专题2.1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、
周期性）
近三年：1、函数的性质是近3 年的高考命题热点，包括单调性、奇偶性、周期性与对称性；单一性质的
题目减少，综合题成为绝对主流。特别是对称性+周期性的组合，是近年选择题压轴的热门模型。例如，
给出一个函数有两条对称轴或一个对称中心加一条对称轴，推导其周期性，然后进行函数值求和。
2 会以基本初等函数、抽象函数或新定义/新情境函数为载体进行考核，内容贴近实际应用；
以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是集合间的基本运算．
3 解题方法上注重数形结合与转化化归，确定数学思考的渗透。
预测2026 年：可能以选填题的形式考核：① “四性”综合小题：对称性与周期性的综合题仍是压轴小题
的最大热门；② 比较大小，利用单调性比较指数、对数、幂函数值的大小，可能涉及中间量法；③函数
零点问题：判断零点个数或所在区间，本质是函数与方程思想的应用，需结合单调性和零点存在定理。若
出现在解答题中，会结合导数一起，会涉及到分类讨论，题目信息更接近生活，需要有较好的函数建模能
力与应用意识。
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题型01 奇偶性的基础
解｜题｜策｜略
1 判断函数的奇偶性的方法有
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求f (- x) , 看下与f ( x)的关系：
若f (- x)= f ( x)，则y = f (x)是偶函数；若f (- x)=- f ( x)，则y = f (x)是奇函数.
② 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
2 奇偶性的性质
① 偶函数关于y轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数f ( x)定义域内含有0，则f (0)=0。
1（2025·广东佛山·一模）设f (x)是定义在R上的奇函数,当x>0时，f (x)=3+log2 x,则f (-2)=（ ）
A．7
2
B．- 7
2
C．4
D．-4
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质将f (-2)转化为- f (2)即可.
【详解】∵f ( x)是定义在R上的奇函数，
∴f (-2)=- f (2)=-(3+ log22)=- 4.
故选：D.
2（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数f (x)=
xcos x
(2 x -1)(2 x +a)为奇函数，则a=（ ）
A．－1
B．1
C．0
D．－2
【答案】B
【分析】根据奇函数定义结合余弦函数的诱导公式计算求参即可
【详解】因为函数f (x)=
xcos x
(2 x -1)(2 x +a)为奇函数，
所以f (x)+ f (- x)=
xcos x
(2 x -1)(2 x +a) +- xcos(- x)
(-2 x -1)(-2 x +a)
=
xcos x
(2 x -1)(2 x +a) +
xcos x
(2 x +1)(-2 x +a) =0，
所以(2 x -1)(2 x +a)-(2 x +1)(2 x -a)=0，即得(4 a- 4) x =0恒成立，
所以a=1.
故选：B.
3（25-26 高三上·辽宁·期中）设函数f (x)=|x
3-3 x|，则方程f (x)=1的所有解之和为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．3
【答案】B
【分析】先判断函数f (x)为偶函数，再由对称性可求出方程f (x)=1的所有解之和.
【详解】因为f (- x)=|(- x)
3-3(- x)|=|- x
3+3 x|=|x
3-3 x|= f (x)，所以函数f (x)为偶函数，其图像关于y
轴对称，
因为f (0)=0≠1，所以x =0不是方程的解，若x0为方程f ( x)=1的解，则f ( x0)=1，
由f ( x)为偶函数可知，f (- x0)= f ( x0)=1，所以- x0也是方程的解，
因此，方程的非零解成对出现，其和为0，故方程f (x)=1的所有解之和为0.
故选：B.
题型02 单调性求参数
解｜题｜策｜略
1 根据函数的特性，结合图象分析；
2 若已知分段函数的单调性，则先由单调性确定各段函数的参数取值范围，再数形结合使得各段函数之
间也形成单调性，最终得到参数范围或其值；
3 若函数是奇偶函数，可先处理y轴右侧函数部分，利用函数单调性求出参数，再结合对称性得到最后
结果。
1（25-26 高三上·安徽淮北·期中）已知函数f (x)=¿在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[3,+ ∞)
B．[-3,-1]
C．(-∞,-1]
D．[-3,-1)
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性，分段分析即可，注意分段点出也要满足单调增.
【详解】当x ≥1时，f (x)= e
x -1+ ln x +7，显然为增函数，
当x<1时，f (x)= - x
2-2ax -a，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴x =-a≥1，
即a≤-1即可，
当x =1时，e
0+ ln1+7≥-1-2a-a⇒9≥-3a⇒a≥-3，
故a的取值范围是[-3,-1]，
故选：B.
2（25-26 高二下·浙江·月考）已知函数f ( x)=-
1
4
x+1
+2 x
3+ 3
2，若对任意x∈[-2,2]，都有
f ( x +1)+ f (a- x
2)>2，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a< 4
5 }
B．{a∣a<5}
C．{a|0<a< 4
5 }
D．{a∣a>5}
【答案】D
【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定f ( x)的单调性，构造函数g( x)= f ( x)-1并探讨奇偶性，再
利用性质求解不等式.
【详解】函数y =-
1
4
x+1
, y =2 x
3+ 3
2在[-2,2]上单调递增，则函数f ( x)在[-2,2]上单调递增，
令g( x)= f ( x)-1=-
1
4
x+1
+2 x
3+ 1
2，则函数g( x)在[-2,2]上单调递增，
g(- x)+ g( x)=-
1
4
- x+1
+2(- x)
3+ 1
2 -
1
4
x+1
+2 x
3+ 1
2 =0，即函数g( x)是奇函数，
不等式f ( x +1)+ f (a- x
2)>2⇔f ( x +1)-1+ f (a- x
2)-1>0
⇔g( x +1)+ g(a- x
2)>0⇔g( x +1)>- g(a- x
2)= g( x
2-a)，则x +1> x
2-a，
依题意，a> x
2- x -1在[-2,2]上恒成立，而当x∈[-2,2]时，x
2- x -1≤5，当且仅当x =-2时取等号，
则a>5，所以实数a的取值范围是a>5.
故选：D
3（25-26 高三上·江西·期中）已知函数f (x)= x -sin x +1，则满足不等式f (m+2)+ f (2m-1)<2的实数m
的取值范围是（ ）
A．{m|m<- 1
3} B．{m|m>- 1
3}
C．{m|m<3}
D．{m|m>3}
【答案】A
【分析】构造函数g(x)= f (x)-1= x -sin x，利用导数判断g(x)是增函数，由奇偶性的定义可得g(x)是奇
函数，由此可将不等式f (m+2)+ f (2m-1)<2转化为m+2<1-2m，即可求得实数m的取值范围.
【详解】令函数g(x)= f (x)-1= x -sin x，则g
' (x)=1-cos x ≥0恒成立，所以g(x)是增函数.
又∀x∈R ,- x∈R，且g(- x)=- x +sin x =- g(x)，所以g(x)= f (x)-1是奇函数.
由f (m+2)+ f (2m-1)<2，得f (m+2)-1<1- f (2m-1)=-[f (2m-1)-1]，
即g(m+2)<- g(2m-1)= g(1-2m),
所以m+2<1-2m，解得m<- 1
3.
故选：A.
4（25-26 高一上·辽宁·期中）已知函数f ( x)=¿，若对于任意的x1, x2∈[2,+ ∞)，且x1< x2，都有
x2f (x1)- x1f (x2)<a x1 x2
2-a x1
2 x2成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．(- 3
2 ,4]
B．(
1
2 ,4]
C．[
1
2 ,4]
D．[
1
2 ,+ ∞)
【答案】C
【分析】构造函数g(x)=ax + f (x)
x
，由题意可知函数g(x)在[2,+∞)上单调递增，列不等式求解即可.
【详解】因为对于任意的x1, x2∈[2,+∞)，且x1< x2，都有x2f (x1)- x1f (x2)<a x1 x2
2-a x1
2 x2成立，
不等式x2f (x1)- x1f (x2)<a x1 x2
2-a x1
2 x2两边同时除以x1 x2，
可得
f (x1)
x1
- f (x2)
x2
<a x2-a x1，移项有
f (x1)
x1
+a x1< f (x2)
x2
+a x2，
构造函数g(x)=ax + f (x)
x
=¿，
则g(x1)<g(x2)，所以函数g(x)在[2,+∞)上单调递增，
所以¿，解得1
2 ≤a≤4，
所以实数a的取值范围是[
1
2 ,4].
故选：C.
题型03 单调性与奇偶性综合
解｜题｜策｜略
1 奇函数在y轴两侧的单调性相同，偶函数在y轴两侧的单调性相反；
2 处理奇偶函数的单调性，可以只需要严谨函数在y轴右侧的单调性便可；
3 单调性与奇偶性结合的题目，常常用到数形结合，注意奇偶性的性质的运用。
1（25-26 高三上·安徽·期中）已知函数f (x)是定义在(-∞,0)∪(0,+ ∞)上的奇函数，且当x>0时，
f (x)= x
3-3 x -2，则满足xf (x +1)>0的x的取值范围是（ ）
A．(-∞,-3)∪(0,1)
B．(-3,0)∪(1,+∞)
C．(-3,0)∪(-1,0)
D．(-∞,-3)∪(-1,0)∪(1,+∞)
【答案】D
【分析】通过求导确定函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解.
