考点突破练 3 三角函数与解三角形
1
1.(2023安徽蚌埠三模)已知函数f(x)=√3sin ωxcos ωx+cos2ωx- (ω>0).
2
(1)若ω=1,求函数f(x)的最小正周期;
π π
(2)若y=f(x)的图象在区间(0, )内有且仅有一条对称轴,求f( )的取值范围.
4 8
b2+c2-a2 a2+c2-b2
2.(2023福建福州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 = .
sinB sinA
(1)证明:A=B;
1
(2)若D为BC的中点,从①AD=4,②cos C= ,③CD=2这三个条件中选取两个作为条件证明另外一
4
个成立.
3.(2023山东潍坊模拟)如图,P为半圆(AB为直径)上一动点,OA⊥OB,OA=√3,OB=1,记∠BAP=θ.
(1)当θ=15°时,求PO的长;
(2)当△APO周长最大时,求θ.
√3c
4.(2023湖南长沙模拟)如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足 +tan B=√3.
acosB(1)求A;
(2)在△ABC所在平面上存在点E,连接BE,CE,若EC=√3AC,∠ACE=∠A,∠EBC=30°,BC=2,求△ABC
的面积.
5.某城建部门欲沿河边规划一个三角形区域建设市民公园.如图,MN为该城区内河段的一部分,现有
两种设计方案,方案一的设计为△AMN区域,方案二的设计为△BMN区域,经测量,AM=AN=700米,
BM=500米,BN=800米,∠A=∠B.
(1)求MN的长度.
(2)若市民公园建设每平方米的造价为80元,不考虑其他因素,要使费用较低,该选哪个方案?说明理由,
并求出造价为多少?(参考数据:√3≈1.732)
6.(2023浙江湖州、衢州、丽水二模)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足
sinA sin2A-sin2C
-1= ,且A≠C.
sinC sin2B
(1)求证:B=2C;
(2)已知BD是∠ABC的平分线,若a=4,求线段BD长度的取值范围.考点突破练 3 三角函数与解三角形
1 √3 1+cos2ωx 1 √3 1
1.解 (1)f(x)=√3sin ωxcos ωx+cos2ωx- = sin 2ωx+ - = sin 2ωx+ cos
2 2 2 2 2 2
π
2ωx=sin(2ωx+ ).
6
π 2π
由ω=1,得f(x)=sin(2x+ ),则T= =π.
6 2
π π π π π
(2)由x∈(0, ),得2ωx+ ∈( , ω+ ),
4 6 6 2 6
π π π π 3π 2 8
因为y=f(x)的图象在区间(0, )内有且仅有一条对称轴,所以 < ω+ ≤ ,解得 <ω≤ .
4 2 2 6 2 3 3
π π π π π π 5π 1 π π π 1
因为f( )=sin( ω+ ),且 < ω+ ≤ ,所以 ≤sin( ω+ )≤1,所以f( )的取值范围是[
8 4 6 3 4 6 6 2 4 6 8 2
,1].
b2+c2-a2 a2+c2-b2 2bccosA 2accosB
2.(1)证明 已知 = ,由余弦定理可得 = ,即
sinB sin A sinB sinA
bcosA acosB
= .
sinB sinA
b a
又由正弦定理 = ,得cos A=cos B.
sinB sin A
因为A,B均为△ABC中内角,所以A=B.
(2)解 在△ABC中,A=B,D为BC的中点,如图所示.
①②⇒③
由(1)知,AC=BC,
AC2+CD2-AD2 4CD2+CD2-16 1
则AC=2CD.在△ACD中,cos C= = = ,解得CD=2.
2AC·CD 4CD2 4
①③⇒②
由(1)知,AC=BC,则AC=2CD=4,所以在△ACD中,
AC2+CD2-AD2 16+4-16 1
cos C= = = .
2AC·CD 2×4×2 4
②③⇒①
由(1)知,AC=BC,则AC=2CD=4.在△ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos C=16+4-
1
2×4×2× =16,所以AD=4.
4
3.解 (1)在△ABO中,OA⊥OB,OA=√3,OB=1,则AB=2,
∴∠BAO=30°,∠ABO=60°,且O在以AB为直径的圆上,
∴∠APO=60°.
