题“
∃x∈(0.2)，2 x−x
2<sin( πx
2 )”.
故选:C.
【变式4-2】（2025·云南·模拟预测）命题“∀x∈R , x
2+ x−5≥0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x
2+ x−5<0
B．∃x0∈R，x0
2+ x0−5<0
C．∀x∉R，x
2+ x−5<0
D．∃x0∉R，x0
2+ x0−5<0
【解题思路】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果.
【解答过程】命题“∀x∈R , x
2+ x−5≥0”的否定是“∃x0∈R，x0
2+ x0−5<0”.
故选：B.
【变式4-3】（2025·湖南邵阳·二模）命题“∀x>1，e
x−2>0”的否定为（ ）
A．∀x ≤1，e
x−2>0
B．∀x>1，e
x−2≤0
C．∃x ≤1，e
x−2>0
D．∃x>1，e
x−2≤0
【解题思路】根据全称量词命题的否定是特称量词，改量词否定结论即可.
【解答过程】命题“∀x>1，e
x−2>0”是全称量词命题，其否定是特称量词，改量词否定结论.
所以命题“∀x>1，e
x−2>0”的否定为“∃x>1，e
x−2≤0”.
故选：D.
【题型5 根据命题的真假求参数】
【例5】（2025·河北·模拟预测）若命题“∃x∈R , x
2+2 x +a≤0”为真命题，则a 的取值范围是（ ）
A．(−∞,1]
B．(−∞,1)
C．(−∞,0]
D．(−∞,0)
【解题思路】根据存在性命题真假性可得Δ≥0，运算求解即可.
【解答过程】若命题“∃x∈R , x
2+2 x +a≤0”为真命题，
则Δ= 4−4 a≥0，解得a≤1，
所以a 的取值范围是(−∞,1].
故选：A.
【变式5-1】（24-25 高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“∀x∈R，x
2−2ax +6a>0”是假命题，则a
的取值范围是（ ）
A．(0，6)
B．(−∞,0)∪(6,+∞)
C．[0，6)
D．(−∞,0)∪[6,+ ∞)
【解题思路】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得a的取值范围》
【解答过程】命题“∀x∈R，x
2−2ax +6a>0”是假命题，
则∃x∈R，x
2−2ax +6a≤0 是真命题，
∴Δ= 4 a
2−24 a≥0，
解得：a≥6或a≤0，
即a 的范围是(−∞,0)∪[6,+ ∞) .
故选：D.
【变式5-2】（25-26 高一上·全国·单元测试）已知命题“∃x0∈{x|−1≤x ≤1},−x0
2+3 x0+a>0”为真
命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a<−2)
B．{a|a<4)
C．{a|a>−2))
D．{a|a>4))
【解题思路】根据命题是真命题的意思求解即可.
【解答过程】因为命题“∃x0∈{x|−1≤x ≤1)),−x0
2+3 x0+a>0”为真命题，
所以命题“∃x0∈{x|−1≤x ≤1)),a> x0
2−3 x0”为真命题，
所以x0∈{x|−1≤x ≤1))时，a>(x0
2−3 x0)min.
因为y = x
2−3 x =(x−3
2)
2
−9
4 ，
所以当x∈{x|−1≤x ≤1))时，ymin=−2，此时x =1.
所以x0∈{x|−1≤x ≤1))时，a>(x0
2−3 x0)min=−2，即实数a的取值范围是{a|a>−2)).
故选：C.
【变式5-3】（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题p:∀x∈{x|1≤x ≤2)，都有x
2−a≥0，命题
q:存在x0∈R , x0
2+2a x0+2−a=0，若p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤−2)
B．{a|a≤1)
C．{a|a≤−2或a=1)
D．{a|−2<a<1或a>1)
【解题思路】求得p为真命题，实数a的取值范围；q为真命题，实数a的取值范围；进而可得p与q全为真
命题时，实数a的取值范围，进而可得结论.
【解答过程】若p为真命题，则a≤( x
2)min，又x∈{x|1≤x ≤2)，所以( x
2)min=1，所以a≤1，
若q为真命题，则x0
2+2a x0+2−a=0有解，所以Δ=(2a)
2−4×1×(2−a)≥0，
解得a≥1或a≤−2，
所以p与q全为真命题时，实数a的取值范围是{a|a≤−2或a=1}，
所以p与q不全为真命题，则实数a的取值范围是{a|−2<a<1)或a>1).
故选：D.
