专题2.2 幂指对三角函数比大小归类
近三年：1、比较大小是近年的高考命题热点，这类题目通常不会直接让你计算数值（因为无法直接计
算），而是考查你如何灵活运用函数的单调性、图像、临界点、放缩技巧来比较大小。
常用解题策略（“三步法”）：
①定“基准”：寻找一个中间量（基准数），如 等，将要比较的数分别与这个基准数进行比较。
②判“范围”：估算每个数的大致范围。例如，判断一个对数是否大于0，一个指数是否大于1，一个角
度的正弦/余弦值在哪个象限。
③用“性质”：利用函数的单调性进行变形和比较。有时需要将不同底数的指数或对数化为同底，或者利
用幂函数、三角函数的单调性。
2、常用逻辑用语在从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式
出现在其他考点的题目中．集合内容可能以一元一次、一元二次不等式、分式不等式及指数对数不等式的
形式考查集合的交集、并集、补集运算及参数求解，同时还需重点关注集合与充分必要条件相结合问题．
预测2026 年：这类题型在2026 年高考中出现的概率非常高，预计难度会维持在中等偏上水平；创新点可
能在于：①与三角函数更紧密结合：可能会比较如sin 0.1、0.1、ln1.1这类同时涉及三角函数、幂函数、
对数函数的数值。关键在于利用当x ⟶0时的经典不等式 sin x< x<tan x等进行放缩；②与数列、函数零
点等知识结合：题目背景可能更为复杂，例如置于某个数列或函数问题的情境中。
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题型01 幂指数函数性质
解｜题｜策｜略
1 指数函数y =a
x的值域是(0,+ ∞)，当a>1时单调递增，当0<a<1时单调递减；
2 常见幂函数的图象与性质
3 若比较大小的幂可化为同底，则化为同底再利用指数函数单调性比较大小；若比较大小的幂可化为同
指数，则化为同指数再利用幂函数单调性比较大小。
1（25-26 高三上·天津滨海新·期中）设a=2.1
0.5，b=2.1
0.6，c =0.6
0.5，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性可得出a,b,c的大小关系.
【详解】由y =2.1
x在R上递增，则a=2.1
0.5<2.1
0.6=b，
由y = x
0.5在[0,+ ∞)上递增，则a=2.1
0.5>0.6
0.5=c．所以c<a<b．
故选：C
2（24-25 高三上·甘肃白银·月考）设y1=7
3.3，y2=9
2.2，y3=125
1.1，则（ ）
A．y2> y3> y1
B．y3> y1> y2
C．y1> y3> y2
D．y3> y2> y1
【答案】C
【知识点】由幂函数的单调性比较大小
【分析】将y1，y2，y3换算成幂函数y = x
1.1的形式，然后根据函数的单调性求解.
【详解】由题意可知，y1=7
3.3=(7
3)
1.1=343
1.1，y2=9
2.2=(9
2)
1.1=81
1.1，
因为y = x
1.1在(0,+∞)上是增函数，且343>125>81，
所以y1> y3> y2．
故选：C.
3（25-26 高三上·重庆·期中）已知a=2
4
3 ,b= 4
2
5 ,c =3
2
3，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<c<a
D．c<a<b
【答案】C
【知识点】由幂函数的单调性比较大小
【分析】利用幂函数的单调性判定即可．
【详解】由y = x
2
3( x>0)单调递增，
则可知c =3
2
3 <a=2
4
3 = 4
2
3，
由y = x
15( x >0)单调递增，
又b
15=(4
2
5)
15
= 4
6=(4
3)
2=64
2,c
15=(3
2
3)
15
=3
10=(3
5)
2=243
2，可得b<c
所以b<c<a．
故选：C．
题型02 对数函数性质
解｜题｜策｜略
1 对数函数的图像与性质
图像
a>1
0<a<1
定义域
(0 , +∞)
值域
R
过定点
(1 , 0)
奇偶性
非奇非偶
单调性
在(0 , + ∞)上是增函数
在(0 , + ∞)上是减函数
变化对图像
的影响
在第一象限内，α越大图象越靠低；
在第四象限内，α越大图象越靠高．
2 比较大小的对数可化为同底，则化为同底再利用对数函数单调性比较大小.
1（25-26 高三上·云南昭通·月考）设a=log5
1
3 ,b=(
1
3)
2
3 ,c =(
1
5)
1
3，则（ ）
A．c<b<a
B．c<a<b
C．a<c<b
D．a<b<c
【答案】D
【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小
【分析】对于a和0 作比较，c变形和b利用幂函数的性质比较并与0 比较，得到答案.
【详解】a=log5
1
3 <log51=0,b=(
1
3)
2
3 =(
1
9)
1
3,
又 y = x
1
3 在 (0,+ ∞) 上单调递增, 1
9 < 1
5, 所以 0<b<c, 所以 a<b<c，
故选：D.
2（25-26 高三·江苏无锡·期中）已知a=e
- 3
2，b= ln 3
2，c = 1
3则（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<a<b
D．a<c<b
【答案】D
【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小
【分析】由幂函数和对数函数的单调性进行比较即可.
【详解】∵幂函数y = x
-1= 1
x 在区间(0,+ ∞)上单调递减，
∴a=e
- 3
2 =(e
3
2)
-1
=(❑√e
3)
-1<(❑√9)
-1=3
-1= 1
3 =c，即a<c，
∵对数函数y = ln x在区间(0,+ ∞)上单调递增，
∴b= ln 3
2 = 1
3 ln(
3
2)
3
= 1
3 ln 27
8 > 1
3 lne= 1
3 =c，即b>c，
综上所述，a，b，c的大小关系为a<c<b.
故选：D.
3（25-26 高三上·河北唐山·期中）设a=log63，b=lg5，c =log147，则下列选项正确的是（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>b>a
【答案】D
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小
【分析】由于a=
1
1+ log32，b=
1
1+ log52，c =
1
1+ log72，再利用对数的性质比较log32,log52,log72即
可得结论.
【详解】∵a= log63=
1
log36 =
1
1+ log32，b=lg5=
1
log510 =
1
1+ log52，c = log147=
1
log714 =
1
1+ log72，
又log32= lg2
lg3，log52= lg2
lg5，log72= lg2
lg7 ，lg3<lg5<lg7，
所以log32>log52>log72，
∴a<b<c.
故选：D.
题型03 三角函数性质
解｜题｜策｜略
三角函数的图象与性质
y = sinx
y =cosx
y =tanx
图像
定义域
R
R
{x|x≠kπ + π
2 }
值域
[-1 , 1]
[-1 , 1]
R
最值
当x = π
2 +2kπ时，ymax =1；
当x =- π
2 +2kπ时，ymin=-1.
当x =2kπ时，ymax=1；
当x = π +2kπ时，ymin=-1.
既无最大值
也无最小值
周期性
2π
2π
π
对称中心
(kπ , 0)
(kπ + π
2 , 0)
(
kπ
2 , 0)
对称轴
x =kπ + π
2
x =kπ
无
单调性
在[- π
2 +2kπ , π
2 +2kπ]上
是增函数；
在[
π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ]上
是减函数.
在[- π +2kπ , 2kπ ]上是增
函数；
在[2kπ , π +2kπ ]上是减函
数.
在
(kπ - π
2 , kπ + π
2 )
上是增函数
2 注意三角函数y = sinx和y =cosx的有界性。
1（24-25 高三·云南保山·月考）已知a=ln(sin1)，b=e
tan1，c =cos1，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b>c>a
B．c>a>b
C．c>b>a
D．b>a>c
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、比较正切值的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小
【分析】根据三角函数值域及指对数运算比较大小.
【详解】∵0<sin1<1，∴ln(sin1)<0；∵tan1>0，∴e
tan1>1；
又∵0<cos1<1，所以，b>c>a，
故选:A．
2（24-25 高三上·湖北·月考）已知实数a,b∈(-1,0)，且满足cosaπ>cosbπ，则下列一定正确的是
（ ）
A．sina<sinb
B．a
- 3
5 >b
- 3
5
C．sina-a>sinb-b
D．a
4
3 <b
4
3
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小、比较余弦值的大小、比较
正弦值的大小
【分析】由已知条件结合余弦函数单调性可得-1<b<a<0，通过对应函数的单调性，判断选项中的大小
关系是否正确.
【详解】a,b∈(-1,0)时，aπ,bπ∈(-π,0)，余弦函数在(-π,0)上单调递增，
由cosaπ>cosbπ，得aπ>bπ，则有-1<b<a<0.
正弦函数在(-1,0)上单调递增，则有sin b<sin a，A 选项错误；
幂函数y = x
- 3
5在(-1,0)上单调递减，则有b
- 3
5 >a
- 3
5，B 选项错误；
设函数f (x)=sin x - x，由f
' (x)=cos x -1≤0，f (x)在(-1,0)上单调递减，
-1<b<a<0，则有f (b)>f (a)，即sinb-b>sina-a，C 选项错误；
幂函数y = x
4
3是偶函数，在(-1,0)上单调递减，b
4
3 >a
4
3，D 选项正确.
