文档文本内容
函数的概念与基本初等函数
猜押
考点
3 年真题
考情分析
押题依据
函数
的概
念与
基本
初等
函数
2024 全国新高考I 卷6、8
2024 全国新高考Ⅱ卷6
2023 全国新高考I 卷4、11
2023 全国新高考Ⅱ卷4
2022 全国新高考I 卷12、
2022 全国新高考Ⅱ卷8
函数的周期性单调性与奇偶性的综合
应用是高考的重难点方向，特别是新
高考新题型以后，它们与抽象函数的
结合将是未来一个重要方向
图像的识别及应用逐渐淡化
函数的综合因应用作为压轴题，一般
会是同构，构造函数比较大小，函数
的综合性质应用化工等
1.以基本初等函数为载体，
考查函数的单调性及其应
用；
2.函数的奇偶性、对称性与
函数的图像相结合加以考查.
3.随着高考改革的推进，题
目的减少，抽象函数性质的
考查，以及函数性质、导数
的综合考查将增多.
题型一 函数的概念与单调性
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；
的部分利用二次函数的性质即可判定；分
段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案.
【详解】因为函数
在
上单调递减，
所以当
时，
恒成立，则
；
当
时，由
在
上递减，
若
，
，合题意，
若
，则
，故
;
又分段点处也要满足递减的性质，所以
，解得
.
综上所述，
，
故选：C．
2．（2025·湖南·模拟预测）设函数
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】易得函数
关于
对称，且在
上单调递减，在
单调递增，将原不等式转化为
求解即可.
【详解】因为
，所以
，
即函数
关于
对称，
当
时，
单调递增，
所以函数
在
上单调递减，在
单调递增，
因为
，所以
，解得
，
即
的取值范围是
，
故选：B.
3．（2025·江西·一模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】由
且
，得
，即
或
，
所以函数
的定义域为
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
为增函数，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
为增函数，
所以函数
的单调递增区间为
.
故选：B.
4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数
，若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出
得到
，得到
关于直线
对称，对
求导，判断当
时
的单调性，根据
得到
恒成立，即可求解.
【详解】因为
，定义域为
，
，
即
，所以
关于直线
对称，
又
，
当
时，
，
，
，所以
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
因为不等式
对任意
恒成立，
所以
恒成立，即
恒成立，
所以
，即
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
5．（2025 高三下·河北承德·专题练习）已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式判断出其单调性，即可得出结论.
【详解】易知函数
和
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，
故
，即
．
故选：D
6．（24-25 高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数
，在
上单调递增，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，由函数
在
上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
，解得
，即
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：A
7．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的单调性有
在
上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围.
【详解】由题设，函数
在
上单调递增，
易知
在
上单调递减，
当
时，
满足题设，
当
时，
或
，
综上，
.
故选：B.
题型二 周期性、奇偶性、对称性的应用
1．（24-25 高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为
的偶函数
满足
，则
（ ）
A．3
B．2
C．6
D．10
【答案】A
【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算
.
【详解】因为
是定义域为
的偶函数，所以
.
已知
，将
换为
，可得
，又因为
，所以
.
由
和
可得
.
令
，则
，那么
，又因为
，所以
，
即
，所以函数
的周期是，所以
.
在
中，令
，可得
，即
，解得
，所以
.
故选：A.
2．（2025·河南郑州·二模）（多选）已知对于任意非零实数
，函数
均满足
，
，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
关于点
中心对称
C．
关于
轴对称
D．
【答案】ABD
【分析】由
中令
可得A 正确；由
可得B 正确；由
可得C 错误；换元法求出
可得D 正确.
【详解】对于A，由
可得
；
对于B，由
可得
，即
，
所以
关于点
中心对称，故B 正确；
对于C，由
可得
，所以
关于
轴对称，故C 错误；
对于D，由
中令
可得
，
设
，①
又
，②
由①②可得
，
所以
，即
，
所以
，所以
所以
，故D 正确；
故选：ABD
3．（24-25 高二下·吉林白城·阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式判断
的奇偶性和单调性，即可求解.
【详解】因为
，定义域为
，所以
为奇函数，
，因为
，所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，
又
单调递增，所以
，即解集为
.
故选：A.
4．（24-25 高三下·浙江宁波·阶段练习）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用偶函数的定义列式结合对数运算计算求参.
【详解】因为函数
为偶函数，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
且
，
则
.
故选：A.