【题型6 常用逻辑用语与集合综合】
【例6】（2025·广东茂名·二模）设集合A ={x)−5 x +6<0),B ={x|x >−2))，则x∈A是x∈B的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据已知条件，推得A是B的真子集，即可判断．
【解答过程】∵集合A ={x)−5 x +6<0),B ={x|x >−2))，
∴A ={x) x> 6
5),B ={x|x>−2))，
∴A是B的真子集，
x∈A是x∈B的充分不必要条件．
故选：A．
【变式6-1】（2025·甘肃兰州·一模）已知集合A ={−1,0,1},B ={1,2,3}，以下判断正确的是（ ）
A．x∈A是x∈B的充分条件
B．x∈A ∩B是x∈B的既不充分也不必要条件
C．x∈A是x∈A ∪B的必要条件
D．x∈A ∩B是x∈{1}的充要条件
【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误.
【解答过程】对于A，当x =−1时，x∈A成立，x∈B不成立，所以x∈A不是x∈B的充分条件，故
A 错误；
对于B，因为A ={−1,0,1},B ={1,2,3}，所以A ∩B ={1}，
因为x∈A ∩B，所以x =1，所以x∈B，所以x∈A ∩B是x∈B的充分条件，故B 错误；
对于C，因为A ={−1,0,1},B ={1,2,3}，所以A ∪B ={−1,0,1,2,3}，当x =2时，
x∈A ∪B成立，但x∈A不成立，所以x∈A不是x∈A ∪B的必要条件，故C 错误；
对于D，因为A ∩B ={1}，x∈A ∩B，所以x =1，所以x∈{1}，所以x∈A ∩B是x∈{1}的充分条件，
由x∈{1}，可得x =1，所以x∈A ∩B，所以x∈A ∩B是x∈{1}的必要条件，
所以x∈A ∩B是x∈{1}的充要条件，故D 正确.
故选：D.
【变式6-2】（24-25 高一上·甘肃甘南·期末）已知集合P ={x|a+1≤x ≤2a+1))，Q ={x|−2≤x ≤5)).
(1)若a= 4，求(∁R P)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）当a= 4时，求出集合P，利用补集和交集的定义可求得集合(∁R P)∩Q；
（2）分析可知P是Q的真子集，分P =∅、P≠∅两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数a
的不等式（组），综合可得出实数a的取值范围.
【解答过程】（1）当a= 4时，集合P ={x|5≤x ≤9))，可得∁R P ={x|x <5))或x>9)，
因为Q ={x|−2≤x ≤5))，所以(∁R P)∩Q ={x|−2≤x <5)).
（2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集，
当a+1>2a+1时，即a<0时，此时P =∅，满足P是Q的真子集；
当P≠∅时，则满足{
2a+1≥a+1
2a+1≤5
a+1≥−2 )，解得0≤a≤2，
当a=0时，P = {1)，此时P是Q的真子集，合乎题意；
当a=2时，P ={x|3≤x ≤5))，此时P是Q的真子集，合乎题意.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤2)).
【变式6-3】（24-25 高一上·福建厦门·阶段练习）设全集U = R，集合A ={x|1≤x ≤5))，集合
B ={x|−1−2a≤x ≤a−2))．
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若命题“∀x∈B，则x∈A”是假命题，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解．
（2）将真命题转化成B是A的子集，然后分情况讨论集合B为空集和非空集合，即可求解．
【解答过程】（1）由题意可知：集合A是集合B的真子集，
因此{
−1−2a<1
a−2≥5 )或{
−1−2a≤1
a−2>5 )，解得a≥7，
所以实数a的取值范围为{a|a≥7}．
（2）若命题“∀x∈B，则x∈A”是真命题，则有B⊆A，
当B =∅时，−1−2a>a−2，解得a< 1
3，符合题意，因此a< 1
3；
当B≠∅时，而A ={x|1≤x ≤5}，B ={x|−1−2a≤x ≤a−2}，
则1≤−1−2a≤a−2≤5，无解，
所以“∀x∈B，则x∈A”是真命题，实数a的取值范围a< 1
3．
那“∀x∈B，则x∈A”是假命题时，a≥1
3.
一、单选题
1．（2025·辽宁·三模）“a>b”是“a
2>b
2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】举反例a=−1,b=−2和a=−2,b=−1可得出.