在△APO中,∠PAO=45°,OA=√3,
OP OA
由正弦定理,得 = ,解得OP=√2.
sin45° sin60°
(2)在△APO中,∠APO=60°,OA=√3,
由余弦定理,得OA2=PA2+PO2-2PA·POcos∠APO,即PA2+PO2-PA·PO=3,PA+PO
∴(PA+PO)2-3PA·PO=3,∴3PA·PO=(PA+PO)2-3≤3( )2,当且仅当PA=PO=√3时,等号成
2
立,
∴(PA+PO)2≤12,∴PA+PO≤2√3.
故当PA=PO时, APO周长最大,此时∠PAO=60°,
∴θ=60°-30°=30°.
△ √3c
4.解 (1)在△ABC中,由 +tan B=√3,
acosB
得√3c=√3acos B-asin B.
由正弦定理,得√3sin C=√3sin Acos B-sin Asin B.
因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),
因此√3sin(A+B)=√3sin Acos B-sin Asin B,
即√3cos Asin B=-sin Asin B,
而0°<A<180°,0°<B<180°,则sin B≠0,
故√3cos A=-sin A,
显然cos A≠0,则tan A=-√3,故A=120°.
(2)令∠ABC=α,四边形内角和为360°,由(1)的结论知,E=90°-α.在△ABC中,由正弦定理得,
BC AC
= ,
sin A sinα
4√3
则AC= sin α.
3
1
EC BC 2×
在△BCE中, = ,则EC= 2 1 1 .
sin∠CBE sinE = =
sinE sin(90°-α) cosα
1
又EC=√3AC,则4sin α= ,即2sin 2α=1,
cosα
1
得sin 2α= .
2
因为A=120°,A+α+∠ACB=180°,则0<α<60°,故2α=30°,即α=15°.
√6-√2
又sin α=sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°= ,
4
4√3 3√2-√6
因此AC= sin α= .又∠ACB=45°,
3 3
1 1 3√2-√6 √2 3-√3
所以△ABC的面积S = AC·BCsin 45°= × ×2× = .
ABC 2 2 3 2 3
△ AM2+AN2-M N2 490 000+490 000-M N2
5.解 (1)在△AMN中,由余弦定理得cos A= = .
2AM·AN 2×700×700
在△BMN中,由余弦定理得
BM2+BN2-M N2 250 000+640 000-M N2
cos B= = .
2BM·BN 2×500×800
由∠A=∠B,得cos A=cos B,
490 000+490 000-M N2 250 000+640 000-M N2
故 = ,解得MN=700,故MN的长度为
2×700×700 2×500×800
700米.
(2)方案二的设计符合要求.理由如下:
1
因为S = ·AM·AN·sin A=245 000sin A,
AMN 2
△1
S = ·BM·BN·sin B=200 000sin B.又sin A=sin B,所以S >S .
BMN 2 AMN BMN
故△选择方案二的设计,建设市民公园的费用较低. △ △
因为AM=AN=MN=700米,所以△AMN是等边三角形,则∠A=∠B=60°,
1
所以S = ·BM·BN·sin B=100 000√3≈173 200平方米,所以总造价为80×173 200=13 856 000
BMN 2
元. △
故方案二符合要求,最低造价为13 856 000元.
sin A-sinC sin2A-sin2C 1 sinA+sinC
6.(1)证明 由题意得, = ,即 = .由正弦定理得,
sinC sin2B sinC sin2B
b2=c2+ac.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
所以c=a-2ccos B,即sin C=sin A-2sin Ccos B,
故sin C=sin(B+C)-2sin Ccos B,
整理得sin C=sin(B-C).
π π π π
又△ABC为锐角三角形,则C∈(0, ),B∈(0, ),B-C∈(- , ),所以C=B-C,即B=2C.
2 2 2 2
a BD 4 BD
(2)解 在△BCD中,由正弦定理得, = ,所以 = ,所以BD=
sin∠BDC sinC sin∠BDC sinC
4sinC 4sinC 2
= = .
sin∠BDC sin2C cosC
因为△ABC为锐角三角形,且B=2C,
π
{ 0<C< ,
2
π π π
所以 0<2C< , 解得 <C< .
2 6 4
π
0<π-3C< ,
2
√2 √3 4√3
故 <cos C< ,所以 <BD<2√2.
2 2 3
4√3
因此线段BD的长度的取值范围为( ,2√2).
3