故选：D.
3（25-26 高三上·江苏·开学考试）已知α ∈(0,π
4 ), x =(sinα )
cosα , y =(cosα )
sinα , z =sinα cosα，则
x , y , z的大小关系是（ ）
A．y < x< z
B．z< x< y
C．x< y < z
D．z< y < x
【答案】B
【知识点】利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】由α ∈(0,π
4 ),得sinα ,cosα的取值范围，再利用指数函数和幂函数的单调性判断x , y , z的大
小关系,即可选出正确答案.
【详解】因为α ∈(0,π
4 ),所以0<sinα <
❑√2
2 <cosα <1,所以0<sin α cosα <sin α.
所以y =(sin α )
t是t 的减函数,所以sin α <(sin α )
cosα<(sin α )
sin α<1.
y = x
sin α , x>0是增函数,所以(sin α )
sin α<(cosα )
sin α .
所以z< x< y .
故选: B.
题型04 临界值型：0 与1 分界
解｜题｜策｜略
在比较数值大小时，若无法直接利用指对幂函数单调性比较，常常用到估值的方法，在估值时，会优先
考虑0与1.
1（25-26 高三上·江苏南通·月考）对任意x1, x2∈(0,+∞)，均有( x1- x2)[ f ( x1)- f ( x2)]>0成立，若
a= f (ln 2)，b= f(3
1
3)，c = f (e
1
3)，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．c<b<a
B．a<b<c
C．a<c<b
D．c<a<b
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】由题意可得f (x)在区间(0,+ ∞)上单调递增，再利用幂函数及对数函数性质得到3
1
3 >e
1
3 >ln 2，从
而可求解.
【详解】由题意知对任意x1, x2∈(0,+ ∞)，均有( x1- x2)[f (x1)- f (x2)]>0成立，
所以f (x)在区间(0,+ ∞)上单调递增，
由幂函数y = x
1
3的性质知其为增函数，因为3>e，所以3
1
3 >e
1
3 >1，
又因为0<ln 2<1，所以3
1
3 >e
1
3 >ln 2，
则f(3
1
3)>f (e
1
3)>f (ln 2)，即a<c<b，故C 正确.
故选：C.
2（25-26 高三·湖北·月考）已知a=cos1, p=loga
1
2 ,q =a
1
2 ,r =(
1
2)
a
则（ ）
A．p<q<r
B．p<r <q
C．r <q< p
D．q< p<r
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、利用余弦函数的单调性求参数、比较对数式
的大小
【分析】利用余弦函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性，借助中间量进行比较大小.
【详解】因为1∈(0,π
3 )，所以a=cos1∈(
1
2 ,1)，所以函数y = loga x单调递减，
则p=loga 1
2 >logaa=1，
因为函数y =(
1
2)
x
单调递减，由a∈(
1
2 ,1)有： 1
2 <r =(
1
2)
a
<
❑√2
2 ，
因为函数y = x
1
2在[0,+ ∞)上单调递增，由a∈(
1
2 ,1)有：
❑√2
2 <q =a
1
2 <1，
所以r <q< p.
故选：C.
3（20-21 高三上·山东青岛·期中）已知m=0.9
5.1，n= log0.85.1，p=0.8
5.1，则m、n、p 的大小关系为
（ ）
A．p＜n＜m
B．n＜p＜m
C．m＜n＜p
D．n＜m＜p
【答案】B
【知识点】由幂函数的单调性比较大小、对数函数单调性的应用
【分析】根据幂函数y = x
5.1，对数函数y = log0.8 x的单调性判定即可.
【详解】由于幂函数y = x
5.1在[0,+∞)单调递增，
故m=0.9
5.1>0.8
5.1= p，
又p=0.8
5.1>0
5.1=0，1=1
5.1>m=0.9
5.1，
∴0＜p＜m＜1，
由对数函数y = log0.8 x在(0,+ ∞)单调递减，
故n= log0.85.1<log0.81=0，∴n＜p＜m．
故选：B
题型05 临界值型：中间值
解｜题｜策｜略
在比较数值大小时，若利用0和1估值还是无法比较出大小，则可能需要引入其他的中间值，此时要根据
数值的特点而决定，可利用分析法辅助判断。
1（25-26 高三上·福建漳州·期中）已知a=2
6
5，b=9
2
5，c =3
log45，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<a<c
D．a<c<b
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小
【分析】根据幂函数单调性判断a,b的大小，根据指数函数和对数函数的单调性判断b,c的大小，则结果
可知.
【详解】因为a=2
6
5 =64
1
5 ,b=9
2
5 =81
1
5❑，且y = x
1
5在(0,+∞)上单调递增，所以64
1
5 <81
❑
1
5，所以a<b，
因为y =3
x在(-∞,+∞)上单调递增，y = log4 x在(0,+∞)上单调递增，
所以b=9
2
5 =3
4
5 <3
1=3,c =3
log45>3
log4 4=3，所以b<c，
由上可知，a<b<c，
故选：A.
2（25-26 高三上·辽宁·月考）已知a=( 5
2 )
1
2，b=2
2
3，c =3
2
5，则a,b,c大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．c<a<b
C．a<c<b
D．c<b<a
【答案】B
【知识点】由幂函数的单调性比较大小、指数幂的化简、求值
【分析】因为a=( 5
2 )
1
2 >0，b=(2
4
3 )
1
2 >0，c =(3
4
5 )
1
2 >0，故只需比较5
2，2
4
3，3
4
5的大小，结合指数幂的运
算性质及幂函数的单调性即可得出结果．
【详解】因为a=( 5
2 )
1
2 >0，b=(2
4
3 )
1
2 >0，c =(3
4
5 )
1
2 >0，故只需比较5
2，2
4
3，3
4
5的大小，
∵(2
4
3 )
3=2
4=16= 128
8
，( 5
2 )
3
= 125
8 ，∴(2
4
3 )
3>( 5
2 )
3
，即2
4
3 > 5
2
；
∵(3
4
5 )
5=3
4=81= 2592
32
，( 5
2 )
5
= 3125
32 ，∴(3
4
5 )
5<( 5
2 )
5
，即3
4
5 < 5
2
；
∴3
4
5 < 5
2 <2
4
3，又y = x
1
2在(0,+ ∞)上递增．
∴(3
4
5 )
1
2 <( 5
2 )
1
2 <(2
4
3 )
1
2，即c<a<b．
故选：B．
3（2025·河北秦皇岛·二模）已知a=log2678，b=1.25
0.9，c =log918，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>b>a
D．c>a>b
【答案】B
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据对数函数的单调性，以及指数函数的性质，利用中间值法，可得答案.
【详解】由题a= log26(3×26)= log263+1>log273+1=1+ 1
3，
c = log9(2×9)=1+ log92<1+ log82=1+ 1
3，且c =1+ log92>1+ log162=1+ 1
4 ，
b=1.25
0.9<1.25
1=1+ 1
4 ，
综上，b<1+ 1
4 <c<1+ 1
3 <a，即a>c>b.
故选：B.
题型06 做差比较法
解｜题｜策｜略
1 比较两个式子（数值）a与b的大小，可用作差法，转化为 a-b与0的比较；
a-b>0→ a>b ; a-b=0→ a=b ; a-b<0→ a<b
2 作差的过程往往要用到因式分解。
1（25-26 高三上·广东惠州·期中）已知a= log48,b= log0.60.4 ,c = log23，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
【答案】B
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小
【分析】首先根据对数运算性质得a= 3
2，再利用对数函数单调性得c>a，再作差、换底变形比较b,c大小
即可.
【详解】a= log48= log2
22
3= 3
2，c = log23>log22❑√2= 3
2 =a，
b= log0.60.4 = log 3
5
2
5，
所以b-c = log 3
5
2
5 - log23=
lg 2
5
lg 3
5
- lg3
lg2 = lg2-lg5
lg3-lg5 - lg3
lg2
= (lg2-lg3)(lg6-lg5)
(lg3-lg5)lg2
=
lg 2
3 ×lg 6
5
lg 3
5 ×lg2
，
因为lg 2
3 <0,lg 3
5 <0,lg 6
5 >0,lg2>0，
所以
lg 2
3 ×lg 6
5
lg 3
5 ×lg2
>0，即b>c，又c>a，可得b>c>a.
故选：B.
2（25-26 高三·山东临沂·月考）已知a= log48，b= log0.60.4，c = log23，则（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
【答案】B
【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小
【分析】首先根据对数运算性质得a= 3
2，再利用对数函数单调性得c>a，再作差换底变形比较b,c大小即
可.