【解答过程】若a=−1,b=−2，则满足a>b，但不满足a
2>b
2，故a>b无法得到a
2>b
2；
若a=−2,b=−1，则满足a
2>b
2，但不满足a>b，故a
2>b
2无法得到a>b，
故“a>b”是“a
2>b
2”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
2．（2025·天津和平·三模）命题“∃x∈N，x
2>1”的否定是（ ）
A．∀x∉N，x
2<1
B．∀x∈N，x
2<1
C．∀x∉N，x
2≤1
D．∀x∈N，x
2≤1
【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.
【解答过程】命题“∃x∈N，x
2>1”的否定是“∀x∈N，x
2≤1”，
故选：D.
3．（2025·上海静安·模拟预测）“−2≤x ≤2”是“|x +2)+|x−2)≤4”的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【解题思路】分类讨论求解|x +2)+|x−2)≤4，即可判断．
【解答过程】当x>2时，|x +2)+|x−2)= x +2+ x−2≤4⇒x ≤2，不成立；
当x<−2时，|x +2)+|x−2)=−x−2−x +2≤4⇒x ≥−2，不成立；
当−2≤x ≤2时，|x +2)+|x−2)= x +2+2−x = 4≤4，成立；
所以“−2≤x ≤2”是“|x +2)+|x−2)≤4”的充要条件.
故选：C．
4．（2025·甘肃·模拟预测）若命题p:∀x>1, x
2−3 x +2>0，则（ ）
A．p是真命题，且¬ p:∃x>1, x
2−3 x +2≤0
B．p是真命题，且¬ p:∃x ≤1, x
2−3 x +2≤0
C．p是假命题，且¬ p:∃x>1, x
2−3 x +2≤0
D．p是假命题，且¬ p:∃x ≤1, x
2−3 x +2≤0
【解题思路】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解.
【解答过程】当x = 3
2时，x
2−3 x +2=−1
4 <0，
所以p是假命题，且¬ p:∃x>1, x
2−3 x +2≤0.
故选：C.
5．（2025·吉林·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，| x|>0，命题q:∃x>0，x
3= x，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．p和¬q都是真命题
C．¬ p和q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【解题思路】举出反例证明p为假命题，所以¬ p为真；找出实例证明q为真命题，所以¬q为假；由此即
可求解.
【解答过程】对于命题p，x =0时，|x)=0，
所以p:∀x∈R，|x)>0为假命题，¬ p为真命题，
对于命题q，x
3= x，解得x =0，x =−1或x =1>0，
所以q:∃x>0，x
2= x，为真命题，¬q为假命题，
所以¬ p和q都是真命题.
故选：C.
6．（2025·重庆·模拟预测）若A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，C 是D 的必要不充分条件，
则A 是D 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可.
【解答过程】若A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，C 是D 的必要不充分条件，
则A ⇒B⇔C ⇐D，
则A 是D 的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7．（2025·湖北宜昌·二模）已知命题p:∀x∈R，∣1−x∣≤1，命题q:∃x>0，x
2>2
x，则（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【解题思路】利用特值法即可判断两个命题的真假，从而得到答案.
【解答过程】对于命题p，不妨取x =3，则|1−3)>1，则命题p为假命题，
对于命题q，不妨取x =3，由9>8，则命题q为真命题，因此，¬ p和q都是真命题.
故选：B.
8．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“∃x∈(0,+∞)，2 x
2−ax +1<0”为假命题，则实数a的取值范
围是（ ）
A．(−∞,2❑√2)
B．(−∞,2)
C．(−∞,1)
D．(−∞, 1
2)
【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基
本不等式求解实数a的取值范围.
【解答过程】已知命题“∃x ∈(0,+ ∞),2 x
2−ax +1<0”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，
可知其否定“∀x ∈(0,+ ∞),2 x
2−ax +1≥0”为真命题.
由2 x
2−ax +1≥0，x∈(0,+ ∞)，移项可得ax≤2 x
2+1，
因为x>0，两边同时除以x，得到a≤2 x + 1
x 在(0,+∞)上恒成立.
在2 x + 1
x 中，因为x>0，所以2x 和1
x 都是正实数，则2 x + 1
x ≥2❑√2 x⋅1
x =2❑√2，
当且仅当2 x = 1
x ，即x =
❑√2
2 时等号成立.
因为a≤2 x + 1
x 在(0,+ ∞)上恒成立，所以a要小于等于2 x + 1
x 的最小值2❑√2，
即a≤2❑√2，所以实数a的取值范围是(−∞,2❑√2].
实数a的取值范围是(−∞,2❑√2].
故选：A.
