文档文本内容
第02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最
值
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 单调性...................................................................................................................4
知识点2 奇偶性...................................................................................................................6
知识点3 周期性...................................................................................................................7
知识点4 对称性...................................................................................................................8
题型破译................................................................................................................................................9
题型1 确定函数的单调性及求单调区间...........................................................................9
题型2 复合函数的单调性
...........................................................................................11
题型3 比较大小
...........................................................................................................13
题型4 利用单调性解函数不等式.....................................................................................15
题型5 利用单调性求参数的取值范围
......................................................................17
题型6 求最值（值域）.....................................................................................................19
题型7 判断函数的奇偶性.................................................................................................21
题型8 根据奇偶求解析式
..........................................................................................24
题型9 利用奇偶求函数值或参数.....................................................................................27
题型10 利用奇偶和单调解不等式
...............................................................................29
题型11 函数的周期性
...................................................................................................32
题型12 函数的对称性.........................................................................................................34
题型13 对称、周期的综合
...........................................................................................38
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................41
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................46
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）根据分段函数的单调性求
参数
（2）求函数值
（3）抽象函数的关系
（4）函数奇偶性的定义与判断
（5）函数奇偶性的应用
（6）函数对称性的应用
单选题
多选题
填空题
解答题
全国一卷，第5
题，5 分
全国二卷，第10
题，6 分
北京卷，第15 题，
5 分，
天津卷，第3 题，5
分
新课标I 卷，第6
题,5 分
新课标I 卷，第8
题,5 分
新课标Ⅱ卷，第6
题,5 分
新课标Ⅱ卷，第11
题,6 分
天津卷，第4 题，5
分
上海卷，第4 题，4
分
新课标全国I 卷，第
4 题,5 分
新课标全国I 卷，第
11 题,5 分
新课标全国Ⅱ卷，第
4 题,5 分
全国乙卷理，第4
题，5 分
全国甲卷理，第13
题，5 分
北京卷，第4 题，4
分
考情分析：
本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是
新高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6 分.
复习目标：
1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
知识点1 单调性
一、函数的单调性
1．函数单调性的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数
的定义域为
，如果对于定义域
内某个区间
上的任
意两个自变量的值
，
[
当
时，都有
，
那么就说函数
在区间
上是增
函数
当
时，都有
，
那么就说函数
在区间
上是减
函数
图象
描述
自左向右看，图象是上升的
自左向右看，图象是下降的
设
，
，
若有
或
，则
在闭区间
上是增函数；
若有
或
，则
在闭区间
上是减函数
2．单调区间的定义
若函数
在区间
上是增函数或减函数，则称函数
在这一区间上具有（严格的）单调性，
区间
叫做函数
的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同
一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是
”与“函数在区间
上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然
.
3．函数单调性的常用结论
（1）若
均为区间A 上的增(减)函数，则
也是区间A 上的增(减)函数；
（2）复合函数的单调性：函数
在函数
的定义域上，如果
与
的单调性相同，那么
单调递增；如果
与
的单调性相反，那么
单调递减．简记：“同增异减”．
（3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（4）一些重要函数的单调性：
①
的单调性：在
和
上单调递增，在
和
上单调递减；
②
（
，
）的单调性：在
和
上单调递增，在
和
上单调递减．
二、函数的最值
前提
设函数
的定义域为
，如果存在实数
满足
条件
对于任意的
，都有
；
存在
，使得
对于任意的
，都有
；
存在
，使得
结论
为最大值
为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值
域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
自主检测（多选）下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】显然
在
上单调递减；因为
在
上单调递减，所以
在
上单
调递增；又
的图象关于直线
对称，所以
在
上单调递减；由
知，其图象关于直线
对称，所以
在
上单调递增．
知识点2 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
图象关于
轴对称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，
也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；
（2）
，
在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
（3）若奇函数的定义域包括
，则
．
（4）若函数
是偶函数，则
．
（5）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数
为偶函数，函数
为奇函数．
②函数
（
且
）为奇函数．
③函数
（
且
）为奇函数．
④函数
（
且
）为奇函数．
自主检测下列函数是偶函数的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可.
【详解】根据所学知识，知道
为奇函数，
为偶函数，
为非奇非偶函数.
故选：B.