【详解】a= log48= log2
22
3= 3
2，c = log23>log22❑√2= 3
2 =a，
b-c = log 3
5
2
5 - log23= log 5
3
5
2 - log23=
lg 5
2
lg 5
3
- lg3
lg2
= lg2(lg5-lg2)-lg3(lg5-lg3)
lg 5
3 lg2
= (lg2-lg3)lg5-(lg2-lg3)(lg2+lg3)
lg 5
3 lg2
= (lg2-lg3)(lg5-lg6)
lg 5
3 lg2
因为y =lg x在(0,+ ∞)上单调递增，则lg2<lg3,lg5<lg6，
则lg2-lg3<0,lg5-lg6<0，显然lg 5
3 ,lg2>0，
则
(lg2-lg3)(lg5-lg6)
lg 5
3 lg2
>0，
则b-c>0，即b>c，结合c>a知b>c>a.
故选：B.
3（25-26 高三上·山东泰安·开学考试）已知3
x= 4
y =6
z，则3 x，4 y，6 z的大小关系不可能为（ ）
A．3 x = 4 y =6 z
B．3 x<4 y <6 z
C．3 x>4 y >6 z
D．3 x<6 z<4 y
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用
【分析】设3
x = 4
y =6
z=t，分别讨论t =1,t >1,0<t <1情况下x , y , z的关系，进而得出结果.
【详解】设3
x= 4
y =6
z=t，则
当t =1时，x = y = z =0，选项A 正确；
当t >1时，x = log3t，y = log4t，z = log6t，
所以，3 x - 4 y =
3
logt 3 -
4
logt 4 = 3 logt 4 - 4 logt 3
logt 3⋅logt 4
=
logt
4
3
3
4
logt 3⋅logt 4 <0，
4 y -6 z =
4
logt 4 -
6
logt 6 = 4 logt 6-6 logt 4
logt 4⋅logt 6
=
logt
6
4
4
6
logt 4⋅logt 6 <0，
由此可得3 x<4 y <6 z，选项B 正确；
当0<t <1时，同理可得3 x>4 y >6 z，选项C 正确.
故选：D.
题型07 做商比较法
解｜题｜策｜略
1 比较两个式子（数值）a与b的大小，可用作商法，转化为 a
b 与1的比较；
a
b >1 , b>0→ a>b ; a
b >1 , b<0→ a<b
2 一般式子是幂的形式，会考虑作商法；
3 作商的过程往往要用到因式分解，还有一点b是否一定大于0或小于0要明确。
1（25-26 高三上·全国·课前预习）已知a,b,c均为大于1 的数，且log43
a=log32
2b=2c，则（ ）
A．loga2>logb2>logc2
B．logb2>loga2>logc2
C．loga2>logc2>logb2
D．logc2>logb2>loga2
【答案】D
【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小
【分析】将已知条件变形得到1
2 alog23=2blog32=2c，再通过作商法比较a,b,c的大小，最后利用对
数函数的性质即可求解.
【详解】∵ log43
a=log32
2b=2c，∴ 1
2 alog23=2blog32=2c，
则a
b = 4log32
log23
= 4(lg2)
2
(lg3)
2 = (2lg2)
2
(lg3)
2 = (lg 4)
2
(lg3)
2 >1，故a>b，
又c
b =log32<1，∴c<b，故c<b<a，
∵a,b,c>1，∴logc2>logb2>loga2．
故选：D.
2（24-25 高三上·江苏扬州·月考）已知a=log43，b=log54，c =e
-0.09，则下列结论正确的是（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>b>a
D．b>c>a
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、利用导数证明不等式
【分析】使用基本不等式证明a
b <1，从而得a<b，使用e
x> x +1,( x<0)证明c>0.91，再证明b<0.9可得
c>b>a.
【详解】由题知a= 1
2 log23= log43,b=log54 ,a、b均在0和1之间，
a
b = log43⋅log45<( log43+ log45
2
)
2
=( log415
2
)
2
=(log4
❑√15)
2<1，于是a<b，
当x<0时，令f (x)=e
x - x -1，则f
' (x)=e
x -1<0，
所以f (x)在(-∞,0)上为减函数，
故f (x)>f (0)=0，故e
x> x +1，
所以c =e
-0.09>-0.09+1=0.91，
b= log54 =2log52=2log5
92
9= 2
9 log5512< 2
9 log55
4= 8
9 <0.9，于是c>b.
所以c>b>a.
故选：C
3（25-26 高三上·福建泉州·月考）已知x､y､z∈R
+，且x ln2= y ln3= z ln5，则2 x ,3 y ,5 z的大小关系为：
（用“<”连接）
【答案】3 y <2 x<5 z
【知识点】比较对数式的大小
【分析】利用对数的作商法结合对数函数的单调性可得出2 x ,3 y ,5 z的大小关系.
【详解】令x ln 2= y ln3= z ln5=t，
则x = t
ln2 , y = t
ln3 , z = t
ln5，
则2 x
3 y = 2ln3
3ln2 = ln 9
ln 8 >1，得2 x>3 y；
由2 x
5 z = 2ln5
5ln2 = ln25
ln32 <1，得5 z>2 x.
从而可得3 y <2 x<5 z.
故答案为：3 y <2 x<5 z
4（多选）（25-26 高三上·广东广州·月考）若2
x=3
y =5
z，则以下大小关系可能成立的有（ ）
A．x> y > z
B．x< y < z
C．3 y <2 x<5 z
D．2 x<3 y <5 z
【答案】ABC
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用
【分析】先对等式2
x =3
y =5
z取对数，可得到类似x
y = lg3
lg2的式子，通过x , y , z都是正数，和x , y , z都是负
数，讨论即可.
【详解】由于2
x=3
y =5
z，取常用对数得：xlg2= y lg3= zlg5，易知x , y , z同号或者x = y = z =0.
当x , y , z都是正数，由2
x =3
y =5
z>1可得x = log2k , y = log3k , z = log5k（其中k =2
x>1），
因为0<lg2<lg3<lg5，所以1
lg5 < 1
lg3 < 1
lg2 ，故lgk
lg5 <lg k
lg3 <lgk
lg2 ，
所以log5k <log3k <log2k，即x> y > z，故A 选项可能成立；
当x , y , z都是正数，由于2
x=3
y =5
z，取常用对数得：xlg2= y lg3= zlg5>0，
则x
y = lg3
lg2，同时由于对数函数y =lg x在定义域(0,+ ∞)上是增函数，
进而2 x
3 y = 2lg3
3lg2 = lg9
lg8 >1，所以2 x>3 y；
同理x
z = lg5
lg2，进而2 x
5 z = 2lg5
5lg2 = lg25
lg32 <1，所以2 x<5 z；
所以3 y <2 x<5 z，故C 选项可能成立；
当x , y , z都是负数，由于2
x =3
y =5
z，取常用对数得：xlg2= y lg3= zlg5<0，
同时由于对数函数y =lg x在定义域(0,+ ∞)上是增函数，
则x
y = lg3
lg2 >1，则x< y，则y
z = lg5
lg3 >1，则y < z，
即x< y < z，故B 选项可能成立；
2 x
3 y = 2lg3
3lg2 =lg9
lg8 >1，所以2 x<3 y；同理x
z = lg5
lg2，进而2 x
5 z = 2lg5
5lg2 = lg25
lg32 <1，
所以2 x>5 z，所以5 z<2 x<3 y，D 不可能成立，
故选：ABC
题型08 构造函数：对数型
解｜题｜策｜略
1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；
2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含有对数，可考虑对数型函数；
3 利用同构变形也可以，比如 x + ln x = ln x∙e
x , x - ln x = ln e
x
x
.
1（2025·全国·模拟预测）已知a=π
e，b=π
π，c =e
π，e 是自然对数的底数，则a，b，c 的大小关系是
（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．c<a<b
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小
【分析】首先根据幂函数的单调性判断出b>c，然后构造函数f (x)= ln x
x ，运用函数f (x)的单调性得出
c>a，即可得解.
【详解】因为函数y = x
π在(0,+∞)上单调递增，且π>e>0，所以π
π>e
π，即b>c.
令f (x)= ln x
x ，
则f
' (x)= 1- ln x
x
2
，当x∈[e,+∞)时，f
' (x)≤0，f (x)单调递减.因为π>e，所以f (π)<f (e)，即
lnπ
π
< lne
e
，得elnπ<πlne，故e
π>π
e，所以c>a，
综上，b>c>a，
故选：B.
2（2025·河南南阳·模拟预测）设ln 5a
4 =0.2,b=0.96,e
5c
2 =5，则（ ）
A．c<b<a
B．c<a<b
C．a<c<b
D．a<b<c
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】表示出a,b,c，并适当变形，观察式子，构造函数f (x)= x - 1
x -2ln x(0< x<1),
g(x)=e
x - x -1(0< x<1)，利用导数即可证明当0< x<1时，有-2 xln x<1- x
2，(1- x)e
x>1- x
2，从而
即可比较大小.
【详解】ln 5a
4 =0.2得a=0.8e
0.2=(1-0.2)e
0.2.
由e
5c
2 =5得c =-2×0.2ln0.2，
又b=0.96=1-0.2
2.
取x =0.2，则a=(1- x)e
x ,b=1- x
2,c =-2 xln x.
