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专题1.1：三角函数中的ω 取值范围
目录
思路梳理........................................................................................................................1
题型一：单调性与ω 的取值范围...............................................................................1
题型二：对称性与ω 的取值范围...............................................................................4
题型三：最值与ω 的取值范围...................................................................................8
题型四：零点与ω 的取值范围.................................................................................12
题型五：由几何问题求ω 的取值范围.....................................................................14
综合训练......................................................................................................................18
思路梳理
在三角函数中，ω（通常称为角频率或角速度）的取值范围需根据具体问题的条件和
性质来确定，以下是一些常见情况：
①一般情况：若无特殊限制，ω 可以是任意正实数，即 ω>0。这是因为ω 控制
三角函数的周期和变化速度，正数确保函数按常规方向周期性变化.
②由周期确定：若已知函数的最小正周期为T，则 ω= 2π
T 。此时ω 的取值由T
唯一确定，且ω>0.
③有单调性确定：若已知函数的最小正周期为T，则 ω= 2π
T 。此时ω 的取值由T
唯一确定，且ω>0.
④由零点个数确定：若函数在区间(a,b) 内有n 个零点，需满足区间长度与周期的
关系。例如，至少有n 个零点时，(b-a)≥n-1
2
⋅2π
ω ，由此可解出ω 的范围.
⑤由对称性确定：若函数图象有对称轴或对称中心，可通过对称点的坐标关系确定ω。
例如，对称轴x = x0 满足ω x0+φ =kπ + π
2 （k ∈Z），由此解出ω.
⑥由极值或最值确定：若函数在某区间内有极值或最值，需满足函数在该区间内完成
至少半个周期的变化。例如，函数y =sin (ωx +φ) 在区间(a,b) 内有极值，
则
b-a
π
ω
≥1
，即 ω≥
π
b-a.
对于较难的求ω取值范围的问题，往往是通过不等式求解的.
我们将ωx +φ看作一个整体，
如果满足单调性，则让ωx +φ落在这个单调区间内，解得ω的范围.
如果满足对称性，零点，极值点等，则具体的点坐标代入，解出ω的等式.
题型一：单调性与ω 的取值范围
例1．已知函数
的图象过点
，且对任意
，都有
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知可得
且在
上单调递增，进而得到
，讨论
即可得参数范围.
【详解】由题设
，
，则
，则
，
由
都有
，又
，
所以
在
上单调递增，此时
，
所以
，可得
，
当
有
，故当
有
，
当
有
，当
有
，
又
，所以
.
故答案为：
例2．已知函数
，（
，
），
，
，且
在区间
上单调，则
的最大值为（ ）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】根据函数的单调性确定
的取值范围，再由两个函数的值列出方程组，求解后分
析即得
的最大值.
【详解】设函数
的最小正周期为
，
，
因
在区间
上单调，则
，因
，则有
，
又
，
，则得
，
消去
，可得
，即
，
因
，可得
，
故当
时，
取得最大值为5.
当
时，
，由
可得
，
此时
，符合题意.
故选：B.
例3．已知函数
，
，
，
在区间
上单调，则正整数
的最大值为
.
【答案】11
【分析】由最大值得到
，由
为对称中心，得到
，再
结合单调性得到
，再验证
，
即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
，所以
，
又
，所以
是函数的对称中心，
所以
，
，所以
，
所以
，即
，
所以
是奇数，又函数在区间
上单调，
所以
即
，所以
，
当
时，不符合题意；
当
时，
，
，又
，
取
，
时，
满足
，
所以
最大值为11.
故答案为：11
例4．设函数
，若
在
上单调递增，则
的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】利用正弦函数的单调区间来求解参数范围即可.
【详解】由
可得：
，
因为正弦函数的单调递增区间是
，
所以
，解得：
，
由
解得：
，
因为
，所以当
时，有
，
当
时，有
，
故答案为：
题型二：对称性与ω 的取值范围
例1．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于坐标
原点对称，则
的值可以是（ ）
A．4
B．5
C．10
D．16
【答案】B
【分析】先根据三角函数图像的平移规则得到平移后的函数解析式，再结合正弦函数图像
关于原点对称的性质，求出
的表达式，最后根据选项进行判断即可.