【详解】当x>0时，f
' (x)=3 x
2-3，
所以当x∈(0,1)时，f
' (x)<0，f (x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f
' (x)>0，f (x)单调递增.
又因为f (2)=0，且x→0
+时f (x)→-2，
所以当x∈(0,2)时，f (x)<0，
当x∈(2,+∞)时，f (x)>0.
由奇函数的性质：当x∈(-2,0)时，f (x)>0，
当x∈(-∞,-2)时，f (x)<0.
对于不等式xf (x +1)>0，
当x>0时，只需f (x +1)>0，所以x +1>2或-2< x +1<0，
解得x>1或-3< x<-1，又x>0，则x∈(1,+∞)；
当x<0时，只需f (x +1)<0，所以x +1<-2或0< x +1<2，
解得x<-3或-1< x<1，又x<0，则x∈(-∞,-3)∪(-1,0).
综上所述，x的取值范围是(-∞,-3)∪(-1,0)∪(1,+∞).
故选：D.
2（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-8,8]上的大致图象，则该函数可
能是（ ）
A．f (x)= x
4sin x
e
x+e
- x
B．f (x)= x
4(sin x - x)
e
x+e
- x
C．f (x)= x
4cos x
e
x+e
- x
D．f (x)= x
4(cos x - x)
e
x+e
- x
【答案】A
【分析】利用函数图象并结合奇偶性的定义与函数值的正负逐个排除求解即可.
【详解】根据图象可知，f (x)是奇函数，
对于A，由题意得f (- x)= (- x)
4sin (- x)
e
x+e
- x
=- x
4sin x
e
x+e
- x =- f ( x)，
则f (x)是奇函数，符合题意，故A 正确，
对于B，f (- x)=
(- x)
4[sin (- x)-(- x)]
e
x+e
- x
=- x
4(sin x - x)
e
x+e
- x
=- f ( x)，
则f (x)是奇函数，令g( x)=sin x - x，则g
'( x)=cos x -1<0，
当x∈(0,+∞)时，g( x)在(0,+∞)上单调递减，
则g( x)=sin x - x<0，与图象不符，故B 错误，
对于C，由题意得f (1)= 1
4cos1
e
1+e
-1 = cos1
e+e
-1 ，f (-1)= (-1)
4cos(-1)
e
1+e
-1
= cos1
e+e
-1 ，
则f (1)+ f (-1)= cos1
e+e
-1 + cos1
e+e
-1 = 2cos1
e+e
-1 ≠0，
可得f (x)不是奇函数，故C 错误，
对于D，由题意得f (1)= 1
4(cos1-1)
e
1+e
-1
= cos1-1
e
1+e
-1 ，
f (-1)=
(-1)
4[(cos(-1)-(-1))]
e
1+e
-1
= cos1+1
e
1+e
-1 ，
则f (1)+ f (-1)= cos1-1
e
1+e
-1 + cos1+1
e
1+e
-1
= 2cos1
e+e
-1 ≠0
可得f (x)不是奇函数，故D 错误.
故选：A.
3（25-26 高三上·广东惠州·期中）已知函数f ( x)=e
x+ae
- x，则下列说法正确的是（ ）
A．当a=1时，函数f ( x)为奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．当a=1时，函数f ( x)为偶函数，且在(0,+ ∞)单调递减
C．当a=-1时，函数f ( x)为奇函数，且在(0,+∞)单调递增
D．当a=-1时，函数f ( x)为偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合导数确定在(0,+∞)上的单调性逐项判断.
【详解】函数f ( x)=e
x+ae
- x的定义域为R，
对于CD，当a=-1时，f ( x)=e
x-e
- x，f (- x)=e
- x -e
x =- f ( x)，
f (-1)= 1
e -e≠e- 1
e = f (1)，函数f ( x)是奇函数，不是偶函数，
又f
'( x)=e
x+e
- x>0，函数f ( x)在(0,+ ∞)上单调递增，C 正确，D 错误；
对于AB，当a=1时，f ( x)=e
x+e
- x，f (- x)=e
- x+e
x = f ( x)，f (0)=2≠0，
函数f ( x)是偶函数，不是奇函数，f
'( x)=e
x -e
- x在(0,+∞)上单调递增，
当x>0时，f
'( x)>f
'(0)=0，函数f ( x)在(0,+∞)上单调递增，AB 错误.
故选：C
题型04 抽象函数的单调性与奇偶性
解｜题｜策｜略
判断抽象函数的单调性或奇偶性，我们都是利用它们的定义判断。
1（2025·辽宁·一模）对任意x , y ∈R，都有f (x + y)f (x - y)= f
2(x)- f
2( y)，且f ( y)不恒为0，函数
g(x)= (1- x)
2+sin x
1+ x
2
+ f (x)，则g(2)+ g(-2)=（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【分析】利用赋值法可得f (- y)=- f ( y)，进而可求g(2)+ g(-2)的值.
【详解】令x = y =0，可得f (0)f (0)= f
2(0)- f
2(0)=0，所以f (0)=0，
令x =0，可得f ( y)f (- y)= f
2(0)- f
2( y)=- f
2( y)，
因为f ( y)不恒为0，所以f (- y)=- f ( y)，所以f ( y)是奇函数，
因为g(x)= (1- x)
2+sin x
1+ x
2
+ f (x)，
所以g(2)+ g(-2)= (1-2)
2+sin2
1+2
2
+ f (2)+ (1+2)
2+sin (-2)
1+ (-2)2
+ f (-2)= 1+9
5
=2.
故选：B.
2（2025 高三·上海·专题练习）已知定义在R上的函数f (x)满足2f (x + y)f (x - y)= f (x)+ f ( y)，且f (0)≠0，
则（ ）
A．f (0)=2
B．y = f (x)为奇函数
C．y = f (x)有零点
D．f (2 x)= f (x)
【答案】D
【分析】令x = y =0，求得f (0)=1，可判定A 不正确；由f (0)=1，得到函数f (x)的图象不过坐标原点，可
判定B 不正确；令y =0，求得f (x)=1或f (x)=- 1
2，可判定C 不正确；令y = x，化简求得f (2 x)= f (x)，
可判定D 正确.
【详解】对于A，因为2f (x + y)f (x - y)= f (x)+ f ( y)，令x = y =0，可得2f
2(0)=2f (0)，
因为f (0)≠0，所以f (0)=1，所以A 不正确；
对于B，由函数f (x)的定义域为R，且f (0)=1，显然函数f (x)的图象不过坐标原点，所以函数y = f (x)不是
奇函数，所以B 不正确；
对于C，令y =0，得2f
2(x)= f (x)+ f (0)，即2f
2(x)- f (x)-1=0，
解得f (x)=1或f (x)=- 1
2，显然函数y = f (x)没有零点，所以C 不正确；
对于D，令y = x，可得2f (2 x)f (0)= f (x)+ f (x)，即2f (2 x)=2f (x)，
所以f (2 x)= f (x)，所以D 正确.
故选：D.
3（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的单调函数f (x)，满足∀x，y ∈R，f (xy)= f (x)f ( y)，
则下列说法不正确的是（ ）
A．f (1)=1
B．f (x)可能是单调递减函数
C．f (x)为奇函数
D．若f (8)=2，则f (2
n)=2
n
3
【答案】B
【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误.
【详解】因f (x)为定义在R 上的单调函数，则∀x，y，x≠y时f (x)≠f ( y).
对于A，令x = y =1，则f (1)= f
2(1)⇒f (1)=1或f (1)=0，
若f (1)=0，则对∀y，取x =1，都有f ( y)=0，不满足单调函数性质，
故f (1)≠0⇒f (1)=1，故A 正确；
对于B，令x = y =0，则f (0)= f
2(0)⇒f (0)=0或f (0)=1
由f (1)=1，则f (0)=1舍去，得f (0)=0，
因f (1)>f (0)，结合f (x)为定义在R 上的单调函数，则f (x)只能是单调递增函数，故B 错误；
对于C，令x = y =-1，则f (1)= f
2(-1)=1⇒f (-1)=-1或f (-1)=1（舍），
则f (-1)=-1，取y =-1⇒∀x ,f (- x)=- f (x)，
则∀x ,f (x)+ f (- x)=0，又f (x)定义域为R，则f (x)为奇函数，故C 正确；
对于D，令y =2，x =2，则f (4)= f
2(2)，
令y =2，x = 4，则f (8)= f (4)f (2)= f
3(2)=2⇒f (2)=2
1
3，
则f (2
n)= f (2)f (2
n-1)= f
2(2)f (2
n-2)=⋯= f
n(2)=2
n
3，故D 正确.
故选：B
题型05 判断函数周期性
解｜题｜策｜略
1 对于函数y = f ( x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
f ( x +T )= f ( x)都成立，那么把函数y = f ( x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.
2 若f ( x +a)= f ( x +b)，则y = f ( x)的周期是T =a-b.
3 若f ( x +a)=- f ( x)，则y = f ( x)的周期是T =2a；
4 若f (x +a)=
1
f (x)，则y = f ( x)的周期是T =2a.