设f (x)= x - 1
x -2ln x(0< x<1)，
则f
' (x)=(1- 1
x)
2
>0，
所以f (x)在区间(0,1)内单调递增，
又f (1)=0，则x - 1
x -2ln x<0，
即-2 xln x<1- x
2，所以c<b.
令g(x)=e
x - x -1(0< x<1)，
则g'(x)=e
x -1>0，
所以g(x)在区间(0,1)内单调递增，
则g(x)>g(0)=0，
故e
x> x +1，则(1- x)e
x>1- x
2，即b<a，
所以c<b<a.
故选：A.
3（25-26 高三上·山东潍坊·月考）已知函数f (x)= 1
2 x - ln(1+e
x)，a= f(
ln 2
2 )，b= f(
1
e)，c = f(
1
3 ln 1
3)，
则（ ）
A．a<c<b
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<b<a
【答案】C
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、
比较函数值的大小关系
【分析】分析函数f (x)的单调性和奇偶性，再设g(x)= ln x
x ，分析g(x)的单调性，可得a,b,c的大小关系.
【详解】对f (x)= 1
2 x - ln(1+e
x)，x∈R,
f (- x)=- 1
2 x - ln(1+e
- x) =- 1
2 x - ln(
1+e
x
e
x ) =- 1
2 x - ln(1+e
x)+ x = 1
2 x - ln(1+e
x) = f (x)，
所以函数f (x)为偶函数.
当x>0时，f
' (x)= 1
2 -e
x
1+e
x =1-e
x
2(1+e
x)，因为e
x>1，所以f
' (x)<0.
所以f (x)在(0,+ ∞)上单调递减.
设g(x)= ln x
x ，x>0，所以g
' (x)= 1- ln x
x
2
.
由g
' (x)>0 ⇒ 0< x<e，由g
' (x)<0 ⇒ x>e.
所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+ ∞)上单调递减.
所以g(x)max = g (e)= lne
e
= 1
e .
又ln 2
2 - ln3
3 = 3 ln 2-2ln3
6
= ln 8- ln 9
6
<0，所以ln 2
2 < ln3
3 .
所以ln2
2 < ln3
3 < 1
e .
所以f(
ln 2
2 )>f(
ln3
3 )>f(
1
e).
又因为f(
1
3 ln 1
3)= f(- ln3
3 )= f(
ln3
3 ).
所以b<c<a.
故选：C
4（25-26 高三上·四川乐山·月考）若a=log47,b=log58,c=9
log3
❑√6
2 则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>a>b
D．c>b>a
【答案】C
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小
【分析】利用对数运算比较a,c和b,c的大小，利用构造函数结合导数判断单调性比较a,b的大小，由此得
到大小关系.
【详解】a=log47=log2
27= 1
2 log27=log2
❑√7，
b=log58=log28
log25 =log22
3
log25 =
3
log25 ，
c=9
log3
❑√6
2 =3
2log3
❑√6
2 =3
log3(
❑√6
2 )
2
=(
❑√6
2 )
2
= 3
2
，
因为log25>log24 =2，所以
3
log25 < 3
2，即b<c
因为log2
❑√7<log2
❑√8=log2
❑√2
3=log22
3
2 = 3
2
，即a<c，
因为a=log47=ln7
ln 4 ,b=log58=ln8
ln5 ，
构造函数f ( x)=ln(x +3)
ln x
( x>1)，
求导f
' (x)=
1
x +3 ×ln x -ln(x +3)× 1
x
(ln x)
2
=
ln x
x +3 -ln(x +3)
x
(ln x)
2
= xln x -(x +3)ln(x +3)
x (x +3)(ln x)
2
，
当x>1时，x (x +3)(ln x)
2>0，只需分析分子xln x -(x +3)ln(x +3)的正负，
设g( x)= xln x( x>1)，求导g
'( x)=ln x +1，
因为x>1，所以ln x>0，则g
'( x)=ln x +1>1>0，所以g( x)在(1,+∞)上单调递增，
那么当x>1时，g( x)< g( x +3)，即xln x<(x +3)ln(x +3)，
所以分子xln x -(x +3)ln(x +3)<0，则f
' (x)<0，所以f ( x)在(1,+∞)上单调递减，
且4<5，所以f (4)>f (5)，即ln7
ln 4 >ln8
ln5 ⇒a>b，
综上可得c>a>b.
故选：C.
题型09 构造函数：指幂型
解｜题｜策｜略
1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；
2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含幂的形式，可考虑指数型函
数；
3 利用同构变形也可以，比如x e
x =e
x + ln x , e
x
x =e
x - ln x , x
e
x =e
ln x - x.
1（2025 高三·全国·专题练习）已知a=e
-0.8，b= ln1.1，c =0.15，则（ ）
A．a<c<b
B．b<c<a
C．c<b<a
D．a<b<c
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系
【分析】本题可通过构造函数，利用函数单调性比较a、b与c的大小关系.
【详解】设f (x)=e
x - x -1，则f
' (x)=e
x -1，由f
' (x)=0可得x =0，
当x<0时，f
' (x)<0，当x>0时，f
' (x)>0，
所以f (x)在(-∞,0)单调递减，在(0,+ ∞)单调递增，故f (x)的极小值为f (0)=0，
故e
x≥x +1（当且仅当x =0时取等号），故e
-0.8>1-0.8=0.2>0.15，即a>c；
由e
x≥x +1可得ln(x +1)≤x（当且仅当x =0时取等号），故ln1.1<0.1<0.15，即b<c，
故b<c<a．
故选：B.
2（24-25 高三·安徽铜陵·月考）已知a=
1
2025，b=e
- 2024
2025，c = ln 2026
2025 ，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】先证明e
x≥x +1、x ≥ln (x +1)，然后利用这两个不等式可比较三者的大小.
【详解】现在证明一个不等式：e
x≥x +1，
设s(x)=e
x - x -1,则s
' (x)=e
x -1，
当x<0时，s
' (x)<0，当x>0时，s
' (x)>0，
故s(x)在(-∞,0)上为减函数，在(0,+ ∞)上为增函数，
故s(x)≥s(0)=0，当且仅当x =0时等号成立，
故e
x≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，
故当x>-1时，x ≥ln (x +1).
已知a=
1
2025，由e
x≥x +1可得a=1- 2024
2025 <e
- 2024
2025 =b，
而c = ln 2026
2025 = ln(1+
1
2025 )<
1
2025 =a，
故c<a<b.
故选：D.
3（2024·安徽·三模）已知a=e
π-3,b= ln (eπ-2e),c =π-2，则（ ）
A．b<c<a
B．b<a<c
C．c<a<b
D．c<b<a
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】构造函数f (x)=e
x -1- x，利用导数求取单调性可得a、c之间大小关系，构造函数
g(x)= ln x - x +1，利用导数求取单调性可得b、c之间大小关系，即可得解.
【详解】由a=e
π-3,b= ln (eπ-2e)，
即a=e
(π-2)-1,b= ln (eπ-2e)= ln (π-2)+1，
令f (x)=e
x -1- x (x>1)，
则f
' (x)=e
x -1-1>0在(1,+∞)上恒成立，
故f (x)在(1,+ ∞)上单调递增，
则有f (π-2)=e
(π-2)-1-(π-2)>f (1)=0，即a>c，
令g(x)= ln x - x +1(x>1)，
则g
' (x)= 1
x -1= 1- x
x
<0在(1,+∞)上恒成立，
故g(x)在(1,+ ∞)上单调递减，
则有g(π-2)= ln (π-2)+1-(π-2)< g(1)=0，即b<c，
故b<c<a.
故选：A.
4（25-26 高三上·湖北孝感·月考）设a=e
0.02-1，b= ln1.02，c = 1
51，d = ❑√1.02-1，则（ ）
A．b>a
B．b<c
C．d ＜b
D．d ＞c
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】逐项分析，构造函数结合导数判断单调性来确定a 与b，b 与c，c 与d，b 与d 大小关系.
【详解】a=e
0.02-1，b= ln1.02= ln (1+0.02)，c = 1
51 =
1
50+1，d = ❑√1.02-1= ❑√1+0.02-1，
对于A，设f (x)=e
x- ln (x +1)-1, x∈(0,+ ∞)，则f
' (x)=e
x -
1
x +1，
令g(x)= f
' (x)=e
x-
1
x +1，则g
' (x)=e
x+
1
(x +1)
2 >0恒成立，
所以f
' (x)在x∈(0,+ ∞)上单调递增，
则f
' (x)>f
' (0)=0恒成立，所以f (x)在x∈(0,+ ∞)上单调递增，
则f (0.02)=e
0.02- ln1.02-1>f (0)=0，即ln1.02<e
0.02-1，所以b<a，故A 错误；
对于B，设h(x)= x ln x - x , x∈(1,+ ∞)，则h
' (x)= ln x>0，
故h(x)在x∈(1,+ ∞)上单调递增，
则h(1.02)=1.02ln1.02-1.02>h(1)=-1，
整理得ln1.02> 2
102 = 1
51，所以b>c，故B 错误；
对于D，设m(x)=(2 x +1)
2-(1+ x)
3, x ∈(0,1)，
则m
' (x)= 4 (2 x +1)-3(1+ x)
2=-3 x
2+2 x +1=-(3 x +1)(x -1)，
当x∈(0,1)时，m
' (x)=-(3 x +1)(x -1)>0，所以m(x)在x∈(0,1)上单调递增，
所以有m(0.02)=(1+0.04)
2-(1+0.02)
3>m(0)=0，即(
1+0.04
1+0.02)
2
>1+0.02，
所以1
51 >❑√1.02-1，则d <c，故D 错误；
由前面可知d <c ,c<b，所以d <b，故C 正确.