【详解】由题意，令函数
的图象向左平移
个单位长度后所得
函数为
，
则
，
又平移后得到的图象关于坐标原点对称，即函数
为奇函数，
所以
，解得
，
当
时，
.
故选：B
例2．已知函数
，将
的图象先向左平移
个单位长
度，得到函数
的图象，若
图象关于
对称，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用辅助角公式得
，再由图象平移得
，结合图象的对称性及正弦函数的性质求参数值.
【详解】由
，
所以
，
由
图象关于
对称，则
，
所以
，可得
，而
，故
.
故选：A
例3．（多选题）已知函数
在区间
上有且仅有4 条对称轴，
则下面给出的结论中，正确的是（ ）．
A．
的取值范围是
B．
的最小正周期可能是2
C．
在区间
上可能恰有4 个零点
D．
在区间
上可能单调递增
【答案】AC
【分析】令
,则
,结合题中条件可得
有四个整数
符合，可求出
的取值范围，再根据三角函数的性质逐项分析即可.
【详解】由
，
令
，则
，
因为函数在区间
上有且仅有4 条对称轴，
即
有四个整数
符合，
由
，得
，
则
，即
，
所以
，故A 正确；
若函数的最小正周期为
，则
，故B 错误；
当
时，
，
又
，
当
时，
有三个不同的零点；
当
，
有四个不同的零点，
则
在区间
上可能恰有4 个零点,故C 正确；
当
时，
，
因为
所以
，
而
，所以
在区间
上不单调递增，故D 错误，
故选：AC.
【点睛】本题的关键点是：根据题中条件，求出
的取值范围.
例4．
，
在
有且仅有一条对称轴，则
范围为
【答案】
【分析】由题意结合三角函数的性质可得
，
，
整理后按照
、
、
、
分类讨论即可得解.
【详解】
函数
的图像在区间
上有且仅有一条对称轴，
，
函数
的周期
，
，
令
，则
，
，整理得
，
，
且
，
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式可化为
，无解；
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型三：最值与ω 的取值范围
例1．已知函数
（
）在
上的图象有且仅有3 个最高点．下
面四个结论：
①
在
上的图象有且仅有3 个最低点；
②
在
至多有7 个零点；
③
在
单调递增；
④
的取值范围是
；
则正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】②③④
【分析】根据第3 个正最大值点在区间
内，第4 个正最大值点不在
内列不等式
可得
的范围，可判断④；求出第3 个正最小值点，结合
的范围求出其范围即可判断①；
根据
的范围，求出第7、8 个正零点的范围，可判断②；由
得
，结合
的范围求出
的范围可判断③.
【详解】对于④，由
得
的最大值点为
，
因为
在
上的图象有且仅有3 个最高点，
所以
，解得
，④正确；
对于①，由
得
的最小值点为
，
因为
，所以
，
因为第3 个正最小值点为
，所以
，
所以第3 个正最小值点
不一定在
内，故①错误；
对于②，由
得
，
第7、8 个正零点为
，
因为
，
所以第7 个正零点有可能在
内，第8 个正零点不在
内，
所以
在
至多有7 个零点，②正确；
对于③，由
得
，
因为
，所以
在
单调递增，③正确.
故答案为：②③④
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用
的范围，求出关键零点、最值点、端点的范围，
然后即可得解.
例2．已知
（
，
，
），其图象经过点
，若存
在
，
使得
为函数的最大值，
为函数的最小值，且同时满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得
，可求得
，利用函数图像经过
，可求得
，结合单调性可得
，进而可求得
的取值范围.
【详解】∵
为函数的最大值，
为函数的最小值，所以
，
，
又
，所以必有
，解得
，
又函数图像经过
，因此
，结合
，得出
，
则
，因为
，当
时，
，
所以
，得
，
，所以
，解得
．
当
时，
；
当
时，令
，因
时，
，
故从
开始，各区间
相互重叠，其并集为
，
因此
的取值范围是
.
故答案为：
.
例3．若函数
在区间
上恰有5 个极值点，且在区间
上单调，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由
求出
，结合极值点个数求出
的范围，再由
求出
的范围，算出左端点
的范围，结合正弦函数的单调性得到不等式组，解得
即可.