1（2025·福建泉州·模拟预测）定义在R上的奇函数f (x)满足f (x +2)= f (x)，且当0< x ≤1时，f (x)=- x
2+ x，
则f(
11
2 )=（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．1
4
D．- 1
4
【答案】D
【分析】根据条件，利用函数的性质，得f(
11
2 )=- f(
1
2)，再将x = 1
2代入f (x)=- x
2+ x，即可求解.
【详解】因为f (x)奇函数，又f (x +2)= f (x)，知f (x)的一个周期为T =2，
所以f(
11
2 )= f(2×3- 1
2)= f(- 1
2)=- f(
1
2)，
又当0< x ≤1时，f (x)=- x
2+ x，所以f(
1
2)=-(
1
2)
2
+ 1
2 = 1
4 ，则f(
11
2 )=- 1
4 ，
故选：D.
2（25-26 高三上·广东广州·期中）已知定义域为R的函数f (x)满足f (- x)=- f (x)，f (2+ x)+ f (4 - x)=0，
当0≤x ≤3时，f (x)= x
2+ax，则f (8)=（ ）
A．-2
B．2
C．-3
D．3
【答案】A
【分析】依题意可得f (x)为奇函数，再由f (2+ x)+ f (4 - x)=0，推出f (x)是周期为6的周期函数，由
f (3)=0求出a的值，最后根据周期性计算可得.
【详解】因为定义域为R的函数f (x)满足f (- x)=- f (x)，则f (x)为奇函数，
又f (2+ x)+ f (4 - x)=0，所以f (2+ x)=- f (4 - x)= f (x - 4)，
所以f (x)= f (x +6)，则f (x)是周期为6的周期函数，
又因为f (2+1)+ f (4 -1)=0，即f (3)=0，
又当0≤x ≤3时，f (x)= x
2+ax，所以f (3)=3
2+3a=0，解得a=-3，
所以f (x)= x
2-3 x (0≤x ≤3)，
所以f (8)= f (6+2)= f (2)=2
2-3×2=-2.
故选：A
3（25-26 高三上·山东泰安·期中）已知定义在R上的函数f (x)，g(x)，其导函数分别为f
' (x)，g
' (x)，
f (x)+ g
' (x)=2，f (x)- g
' (2- x)=2，且g(x +2)为奇函数，则f (2024)+ f (2025)+ f (2026)=（ ）
A．6
B．4
C．2
D．0
【答案】A
【分析】依题意可得g
' (x)+ g
' (2- x)=0，再由g(x +2)为奇函数，得到g(- x +2)=- g(x +2)，两边求导，
得到g
' (2- x)= g
' (x +2)，即可求出g
' (x)是以4为周期的周期函数，再由f (x)=2- g
' (x)及周期性计算可得.
【详解】因为f (x)+ g
' (x)=2，f (x)- g
' (2- x)=2，
所以f (x)=2- g
' (x)，f (x)=2+ g
' (2- x)，
则2- g
' (x)=2+ g
' (2- x)，即g
' (x)+ g
' (2- x)=0，
又g(x +2)为奇函数，所以g(- x +2)=- g(x +2)，所以- g
' (- x +2)=- g
' (x +2)，
即g
' (2- x)= g
' (x +2)，
所以g
' (x)=- g
' (2+ x)，所以g
' (x + 4)=- g
' (x +2)=-[- g
' (x)]= g
' (x)，
所以g
' (x)是以4为周期的周期函数，
所以g
' (2024)= g
' (4×506+0)= g
' (0)，g
' (2025)= g
' (1)，g
' (2026)= g
' (2)，
又g
' (x)+ g
' (2- x)=0，所以g
' (0)+ g
' (2)=0，g
' (1)+ g
' (1)=0，即g
' (1)=0，
所以f (2024)+ f (2025)+ f (2026)=2- g
' (2024)+2- g
' (2025)+2- g
' (2026)
=6-[g
' (2024)+ g
' (2025)+ g
' (2026)]
=6-[g
' (0)+ g
' (1)+ g
' (2)]=6.
故选：A
题型06 抽象函数的赋值问题
解｜题｜策｜略
1 对于抽象函数的赋值问题，先要确定抽象函数的结构，大胆进行尝试，往往赋予一些特殊值（如取
x =0等）或特殊关系（如取y = x , y =- x等）。
2 了解常见的抽象函数模型
特殊模型
抽象函数
正比例函数f (x)=kx( x≠0)
f (x + y)= f (x)+ f ( y)
幂函数f (x)= x
α
f (xy)= f (x)f ( y)或f(
x
y)= f (x)
f ( y)
指数函数f (x)=a
x (a>0 且a≠1)
f (x + y)= f (x)f ( y)或f (x - y)= f (x)
f ( y)
对数函数f (x)= loga x (a>0 且a≠1)
f (xy)= f (x)+ f ( y)或f(
x
y)= f (x)- f ( y)
3 遇到数值较大的，往往要用到函数的周期进行运算。
1（25-26 高三上·浙江温州·月考）已知函数f (x)的定义域为R，f (x)+ f (2- x)=0，f (x +2)为偶函数，且
f (2)=1，则f (2025)+ f (2026)=（ ）
A．47
B．-1
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得函数f ( x)是周期函数，用赋值法可求得f (1)=0，利用周期函数的性质即可得到结
果.
【详解】因为函数f (x)的定义域为R,且f (x)+ f (2- x)=0，所以f (- x +2)=- f (x)，且f (1)+ f (1)=0，即
f (1)=0.
因为函数f (x +2)为偶函数，所以f (x +2)= f (- x +2)=- f (x).
所以f (x + 4)=- f (x +2)= f (x)，所以函数f ( x)是周期为4 的周期函数.
所以f (2025)= f (4×506+1)= f (1)=0,f (2026)= f (4×506+2)= f (2)=1.
故f (2025)+ f (2026)=0+1=1
故选：C.
2（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)的定义域为R，且f ( x + y)+ f ( x - y)= f ( x)f ( y),f (1)=1，
则∑
k =1
2025
❑f (k )=（ ）
A．－3
B．－2
C．0
D．1
【答案】B
【分析】根据抽象函数的等式和相关条件，通过赋值求得f (0)=2，推得函数f ( x)为偶函数，以及函数
f ( x)的一个周期为6，依次求出f (2),f (3),f (4),f (5),f (6)的值，利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为f ( x + y)+ f ( x - y)= f ( x)f ( y)，令x =1, y =0可得，2f (1)= f (1)f (0)，所以f (0)=2，
令x =0可得，f ( y)+ f (- y)=2f ( y)，即f ( y)= f (- y)，所以函数f ( x)为偶函数，
令y =1得，f ( x +1)+ f ( x -1)= f ( x)f (1)= f ( x)，则有f ( x +2)+ f ( x)= f ( x +1)，
从而可得f ( x +2)=- f ( x -1)，f ( x -1)=- f ( x - 4)，故f ( x +2)= f ( x - 4)，
即f ( x)= f ( x + 6)，所以函数f ( x)的一个周期为6．
因为f (2)= f (1)- f (0)=1-2=-1，f (3)= f (2)- f (1)=-1-1=-2,
f (4)= f (-2)= f (2)=-1，f (5)= f (-1)= f (1)=1, f (6)= f (0)=2，
所以f (1)+ f (2)+⋯+ f (6)=0．
因为2025 除以6 余3，所以∑
k =1
2025
❑f (k )= f (1)+ f (2)+ f (3)=1-1-2=-2．
故选：B．
3（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数f (x)满足：f
2(x)+ f
2(x +2)= 4，且f (x)f(x + 1
2)>0，若f (2)<0，则
f (2025)=（ ）
A．1
B．❑√2
C．- ❑√2
D．-1
【答案】C
【分析】用x代换x +2，可得f
2(x +2)+ f
2(x + 4)= 4，联立方程组，求得f (x + 4)=± f (x)，结合函数f (x)
为偶函数，且f (x)f(x + 1
2)>0，得到f (x + 4)= f (x)，可则f (x)是周期为4的函数，令x =-1，求得
f (1)=- ❑√2，结合f (2025)= f (506×4 +1)= f (1)，即可求解.
【详解】由f
2(x)+ f
2(x +2)= 4，用x代换x +2，可得f
2(x +2)+ f
2(x + 4)= 4，
联立方程组¿，可得f
2(x + 4)= f
2(x)，即f (x + 4)=± f (x)，
又由函数f (x)为偶函数，且f (x)f(x + 1
2)>0，可得f (x)与f ( x + 1
2 )同号，
所以f (x + 4)= f (x)，可得函数f (x)是周期为4的函数，
因为f (2)<0，f (1)与f (2)同号，则f (1)<0，
令x =-1，可得f
2(-1)+ f
2(1)=2f
2(1)= 4，所以f (1)=- ❑√2，
则f (2025)= f (506×4 +1)= f (1)=- ❑√2.
故选：C.
题型07 中心对称型函数
解｜题｜策｜略
若函数y = f ( x)定义域为R，且满足条件 f (a+ x)+ f (b- x)=c(a, b, c为常数)，则函数y = f ( x)
的图象关于点( a+b
2
, c
2 )对称。
1（25-26 高三上·江西·期中）已知函数f (x)=ln(x -1)-ln(3- x)，则f (x)的图象（ ）
A．关于x =1对称
B．关于x =2对称
C．关于(1,0)对称
D．关于(2,0)对称
【答案】D
【分析】求出f (x)的定义域可判断A，C 不正确；根据f (x +2)为奇函数可判断B 不正确，D 正确.