故选：C
题型10 构造函数：三角函数线性型
解｜题｜策｜略
1 比较的数值若比较复杂，往往会用到构造函数再利用函数单调性比较大小的方法；
2 构造函数时，要注意数值符合的条件结构或自身的结构特征，若数值含三角函数的形式，可考虑三角
函数型函数。
1（25-26 高三上·北京·月考）已知a=ln2,b=sin 1
3 ,c = 1
3 ,(e≈2.718)，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．b<a<c
B．a<c<b
C．b<c<a
D．a<b<c
【答案】C
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】先由函数f (x)=sin x - x的单调性得到sin 1
3 < 1
3，再由放缩法得到a>c即可得解.
【详解】令f (x)=sin x - x，则f
' (x)=cos x -1≤0恒成立，
所以函数f (x)在R 上单调递减，所以f(
1
3)=sin 1
3 - 1
3 <f (0)=0⇒sin 1
3 < 1
3，
又a=ln2>ln ❑√e= 1
2 > 1
3，故a>c>b.
故选：C
2（25-26 高三上·贵州贵阳·开学考试）已知a=ln 4
3 ，b= 2
7 ，c =sin 2
7 ，则（ ）
A．a<b<c
B．c<b<a
C．b<a<c
D．a<c<b
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较正弦值的大小
【分析】利用构造函数法，结合导数判断出b,c的大小关系，利用对数、指数运算判断出a,b的关系，进
而确定正确答案.
【详解】构造函数f (x)= x -sin x ,f
' (x)=1-cos x ≥0，
所以f (x)在R上单调递增，所以f(
2
7)= 2
7 -sin 2
7 >0= f (0), 2
7 >sin 2
7 ,b>c，
a=ln 4
3 = ln[(
2
❑√3)
2
]=2×ln 2
❑√3，b=2× 1
7 ；
故只需比较ln 2
❑√3与1
7 = lne
1
7；也即比较2
❑√3与e
1
7；
也即比较(
2
❑√3)
7
= 128
27 ❑√3与e，
而128
27 ❑√3 ≈
128
27×1.732 ≈2.74，e≈2.72，
所以128
27 ❑√3 >e，所以a>b.
综上所述，c<b<a.
故选：B
3（25-26 高三上·四川遂宁·期中）已知a= 1
3√e
，b= log32，c =sin(cos1.1)，则（ ）
A．b<c<a
B．a<c<b
C．c<a<b
D．c<b<a
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的
大小
【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到c =sin(cos1.1)<sin 1
2，再构造函数f (x)= x -sin x，得到
其单调性，得到c =sin(cos1.1)<sin 1
2 < 1
2，构造函数g(x)=e
x -(x +1)，求导得到其单调性，得到
e
- 1
3 > 2
3
，结合对数函数单调性得到log32∈(
1
2 , 2
3)，比较出大小.
【详解】因为1.1>π
3 ，而y =cos x在x∈(0,π
2 )上单调递减，
故cos1.1<cosπ
3 = 1
2，
又y =sin x在x∈(0,π
2 )上单调递增，
故c =sin(cos1.1)<sin 1
2，
令f (x)= x -sin x，则f
' (x)=1-cos x>0在x∈(0,π
2 )上恒成立，
故f (x)= x -sin x在x∈(0,π
2 )上单调递增，f (x)>f (0)=0，
故f(
1
2)>0，即1
2 >sin 1
2，
故c =sin(cos1.1)<sin 1
2 < 1
2，
又a= 1
3√e
=e
- 1
3，令g(x)=e
x -(x +1)，
则g
' (x)=e
x -1，当x<0时，g
' (x)<0，g(x)单调递减，
故g(- 1
3)>g(0)=0，故e
- 1
3 > 2
3
，
因为2
3<3
2，所以(2
3)
1
3 <(3
2)
1
3，即2<3
2
3，
因为y = log3 x在(0,+ ∞)上单调递增，
故log32< 2
3，
又log32>log3
❑√3= 1
2，故log32∈(
1
2 , 2
3)，
故c<b<a
故选：D
4（2025·湖北武汉·三模）已知a=1.01ln (ln1.01)-(ln1.01)
ln1.01，b=sin(ln (1+cos1.01))，c =etan (sin1.01)+1，
则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数
式的大小
【分析】设f (x)= ln (1+ x)- x (x>-1)，对f (x)求导，得到f (x)的单调性的最值，结合对数函数和三角函
数的性质，即可证明b∈(0,1)，再证明c>1，令t = ln (ln1.01)，通过指数和对数函数的运算性质可证明
a=0，即可得出答案.
【详解】设f (x)= ln (1+ x)- x (x>-1)，f
' (x)=
1
1+ x -1=- x
1+ x
(x>-1)，
当x∈(-1,0)时，f
' (x)>0；当x∈(0,+ ∞)时，f
' (x)<0，
所以f (x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+ ∞)上单调递减，
所以f (x)≤f (0)=0，所以ln (1+ x)≤x，
b=sin(ln (1+cos1.01))<sin (cos1.01)<1，
又b=sin(ln (1+cos1.01))>sin (ln1)=sin 0=0，则b∈(0,1)，
c =etan (sin1.01)+1>1，所以b<c，
对于a=1.01ln (ln1.01)-(ln1.01)
ln1.01，令t = ln (ln1.01)，则ln1.01=e
t，
此时a=1.01
t -(e
t)
ln1.01=1.01
t -e
ln1.01
t
=1.01
t -1.01
t =0，
所以a<b<c.
故选：A.
题型11 根据等式关系比较大小
解｜题｜策｜略
题中给到关于a，b,c的等式，再比较它们的大小；此时先思考是否可根据等式得到a，b,c的数值或者它
们
之间的关系，再想是否可以通过数形结合的方法确定它们数值的范围，或者根据各等式之间的特殊形式
通过构造函数再比较大小。
1（多选）（25-26 高三上·山东青岛·月考）若log3 x =log5 y =log7 z<-1，则（ ）
A．x> y > z
B．3 x>5 y >7 z
C．3 x<5 y <7 z
D．x< y < z
【答案】AB
【知识点】指数式与对数式的互化、由幂函数的单调性比较大小
【分析】设log3 x = log5 y = log7 z =t <-1，则x =3
t , y =5
t，z =7
t ,t <-1，利用幂函数的单调性能求出结
果．
【详解】设log3 x = log5 y = log7 z =t <-1，
则x =3
t , y =5
t , z =7
t ,t <-1，可得7 z =7
t +1,5 y =5
t +1,3 x =3
t +1，
因为t <-1<0，则t +1<0，则y = x
t , y = x
t +1在(0,+∞)内单调递减，
所以3
t>5
t>7
t，3
t +1>5
t +1>7
t +1，即x> y > z，3 x>5 y >7 z.
故选：AB．
2（2025 高三·全国·专题练习）已知正实数a,b,c，且a>b，若2
a⋅3
a-b+3
c -b=1+2
b，则（ ）
A．b>c ,2b>a+c
B．b<c ,2b<a+c
C．b>c ,2b<a+c
D．b<c ,2b>a+c
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小
【分析】将2
a⋅3
a-b+3
c -b=1+2
b变形得6
a-6
b=3
b-3
c，由a>b，进而判断b与c的大小，又6
a-b-1
3
b-c -1
= 3
c
6
b
得6
a-b<3
b-c，即a-b<b-c，进而求解.