【详解】由
，所以
，又函数
在区间
上恰有5 个
极值点，
所以
，解得
，
由
，则
，
又
在区间
上单调，
由
，所以
，所以
或
，
解得
或
，
综上可得
的取值范围为
.
故答案为：
例4．已知
，
，若对任意实数x 均有
，则满足条件的有
序实数对
的组数为 ．
【答案】6
【分析】令
，可得
，求得
或
，结合函数的周期性反正否定
,
的情况，讨论得出所有可能的
值，最后利用乘法计数原理求出有序实数对
的组数．
【详解】
对任意实数x 均有
，令
，则
，故
，
，又
，
或
，共2 个，此时
.
令
，依题意，
恒成立.
当
时显然
，
恒成立.
当
时，
的周期依次为为
，
.
若
，则
，于是当正数
足够大时，在区间
内
的上顶点数比
多，
所以存在
，使得在
处
取到最大值而
不是，即
而
，
，所以
不恒成立，不合题意．
若
，则
，当正数
足够大时，在区间
内，
的零点比
的零
点多，所有存在
，使得在
处是
的零点而不是
的零点，即
而
，
，所以存在
的点，不合题意．
当
时，
，
成立；
所以
的取值共3 个：
．
所以有序实数对
共
组．
故答案为：6．
题型四：零点与ω 的取值范围
例1．已知函数
的图象与
轴的交点为
，
，又在区间
上有且仅有一个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由
，求出
，然后求出
在坐标原点两侧最接近0 的两个零点，
根据题意列不等式求解即可.
【详解】依题意得，
，
，则
；
则
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在坐标原点两侧最接近0 的两个零点分别为
，
，且
，
由题意，得
，解得
，
则
的取值范围是
.
故答案为：
；
例2．已知定义域为R 的函数
的解析式为
，若
在区
间
上至多出现2025 个最小值，且对任意实数s，
在
上至少出现2025 个零
点，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意可得
，再由
可得
，列出不等式代入计
算，即可得到
的取值范围.
【详解】由
得
，即
，
由题意可得
，得
，
由
得
，
所以
相邻零点之间相距
或
，
由题意知
，
所以实数
的取值范围为
．
故答案为：
例3．已知函数
满足
恒成立.①
的取值范围是
；②若
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据
恒成立，可得
，从而得到
，即可
确定
的取值范围；由
，结合
和
，可得
，从而求得
，进而求解
的最小值.
【详解】由
，可知
，
因为
恒成立，所以
，即
，
因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
的取值范围是
；
由
，所以
，即
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
， 所以
，
，
则
，
，所以
，
解得
，又
，所以
.
故答案为：
；
例4．已知函数
在区间
内不存在零点，则
的
取值范围是 .
【答案】
【分析】先化简函数得
，结合
的图象，利用函数在
上无零点，列不等式组可求
的取值范围.
【详解】因为
.
由题意：
，即
.
由
.
因为
在区间
内不存在零点，结合
的图象，
可得：
或
，
解得：
或
.
故答案为：
.
题型五：由几何问题求ω 的取值范围
例1．已知函数
和函数
的图象上相
邻的四个交点构成的四边形的面积为
，且
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】先计算两个函数的交点坐标，得出相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，
即可计算其面积，得出
的值，再利用
得出
.
【详解】由
得，
，
则
，即
，
则当
时，
（
为奇数）或
（
为偶数），
则交点坐标为
（
为奇数），
（
为偶数），
则相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，
因相邻的交点之间的横坐标差的绝对值为
，
则平行四边形的面积为
，得
，
由
，得
，即
，
因为
，所以
.
故选： C
例2．如图，函数
的图象与它在原点
右侧的第二条对称轴
交于点
是
图象在原点左侧与
轴的第一个交点，点
在图象上，
，
，则
．
【答案】
/
【分析】设函数
的最小正周期
，
，
，由三角函数的图象与性质
可得
，由平面向量的知识可得
，代入
即可得
，再由平面向量的数量积
可得
，即可得解.
【详解】设函数
的最小正周期
，
，
，
所以
，结合函数
的图象可得
，
，
则
.
设
，则
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
则
，
.
由
可得
，解得
或
（舍去），
所以
.
故答案为：
.
例3．已知
，曲线
与
，相邻的三个交点构成一个等腰直角
三角形，求
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用方程求出三个连续交点，通过数形结合可知只需要满足
，从而可
求出
.