二、多选题
9．（24-25 高一上·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“1
a > 1
b ”是“a<b”的充分不必要条件
B．A ∩B =∅. 是A =∅的必要不充分条件
C．若a，b，c∈R，则“ac
2>bc
2”的充要条件是“a>b”
D．若a，b∈R，则“a
2+b
2≠0”是“|a)+|b)≠0”的充要条件
【解题思路】根据充分必要条件的定义判断即可得解．
【解答过程】A 选项：当a=2，b=−2时，满足1
a > 1
b ，但是不能推出a<b；
反之当a=−2，b=2时，满足a<b，但是不能推出1
a > 1
b ，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误；
B 选项：当A = {1)，B = {2)，A ∩B =∅,但是不能推出A =∅
当A =∅时，A ∩B =∅，故 B 正确；
C 选项：当c =0时，不能由a>b推出ac
2>bc
2,故 C 错误；
D 选项：a
2+b
2≠0等价于a≠0，b≠0等价于|a|+|b|≠0，故 D 正确；
故选：BD.
10．（2025·重庆·三模）命题“存在x>0，使得m x
2+2 x−1>0”为真命题的一个充分不必要条件是（
）
A．m>−2
B．m>−1
C．m>0
D．m>1
【解题思路】根据题意，转化为存在x>0，设定m> 1−2 x
x
2
，利用二次函数的性质，求得1−2 x
x
2
的最小值
为−1，求得m的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.
【解答过程】由题意，存在x>0，使得m x
2+2 x−1>0，即m> 1−2 x
x
2
=( 1
x )
2
−2× 1
x =( 1
x −1)
2
−1，
当1
x −1=0时，即x =1时，1−2 x
x
2
的最小值为−1，故m>−1；
所以命题“存在x>0，使得m x
2+2 x−1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>−1)的真子集，
结合选项可得，C 和D 项符合条件.
故选：CD.
11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合A ={a,a
2),B = {x∣1≤x ≤4)，若“x∈A”是“x∈B”的充
分条件，则实数a的取值可以是（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．4
【解题思路】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即
可.
【解答过程】由题意得{
1≤a≤4
1≤a
2≤4
a≠a
2 )
，解得1<a≤2，则BC 符合题意.
故选：BC.
三、填空题
12．（2025·四川成都·模拟预测）已知命题p:∀x∈R，2
x>1，则¬ p是 ∃x0∈R ,2
x0≤1 .
【解题思路】根据全称量词命题的否定要求即得.
【解答过程】由p:∀x∈R，2
x>1可得：¬ p:∃x0∈R ,2
x0≤1.
故答案为：∃x0∈R ,2
x0≤1.
13．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：∀x>0，x
2−7 x +6≤0，则命题p 的否定为
∃x>0，x
2−7 x +6>0 ．
【解题思路】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案.
【解答过程】命题p：∀x>0，x
2−7 x +6≤0的否定为：∃x>0，x
2−7 x +6>0，
故答案为：∃x>0，x
2−7 x +6>0.
14．（2025·西藏拉萨·一模）已知命题：“∀x∈R，m
2−1=(m+m
2) x”为真命题，则m的取值为 −1
.
【解题思路】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可.
【解答过程】因为命题：“∀x∈R，m
2−1=(m+m
2) x”为真命题，
即等式m
2−1=(m+m
2) x恒成立，
则{
m
2−1=0
m+m
2=0)，
解得m=−1，
故答案为：−1.
四、解答题
15．（25-26 高一上·全国·课后作业）写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由．
(1)p:∃x∈R , x
2=−1；
(2)p：不论m取何实数，关于x的方程m
2 x
2+ x−1=0必有实数根；
(3)p：有的平行四边形的对角线相等；
(4)p：有些实数的绝对值是正数．
【解题思路】先求出命题的否定，再判断真假即可.
【解答过程】（1）因为p:∃x∈R , x
2=−1，所以¬ p:∀x∈R , x
2≠−1．
显然当x∈R时，x
2≥0, x
2≠−1，所以命题p为假命题，p的否定为真命题．
（2）因为p：不论m取何实数，关于x的方程m
2 x
2+ x−1=0必有实数根，所以¬ p：存在实数m，关于x
的方程m
2 x
2+ x−1=0没有实数根．
当m=0时，方程x−1=0有实根；当m≠0时，方程m
2 x
2+ x−1=0的判别式Δ=1+ 4 m
2>0，故命题p为
真命题，命题p的否定为假命题．
（3）因为p：有的平行四边形的对角线相等，所以¬ p：所有平行四边形的对角线都不相等．命题p是真
命题，命题p的否定是假命题．
（4）因为p：有些实数的绝对值是正数，所以¬ p：所有实数的绝对值都不是正数．命题p为真命题，命
题p的否定是假命题．
16．（24-25 高一上·四川绵阳·阶段练习）设p:实数x满足x
2−2ax−3a
2<0(a>0)，q：实数x满足
x−4
x−2 <0.