【详解】因为2
a⋅3
a-b+3
c -b=1+2
b，所以6
a+3
c=3
b+6
b，
即6
a-6
b=3
b-3
c，
因为a>b，所以6
a-6
b>0，所以3
b-3
c>0，
即3
b>3
c，所以b>c；
又6
a-b-1
3
b-c -1
= 3
c
6
b，结合b>c>0，
可得6
a-b-1
3
b-c -1
= 3
c
6
b < 3
c
6
c <1，而6
a-b-1>0,3
b-c-1>0，
所以6
a-b-1< 3
b-c-1，即6
a-b<3
b-c，
两边同时取对数得(a-b)ln 6<(b-c)ln3，即a-b
b-c < ln3
ln6 <1，
则必有a-b<b-c，
所以2b>a+c．
故选：A．
3（多选）（24-25 高三·黑龙江·月考）已知m= log67+ log76，且2
m+3
m+6
m=7
n，p= log23+ log32，则
（ ）
A．m>2
B．n>2
C．n>m
D．m> p
【答案】AB
【知识点】由基本不等式比较大小、比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小
【分析】利用基本不等式结合对数换底公式可判断A，利用构造单调函数来比较大小可判断BCD．
【详解】对于A. ∵m= log67+ log76>2❑√log67⋅log76=2∴m>2，故A 正确；
对于B. 由于g( x)=2
x+3
x+6
x为R上的增函数，∵m>2，∴g(m)>g(2)
即2
m+3
m+6
m>2
2+3
2+6
2=7
2，所以7
n>7
2， 即n>2，故B 正确；
对于C.设f ( x)=( 2
7 )
x
+( 3
7 )
x
+( 6
7 )
x
-1，显然f ( x)为R上的减函数，
又f (2)=0， ∵m>2，∴f (m)<f (2)=0，即( 2
7 )
m
+( 3
7 )
m
+( 6
7 )
m
-1<0，
故2
m+3
m+6
m<7
m，即7
n<7
m，∴n<m，故C 错误；
对于D.先证明k ≥2且k ∈Z
+时，h(k )= logk(k +1)是单调递减的。
h(k )-h(k +1)= logk(k +1)- log(k +1)(k +2)= lg(k +1)
lg k
- lg(k +2)
lg(k +1) = [lg(k +1)]
2-lg k ⋅lg(k +2)
lg k ⋅lg(k +1)
∵lgk ⋅(k +2)=lgk +lg(k +2)>2❑√lgk ⋅lg(k +2)，∴[ lg k ⋅(k +2)
2
]
2
>lg k ⋅lg(k +2)，
这样(k +1)
2>k(k +2)⇒2lg(k +1)>lg k(k +2)⇒[lg(k +1)]
2>[ lg k(k +2)
2
]
2
>lg k ⋅lg(k +2)
所以h(k )>h(k +1)，故h(2)>h(6)，即log23>log67
设t( x)= x + 1
x ,( x>1)，因为t( x)在(1,+ ∞)上递增，log23>log67>1
所以p=t （log23）>t （log67 ）=m,故D 错误
故选：AB.
4（2025·广东·模拟预测）设2
x+5=3
y+3=5
z+1，则x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A．x> y > z
B．y > z> x
C．z> y > x
D．z> x> y
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数
式的大小
【分析】令k =2
x+5=3
y+3=5
z+1，可得x，y，z 的表达式，取k =10，根据对数函数的单调性，可得x
最大，分别比较log37与3
2和log59与3
2的大小，即可判断A 的正误；取k =7，根据对数函数的单调性，分
析比较，可判断B 的正误；取极小正数ε，根据对数的运算性质，分析比较，可判断C 的正误；求出x> y
成立的必要条件是k >7，构造函数h(k )= y - z = log3(k -3)- log5(k -1)，利用导数求得h(k )的单调性，
根据对数的运算性质，可得z> y和x> y不可能同时成立，即可判断D 的正误.
【详解】令k =2
x+5=3
y+3=5
z+1，则x = log2(k -5)，y = log3(k -3)，z = log5(k -1)．其中k >5．
取k =10，此时x = log25>log24 =2，y = log37<log39=2，
z = log59<log525=2，此时x 最大．
又log37与3
2比较，等价于比较7 与3
3
2，等价于比较49 与27 大小，故y > 3
2．
同理比较log59与3
2，可得81<125，故z< 3
2，故y > z．
综上，当k =10时，x> y > z．故A 是可能的．
取k =7．此时x =1，y = log34>log33=1，z = log56>log55=1，故y > x且z> x．
比较y 和z，即y =1+ log3(
4
3)与z =1+ log5(
6
5)，4
3 > 6
5 ，且f (t )= log3t是增函数，
所以log3(
4
3)>log3(
6
5)，又底数3<5，所以log3(
6
5)>log5(
6
5)，故y > z．
综上，当k =7时，y > z> x．故B 是可能的．
取极小正数ε，取k =5+ ε，此时x→-∞，y →log32，z→log54，易知x 最小．
现在比较log32和2log52，即比较ln2
ln3与2ln2
ln5 ，即1
ln3和2
ln5，比较ln5和2ln3，
易知ln5<ln 9，故y < z．
综上，取k =5+ ε，z> y > x．故C 是可能的．
下面证明D 选项不可能．若z> x> y，则z> y和x> y同时成立．
若x> y，则log2(k -5)>log3(k -3)．
当k =7时，y > x，当k =8时，x = log23，
同理可得x> 3
2 > y，故存在k ∈(7,8)，使得x> y，
所以x> y成立的必要条件是k >7．
若z> y，则log5(k -1)>log3(k -3)，设h(k )= y - z = log3(k -3)- log5(k -1)，
则h
'(k )=
1
(k -3)ln3 -
1
(k -1)ln5，且取k =7时，h(7)>0，
h
'(k )>0等价于
1
(k -3)ln3 >
1
(k -1)ln5，
又k >7，等价于(k -1)ln5>(k -3)ln3，5
k -1>3
k -3，易知其在k >7时成立，
已证当k >7时，h
' (k )>0，所以h(k )在(7,+∞)上单调递增，
因为h(7)>0，所以当k >7时，h(k )>h(7)>0，即y > z恒成立，
故z> y和x> y不可能同时成立，即D 不可能．
故选：D．
题型12 泰勒公式法
解｜题｜策｜略
1 麦克劳林公式
f (x)= f (0)+ f
' (0) x + f
' ' (0)
2!
x
2+⋯+ f
(n)(0)
n!
x
n+ Rn(x)
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式, 仅仅是取 x0=0的特殊 结果, 由于麦克劳林公式使用方
便, 在高考中经常会涉及到.
2 常见函数的麦克劳林展开式
(1)e
x =1+ x + x
2
2! +⋯+ x
n
n! +…
(2) ln (1+ x)= x - x
2
2 + x
3
3 -⋯+(-1)
n x
n+1
n+1 +…
(3) sin x = x - x
3
3! + x
5
5! -⋯+(-1)
n
x
2n+1
(2n+1)! +…
(4) cos x =1- x
2
2! + x
4
4! - x
6
6! +⋯+(-1)
n
x
2n
(2n)! +…
3 利用泰勒公式法，主要就是对数值进行估值，估值的程度要根据数值之间的差距。
1（25-26 高三·广东广州·月考）a=ln2，b=sin 4
5 ，c =e
-0.4，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．c>b>a
B．b>c>a
C．b>a>c
D．a>b>c
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小
【分析】找中间值
❑√2
2 进行比较大小，再借助泰勒展开即可比较大小.
【详解】由题意得，b=sin 4
5 >sinπ
4 =
❑√2
2 ，
因为e
7>2
10,7>10 ln 2,ln 2<0.7<
❑√2
2 ，所以a<
❑√2
2 <b，
由泰勒展开得
ln(1+ x)=1- x
2 + x
2
3 - x
3
4 +⋯+(-1)
n+1 x
n
n +⋯，
e
x =1+ x + x
2
2! + x
3
3! +⋯+ x
n
n! +⋯，
所以
ln2= ln(1+1)>1- 1
2 + 1
3 - 1
4 =0.68,e
-0.4<1-0.4+ (0.4)
2
2!
=0.68，
故a>c，综上所述a，b，c 的大小关系是b>a>c.
故选：C
2（25-26 高三上·广东·月考）已知a= 2
11 ,b= ln 11
9 ,c =e
1
6 -1，则( )
A．a<c<b
B．c<a<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【答案】B
【分析】利用泰勒公式进行估值。
【详解】 使用泰勒公式对b，c进行估值，
使用泰勒公式e
x =1+ x + x
2
2! +⋯+ x
n
n! +…
可得e
1
6 ≈1+ 1
6 + 1
2 × 1
36 =1+ 13
72
，
则c =e
1
6 -1≈13
72 < 2
11 =a，
使用泰勒公式 ln (1+ x)= x - x
2
2 + x
3
3 -⋯+(-1)
n x
n+1
n+1 +…
可得b= ln 11
9 = ln(1+ 2
9 )= 2
9 - 1
2 ×(
2
9)
2
= 16
81 > 2
11 =a，
∴b>a>c．
故选：B．
3（25-26 高三·湖南·月考）设 a=2ln 1.01,b= ln 1.02,c = ❑√1.04 -1, 则 ( )
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
【答案】B
【分析】利用泰勒公式进行估值。
【详解】 a=2ln1.01= ln1.0201，所以a>b，
以下用泰勒公式判断b与c的大小，
对❑√1.04想用泰勒公式估值，会想到函数f (x)= ❑√x +1，而它的麦克劳林展开式不熟悉，则需要用麦克劳
林公式求出来再估值，
f
' (x)= 1
2
(x +1)
- 1
2，f
' ' (x)=- 1
4
(x +1)
- 3
2，f
(3)(x)= 3
8
(x +1)
- 5
2，
❑√x +1= f (0)+ f
' (0) x + f
' ' (0)
2!
x
2+ f
(3)(0)
3!
x
3+⋯=1+ 1
2 x - 1
8 x
2+ 1
16 x
3-⋯
所以
❑√1.04 = ❑√1+0.04≈1+ 1
2 ×0.04 - 1
8 ×0.0016≈1.0198，
则❑√1.04 -1≈0.0198，
实际上c>0.0198，且c与0.0198的差不超过1
16 (0.04)
3=0.00004，影响很小，
使用泰勒公式ln (1+ x)= x - x
2
2 + x
3
3 -⋯+(-1)
n x
n+1
n+1 +…可得
b≈0.02- 1
2 ×0.0004 =0.0196，
实际上b>0.0196，且b与0.0196的差不超过1
3 (0.02)
3≈0.00008
3
，影响很小，
则此时可判定c>b，
由此可知 b<c<a.