【详解】如图：
先由
与
相交可得方程：
，
因为
，
所以
，即
，
不妨取
，可得三个交点的横坐标分别为
，
，
，
所以
.
因为
为等腰直角三角形，所以斜边
边上的中线长为
.
又
，
，
，
设
为
的中点，则
，
，
，
由
故选：A
例4．已知函数
，若存在实数
使得函数图象上的最低点或最
高点恰有2 个在椭圆
的内部（包含边界），则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】令
即可求出最值处的横坐标，由最值点在椭圆内部，故可将
最值点的坐标代入
中，得出关于
的不等式，因存在两个最值点，故不等
式
存在两个相邻的
，最后利用两端点距离范围为
可求解.
【详解】令
，则
，
因存在实数
使得函数图象上的最低点或最高点恰有2 个在椭圆
的内部（包含
边界），
则存在两个相邻的
，使得
成立，
即
，则
，
则
，
则
，得
，
故
的取值范围是
.
故答案为：
综合训练
1．将函数
的图象向左平移
后得到函数
的图象，若
的图象关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】先由平移得到函数
的解析式，再由图象关于
对称可得.
【详解】由函数
的图象向左平移
后得到函数
的图象，
所以
，又
的图象关于直线
对称，
所以
，得
，
即
，再由
，得
，所以当
时，
取最小值为
.
故选：B.
2．设A，B，C 是函数
与函数
的图象连续相邻的三
个交点，若
则
.
【答案】
【分析】根据
求得
，从而有
，取特值
，再根据正弦曲线的性质计算即可.
【详解】由
，即
，
解得
，从而
，
不妨设
，由正弦曲线的对称性和周期性知：
，
又
边上的高为
，且
，
，从而
．
故答案为：
.
3．已知
，若对任意实数
均有
，则满足条件的有序实
数对
的个数为 .
【答案】3
【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同，通过
，
，
三种
情况讨论求解即可
【详解】
，任意实数
均有
.
当
时，任意实数
均有
，且
，
时，符合题意；
任意实数
均有
，即
，
，
只能任意实数
均有
，则
，
当
时，
，则
，
，符合题意；
当
时，
.
所以
，
，
又
，符合题意.
综上所述，满足条件的有序实数对
有
，
，
共3 个.
故答案为：3
4．已知函数
仅存在一个极值点和两个零点在区间
内，
则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】设
为
的最小正周期，则由
得
，由
得
，由
得
，结合
求得
和
的范围，根据余弦函数性质列不等式组求解即可.
【详解】设
为
的最小正周期，由题意可知，
，即
，解得
，
由
得，
，
，由
得，
，
又
，所以
，
，
由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点.
由题意
或
，
解得
或
，
故实数
的取值范围为
.
故答案为：
5．定义：闭区间[a，b]的长度为
，已知函数
同时满足以下3
个条件：①在任意一个区间长度为
的闭区间内，都不存在
，使得
；
②
；③
是函数
图象的一个对称中心，则实数
的最大值
为 .
【答案】
【分析】利用①得出
，解得
.数形结合，利用②中
分析出
取得最小值时
所在的位置，最后利用③中
解出
的值,求出
【详解】当
时，说明
与
一个取最小值，一个取最大值，
而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期，
因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值，所以
，解得
，
所以
.不妨设
，如图所示：
依次讨论
对应为点C，A，D，E 四种情况，且
，
若
对应为点
（或点
之后），则
，即
，不合题意；
若求
的最大值，即
的最小值，即
与
之间相位跨度最大，
若
对应为点
，则直线
为
图象的对称轴，
又
是函数
图象的一个对称中心，且
，
则
，解得
，则
.
所以
取值的最大值为
.
故答案为：
.
6．已知函数
，点
，
分别为函数
图
象上的最高点和最低点，若线段
的长度的最小值为
，且
，则
的值为
.
【答案】
【分析】通过逐步分析画出
在一个周期内的函数图象，根据
长度的最小值得到等
量关系，解方程可得结果.
【详解】令
，则原函数可化为
，
∴
，
的最小正周期为
，
作出
在
上的函数图象，如图1，
∴
在
上的函数图象如图2，
由
得，
，
的最小正周期为
，故
在
的图象如图3，
如图，当点
为一个周期内的最高点和最低点时，
的长度最小，此时
，
∵
，
∴
，即
，解得
.