5．（2025·四川自贡·二模）若
是偶函数，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据偶函数定义，列式运算得解.
【详解】由题，可得
，即
，
，
，即
因
不恒为0，故
.
故选：B.
6．（2025 高二·全国·专题练习）（多选）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为
奇函数，记
的导函数为
，则下列函数为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可.
【详解】因为
为奇函数，
为偶函数，
所以
，
，
所以
为偶函数，故B 正确；
又对
两边求导，得
，
即
，所以
是偶函数，故D 正确；
由
，可得
，
由
，可得
，
所以
，即
，即得
，
所以
是周期为4 的函数，则
，两边求导，得
，
所以
是奇函数，故A 错误；
由
，可得
，即
，
又由
，可得
，
所以
，即
为偶函数，所以
为偶函数，故C 正确．
故选：BCD．
7．（24-25 高二下·山东枣庄·阶段练习）已知定义在
上的函数
，
的导函数分别为
，
，
且
，
，
，则下列判断错误的是（ ）
A．
关于直线
对称
B．
C．
的周期为4
D．
【答案】B
【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得
、
，通过合理赋值即可判断BCD.
【详解】由
，得
①，
②，得
③，
由①②③，得
，所以函数
图象关于直线
对称，故A 正确；
由
，得
，令
，得
；
由
，得
，
令
，得
，
∴
④，
又
⑤，令
，得
，故B 错误；
④⑤两式相加，得
，得
，
所以
，即函数
的周期为4，故C 正确；
由
，令
，得
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：B
8．（24-25 高二下·天津西青·阶段练习）已知
为
的导函数，则
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
的奇偶性排除BD；根据单调性排除C，即可得解.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
因为
，
所以
在
上是奇函数，故可排除选项B，D，
令
，则
，
当
时，
，
所以
在
单调递减，即
在
单调递减，故可排除选项C.
故选：A
题型三 函数图像的应用
1．（24-25 高二下·湖北宜昌·阶段练习）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的定义域，再根据函数值的特征排除B、C，利用导数说明函数的单调性，即可排除
A.
【详解】函数
的定义域为
，
当
时
，故排除C，
当
时
，
，则
，所以
，故排除B；
又
，
所以当
或
时
，所以
在
，
上单调递增，
当
或
时
，所以
在
，
上单调递减，故排除A.
故选：D
2．（23-24 高二下·云南大理·期中）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项．
【详解】解：
，定义域为
，
，
令
，得
，
令
，得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，排除A、C，
当
时，
，
，
，所以
，排除B，
只有D 中图象符合题意；
故选：D
3．（24-25 高二下·山西晋中·阶段练习）已知
是
的导函数，且
，则
的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
设
，分析
的取值，结合函数图象可确定答案.
【详解】设
，
A.当
，
，
时，
，
函数
为开口向下的二次函数，对称轴为
轴，满足要求，A 正确；
B.∵
时，
，
时，
，∴
.
由图象得，
为开口向上的二次函数，即
，
由
得
，故
，对称轴为
轴，不合要求，B 错误；
C.由图象可得
为奇函数，且
，故
，
∴
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增，满足要求，C 正确；
D.∵
时，
，∴
，
由
，得
，
，
由图象得，
，
的极小值点为
，极大值点大于
，即
，故
.
由
得，
，由
得，
或
，
∴
在
上单调递增，在
和
上单调递减，满足要求，D 正确.
故选：B.
4．（2025 高三·全国·专题练习）如图，圆C 和直角三角形AOB 的两边相切，射线OP 从OA 处开始，绕点
O 匀速旋转(到OB 处为止)时，所扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，它的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】如图，设
单位时间旋转角度为
，圆半径为r，则
，由题可得关于t 的表达式，
由导数知识可得答案.
【详解】如图，设
单位时间旋转角度为
，圆C 半径为r，
则
，则
，
则
，即函数
图象单调递增，
再令
，则函数图象的切线斜率逐渐变大，曲线也逐渐变陡，故选项B 符
合；
故选：B
5．（2025 高二·全国·专题练习）（多选）设
是函数
的导函数，将
和
的图象
画在同一个直角坐标系中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用导数研究函数的单调性，逐个进行判断即可.