【详解】由f (x)=ln(x -1)-ln(3- x)，得¿，解得1< x<3，
所以f (x)的定义域为(1,3)，故A，C 不正确；
又f (x +2)=ln(x +1)-ln(1- x)，
f (- x +2)=ln(- x +1)-ln(1+ x)=-[ln(1+ x)-ln(1- x)]=- f (x +2)
所以f (x +2)为奇函数，图像关于原点对称，
则f (x)的图象关于(2,0)对称，故B 不正确，D 正确
故选：D.
2（25-26 高三上·河南·期中）已知函数f ( x)=e
2 x - 4-1
e
x -2
+ x -1在区间[a,b]上的值域为[m, M ].若a+b= 4，
则m+ M的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】根据给定函数，探求其对称性及单调性，由此求出目标值.
【详解】函数f ( x)=e
x -2- 1
e
x -2 + x -1，则f (4 - x)+ f ( x)=e
2- x - 1
e
2- x + 4 - x -1+e
x -2- 1
e
x -2 + x -1
= 1
e
x -2 -e
x -2+2+e
x -2- 1
e
x -2 =2，因此函数f ( x)的图象关于点(2,1)对称，
函数y =e
x -2, y =- 1
e
x -2 , y = x -1在R上都单调递增，因此函数f ( x)在[a,b]上单调递增，
则m= f (a), M = f (b)，而a+b= 4，所以m+ M = f (4 -b)+ f (b)=2.
故选：B
3（2025·湖南郴州·一模）函数f (x)对∀x∈R ,f (x +2)= f (4 - x)，且f (x +6)为奇函数，则下列说法正确
的是（ ）
A．若x∈(0,3]时f (x)=2
x，则f (8)= 4
B．f (x)的周期为6
C．f (x)的图象关于(-6,0)中心对称
D．f (2025)+ f (3)≠0
【答案】C
【分析】对于A 选项，首先通过奇偶性得：f (- x +6)=- f (x +6)，然后根据已知条件通过赋值进行求解；
对于B 选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可；
对于C 选项，通过奇偶性可得函数关于(6,0)中心对称，再根据函数周期性即可判断正误；
对于D 选项，利用函数周期性可得：f (2025)= f (9)，再根据f (- x +6)=- f (x +6)通过赋值可得：
f (9)=- f (3)，进而可以判断选项正误.
【详解】对于A 选项，已知f (x +6)为奇函数，则有f (- x +6)=- f (x +6)，
令x =-2，得：f (8)=- f (4)，
又f (x +2)= f (4 - x)，令x =0，得：f (4)= f (2)，
因此可得：f (8)=- f (4)=- f (2)=- 4，故A 选项错误.
对于B 选项，已知f (x +6)为奇函数，则有f (- x +6)=- f (x +6)，
又f (x +2)= f (4 - x)，则有f (x)= f (6- x)，
由此可得：f (x)=- f (x +6)，即有：f (x +12)=- f (x +6)=-(- f (x))= f (x)
因此可得：f (x)的周期为12，故B 选项错误.
对于C 选项：已知f (x +6)为奇函数，则有f (- x +6)=- f (x +6)，
因此可得：函数f (x)关于(6,0)中心对称，又函数f (x)的周期为12，
所以f (x)关于(-6,0)中心对称，故C 选项正确；
对于D 选项：已知函数f (x)的周期为12，则有f (2025)= f (168×12+9)= f (9)，
又f (- x +6)=- f (x +6)，令x =3，得：f (9)=- f (3)，
因此可得：f (2025)=- f (3)，即f (2025)+ f (3)=0，故D 选项错误.
故选：C
题型08 一元三次函数型中心对称
解｜题｜策｜略
特殊的一元三次函数具有中心对称性，要求其对称中心，可直接根据中心对称的定义求解；也可以把函
数进行变形再通过平移，转化为奇函数，便可得到对称中心.
1（25-26 高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数f (x)= 1
3 x
3- 3
2 x
2+2 x + 1
4 ，则函数y = f (x)的图像对称中心是
（ ）
A．(1, 13
12)
B．(2, 11
12)
C．(
3
2 ,1)
D．(
5
4 , 25
24)
【答案】C
【分析】任意取函数上的一点，逐项写出其中心对称点，代入函数检验，可得答案.
【详解】任意取函数f (x)上一点(a,b)，则f (a)= 1
3 a
3- 3
2 a
2+2a+ 1
4 =b，
对于A，点(a,b)关于点(1, 13
12)成中心对成的点为点(2-a, 13
6 -b)，
f (2-a)= 1
3
(2-a)
3- 3
2
(2-a)
2+2(2-a)+ 1
4 =- 1
3 a
3+ 1
2 a
2+ 11
12，故A 错误；
对于B，点(a,b)关于点(2, 11
12)成中心对成的点为点(4 -a, 11
6 -b)，
f (4 -a)= 1
3
(4 -a)
3- 3
2
(4 -a)
2+2(4 -a)+ 1
4 =- 1
3 a
3+ 5
2 a
2-6a+ 9
4 ，故B 错误；
对于C，点(a,b)关于点(
3
2 ,1)成中心对成的点为点(3-a,2-b)，
f (3-a)= 1
3
(3-a)
3- 3
2
(3-a)
2+2(3-a)+ 1
4 =- 1
3 a
3+ 3
2 a
2-2a+ 7
4 =2-b，故C 正确；
对于D，点(a,b)关于点(
5
4 , 25
24)成中心对成的点为点(
5
2 -a,25
12 -b)，
f(
5
2 -a)= 1
3(
5
2 -a)
3
- 3
2(
5
2 -a)
2
+2(
5
2 -a)+ 1
4 =- 1
3 a
3+a
2- 3
4 a+ 13
12，故D 错误.
故选：C.
2（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知函数f (x)= x
3-3 x
2+2 x，则下列说法错误的是（ ）
A．y = f (x +1)是奇函数
B．y = f (|x|)是偶函数
C．y =|f (x)|的图象关于x =1对称
D．y =|f (x)+1|的图象关于x =1对称
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性定义、判定方法可判断A，B 两项；利用函数的对称性判定方法可判断C，D 两
项.
【详解】对于A，因f (2- x)=(2- x)
3-3(2- x)
2+2(2- x)
=(2- x)( x
2- x)=- x
3+3 x
2-2 x =- f ( x)，即f (2- x)+ f ( x)=0，故函数f ( x)关于点(1,0)成中心对称，
故函数y = f (x +1)的图象关于原点成中心对称，即y = f (x +1)是奇函数，故A 说法正确；
对于B，因y = f (|x|)=| x|
3-3| x|
2+2| x|的定义域为R，关于原点对称，
且f (|- x|)=|- x |
3-3|- x |
2+2|- x |=| x |
3-3| x |
2+2| x |= f (|x|)，即y = f (|x|)是偶函数，故B 说法
正确；
对于C，设g( x)=|f (x)|，由g(2- x)=|f (2- x)|=|- x
3+3 x
2-2 x|=| x
3-3 x
2+2 x|=|f ( x)|= g( x)，
即g(2- x)= g( x)，故函数y =|f (x)|的图象关于x =1对称，故C 说法正确；
对于D，设g( x)=|f (x)+1|，由
g(2- x)=|f (2- x)+1|=|- x
3+3 x
2-2 x +1|=| x
3-3 x
2+2 x -1|=|f ( x)-1|，
显然g(2- x)= g( x)不成立，故y =|f (x)+1|的图象不关于x =1对称，即D 说法错误.
故选：D.
3（2025·全国·模拟预测）若函数f (x)=(x -2)
3+2 x - 4，且f (3a-b)+ f (4 -2b)<0 (a,b∈R)，则
（ ）
A．1
a > 1
b
B．sina<sinb
C．e
a<e
b
D．a
2024>b
2024
【答案】C
【分析】先利用导数得出函数的单调性，再判断出函数的对称性，进而可得出a,b的大小关系，再逐一判
断各个选项即可.
【详解】由f (x)=(x -2)
3+2 x - 4，得f
' (x)=3(x -2)
2+2>0，
所以f (x)是增函数，
又f (2- x)=- x
3-2 x，f (2+ x)= x
3+2 x，
所以f (2- x)=- f (2+ x)，
则f (2- x)+ f (2+ x)=0，即点(2,0)是f (x)图象的对称中心，
所以f (4 -2b)= f (2+(2-2b))=- f (2-(2-2b))=- f (2b)，
所以f (3a-b)+ f (4 -2b)= f (3a-b)- f (2b)<0，即f (3a-b)<f (2b)，
则3a-b<2b，即3a<3b，a<b，且a,b∈R，
对于A，若a=-1，b=2，则1
a < 1
b ，故A 错误；
对于B，若a<b，且a+2π=b，则sina=sinb，故B 错误；
对于C，因为函数y =e
x在R上是增函数，所以e
a<e
b，故C 正确；
对于D，若a=-1，b=1，则有a
2024=b
2024，故D 错误.
故选：C.
题型09 轴对称型函数
解｜题｜策｜略
若f ( x +a)= f (b- x),则y = f ( x)有对称轴x = a+b
2
.