知识点3 周期性
1．周期函数
对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
，
那么就称函数
为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2．函数周期性的常用结论
设函数
，
.
①若
，则函数的周期为
；②若
，则函数的周期为
；
③若
，则函数的周期为
自主检测设
是以
为最小正周期的周期函数，且当
时，
，则
，
．
【答案】
/
【分析】根据函数解析式和周期函数即可求解.
【详解】解析：
，
，
故答案为：
；
知识点4 对称性
1．函数自身的对称性
（1）函数y=f ( x)的图像关于点A(a，b)对称的充要条件是：
f ( x)+f (2a−x)=2b ，即f (a−x)+f (a+x)=2b ；
（2）函数y=f ( x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是：
f (a+x)=f (a−x)，即f ( x)=f (2a−x)。
2．不同函数对称性
（1）函数y=f (a+x)与y=f (b−x)的图像关于直线x=b−a
2
成轴对称。
（2）互为反函数的两个函数关于直线y=x 对称。
自主检测（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，满足
为奇函数，
为
偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数
为奇函数，
为偶函数的条件，建立关于
的方程，通过带入特定值
推导各选项的函数值即可.
【详解】根据题意，因为函数
为奇函数，所以
，
即
， 所以
的图象关于点
成中心对称，所以
.
又因为
为偶函数，所以
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，所以
.
故选：D.
题型1 确定函数的单调性及求单调区间
例1-1 若函数
在
上是减函数，且
，则下列选项错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在
上是减函数，
，所以
，A 正确；又
，所
以
，
，B，C 正确，D 错误．
例1-2 函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】作出函数
的图象，如图所示．由图象得
的单调递增区间为
和
．
【变式训练1-1】（多选）已知函数
在
上是增函数，则下列说法错误的是（ ）
A．
在
上是减函数
B．
在
上是减函数
C．
在
上是增函数
D．
（a 为实数）在
上是增函数
【答案】BCD
【详解】设
，则必有
，所以
，所以选项A 一定成立；其余三项不一
定成立，如当
时，B，C 不成立；当
时，D 不成立．
方法技巧
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
【变式训练1-2】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间.
【详解】函数
，
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调递增区间为
.
故选：A
【变式训练1-3】函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
,
【分析】利用分段函数思想，来作出图象，即可得单调增区间.
【详解】
，
画出函数图象，如图所示，
根据图象知，函数的单调递增区间为
和
．
故答案为：
，
．
题型2 复合函数的单调性
例2-1 函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
有意义，则
，解得
．设
，其图象开口向下，对称
轴为直线
，当
时，
单调递增，当
时，
单调递减．又
在定义域内
单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当
单调递增时，
单调递增．
例2-2（2025·江西·二模）若函数
在区间
上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数
在区间
上单调递增，且
单调递增，
可得
在区间
上单调递增，所以
.
故选:D.
方法技巧
复合函数的单调性：函数
在函数
的定义域上，如果
与
的单调性相同，那么
单调递增；如果
与
的单调性相反，那么
单调递减．简记：“同增异减”．
【变式训练2-1】（多选）已知函数
是定义在
上的偶函数，
是定义在
上的奇函数，且
，
在
上都单调递增，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
在
上单调递增
D．
在
上单调递增
【答案】AB
【分析】根据奇偶性定义可判断AB；根据复合函数单调性可判断CD.
【详解】
，所以A 正确；
，所以B 正确；
取
，则
在
上单调递减，所以C 错误；
取
，
，则
在
上单调递减，所以D 错误．
故选：AB
【变式训练2-2·变考法】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数定义域，由复合函数的单调性法则，外函数
是增函数，要求函数的递增区间，则
求内函数
递增区间即可.
【详解】由题得由
，得
，
解得
，即函数定义域为
，
因为函数
是增函数，故求函数
的单调递增区间即求函数
在
上的单调递增区间，
令
，则
，
所以函数
的递增区间为
.
故选：D.
【变式训练2-3·变载体】（2025·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的值域为
C．不存在
，使得
D．
在区间
上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义判断A；换元并利用余弦函数值域判断B；举例说明判断C；利
用复合函数单调性判断D.