【详解】对于选项A，若
为
的图象，当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递增，图象可能正确，故A 正确；
对于选项B，若
为
的图象，
，
在
上单调递增，图象可能正确，故B 正确；
对于选项C，若
为
的图象，当
时，
，
为常函数；当
时，
，
在
单调递增，图象可能正确，故C 正确；
对于选项D，若
为
的图象，当
时，
，
在
单调递增，不符合；
若
为
的图象，当
时，
，
在
单调递减，不符合；
当
时，
，
在
单调递减，也不符合，故D 错误；
综上，故选ABC．
题型四 函数性质的综合应用
1．（24-25 高三下·湖北·开学考试）已知函数
的定义域为
，且对任意
，满足
，且
则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据累加法可得
即可求解.
【详解】当
时，
因为
，
故
由累加法可得
，
故
，故AB 错误，
由
，
所以
故
，所以C 错误,D 正确，
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用累加法可得
.
2．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数
的定义域为
为奇函数，
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
的最小正周期为4
D．
的图象关于点
对称
【答案】D
【分析】根据
为奇函数，得
，从而可知
的对称中心；根据题意令
可知
，从而
，结合对称中心可判断
的对称轴与奇偶性和最小正周期.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
所以
的图象关于点
对称，则
的图象关于点
对称，
项正确；
因为函数
的定义域为
，易知
的定义域为
，
因为
为奇函数，所以
，
则
，所以
，
根据
的图象关于点
对称，得
，
所以
，故
为偶函数，
项错误；
因为
，
所以
，所以
的最小正周期为
，
则
的最小正周期为
，
项错误；
根据
为偶函数，且关于点
对称，最小正周期为
，
易知
的所有对称轴为直线
，故
项错误.
故选：
.
3．（24-25 高一上·江苏无锡·期中）已知函数
，若正数m，n 满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数解析式可得
，据此得出
，再由“1”的技巧及基本不等式得解.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
所以由
可得
，即
，
由
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：D
4．（24-25 高一上·福建三明·期中）已知奇函数
的定义域为
，满足对任意
、
，且
，都有
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，其中
，分析函数
的奇偶性与单调性，可得出
，
分
、
两种情况将不等式
变形，结合函数
的单调性即可得解.
【详解】构造函数
，其中
，
则
，所以，函数
为偶函数，
对任意的对任意
、
，且
，都有
，
不妨设
，则
，可得
，即
，
所以，函数
在
上为减函数，则该函数在
上为增函数，
且
，
，
当
时，由
可得
，可得
；
当
时，由
可得
，可得
.
综上所述，不等式
的解集为
.
故选：B.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
5．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数
的定义域为R，且对任意
，满足
，且
，则
（ ）
A．651
B．676
C．1226
D．1275
【答案】D
【分析】根据条件变形得到
，再结合条件求得
，再通过赋值求
的值.
【详解】由条件
，可知，
，
，以上三个
式子相加得：
，
又
，所以
，
，
，
，…，
，
以上式子相加得
，
所以
.
故选：D
6．（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知定义在
上的函数
不恒等于
，且对
任意的
，有
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的图象关于点
中心对称
D．
是
的一个周期
【答案】ABC
【分析】利用赋值法令
根据表达式可判断A 正确，再根据偶函数定义可得B 正确；取
并根据
对称中心定义可得C 正确，由对称中心以及偶函数性质可判断
是
的一个周期，可得D 错误.
【详解】对于A,根据题意令
，则由
可得
，解得
，即A 正确；
对于B,令
可得
，所以
，
即可得对任意的
满足
，即
是偶函数，所以B 正确；
对于C,令
，则由
可得
，
即
满足
，因此可得
的图象关于点
中心对称，即C 正确；
对于D,由于
是偶函数，所以满足
，即
，
可得
，也即
，所以
是
的一个周期，即D 错误.
故选：ABC
7．（24-25 高三上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）若定义在R 上的函数
，
满足
，
，
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期为4 的周期函数
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用
与
得到
，然后利用
，得到
的周期性，然后得到
周期；再利用
与
得到
为偶函数；利用
得到
，最后
利用
得到
的值即可.
【详解】因为
，所以
．
又因为
，所以
．
又
，则
，
即
，所以
，故
是周期为4 的周期函数．
因为
，所以
也是周期为4 的周期函数，选项B 正确；
因为
，则
，则
，
所以
，所以
为偶函数，选项A 正确；
因为
，令
，得
，即
，
令
，得
，即
，
故
，选项C 正确；
由
，
得
，
所以
，选项D 错误．
故选：ABC．
【点睛】当有两个函数时，需要根据其函数关系消元，得到一个函数
的关系，然后得出
的性质；
最后再利用
与
的关系求解
相关的一些性质即可.