注意与函数周期性的“若f ( x +a)= f ( x +b)，则y = f ( x)的周期是T =a-b”混淆。
1（25-26 高三下·四川成都·开学考试）已知函数f (x)=e
x+e
- x +2，则（ ）
A．f (x)关于点(2,0)对称
B．f (x)关于点(-2,0)对称
C．f (x)关于直线x =1对称
D．f (x)关于直线x =-1对称
【答案】C
【分析】由函数的对称性逐项判断即可；
【详解】对于A：f (x)+ f (4 - x)=e
x+e
- x +2+e
4 - x+e
x -2≠0，A 错；
对于B：f (x)+ f (- 4 - x)=e
x+e
- x +2+e
-4 - x+e
x +6≠0，B 错；
对于C：由f (x)- f (2- x)=e
x+e
- x +2-(e
2- x+e
x)=0，
所以f (x)关于直线x =1对称，C 对；
对于D，f (0)=1+e
2≠f (-2)=e
-2+e
4，故D 错；
故选：C
2（25-26 高三上·江西·期中）已知函数f (x)=|sin x|+
1
sin x ，则（ ）
A．f (x)是奇函数
B．f (x)是偶函数
C．f (x)的图象关于(0,1)对称
D．f (x)的图象关于x =π
2 对称
【答案】D
【分析】计算f(
π
2 ),f(-π
2 )即可判断AB，计算f (x)+ f (- x)即可判断C，计算f(
π
2 + x),f(
π
2 - x)即
可判断D.
【详解】因为f(
π
2 )=2,f(-π
2 )=0,f (x)既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误，B 错误；
又f (x)+ f (- x)=2|sin x|，故f (x)的图象不关于(0,1)对称，故C 错误；
因为f(
π
2 + x)=|cos x|+
1
cos x ,f(
π
2 - x)=|cos x|+
1
cos x ,f(
π
2 - x)= f(
π
2 + x)，故f (x)的图象关于
x =π
2 对称，故D 正确；
故选：D.
3（25-26 高三上·山西太原·月考）已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)= f (4 - x)，若函数y =|x
2- 4 x|与
y = f (x)的图象有6 个交点，交点横坐标为xi(i=1,2,3,4,5,6)，则∑
i=1
6
xi=（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】D
【分析】由函数的对称性易得f (x)和y =|x
2- 4 x|的图象都关于直线x =2对称，从而根据对称性求解两个
图象所有交点横坐标的和.
【详解】由f (x)= f (4 - x)知f (x)的图象关于直线x =2对称，
又y =|x
2- 4 x|的图象也关于直线x =2对称，
所以函数y =|x
2- 4 x|与y = f (x)的图象有6 个交点，分3 对分别关于直线x =2对称，
每对交点的横坐标之和为4，所以∑
i=1
6
xi=12.
故选：D.
题型10 两个函数的对称性问题
解｜题｜策｜略
1 轴对称
若函数y = f ( x)定义域为R，则两函数y = f ( x +a)与 y = f (b- x)的图象关于直线x = b-a
2
对称.
特殊地，函数y = f (a+ x)与函数y = f (a- x)的图象关于直x =0对称.
2 中心对称
若函数y = f ( x)定义域为R，则两函数y = f (a+ x)与y =c - f (b- x)的图象关于点( b-a
2
, c
2 )对称.
特殊地，函数y = f ( x +a)与函数y =- f (b- x)图象关于点( b-a
2
, 0)对称.
1（25-26 高一上·天津宁河·期中）函数y =3
x与y =(
1
3)
x
的图象（ ）
A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y = x对称
【答案】B
【分析】根据两函数图象上的点的对应关系即可判断.
【详解】易知y =(
1
3)
x
=3
- x，
显然函数y =3
x上的点(x , y)关于y 轴的对称点(- x , y)都在函数y =3
- x图象上，
可知函数y =3
x与y =(
1
3)
x
的图象关于y 轴对称.
故选：B
2（2025 高三·全国·专题练习）设函数y = f (x)的定义域为R，则函数y = f ( x -3)与函数y = f (1- x)的图象
关于（ ）
A．直线y =1对称
B．直线x =1对称
C．直线y =2对称
D．直线x =2对称
【答案】D
【分析】根据点对称,即可判断两个函数的对称.
【详解】设函数y = f ( x -3)的图象上任意一点P( x0，y0)，则y0= f ( x0-3)，
P( x0，y0)关于直线x =2的对称点为Q(4 - x0，y0)．
又函数y = f (1- x)中，当x = 4 - x0时，y = f [1-(4 - x0)]= f ( x0-3)，
所以Q(4 - x0，y0)在y = f (1- x)的图象上．
故函数y = f ( x -3)与函数y = f (1- x)的图象关于直线x =2对称，
故选：D
3（2025·四川成都·三模）函数y =3
2 x与y =3
1-2 x的图象（ ）
A．关于x =2对称
B．关于x =1对称
C．关于x = 1
2对称
D．关于x = 1
4 对称
【答案】D
【分析】首先得到曲线y =3
2 x关于x =a的对称曲线为y =3
2(2a- x)，再对比系数得到方程求出a，即可得解.
【详解】因为曲线y =3
2 x关于x =a的对称曲线为y =3
2(2a- x)，即y =3
4 a-2 x，
y =3
4 a-2 x与y =3
1-2 x对比系数可知4 a=1，解得a= 1
4 ，
所以函数y =3
2 x与y =3
1-2 x的图象关于x = 1
4 对称．
故选：D
题型11 “四性”综合问题
解｜题｜策｜略
1 若函数y = f ( x)同时关于直线x =a, x =b对称则函数y = f ( x)的周期T =2|b-a|
2 若函数y = f ( x)同时关于点(a,0),(b,0)对称，则函数y = f ( x)的周期T =2|b-a|
3 若函数y = f (x)同时关于直线x =a 对称，又关于点(b,0)对称,
则函数y = f ( x)的周期T = 4|b-a|
4 若偶函数y = f ( x)的图像关于直线x =a对称，则f ( x)为周期函数且T =2|a|
5 若奇函数y = f ( x)的图像关于直线x =a对称，则f ( x)为周期函数且T = 4|a|。
1（25-26 高二下·湖南·月考）已知函数f (x)为定义在R上的偶函数，f (0)=1，且f (x -1)+ f (x +1)= f (x)，
则下列选项不正确的是（ ）
A．f (1)= 1
2
B．f (x)的图象关于点(
3
2 ,0)对称
C．f (x)以6为周期的函数
D．∑
k =1
2023
❑f (k )=- 1
2
【答案】D
【分析】令x =0，求出f (1)可判断A；利用f (x -1)+ f (x +1)= f (x)和f (- x)= f (x)得出
f(
3
2 - x)=- f(x + 3
2)
可判断B 正确；利用周期函数的定义和f (x -1)+ f (x +1)= f (x)求出周期可判断C；
赋值法求出f (0)，f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)，结合周期可判断D.
【详解】因为函数f (x)为定义在R上的偶函数，
所以f (- x)= f (x)，f (- x +1)= f (x -1)，
对于A，令x =0，可得f (0-1)+ f (0+1)= f (0)=1，
因为f (-1)= f (1)，可得f (1)= 1
2，故A 正确；
对于B，因为f (x -1)+ f (x +1)= f (x)，
所以f (- x -1)+ f (- x +1)= f (- x)= f (x)，
可得f (- x +1)+ f (3- x)= f (x -2)，
从而f (3- x)= f (x -2)- f (- x +1)= f (x -2)- f (x -1)，
又因为f (x -1)+ f (x +1)= f (x)，可得f (x -2)+ f (x)= f (x -1)，
所以f (3- x)= f (x -2)- f (x -1)=- f (x)，可得f(
3
2 - x)=- f(x + 3
2)，
所以f (x)的图象关于点(
3
2 ,0)对称，故B 正确；
对于C，因为f (x -1)+ f (x +1)= f (x)，
所以f (x)+ f (x +2)= f (x +1)，所以- f (x +2)= f (x -1)，
可得- f (x +3)= f (x)，所以有f (x +6)=- f (x +3)= f (x)，
所以f (x)以6 为周期的函数，故C 正确；
对于D，f (0)=1，f (1)= 1
2，令x =1可得f (0)+ f (2)= f (1)，可得f (2)= f (1)- f (0)=- 1
2，
令x =2可得f (1)+ f (3)= f (2)，可得f (3)= f (2)- f (1)=-1，
令x =3可得f (2)+ f (4)= f (3)，可得f (4)= f (3)- f (2)=- 1
2，
令x = 4可得f (3)+ f (5)= f (4)，可得f (5)= f (4)- f (3)= 1
2，所以f (0)+ f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=0，
所以∑
k =1
2023
f (k )=337×0+ f (1)= 1
2，故D 错误.
故选：D.
2（2025·陕西商洛·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足f (2 x +6)= f (-2 x)，且
f (x -1)+ f (x +1)= f (-2)，f(
5
2)=1，现有下列4 个结论：
①f (2024)=1；
②f (x)的图象关于直线x =-3对称；
③f (x)是周期函数；
④∑
k =1
2025
(-1)
k kf(k - 1
2)=2025.