故选: B
（建议用时：60 分钟）
1（24-25 高三上·四川泸州·月考）下列不等式中正确的是（ ）
A．0.8
-0.1>0.8
-0.2 B．log0.53>log30.5
C．0.7
-0.3>0.8
2.2
D．sin1>sin2
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小
【分析】利用f (x)=0.8
x单调性比较A；利用log0.53<log0.52=-1，-1<log30.5=
1
log0.53 <0比较B；利
用中间值1 比较C；利用sin 2=sin (π-2)，f (x)=sin x单调性比较D.
【详解】对于A，函数f (x)=0.8
x，f (x)在R上单调递减，因为-0.1>-0.2，所以0.8
-0.1<0.8
-0.2，故A 错
误；
对于B， log0.53<log0.52=-1，-1<log30.5=
1
log0.53 <0，所以log0.53<log30.5，故B 错误；
对于C，0.7
-0.3>0.7
0=1，0.8
2.2<0.8
0=1，所以0.7
-0.3>0.8
2.2，故C 正确；
对于D，函数f (x)=sin x，f (x)在(0,π
2 )上单调递增，sin 2=sin (π-2)，
1<π-2，所以sin1<sin (π-2)=sin 2，故D 错误；
故选：C.
2（25-26 高三上·天津南开·期中）已知幂函数f (x)=(5m+3) x
n的图象过点(❑√2,2❑√2)，设a= f (m)，
b= f (n
m)，c = f(n
1
n)，则（ ）.
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>a>c
D．c>a>b
【答案】B
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】根据幂函数的概念和幂函数图象过的点(❑√2,2❑√2)，可求出m,n的值，从而根据幂函数的单调性
可比较大小.
【详解】因为幂函数f (x)=(5m+3) x
n的图象过点(❑√2,2❑√2)，
所以¿，解得¿，
则n
m=3
- 2
5，3
1
3 >3
0=1，
根据指数函数单调性知0<3
- 2
5 <3
0，即0<3
- 2
5 <1，
由上知幂函数的解析式为f (x)= x
3，函数f (x)为R上的单调递增函数，
又m<n
m<n
1
n，所以f (m)<f (n
m)<f(n
1
n)，即c>b>a.
故选：B.
3（2025·天津河东·二模）已知a=(
1
2)
-0.6
，b= log 1
2
2
9，c = 4
1
3，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数的性质可判断a<c∈(1,2)，再由对数函数的性质可判断b>2，即可得出答案.
【详解】因为a=(
1
2)
-0.6
=2
0.6∈(1,2)，
b= log 1
2
2
9 >log 1
2
2
8 = log 1
2
1
4 =2，c = 4
1
3 =2
2
3 ∈(1,2)，且2
2
3 >2
0.6=a，
故a<c<b.
故选：A.
4（25-26 高三上·河北沧州·月考）已知a❑= log20252026，b= ln
3√9，c =sin
7
2 π
4 +cos
7
2 π
4
，则a，b，c 的
大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．c>a>b
D．c>b>a
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用指数幂及对数的运算性质得到a，b，c 的范围，即可比较大小.
【详解】因为a= log20252026>log20252025=1，
而b= ln
3√9= ln
3√3
2= ln3
2
3 = 2
3 ln3，因为1<ln3<2，所以2
3 <b< 4
3 ，
又因为b= ln
3√9<ln
3√e
3= lne=1，所以2
3 <b<1，所以a>b；
而c =sin
7
2 π
4 +cos
7
2 π
4
=(
❑√2
2 )
7
2 +(
❑√2
2 )
7
2 =2×(
❑√2
2 )
7
2
=2(
2
1
2
2
1)
7
2
=2×(2
- 1
2)
7
2 =2×2
- 7
4 = 2
2
7
4
，
因为128=2
7=(2
7
4)
4
>3
4=81，所以2
7
4 >3，
所以
1
2
7
4
< 1
3，所以
2
2
7
4
< 2
3，所以c<b.
综上，可知a>b>c
故选：A
5（2024·甘肃·模拟预测）设a=1.1，b=sin a，c =e
0.1，则（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>a>b
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较正弦值的大小
【分析】根据正弦及指数函数性质有b=sin a∈(0,1)，c =e
0.1>1，构造f (x)=e
x - x -1(x>0)研究a,c的
大小，即可得答案.
【详解】因为a=1.1∈(0,π
2 )，故b=sin a∈(0,1)，而c =e
0.1>e
0=1，
设f (x)=e
x- x -1(x>0)，则f
' (x)=e
x-1>0，所以f (x)在(0,+∞)上为增函数．
又f (0)=0，所以f (0.1)>0，即e
0.1-0.1-1>0⇒e
0.1>1.1，所以c>a．
综上，c>a>b．
故选：D
6（25-26 高三上·江苏扬州·月考）已知四个数a= ln2+ ln5
2
，b= ❑√ln 2⋅ln5，c = ln 2，d = ln5，其中最大
的是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
【答案】D
【知识点】由基本不等式比较大小、比较对数式的大小
【分析】由基本不等式可比较a,b，再比较d ,a,c即可得解.
【详解】因为ln2>0,ln5>0，且ln2<ln5，
所以a= ln 2+ ln5
2
> 2❑√ln 2·ln5
2
= ❑√ln 2·ln5=b，
又ln5= ln5+ ln5
2
> ln 2+ ln5
2
> ln 2+ ln 2
2
= ln 2，所以d >a>c，
故最大的是d.
故选：D
7（25-26 高三上·河北·期中）已知a=log53,b=log64 ,c =log75，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．a<c<b
【答案】A
【知识点】比较对数式的大小
【分析】利用对数运算，分离“1”之后，结合底数、真数的大小关系，画出图象进行比较即可.
【详解】由log35=1+ log3
5
3，log46=1+ log4
6
4 ，log57=1+ log5
7
5，
因为5
3 > 6
4 > 7
5，而3<4<5，
画出y = log3 x , y = log4 x , y = log5 x的图象，
由图可知，log3
5
3 >log4
6
4 >log5
7
5，那么log35>log46>log57>0，
则
1
log53 >
1
log64 >
1
log75 >0，则log53<log64<log75，即a<b<c．
故选：A．
8（24-25 高三上·重庆·月考）已知a=sin 1
3 ,b=
❑√3
3 ,c = ln 3
2，则（ ）
A．c<a<b
B．a<c<b
C．a<b<c
D．b<a<c
【答案】B
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】构建g(x)= x -sin x , x∈[0,1)，利用导数判断g(x)的单调性，进而可得a< 1
3 <b，再结合对数函
数单调性可得1
3 <c<b.
【详解】记g(x)= x -sin x , x∈[0,1)，则g
' (x)=1-cos x ≥0，
可知g(x)在[0,1)上单调递增，则g(
1
3)>g(0)，即1
3 -sin 1
3 >0，
可得a=sin 1
3 < 1
3 <
❑√3
3 =b；
又因为(
3
2)
2
<e<(
3
2)
3
，则2ln 3
2 <1<3ln 3
2，即1
3 <ln 3
2 < 1
2 <
❑√3
3 ；
所以a<c<b.
故选：B.
9（2025·天津北辰·三模）设a=(
2
3)
1
2 ,b=2
sinπ
6 ,c =3
- 1
4，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c<b<a
B．a<c<b
C．a<b<c
D．c<a<b
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】首先根据指数函数性质得到b最大，再利用幂函数y = x
1
2的单调性比较出a,c大小关系即可.
【详解】因为0<(
2
3)
1
2 <(
2
3)
0
，则0<a<1，b=2
sinπ
6 =2
1
2 = ❑√2>1，
0<3
- 1
4 <3
0，即0<c<1，
c =3
- 1
4 =(3
- 1
2)
1
2，
接下来比较3
- 1
2和2
3的大小关系，因为(3
- 1
2)
2
= 1
3
，而(
2
3)
2
= 4
9 > 1
3，
则3
- 1
2 < 2
3
，根据幂函数y = x
1
2在[0，+∞)上单调递增得(
2
3)
1
2 >(3
- 1
2)
1
2，
即a>c.