8．（23-24 高三下·江西·阶段练习）（多选）已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是以8 为周期的周期函数
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据函数奇偶性以及表达式
可知满足
，可判断A 正确；
化简可得
可知B 正确；又
可得
，即C 正确；利用赋值法
可求得
，可知D 错误.
【详解】对于A，由题意
，
且
，即
①，
用
替换
中的
，得
②，
由①+②得
，
所以
的图象关于点
对称，且
，故A 正确；
对于B，由
，
可得
，
，
所以
，
所以
是以8 为周期的周期函数，故B 正确；
对于C，由①知
，
则
，所以
，故C 正确；
对于D，又因为
，所以
，
令
，则有
2，
令
，则有
，
令
，则有
，
所以
，
所以
，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：函数性质综合问题经常利用函数的奇偶性、对称性、周期性中的两条性质去推导第三
个性质，再将3 个性质综合运用即可实现问题求解.
9．（24-25 高一上·上海·单元测试）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数
被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数有如下四个命题：①
；②对任意
，恒有
成立；③任取一个不为0 的有理数
，
对任意实数
均成立；④存在三个点
，
，
，使得
为等边三角形．其中真命题的序号为（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】D
【分析】命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；命题②和命题③：分为
无理数和为有理数两种情况进行验证；命题④：结合狄利克雷函数的定义利用特殊点进行验证．
【详解】①若
为有理数，则
是有理数，则
，若
为无理数，则
是有理数，
则
，故①错误；
②若
为有理数，则
为有理数，此时
，
，即
成立，
若
为无理数，则
为无理数，此时
，
，即
成立，
综上，对任意
，恒有
成立，故②正确；
③若
为有理数，则
为有理数，此时
，
，即
成立，
若
为无理数，则
为无理数，此时
，
，即
成立，
综上，任取一个不为0 的有理数
，
对任意实数
均成立，故③正确；
④对任意有理数
，存在三个点
、
、
是边长为
的等边三角形，故④
正确．
故选：D．
10．（23-24 高二下·重庆·期末）写出一个同时具有下列性质的函数
= .
①
为定义在R 上的非常值函数；
②
且
,均存在唯一的
且
）使得
成立；
③
均存在.
使得
成立.
【答案】
（答案不唯一）
【分析】取
，即可逐一验证符合3 个条件.
【详解】取
，显然满足条件①，
若
时，即
，则
或
，
故
且
，总存在唯一的
且
）使得
，满足条件②，
对
，取
，则满足
,
对
，取
，则满足
,
，取
，故满足条件③
因此
，符合所有条件，
故答案为：
（答案不唯一）
11．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数
的定义域为
，若
，有
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．4 为函数
的一个周期
【答案】ACD
【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解.
【详解】根据题意，
，
取
，得
，因为
，所以
，A 正确;
取
，得
，所以
，B 错误;
取
，得
，即
，
所以
为偶函数，C 正确;
取
，得
，所以
，
即4 为函数
的一个周期，D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取
等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现
；当然要结合所求灵活赋值，
根据函数的性质进行求解.
12．（2024·山东泰安·模拟预测）（多选）已知函数
是
上的奇函数，且过点
，对于一切正实数
，都有
． 当
时，
恒成立，则（ ）
A．
B．
在
上是单调函数
C．
有三个零点
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】对于A，赋值
即可判断；对于B，分别赋值
、
和
求出
和
即可判断；对于C，探究
在
上的单调性，结合
、
和函数
奇偶性即可判断；对于D，由函数单调性以及研究特殊值
，
，
即
可得解.
【详解】由题
，
对于A：令
，
，所以A 正确；
对于B：令
，
，得
；
令
，
，得
，
令
，
，得
，所以B 不正确；
对于C：当
时，
，得
，
故
，即
又
即
，
所以
，设
，
则
，
因为
，所以
，
，
因为当
时，
恒成立，
所以
，即
，
故
在
上单调递增，
又
，
，且函数
是
上的奇函数，
所以
，故
有三个零点． 所以C 正确；
对于D：当
时，
因为
在
上单调递增，
，
，所以
；
当
时，因为
，
，
，
，
，
由奇函数
在
上单调递增，所以
；
所以当
时，
.所以D 正确.
故选：ACD．
【点睛】关键点睛：探究函数
零点个数和根据函数值
，求解变量
的关键是巧妙赋值实现
，从而结合奇偶性探究得出函数在R 上的单调性.