其中结论正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据所给等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析即可.
【详解】因为f (x -1)+ f (x +1)= f (-2)，
所以f (x +1)+ f (x +3)= f (-2)，
所以f (x -1)= f (x +3)，即f (x)= f (x + 4)，
所以f (x)是周期为4 的周期函数，则③正确.
令x =-1，得f (-2)+ f (0)= f (-2)，
则f (0)=0，从而f (2024)= f (0)=0，故①错误；
因为f (2 x +6)= f (-2 x)，
所以f (x +6)= f (- x)，
所以f (- x)= f (x -6)，
所以f (x)的图象关于直线x =-3对称，则②正确；
易得f (x)的周期为4，且其图象关于直线x =-3及x =3对称，
则直线x =-3+ 4 n及x =3+ 4 n(n∈Z)均为f (x)图象的对称轴，
从而f (-2)= f (0)=0,f(
7
2)= f(
5
2)=1.
令x = 3
2，得f(
3
2 -1)+ f(
3
2 +1)=0，
即f(
1
2)=- f(
5
2)=-1，
则f(
1
2)= f(
3
2)= f(
9
2)=-1，
故∑
k =1
2025
(-1)
k kf(k - 1
2)=- f(
1
2)+2f(
3
2)-3 f(
5
2)+ 4 f(
7
2)-⋯-2025 f(
4049
2 )
=(1-2-3+ 4)+⋯+(2021-2022-2023+2024)+2025=2025，故④正确.
故选：C.
3（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数f (x)=cos x + 1
2 cos2 x + 1
3 cos3 x，则（ ）
A．π是f (x)的一个周期
B．x =π是f (x)图象的一条对称轴
C．(
π
2 ,0)是f (x)图象的一个对称中心D．f (x)在区间(0,π)内单调递减
【答案】B
【分析】法一：利用排除法，取特值检验即可；法二：根据周期性的定义判断A；根据对称性的定义判断
BC；利用导数判断f (x)在区间(0,π)内单调性，进而判断D.
【详解】法一：（排除法）因为f (π)=cosπ+ 1
2 cos2π+ 1
3 cos3π=-1+ 1
2 - 1
3 =- 5
6，
f (0)=cos0+ 1
2 cos0+ 1
3 cos0=1+ 1
2 + 1
3 = 11
6 ，
即f (π)≠f (0)，所以π不是f (x)的一个周期，故A 错误；
且f (π)≠- f (0)，所以(
π
2 ,0)不是f (x)图象的一个对称中心，故C 错误；
又因为f(
π
2 )=cosπ
2 + 1
2 cosπ+ 1
3 cos 3π
2 =- 1
2，
f(
2π
3 )=cos 2π
3 + 1
2 cos 4π
3
+ 1
3 cos 6π
3 =- 5
12
即f(
π
2 )<f(
2π
3 )，所以f (x)在区间(0,π)内不单调递减，故D 错误；
法二：A：因为f (x +π)=cos(x +π)+ 1
2 cos2(x +π)+ 1
3 cos3(x +π) =-cos x + 1
2 cos2 x - 1
3 cos3 x
即f (x +π)≠f (x)，所以π不是f (x)的一个周期，故A 错误；
B：因为f (π- x)=cos(π- x)+ 1
2 cos2(π- x)+ 1
3 cos3(π- x) =-cos x + 1
2 cos2 x - 1
3 cos3 x，
即f (π+ x)= f (π- x)，所以x =π是f (x)图象的一条对称轴，故B 正确；
C：因为f (- x)=cos(- x)+ 1
2 cos2(- x)+ 1
3 cos3(- x)=cos x + 1
2 cos2 x + 1
3 cos3 x，
即- f (- x)≠f (x +π)，所以(
π
2 ,0)不是f (x)图象的一个对称中心，故C 错误；
D：因为f
' (x)=-sin x -sin2 x -sin3 x =-[sin(2 x - x)+sin(2 x + x)]-sin2 x
=-2sin2 x⋅cos x -sin2 x =-sin2 x⋅(2cos x +1)
当x∈(0,π
2 )时，sin2 x>0,2cos x +1>0，此时f
' (x)<0；
当x∈(
π
2 , 2π
3 )时，sin2 x<0,2cos x +1>0，此时f
' (x)>0；
当x∈(
2π
3 ,π)时，sin2 x<0,2cos x +1<0，此时f
' (x)<0；
可知f (x)在(0,π
2 )上单调递减，在(
π
2 , 2π
3 )上单调递增，在(
2π
3 ,π)上单调递减，
所以f (x)在区间(0,π)内不单调递减，故D 错误；
故选：B.
题型12 新定义中的函数性质
解｜题｜策｜略
1 新定义问题，理解定义是关键，可以先通过具体例子感性上认识下，再通过其共性理解定义的本质；
2 判断函数或其性质是否新定义，则严格按照新定义去作进行，其中要注意各符号或字母的含义，注意
它们的先后顺序等。
1（2025 高三·全国·专题练习）若定义在R上的函数f (x)满足对任意x1, x2
，都有f (x0+ x2)- f (x1- x0)
x0
<0，
其中x0= x1- x2, x1≠x2
，则称f (x)为T函数.给出下列函数：①y =-e
x- x
；②y =- x
3+3 x
2-3 x +1
；③
y =ln x
x
；④y =- x -sin x.其中是T函数的个数为（ ）
A．2
B．4
C．1
D．3
【答案】D
【分析】由题可得
f (x0+ x2)- f (x1- x0)
x0
= f (x1)- f (x2)
x1- x2
，由题设可得：若过函数f (x)图象上任意两不同点
P(x1,f (x1)),Q(x2,f (x2))的割线的斜率小于0，则函数f (x)为“T函数”.结合导数的几何意义，可知T函
数f (x)的导数f
' (x)≤0在定义域上恒成立.逐项求导研究导数的符号即可求解.
【详解】由题可得
f (x0+ x2)- f (x1- x0)
x0
= f (x1- x2+ x2)- f (x1- x1+ x2)
x1- x2
= f (x1)- f (x2)
x1- x2
，
由题设可得：若过函数f (x)图象上任意两不同点P(x1,f (x1)),Q(x2,f (x2))的割线的斜率小于0，则函数
f (x)为“T函数”.
结合导数的几何意义，可知T函数f (x)的导数f
' (x)≤0在定义域上恒成立.
y =-e
x - x的定义域为R，y
' =-e
x -1<0恒成立，
所以y =-e
x - x是T函数，故①正确；
y =- x
3+3 x
2-3 x +1的定义域为R，y
' =-3 x
2+6 x -3=-3( x -1)
2≤0恒成立，
所以y =- x
3+3 x
2-3 x +1是T函数，故②正确；
y =ln x
x
的定义域为(0,+ ∞)，不是R，所以y =ln x
x
不是T函数，故③错误；
y =- x -sin x的定义域为R，y
' =-1-cos x ≤0恒成立，所以y =- x -sin x是T函数，故④正确.
故选：D.
2（2025 高三·全国·专题练习）方程x| x|
16
+ y | y |
9
=-1的曲线即为函数y = f ( x)的图象，对于函数
y = f ( x)，有如下结论：①f ( x)在R上单调递减；②函数F( x)= 4 f ( x)+3 x不存在零点；③函数y =
f ( x)的值域是R；④若函数g( x)和f ( x)的图象关于原点对称，则y = g( x)由方程y | y |
16
+ x| x|
9
=1确定．
其中所有正确的命题序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．①③④
D．①②③
【答案】D
【分析】由题对x , y分正负求解方程，根据解析式确定单调性及值域可确定①③；对于②，由①得三种情
况，结合双曲线性质即可判定；对于④，利用对称性，得到y = g( x)的方程即可.
【详解】对于①，当x ≥0, y ≥0，方程为x
2
16 + y
2
9 =-1不成立；
当x<0, y <0时，方程- x
2
16 - y
2
9 =-1，解得y = f (x)=-3
❑√- x
2
16 +1，
又1- x
2
16 ≥0，所以此时函数f ( x)在[- 4,0)上单调递减；
当x<0, y ≥0时，方程- x
2
16 + y
2
9 =-1，解得y = f (x)=3
❑√
x
2
16 -1，
又x
2
16 -1≥0，所以此时函数f ( x)在(-∞,- 4]上单调递减；
当x ≥0, y <0时，方程x
2
16 - y
2
9 =-1，解得y = f (x)=-3
❑√
x
2
16 +1，
此时函数f ( x)在[0,+ ∞)上单调递减；
易知函数f ( x)连续，所以f ( x)在R上单调递减，故①正确；
对于②，F( x)= 4 f ( x)+3 x =0，即f (x)=- 3
4 x，
由①知，x<0, y <0时，f (x)=-3
❑√- x
2
16 +1<0，而y =- 3
4 x>0无交点；
而x<0, y ≥0和x ≥0, y <0，方程为x
2
16 - y
2
9 =1或y
2
9 - x
2
16 =1都代表双曲线，
且它们有相同的渐近线方程y =± 3
4 x，此时也无交点，
所以函数F( x)= 4 f ( x)+3 x不存在零点，故②正确；
对于③，当x<0, y ≥0时，y = f (x)=3
❑√
x
2
16 -1，易得x→-∞,f (x)→+∞，
x ≥0, y <0时，y = f (x)=-3
❑√
x
2
16 +1，易得x→+∞,f (x)→-∞，
又函数连续，所以函数y = f ( x)的值域是R，故③正确；
对于④，设g(x)上的点为(x
' , y
')，f (x)上的点为(x , y)，
又它们关于原点对称，所以x =- x
' , y =- y
'，
所以- x
'|- x
'|
16
+- y
'|- y
'|
9
=-1，即x
'| x
'|
16
+ y
'| y
'|
9
=1，
所以y = g( x)由方程x| x|
16
+ y | y |
9
=1确定，故④错误；
故选：D.