(1)若a=1，且p,q都为真命题，求x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【解题思路】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可.
(2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知q所代表的范围是p所代表的范围的真子集，列出不等式组，
进而即得.
【解答过程】（1）a=1时，x
2−2 x−3<0，−1< x<3，
即p:−1< x<3，
由q得( x−4)( x−2)<0，解得2< x<4 又q:2< x<4，
而p，q都为真命题，所以2< x<3；
（2）a>0，x
2−2ax−3a
2<0 ⇔−a< x<3a，
由q是p的充分不必要条件，则{
−a≤2
3a≥4)等号不同时成立，又因为a>0，
所以a≥4
3 .
17．（24-25 高一下·河北保定·阶段练习）已知a∈R，命题p:∀x∈[1,2]，x
2≥a；命题q:∃x0∈R，
x0
2+2a x0−(a−2)=0．
(1)若p 是真命题，求a 的最大值；
(2)若p、q 中有且只有一个是真命题，求a 的取值范围．
【解题思路】（1）命题p 为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a 的最大值.
（2）先求出命题q 为真时a 的取值范围，q 为假时a 的取值范围，然后利用集合的运算求a 的取值范围.
【解答过程】（1）若p 是真命题，即a≤x
2恒成立，x∈[1,2]时，x
2的最小值为1，所以a≤1，
即a 的最大值为1.
（2）若q 是真命题，Δ=(2a)
2+ 4(a−2)≥0，解得a≤−2或a≥1，
若q 是假命题，Δ=(2a)
2+ 4(a−2)<0，解得−2<a<1，
由已知p、q 一真一假，
若p 真q 假，则{
−2<a<1
a≤1 )⇒−2<a<1，
若q 真p 假，则{
a≤−2或a≥1
a>1
)⇒1<a，
综上： −2<a<1或a>1.
18．（24-25 高一上·山东东营·期中）已知m∈R，命题p:∀x ∈{x|0≤x ≤1))，不等式2 x−2≥m
2−3m
恒成立；命题q:∃x ∈{x|−1≤x ≤1))，使得m≤1−x
2成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)若p和q至少有一个为真，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）根据命题p为真命题，可得出关于实数m的不等式，解之即可得出实数m的取值范围；
（2）求出当命题q为真命题时，实数m的取值范围，再将命题p为真、命题q为真时对应的实数m的取值范
围取并集即可得答案.
【解答过程】（1）若命题p为真命题，即∀x∈{x|0≤x ≤1))，不等式2 x−2≥m
2−3m恒成立
则m
2−3m≤(2 x−2)min=−2，可得m
2−3m+2≤0，解得1≤m≤2，
因此，若p为真命题，则m的取值范围是{m|1≤m≤2)).
（2）若命题q为真命题，即∃x∈{x|−1≤x ≤1))，使得m≤1−x
2成立，则m≤(1−x
2)max =1，
p真q假时，{m|1<m≤2))；p假q真时，{m|m<1))；
p，q都真时，{m|m=1))；
因为p和q至少有一个为真，则m≤2，
因此，若p和q至少有一个为真，实数m的取值范围是{m|m≤2)).
19．（24-25 高一上·辽宁·阶段练习）已知集合A ={x|−2≤x−1≤5}、集合B ={x|m+1≤x ≤2m−1}（
m∈R）.
(1)若A ∩B =∅，求实数m的取值范围；
(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）分B =∅、B≠∅讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分B =∅、B≠∅讨论，即可求解.
【解答过程】（1）由题意可知A ={x|−2≤x−1≤5}={x|−1≤x ≤6}，
又A ∩B =∅，当B =∅时，m+1>2m−1，解得m<2，
当B≠∅时，m+1≤2m−1，m+1>6或2m−1<−1，解得m>5，
综上所述，实数m的取值范围为(−∞,2)∪(5,+ ∞)；
（2）∵命题p是命题q的必要不充分条件，∴集合B是集合A的真子集，
当B =∅时，m+1>2m−1，解得m<2，
当B≠∅时，{
m+1≤2m−1
m+1≥−1
2m−1≤6 )（等号不能同时成立），解得2≤m≤7
2，
综上所述，实数m的取值范围为(−∞, 7
2).