故答案为：
.
7．若存在
使
满足
，则正数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过正弦函数最值，确定
，
，从而得到
进而
求解可解决问题.
【详解】
，
所以
，
又
所以必有
，
，
，
因为
， 当
时，
，
所以
得
，所以
，解得
．
当
时，
；当
时，
；
因此
的取值范围是
．
故答案为：
8．已知函数
，若存在
，
使得
，则
的最小值为 .
【答案】4
【分析】对函数
利用辅助角公式变形，分
和
两
种情况由正余弦函数的性质可得.
【详解】
又
，
，
，
或
，
①当
时，即
，
则
，
所以
，
，而
，
，所以
，
代入
得
，
所以
，
当
时，可取
；
②
时，
同理
，
则
，
，而
，
，所以
，
代入
得
，
所以
，
当
时，可取
；
综上
的最小值为：4
故答案为：4.
9．已知
，顺次连接函数
与
的任意四个相邻交点，所构
成的四边形的周长为
，则
．
【答案】
/
【分析】作出图形，分析可知四边形为平行四边形，根据平行四边形的两条邻边长之和为
可求出
的值.
【详解】如下图所示：
由题意可知
，
联立
可得
或
，
不妨取点
，则
，
所以
，
由题意可知，四边形
为平行四边形，且其周长为
，
所以
，
令
，可得
，即
，整理可得
，
即
，由
可得
，故
，
即
，解得
.
故答案为：
.
10．若函数
在区间
上恰有5 个零点，则
的取值范围为
.
【答案】
【分析】先由余弦型函数在给定区间上的零点问题转化为函数
与函数
在
上的交点问题，借助于余弦函数的图象列出不等式求解即得.
【详解】
由
，可得
，
设
，当
时，
，
依题意，要使函数
在区间
上恰有5 个零点，
需使函数
与函数
在
上有5 个交点，
结合余弦函数
的图象，可得
，即得
，
即
的取值范围为
.
故答案为：
.
11．已知函数
（
，
），若
，
，且
在区间
上单调，则
．
【答案】
【分析】根据函数在区间
内的单调得出周期，进而求得
，通过极值点和零点条
件建立关于
和
的方程，结合
的范围筛选合理解，验证单调性即可得出结果.
【详解】设函数
的周期为
，由
，
，
结合正弦函数图象的特征可知，
，
.
故
.
又因为
在区间
上单调，所以，
，故
，
所以
.
由
，得
，即
且
，
所以，当
时，
，
，
或
，舍.
当
时，
，
，
，符合条件.
当
时，
，
，
或
，舍.
所以
，
.
故答案为：
.
12．已知函数
区间
内没有零点，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据周期性可得
，以
为整体，结合题意可得其取值范围，再结合
正弦函数零点运算求解.
【详解】设函数
的最小正周期为
，
根据函数周期性可知：
，即
，
且
，则
，可得
，
因为
，则
，
且
，
因为函数
在区间
内没有零点，可知
在区间
内没有零
点，
可得
或
，解得
或
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
13．已知函数
在
上单调，且
，
则
的取值可能为 .
①
②
③
④12 ⑤
【答案】①③
【分析】根据三角函数的单调性先得
，再由
，得
的一个零点
为
，即可分周期的情况求得
的值.
【详解】设
的最小正周期为T，则由
在
上单调，
可得
，即
，
由且
，
得
的一个零点为
.
因为
，
所以有以下三种情况：①
，则
；
②
，得
，则
；
③
，得
，则
.
故选：①③.
【点睛】关键点点睛：根据三角函数的单调性先得
，再由
，得
的一个零点为
，即可分周期的情况求得
的值.
14．已知函数
，其中
，
，且
恒成立，若
在区间
上恰有个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】依题意可得
，即可得到
，再由
范围求出
的范围，即可得到
，即可求出
的取值范围.
【详解】因为
恒成立，则
，
所以
，则
，
当
时，
，
因为
，则
，
因为
在区间
上恰有个零点，则
，
即
，
，解得
，
，
因为
，由题意可知
. 所以
，可得
；
即
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出
，再结合零点个数
得到
.