3（多选）（25-26 高三上·广东揭阳·期中）若定义在D上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值
与最小值的差不大于2，则称该函数是D上的完美函数.下列判断正确的是（ ）
A．y = 2 x
x
2+1
是R上的完美函数
B．若f (x)是D上的完美函数，则g(x)=2f (x -1)也是D上的完美函数
C．y =lg
❑√
❑√x
2+1- x是[- 49，49]上的完美函数
D．存在a∈R，使得h(x)=a(x
3-3 x
2+2)(a≠0)是[0，2]上的完美函数
【答案】ACD
【分析】选项A 利用函数奇偶性找出对称中心，再利用基本不等式求最值结合定义即可得出，根据定义分
析即可得出选项B，先判断奇偶性，然后利用函数导数判断函数单调性以及复合函数单调性，求出函数最
值分析即可得出选项C，利用函数导数分析函数单调性从而求出最值作差得出a的条件，然后验证对称性即
可得出D 选项.
【详解】对于A，令f ( x)= 2 x
x
2+1
，则函数的定义域为R，关于原点对称，
由f (- x)= 2(- x)
(- x)
2+1
=- 2 x
x
2+1
=- f (x)，可知该函数为奇函数，对称中心为(0,0)，
当x>0时，
y =
2
x + 1
x
≤
2
2❑√x· 1
x
=1
，当且仅当x =1时取到等号，
当x<0时，
y =
2
x + 1
x
=
2
-(- x)+[-(
1
- x)]
≥
2
-2❑√
(- x)·(- 1
x)
=-1
，当且仅当x =-1时取到等号，
当x =0时，y =0，故y = 2 x
x
2+1最大值为1，最小值为-1，两者的差为2，符合题意，故A 正确；
对于B，若f (x)是D上的完美函数，设其对称中心为(a,b)，则g(x)=2f (x -1)的对称中心为(a+1,2b)，
因g(x)的最值的差为f (x)最值的差的2 倍，若f (x)的最值的差为2，则g(x)最值的差为4，不满足定义，
故B 不正确；
对于C，[- 49,49]关于原点对称，令f (x)=lg
❑√
❑√x
2+1- x = 1
2 lg(❑√x
2+1- x)，
由f (- x)== 1
2 lg(❑√x
2+1+ x)= 1
2 lg (❑√x
2+1+ x)(❑√x
2+1- x)
(❑√x
2+1- x)
= 1
2 lg
1
❑√x
2+1- x
=- 1
2 lg(❑√x
2+1- x)=- f (x)，即函数为奇函数，对称中心为(0,0)，
令h(x)=
❑√x
2+1- x，则h
' (x)=
x
❑√x
2+1
-1，当x∈[- 49,0]时，显然h
' (x)<0，
当x∈(0,49]时，h
' (x)=
x
❑√x
2+1
-1= ❑√
x
2
x
2+1
-1<0，故h(x)在[- 49,49]上单调递减，
又y = 1
2 lgt在定义域上单调递增，故f (x)= 1
2 lg(❑√x
2+1- x)在[- 49,49]上单调递减，
所以f (x)max= f (- 49)= 1
2 lg(❑√49
2+1+ 49)，
f (x)min= f (49)= 1
2 lg(❑√49
2+1- 49)=- 1
2 lg(❑√49
2+1+ 49)，
则f (x)max- f (x)min= 1
2 lg(❑√49
2+1+ 49)+ 1
2 lg(❑√49
2+1+ 49)=lg(❑√49
2+1+ 49)
因❑√49
2+1+ 49<100 ⇔
❑√49
2+1<51 ⇔49
2+1<51
2 ⇔2402<2601，
所以lg(❑√49
2+1+ 49)<lg100=2，满足题意，故C 正确；
对于D，因h(x)=a(x
3-3 x
2+2)(a≠0)，则h
' (x)=a(3 x
2-6 x)=3ax (x -2)，
因为0≤x ≤2，所以x -2≤0，
当a>0时，h
' (x)≤0，所以h(x)在[0,2]上单调递减，
故h(x)max =h(0)=2a,h(x)min=h(2)=-2a，
当a<0时，h
' (x)≥0，所以h(x)在[0,2]上单调递增，
故h(x)max =h(2)=-2a,h(x)min=h(0)=2a，
故h(x)的最值差为|-2a-2a|=|4 a|≤2⇒|a|≤1
2，
又h(2- x)=a[(2- x)
3-3(2- x)
2+2]=a(- x
3+3 x
2-2)
=-a(x
3-3 x
2+2)=-h(x)，即函数h(x)关于点(1,0)对称，
即存在a∈R满足题意，故D 正确.
故选：ACD.
（建议用时：60 分钟）
1（25-26 高三上·山西吕梁·月考）已知a>0，且a≠1．若函数f (x)=¿在R上单调递减，则实数a的取值范围
是（ ）
A．(0,1)
B．(2,+∞)
C．(0, 1
2]
D．[
1
2 ,1)
【答案】C
【分析】由单调性定义可列出相应不等式组，计算即可得.
【详解】由题意可得¿，解得0<a≤1
2，
故实数a的取值范围是(0, 1
2].
故选：C.
2（25-26 高三上·云南昆明·月考）已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则f (-2)、
f (1)、f (3)的大小关系是（ ）
A．f (-2)<f (1)<f (3)
B．f (-2)>f (1)>f (3)
C．f (1)<f (-2)<f (3)
D．f (1)<f (3)<f (-2)
【答案】C
【分析】由偶函数性质可得f (-2)= f (2)，再利用函数单调性即可判断.
【详解】由f (x)是定义在R上的偶函数，则f (-2)= f (2)，
由f (x)在[0,+∞)上是增函数，则f (1)<f (2)<f (3)，
即有f (1)<f (-2)<f (3).
故选：C.
3（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数f (x)是(-∞,+∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有
f (x +2)=- f (x)，且当x∈[0,2)时，f (x)=log2(x +1)，则f (-2025)=（ ）
A．-2
B．-1
C．2
D．1
【答案】D
【分析】根据已知确定在x ≥0时，函数f (x)具有周期性，然后结合偶函数定义可把f (-2025)转化到已知
解析式的区间上求解即可．
【详解】∵x ≥0，都有f (x +2)=- f (x),∴f (x + 4)=- f (x +2)= f (x)，
即当x ≥0时，函数f (x)具有周期性，且周期为4，
又f (x)是偶函数，∴f (-2025)= f (2025)= f (2024+1)= f (1)=log2(1+1)=1.
故选：D.
4（25-26 高三上·北京·开学考试）已知函数f (x)满足f (-2- x)= f (-2+ x)，对任意x1, x2∈(-∞,-2]，且
x1≠x2，都有
f (x1)- f (x2)
x1- x2
>0成立，且f (0)=0，则f (x)>0的解集是（ ）
A．(-∞,-2)∪(2,+∞)
B．(-2,2)
C．(-∞,- 4)∪(0,+ ∞)
D．(- 4,0)
【答案】D
【分析】由已知条件得到f (x)的图象关于x =-2对称，从而可知f (x)在(-∞,-2]上为增函数，在(-2,+∞)
上为减函数，且f (- 4)=0，再画出折线图表示出函数f (x)的单调性，即可得到答案.
【详解】因为数f (x)满足f (-2- x)= f (-2+ x).
所以f (x)的图象关于x =-2对称.
因为函数f (x)对任意x1, x2∈(-∞,-2]，且x1≠x2，都有
f (x1)- f (x2)
x1- x2
>0成立，
所以f (x)在(-∞,-2]上为增函数.
又因为f (x)的图象关于x =-2对称，f (0)=0，
所以f (x)在(-2,+ ∞)为减函数，且f (- 4)=0.
用折线图表示函数f (x)的单调性，如图所示：
由图知：f (x)>0⇒- 4< x<0.
故选：D.
5（2025·山东·模拟预测）若方程x
2- ❑√2 x + ❑√2-1=0的非整数根是函数f (x)=a x
3-bx +a+1(a,b∈N
*)
的一个零点，则f (x)图象的对称中心为（ ）
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(2,0)
D．(2,1)
【答案】B
【分析】先求方程x
2- ❑√2 x + ❑√2-1=0的非整数根，代入函数f (x)即可求得a,b，最后验证f (- x)+ f (x)和
f (2- x)+ f (2+ x)即可求解.
