文档文本内容
第02 讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最
值
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 函数的单调性及单调区间.........................................................................................................2
题型02 复合函数的单调性.....................................................................................................................2
题型03 比较大小.................................................................................................................................... 3
题型04 利用单调性解函数不等式.........................................................................................................3
题型05 利用单调性求参数的取值范围
...........................................................................................4
题型06 利用函数的单调性求最值（值域）.........................................................................................5
题型07 函数奇偶性的判断.....................................................................................................................5
题型08 根据奇偶性求解析式或函数值
...........................................................................................6
题型09 利用奇偶性求参数
...............................................................................................................7
题型10 利用奇偶性和单调性解不等式.................................................................................................7
题型11 函数的周期性.............................................................................................................................8
题型12 对称性......................................................................................................................................... 8
题型13 由函数对称性求函数值或参数.................................................................................................9
题型14 对称性、周期性的综合........................................................................................................... 10
题型15 对称性、单调性的综合........................................................................................................... 10
题型16 对称性求函数的解析式........................................................................................................... 11
题型17 函数性质的综合应用
.......................................................................................................... 11
重难·创新演练......................................................................................................................................................12
真题·实战演练......................................................................................................................................................15
模拟·基础演练
考查重点：查函数单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值的判定与应用，围绕单调区间判断、复
合函数单调性、奇偶性证明与性质运用、周期与对称关系推导、利用单调性求解不等式、参数范围
及最值值域等核心内容展开，突出单一性质运用与多性质综合解题能力。
题型01 函数的单调性及单调区间
1.（2026·河南洛阳·模拟检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2026·山东枣庄·二模）下列函数中，是偶函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
是奇函数.
（1）求
的值；
（2）若
的定义域为
，判断
的单调性并证明.
题型02 复合函数的单调性
4．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数
在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三下·河北沧州·月考）已知函数
在区间
存在单调递增区间，则正数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·安徽六安·月考）函数
的单调递减区间为
.
题型03 比较大小
9.（2025·陕西商洛·三模）已知
是偶函数，且
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·辽宁本溪·阶段检测）已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
在
上单调递减.设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
12.（2026·四川成都·模拟检测）已知
，则下列关系式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13.（2026·江西萍乡·模拟预测）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 利用单调性解函数不等式
14.（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
15.（2026·河北8 月·联合质检）已知函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
16.已知
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
17.（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 利用单调性求参数的取值范围
18. “
”是“
在
上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
19.已知
，对
都有
成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
20.（2026·湖南衡阳·开学考试）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
21.已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递减，
则实数
的取值范围是____________.（用区间表示）
题型06 利用函数的单调性求最值（值域）
22.已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
23.（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数 B．
的单调递增区间为
C．当
时，
D．
的最小值为
24.已知函数
的最大值为
，最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
25.（25-26 高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数
．
（1）若
，求
的值域；
（2）若
时，
的最小值为
，求函数
的解析式．
题型07 函数奇偶性的判断
26.函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数，又是偶函数
27.下列函数中，值域为
且为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
28.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
29.（2026·湖南长沙·模拟预测）已知定义域为
的函数
不是奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
30.（多选）已知
是定义在
上不恒为0 的偶函数，
是定义在
上不恒为0 的奇函数，则（
）
A．
为奇函数
B．
为奇函数
C．
为偶函数
D．
为偶函数
题型08 根据奇偶性求解析式或函数值
31.（2026·河北邯郸·一模）若定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
32.（2026·广东江门·一模）设
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，
则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
33.（2026·陕西·二模）设
是定义在
上周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
34.（2026·山东枣庄·二模）已知
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
35.（2026·上海静安·二模）已知定义在R 上的偶函数
的最小正周期为2，当
时，
，
则当
时，
.
36.（2026·江西上饶·二模）已知
为定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
.
题型09 利用奇偶性求参数
37.（2026·江西赣州·一模）若函数
且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
38.（2026·山西吕梁·三模）已知函数
为奇函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1
39.（2026·安徽安庆·二模）已知
，函数
为奇函数，则
（ ）
A．15
B．
C．
D．4
40.（2026·江西南昌·一模）已知函数
，若函数
为偶函数，则（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
41.（2026·湖北·模拟预测）若
为奇函数，则
的值为
.
A．
B．0
C．1
D．
或1
题型10 利用奇偶性和单调性解不等式
42.已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
43.（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数
在定义域
上单调递增，
，则使得不等式
成立的实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
44.已知
是定义在R 上的奇函数，且
，若对任意的
，
，均有
成
立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
45.已知函数
是定义在
上的奇函数，且对任意的
，都有
，且
，则
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
46.若定义在
上的奇函数
在
上单调递减，且
，则满足
的
的取值范围
是
.
题型11 函数的周期性
47.（2025·湖南岳阳·三模）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．5
D．
48.（2026·湖北·一模）已知函数
为奇函数，且
为偶函数，当
时，有
，则
（ ）
A．2025
B．
C．
D．
49.（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
50.（2026·安徽芜湖·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，则
.
51.（2025·云南曲靖·二模）已知函数
满足
，且当
时，
，则
的值为
.