15．已知函数
在区间
上单调递减，且在区间
上恰有
个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】当
时，求出
的取值范围，根据函数
在区间
内的零点个
数可得出关于
的不等式；当
时，求出
的取值范围，根据函数
在区间
上的单调性，可得出关于
的不等式组，综合可得出
的取值范围.
【详解】因为函数
在区间
上恰有个零点，
令
，可得
，当
时，
，
所以，
，解得
，
又因为函数
在区间
上单调递减，
当
时，
，
则
，其中
，
所以，
，解得
，
，
由
解得
，故
，则
，
综上所述，正实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为
或
的形式；
（2）将
看成一个整体；
（3）借助正弦函数
或余弦函数
的图象和性质（如定义域、值域、最值、
周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
16．已知函数
和
的图象相邻的两个交
点为A，B，若
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数图象，结合三角形的等价条件进行转化，求出三角形的底和高，结合三
角函数的相交性质进行求解即可.
【详解】作出两个函数的图象如图，则由对称性设
，且
，
即
为等腰三角形，
，且
，
取AC 的中点M，连接BM，
则
，
，
由
，得
，
得
，得
，得
，
则
，
即A 点纵坐标为1，
，
，
因为
，所以
，解得
，
即
，解得
，所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
17．已知函数
，
，
，
且
在
上单调，则
的值为 ．
【答案】
【分析】分析可知，函数
的一条对称轴为直线
，且
，可得出
①，
②，结合①②以及
的取值范围可求出
的值，以及
的表达式，然后由
可得出
的不等式，解出
的取值，然后由大到小
逐一检验即可.
【详解】因为函数
满足
，
则函数
的一条对称轴为直线
，则
①，
因为
，可得
②，
由①②可得
，
因为
，所以，
，
将
代入①可得
，
因为
在
上单调，则该函数的最小正周期
满足
，
所以，
，所以，
，解得
，
因为
，则
的可能取值构成的集合为
，
当
时，
，此时，
，
当
时，
，此时，函数
在
上不单调，不合乎题
意；
当
时，
，则
，
当
时，
，此时，函数
在
上不单调，不合乎题意；
当
时，
，则
，
当
时，
，此时，函数
在
上单调递减，合乎题意.
综上所述，
的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于求出
后，要结合单调性确定周期的范围，进
而得出
的范围，进而求解.
18．已知
，若存在
、
，且
，使得
成立，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据
的值域得到
，则
成立的必要条件是
，当
时必然成立，讨论
时是否满足条件即可.
【详解】因为
，所以
，
，
因为
，所以
，所以
，
即
，
，所以
，
当且仅当
时，
成立，
所以
，
必要条件：
，解得
；
若
，即
时，必然成立；
若
，因为
，
，不妨设
，
则
，
，且
，
所以
，
，
所以
①，
②，
①②两式联立得
，即
，
所以
，又
，所以
，
，
当
时，
，不符合条件；
当
时，
，则
，此时
；
当
时，
，则
或
，此时
或
，
因为
，所以
；
综上，
或
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据
的值域得到
，将
问题转化为
；关键点之二在于讨论
时是否满足条件.
19．若存在
（
互不相等），满足
，
则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可得
，不妨设
，再分
和
两种情况讨论，分别求出
，进而可得出答案.
【详解】存在
（
互不相等），满足
，
则
，
不妨设
，且是相邻最值点.
当
时，
则
，解得
，
由
，解得
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，
当
时，
则
，解得
，
由
，解得
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，
综上所述，
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：由题意可得
，不妨设
，
再分
和
求出
是解决本题
的关键.
20．设A，B，C 是函数
与函数
的图象连续
相邻的三个交点，若
是钝角三角形，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先化简变换得到
，在同一坐标系中作出两个函数图像，设
为
的中点，由
，
，然后根据
为钝角三角形，
只须
，由
求解，
【详解】由题意得，
，作出两个函数图像，如图：
为连续三交点，（不妨设
在
轴下方），
为
的中点，
由对称性，则
是以
为顶角的等腰三角形，
，
由
，整理得
，
解得
，则
，
即
，
所以
，
因为
为钝角三角形，
则
，
所以
，
解得
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键是将
为钝角三角形
，转化为则
，
利用以
而得解.