【详解】由x
2- ❑√2 x + ❑√2-1=0有(x -1)(x - ❑√2+1)=0，得x = ❑√2-1或x =1（舍去），
所以f (❑√2-1)=a(❑√2-1)
3-b(❑√2-1)+a+1=5 ❑√2a-6a+(1- ❑√2)b+1=0，
即¿
¿，所以f (x)= x
3-5 x +2，
所以f (- x)+ f (x)= 4，所以函数f (x)图象的对称中心为(0,2)，
f (2- x)+ f (2+ x)=12 x
2，
故选：B.
6（2025·福建三明·三模）已知函数f (x)=e
x -1-e
1- x+ x
3-3 x
2+3 x，若实数x , y满足
f (3 x
2)+ f (2 y
2- 4)=2，则x + y的最大值为（ ）
A．1
B．
❑√5
2
C．❑√5
D．
❑√30
3
【答案】C
【分析】先证明f (3 x
2)+ f (2 y
2- 4)=2，进而可得3 x
2+2 y
2- 4 =2，设x + y =t，则直线x + y =t与椭圆
3 x
2+2 y
2=6有交点，联立方程，则Δ≥0，即可得解.
【详解】f (x +1)=e
x -e
- x+(x +1)
3-3(x +1)
2+3(x +1)=e
x -e
- x+ x
3+1，
f (- x +1)=e
- x -e
x+(- x +1)
3-3(- x +1)
2+3(- x +1)=e
- x -e
x - x
3+1，
则f (x +1)+ f (- x +1)=2，
又因为f (3 x
2)+ f (2 y
2- 4)=2，
所以3 x
2+2 y
2- 4 =2，即3 x
2+2 y
2=6，
设x + y =t，
则直线x + y =t与椭圆3 x
2+2 y
2=6有交点，
联立¿，得5 x
2- 4 tx +2t
2-6=0，
则Δ=16t
2-20(2t
2-6)≥0，解得- ❑√5≤t ≤❑√5，
所以x + y的最大值为❑√5.
故选：C.
7（2025 高三·全国·专题练习）如果对定义在R上的函数f (x)，对任意两个不相等的实数x1, x2，都有
x1f (x1)+ x2f (x2)> x1f (x2)+ x2f (x1)，则称函数f (x)为“H函数”，给出下列函数：①y =- x
3+ x +1；
②y =3 x -2(sin x -cos x)；③y =e
x+1；④f (x)=¿以上函数是“H函数”的所有序号为（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】B
【分析】根据题意由所给条件利用函数单调性定义可得函数f (x)是定义在R上的增函数，再由导数对各函
数进行判断即可.
【详解】因为对于任意给定的不等实数x1, x2，不等式x1f (x1)+ x2f (x2)> x1f (x2)+ x2f (x1)恒成立，
所以不等式等价为(x1- x2)[f (x1)- f (x2)]>0恒成立，即函数f (x)是定义在R上的增函数．
①y =- x
3+ x +1, y
' =-3 x
2+1，导函数存在变号零点，即函数在定义域上不单调，不合题意；
②y =3 x -2(sin x -cos x)，y
' =3-2(cos x +sin x)=3-2❑√2sin(x +π
4 )>0，函数单调递增，满足条
件．
③y =e
x+1为增函数，满足条件．
④f (x)=¿当x>0时，函数单调递增，当x<0时，函数单调递减，不满足条件．
综上，满足“H函数”的函数为②③，
故选：B．
8（多选）（2025·甘肃武威·模拟预测）对于定义域关于原点对称的函数f (x)，称“f 1(x)= f (x)- f (- x)
2
”
为f (x)的奇分解函数，“f 2(x)= f (x)+ f (- x)
2
”为f (x)的偶分解函数，则（ ）
A．奇分解函数f 1(x)为奇函数，偶分解函数f 2(x)为偶函数
B．函数f (x)cos x的奇分解函数为f 1(x)cos x
C．函数f (x)sin x的偶分解函数为f 2(x)sin x
D．若f 2(x)=
1
x
2+|x|，则∑
i=-2025
-1
❑f (i)+∑
i=1
2025
❑f (i)= 2025
1013
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性结合函数新定义可判断A；由函数新定义结合余弦诱导公式可判断B、C；利用
偶函数的性质和裂项相消法可判断D.
【详解】对于A，因为f 1(- x)= f (- x)- f (x)
2
=- f (x)- f (- x)
2
=- f 1(x)，
所以f 1(x)为奇函数，
因为f 2(- x)= f (- x)+ f (x)
2
= f 2(x)，
所以f 2(x)为偶函数，故A 正确；
对于B，f (x)cos x的奇分解函数为f (x)cos x - f (- x)cos(- x)
2
= f (x)- f (- x)
2
cos x = f 1(x)cos x，故B 正
确；
对于C，f (x)sin x的偶分解函数为f (x)sin x + f (- x)sin(- x)
2
= f (x)- f (- x)
2
sin x≠f (x)+ f (- x)
2
sin x，
故C 错误；
对于D，
∑
i=-2025
-1
❑f (i)+∑
i=1
2025
❑f (i)=2∑
i=1
2025
❑f 2(i)=2∑
i=1
2025
❑
1
i(i+1) =2∑
i=1
2025
❑(
1
i - 1
i+1)=2×(1-
1
2026)= 2025
1013 ，故
D 正确.
故选：ABD.
9（2025·四川遂宁·二模）定义在R上的函数f (x)满足f ( x)- f (- x)=sin x，当x ≤0时，f
' (x)≥1
2恒成立.若
f (t )≥f (π
3 -t )+
❑√3
2 sin(t -π
6 )，则实数t的取值范围为 .
【答案】(-∞,π
6 ]
【分析】构造函数g(x)= f (x)- 1
2 sin x，可得出该函数为偶函数，利用导数分析出函数y = g(x)在(-∞,0]
上单调递增，进而可得出该函数在[0,+∞)上单调递减，将所求不等式变形为g(t )≥g(
π
3 -t)，可得
g(|t|)≥g(|
π
3 -t|)，可得出|t|≤|
π
3 -t|，由此可解得实数t的取值范围．
【详解】由f (x)- f (- x)=sin x可得f (x)- 1
2 sin x = f (- x)+ 1
2 sin x，
构造函数g(x)= f (x)- 1
2 sin x，则g(- x)= f (- x)- 1
2 sin (- x)= f (- x)+ 1
2 sin x = g(x)，
所以，函数y = g(x)为偶函数，
当x ≤0时，g
' (x)= f
' (x)- 1
2 cos x ≥1
2 - 1
2 cos x ≥0，
所以，函数y = g(x)在(-∞,0]上单调递增，则该函数在[0,+ ∞)上单调递减，
∵sin t -sin(
π
3 -t)=sin t -(
❑√3
2 cost - 1
2 sin t)= 3
2 sin t -
❑√3
2 cost = ❑√3sin(t -π
6 )，
由f (t )≥f (π
3 -t )+
❑√3
2 sin(t -π
6 )得f (t )≥f (π
3 -t )+ 1
2 sin t - 1
2 sin(
π
3 -t)，
即f (t )- 1
2 sin t ≥f(
π
3 -t)- 1
2 sin(
π
3 -t)，即g(t )≥g(
π
3 -t)，则g(|t|)≥g(|
π
3 -t|)，
由于函数y = g(x)在[0,+ ∞)上单调递减，所以，|t|≤|
π
3 -t|，解得t ≤π
6 ，
因此，实数t的取值范围是(-∞,π
6 ]．
故答案为：(-∞,π
6 ]．
10（25-26 高三上·江苏镇江·月考）已知函数f ( x)= x( x -2)( x -a)，其导函数记作y = f
'( x).
(1)当a=1时，求函数y = f ( x)图象对称中心的坐标；
(2)若方程f ( x)=0与f
'( x)=0存在非零公共根x0，证明：x0为函数y = f ( x)的极小值点.
【答案】(1)(1,0)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据y = f ( x)的特征，验证f (2- x)=- f ( x)即可求得其函数的对称中心；
（2）根据题意，分a=0与a≠0讨论，当a≠0时，再分x0=a或x0=2讨论求解即可证明.
【详解】（1）解：因为a=1，即f ( x)= x( x -1)( x -2)；
所以，f (2- x)=(2- x)(1- x)(- x)=- x( x -1)( x -2)=- f ( x)，
所以，函数y = f ( x)图象对称中心的坐标为(1,0).
（2）解：令f ( x)= x( x -2)( x -a)=0，有x =0, x =2, x =a；
此外，f
'( x)=3 x
2-2(2+a)x +2a；
又因为方程f ( x)=0与f
'( x)=0存在非零公共根x0，
若a=0，f
'( x)=3 x
2- 4 x =0，其根为0, 4
3 ，与f ( x)=0不存在非零公共根，不符合题意；
若a≠0，则有x0=a或x0=2，
当x0=a时，f
'(x0)=3a
2-2(2+a)a+2a=a
2-2a=0解得a=2；
当a=2时，f
'( x)=(3 x -2)( x -2)，
当x∈(
2
3 ,2)时，f
'( x)<0,f ( x)单调递减，
当x∈(2,+ ∞)时，f
'( x)>0,f ( x)单调递增，
因此x0=a=2是y = f ( x)的极小值点.
当x0=2时，由f
'( x0)=12- 4(2+a)+2a= 4 -2a=0，解得a=2，
此时a=2，与x0=a得到的情况一致.
综上，x0为函数y = f ( x)的极小值点.