题型12 对称性
52.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
是定义在
上的偶函数，
关于
中心对称，则
下列说法正确的是（ ）
A．
的一个周期为6
B．
C．
D．
53.（2026·辽宁锦州·二模）（多选）函数
，则（ ）
A．
B．
C．
存在对称轴
D．
存在对称中心
54.（25-26 高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数
，则下列说法正确的是（
）
A．存在
，使得曲线
关于某点对称
B．存在
，使得曲线
关于某直线对称
C．存在
，使得曲线
关于某点对称
D．存在
，使得曲线
关于某直线对称
55.（多选）定义在
上的函数
满足
为偶函数，且
，则下列说法中正确的有
（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称 B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的图象关于
成中心对称 D．
题型13 由函数对称性求函数值或参数
56.（2026·浙江宁波·模拟检测）若函数
的图象关于
对称，且
，则实数
（
）
A．
B．
C．
D．
57.（2026·黑龙江哈尔滨·5 月模拟）已知函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
58.（2026·江苏徐州·5 月模拟）若函数
关于直线
对称，则
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
59.（2026·福建厦门·5 月检测）若函数
的图像关于点
中心对称，则有序数对
为
.
题型14 对称性、周期性的综合
60.（2026·山东泰安·阶段检测）已知函数
是定义在
上的可导函数，且
满足
，
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
61.定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则方
程
所有的根之和为（ ）
A．14
B．
C．12
D．
62.（多选）已知函数
是定义在
上的偶函数，若
满足
，且
在
上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ）
A．
B．
为周期函数
C．
D．
在
上单调递增
题型15 对称性、单调性的综合
63.（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，且
，都有
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
64.（25-26 高三上·广东·阶段检测）已知函数
的定义域为
，图象关于
对称，且
，对于
任意的
，都有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
65.（2026·河北张家口·一模）已知函数
满足
，当
时，
，则
不等式
的解集为
.
题型16 对称性求函数的解析式
66.已知函数
与
的图象关于点
对称，则
.
67.（25-26 高三上·安徽·期中测试）已知函数
满足
．
（1）证明：
；
（2）判断
的单调性，并写出推理过程；
（3）若函数
的图象与函数
的图象关于点
对称，求
的解析式．
题型17 函数性质的综合应用
68.（25-26 高三上·浙江·期末测试）（多选）定义在
上的函数
满足：
①对任意
，都有
；②
的图象关于直线
对称；
③
，
.
则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
69.已知函数
的定义域为
，函数
为奇函数，函数
为偶函
数，则（ ）
A．函数
的一个对称中心为
B．
C．函数
为周期函数，且一个周期为4
D．
70.已知函数
，对任意
，均有
，且
，
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
71.（多选）（2026·河北保定·一模）已知定义在
上的函数
为偶函数，且满足
，
当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为周期函数
B．
的图象关于点
对称
C．当
时
D．
重难·创新演练
设题创新: 试题以抽象函数、新定义情境、导函数关联为创新载体，强化单调性、奇偶性、周期性、
对称性的融合考查，增加含参讨论、逆向推导、多结论判断与数形结合题型，注重逻辑推理与知识
迁移，贴合高考命题新趋势。
1.（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数
，则“
，
”是“
在
上的最
小值为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2.【新角度】（2026·河北沧州·一模）已知函数
，则函数
的单调递增区间为（
）
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
，
3.【新考法】（2026·山东临沂·一模）函数
，若对任意
，都有
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2026·山西大同·一模）已知函数
的定义域为
，若对于定义域内给定的任意
，
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2026·天津滨海新区·一模）已知
是定义在R 上的偶函数，且
在
上单调递增，设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.【新考法】已知函数
，
，若
，
，使得
，则实
数
的取值范围是( ).
A．
B．
C．
D．
7.（2026·辽宁抚顺·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.【新角度】（2026·广东湛江·二模）已知定义在
上的可导函数
满足
是偶函数；
；
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
9.【新情境】（2026·广东清远·二模）已知定义域为
的函数
满足
，且对于任意的
，当
时，都有
．设
，若
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.（2026·重庆九龙坡·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递减，
是定义在
上的奇函数，且在
上单调递增. 设
，
，
. 则（ ）
A．
B．
C．
D．
11.（多选）（2026·广西河池·二模）已知定义域为
的函数
，对任意实数
都有
，且
，则以下结论一定正确的有（ ）
A．
为
的周期
B．
关于
对称
C．
D．
12．（多选）（2026·河北邢台·二模）已知
是定义在
上的奇函数，
，
，若
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13.【新考法】（2026·陕西榆林·三模）（多选）已知函数
，
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
D．
14.（多选）若函数
的定义域都为
，且
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
15.【新考法】（2026·福建厦门·5 月模拟）已知函数
是定义在
上的函数，其中
是奇函数，
是偶函数，且
.若对任意
，都有
，则实数
的
取值范围是
____
.
真题·实战演练
高频考点：主要包括函数单调性与单调区间判断、复合函数单调性的 “同增异减” 法则、奇偶性
判定及应用、利用奇偶性与单调性解函数不等式、函数周期性与对称轴及对称中心的推导、利用单
调性求最值与值域，以及多种性质综合应用的小题，是高考选择、填空题的必考内容。
1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
4.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．1
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则（
）
A．
B．
C．
D．
6.（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
7.（2024·上海·高考真题）若函数
是奇函数，则实数
.
8. （2026·上海·高考真题）已知函数
是偶函数，当
时，
，若
，则
__________．
9.（2025·北京·高考真题）关于定义域为
的函数
，给出下列四个结论：
①存在在
上单调递增的函数
使得
恒成立；
②存在在
上单调递减的函数
使得
恒成立；
③使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个；
④使得
恒成立的函数
存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是
.
10.（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的最
小值为
.