故c<a<b.
故选：D.
10（25-26 高三·湖北·月考）已知x，y，z 都是大于1 的正数，且log❑√2 x = log❑√3 y = log❑√6 z，令
a= x
3,b= y
2,c = z，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．b>a>c
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化、由幂函数的单调性比较大小、指数幂的运算
【分析】根据条件log❑√2 x =log❑√3 y =log❑√6 z，可设log❑√2 x =log❑√3 y =log❑√6 z =k，由x，y，z均大于1
可知k >0，从而可得出a=2
3k
2 ,b=3
k ,c =6
k
2，利用幂函数的单调性，从而得出结论．
【详解】由log❑√2 x =log❑√3 y =log❑√6 z，
令log❑√2 x =log❑√3 y =log❑√6 z =k；
∵x，y，z均大于1；
∴k >0；
∴ x =2
k
2 , y =3
k
2 , z =6
k
2；
∴ a=2
3k
2 ,b=3
k ,c =6
k
2；
∴ a=(2❑√2)
k ,b=3
k ,c =(❑√6)
k，
∵ 3>2❑√2>❑√6，且y = x
k(k >0) 是单调增函数，
∴b>a>c，
故选：D．
11（24-25 高三·湖北·期中）设a=3ln1.1,b= ❑√0.4 ,c =ln1.3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小
【分析】根据对数函数的单调性可得a>c，构造函数f (x)=3 ln(x
2+1)-2 x (x ∈R)，利用导数可得
x< 3- ❑√5
2
时，函数f (x)单调递减，进而有f (❑√0.1)<f (0)=0可得a<b，即得.
【详解】因1.1
3=1.331>1.3，故ln1.1
3>ln1.3，故a>c，
设f (x)=3 ln(x
2+1)-2 x (x∈R)，则f
' (x)= 6 x
x
2+1
-2=-2× x
2-3 x +1
x
2+1
，
令x
2-3 x +1=0得x = 3± ❑√5
2
，故当x< 3- ❑√5
2
时，f
' (x)<0，
即函数f (x)在区间(-∞, 3- ❑√5
2 )上单调递减，
因0<❑√0.1< 3- ❑√5
2
，故f (❑√0.1)<f (0)=0，
得3 ln1.1-2❑√0.1<0，即a<b，故c<a<b，
故选：D
12（2025 高三·全国·专题练习）设ln 5a
4 =0.2，b=0.96，e
5c
2 =5，则（ ）
A．c<b<a
B．c<a<b
C．a<c<b
D．b<a<c
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】表示出a,b,c，并适当变形，观察式子，构造函数f (x)= x - 1
x -2ln x (0< x<1),
g(x)=e
x- x -1(0< x<1)，利用导数即可证明-2 x ln x<1- x
2，(1- x)e
x>1- x
2，可比较大小.
【详解】由ln 5a
4 =0.2得a=0.8e
0.2=(1-0.2)e
0.2，
由e
5c
2 =5得c =-2×0.2ln0.2，又b=0.96=1-0.2
2．
取x =0.2，则a=(1- x)e
x，b=1- x
2，c =-2 xln x．
设f (x)= x - 1
x -2ln x (0< x<1)，则f
' (x)=1+ 1
x
2 - 2
x =(1- 1
x)
2
>0，
所以f (x)在(0,1)单调递增，又f (1)=0，则x - 1
x -2ln x<0，
即-2 x ln x<1- x
2，所以c<b．
令g(x)=e
x - x -1(0< x<1)，则g
' (x)=e
x -1>0，所以g(x)在(0,1)单调递增，
则g(x)>g(0)=0，故e
x> x +1，则(1- x)e
x>1- x
2，即b<a，所以c<b<a．
故选：A.
13（25-26 高三上·贵州遵义·月考）设a= 1
11，e
b=1.1，ln(c +1)=0.1，则（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<a<c
D．b<c<a
【答案】A
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用两个经典不等式x +1≤e
x和ln x ≤x -1即可比较出b<c，再构造函数
f (x)=ln(x +1)-
x
x +1
(x ≥0)，再求导利用其单调性即可比较出b>a，则得到三者大小关系.
【详解】由题知，a= 1
11，b=ln1.1，c =e
0.1-1，先证x +1≤e
x在[0,+∞)上恒成立，
设h(x)=e
x - x -1，x∈[0,+ ∞)，则h
' (x)=e
x -1≥e
0-1=0，
则h(x)在[0,+∞)上单调递增，则h(x)≥h(0)=0，则e
x- x -1≥0在[0,+∞)上恒成立，
则x +1≤e
x在[0,+ ∞)上恒成立，
故e
0.1>1+0.1，0.1<e
0.1-1，
先证明ln x ≤x -1在[1,+∞)上恒成立，
设g(x)= ln x - x +1，x∈[1,+∞)，则g
' (x)= 1
x -1= 1- x
x
≤1-1
1
=0，
则g(x)在[1,+∞)上单调递减，则g(x)≤g(1)=0，即ln x - x +1≤0在[1,+∞)上恒成立，
即ln x ≤x -1在[1,+∞)上恒成立，
得ln1.1<1.1-1=0.1，得ln1.1<0.1<e
0.1-1，即b<c.
a=
0.1
0.1+1，b=ln(1+0.1)，构造函数f (x)=ln(x +1)-
x
x +1
(x ≥0)，
f
' (x)=
1
x +1 -
1
(x +1)
2 =
x
(x +1)
2 ≥0，
f (x)在[0,+∞)上单调递增，所以f (x)≥f (0)=0，
所以f (0.1)= ln (1.1)- 1
11 >0，即ln1.1> 1
11，即b>a.
综上，a<b<c，
故选：A.
14（多选）（25-26 高三上·浙江丽水·月考）设x，y，z为正实数，且log2 x = log3 y = log5 z>0，则
x
2 , y
3 , z
5的大小关系可能是（ ）
A．x
2 < y
3 < z
5
B．x
2 = y
3 = z
5
C．z
5 < y
3 < x
2
D．y
3 < x
2 < z
5
【答案】ABC
【知识点】指数式与对数式的互化、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】令t = log2 x = log3 y = log5 z>0，x
2 =2
t -1, y
3 =3
t -1, z
5 =5
t -1，讨论t =1,t >1,t <1根据y = x
t -1的单
调性确定大小关系.
【详解】令t = log2 x = log3 y = log5 z>0，则x =2
t，y =3
t，z =5
t，
所以x
2 =2
t -1, y
3 =3
t -1, z
5 =5
t -1，
当t =1时，x
2 = y
3 = z
5，故B 正确；
当t >1时，由函数y = x
t -1在(0,+ ∞)上为增函数知2
t -1<3
t -1<5
t -1，所以x
2 < y
3 < z
5，故A 正确；
当0<t <1时，由函数y = x
t -1在(0,+∞)上为减函数知5
t -1<3
t -1<2
t -1，所以z
5 < y
3 < x
2，故C 正确D 不正确；
故选：ABC
15（多选）（2024·湖北·一模）已知a=2
log4
1
100，b=ln 10
9 ，c =
❑√10
30 ，则（ ）
A．c>a
B．a>b
C．c>b
D．b>a
【答案】ACD
【知识点】基本初等函数的导数公式、对数的运算、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的
大小关系
【分析】将a，b变形作差，可得a-b= 1
10 +ln(1- 1
10)
，设f (x)= x +ln(1- x)，x∈(0,1)，求导判断函
数的单调性即可判断D；将c变形，可得b-c =ln 10
9 - ❑√
10
9 + ❑√
9
10
，设h(x)=ln x - ❑√x + 1
❑√x ，
x∈(1,+∞)，求导判断函数的单调性即可判断C；根据C，D即可判断A.
【详解】a=2
log4
1
100 =2
log2
1
10 = 1
10
，b=ln 10
9 =-ln 9
10 =-ln(1- 1
10)，
a-b= 1
10 +ln(1- 1
10)，
令f (x)= x +ln(1- x)，x∈(0,1)，
则f
' (x)=1-
1
1- x =- x
1- x <0，f (x)在(0,1)上单调递减，
所以f(
1
10)<f (0)=0，即a<b，故D正确；
因为c =
❑√10
30 = ❑√
10
9 - ❑√
9
10，所以b-c =ln 10
9 - ❑√
10
9 + ❑√
9
10，
令h(x)=ln x - ❑√x + 1
❑√x ，x∈(1,+∞)，
则h
' (x)= 1
x -
1
2❑√x -
1
2
❑√x
3 = 2❑√x - x -1
2 x
3
2
=-(❑√x -1)
2
2 x
3
2
<0，h(x)在(1,+∞)上单调递减，所以
h(
10
9 )<h(1)=0，
即b<c，故C正确，
因为a<b，b<c，所以c>a，故A正确.
故选：ACD.