【详解】对于A，函数
的定义域为R，
，因此
为偶函数，A 正确；
对于B，令
，函数
是R 上增函数，值域为R，函数
的值域为
，
因此
的值域为
，B 正确；
对于C，由选项B 知，存在唯一
使得
，则
，
且
，因此存在
，使得
，C 错误；
对于D，函数
在
上单调递增，
，
而函数
在
上单调递减，因此
在区间
上单调递减，D 正确.
故选：ABD
题型3 比较大小
例3-1 若
，则以下不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先构造函数判断出
最小，再依据函数单调性去比较
的大小即可解决.
【详解】令
，则
，
由
，得
，由
，得
，
即当
时
单调递减，当
时
单调递增，
即当
时
取得最小值
，
则有
，
，即
，
，
又
，
综上
的大小关系为
.
故选：A
例3-2（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点
在幂函数
的图象上，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义可求得
的值，根据
可求出
的值，然后利用该函数的单调性可得出
、
、的大小关系.
【详解】因为点
在幂函数
的图象上，则
，解得
，
所以
，可得
，故
，
因为
，
，
，
且函数
在
上为增函数，
又因为
，则
，故
.
故选：C.
方法技巧
1.利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
2.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质
3.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x 轴是它的水平渐近线
4.进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性
进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
【变式训练3-1】已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.
【详解】因为
，
，
，构造函数
，
因为
，由
，得到
，
由
，得到
，所以
在区间
上单调递减，
因为
，
，
，
因为
，所以
，故选项A，C，D 错误，选项B 正确，
故选：B.
【变式训练3-2】（2025·山西·一模）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断.
【详解】因为函数
在
上是减函数，
，所以
，
又
，所以
.
故选：
.
题型4 利用单调性解函数不等式
例4-1（2025·广西桂林·一模）函数
.若
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析函数
的对称性和单调性，再利用函数性质比较函数值的大小.
【详解】
，
关于
对称.
当
时：
为增函数，
也为增函数，所以
在
上为增函数，
关于
对称
在
为减函数，
，
，
.
故选：A.
例4-2 已知
为R 上的可导函数，其导函数为
，且对于任意的
，均有
，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】构造函数
，利用导数判断函数的单调性，根据
且
可得答案.
【详解】构造函数
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
故
，
即
，
即
.
同理，
，
即
.
故选 ： A.
【变式训练4-1】已知
是定义在区间
上的增函数，且
，则
的取值范围是
．
【答案】
【详解】由题意，得
解得
①．因为
是定义在区间
上的增函数，且
，所以
，解得
②．综合①②得
．所以
的取值范围是
．
【变式训练4-2·变载体】（2025·河南·二模）已知函数
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分类讨论解不等式, 再构造函数求导判断函数的单调性求解．
【详解】当
时，
，得
，解得
或
（舍去）；
当
时，令
，则
，
所以当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，即当
时，
恒成立，
所以当
时，不等式
无解.
综上，所求不等式的解集为
.
故选：A.
题型5 利用单调性求参数的取值范围
例5-1 已知
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，得
解得
，函数
的定义域为
．又
，所以函数
是定义在
上的偶函数．
，所以
在
上单调递减．又
，所以
解得
．
例5-2（2025·江西宜春·一模）已知函数
在
上的最小值是1，则
.
【答案】
/
【分析】分三类
，
，
，由复合函数的单调性判断
的单调性，即可求出最小值.
【详解】若
，则
，
在
上单调递增，最小值为
，不符合
题意；
若
，则
的定义域为
，
且由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
则最小值为
，解得
，不符合题意；
若
，则
的定义域为
，
由题意可得
，则
，
此时由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
则最小值为
，解得
，符合题意；
综上，
.
故答案为：
【变式训练5-1】如果函数
在区间
上是单调递增的，则实数
的取值范围
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数
在区间
上为单调递增函数，
当
时，
在
上为单调递增函数，符合题意；
当
时，则满足
，解得
，
综上可得，实数
的取值范围为
.
故选：D.
【变式训练5-2】若函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数
在
上单调递增，则
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
【变式训练5-3】已知函数
在
上单调递增，则实数
的值可以是 ．（写出满足条件
的一个值即可）
【答案】0（答案不唯一，
）
【详解】依题意，函数
，显然函数
在R 上单调递增，
而函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
在
上单调递增，于是
，则
，解得
，
实数
的值可以是0.
故答案为：0（答案不唯一）
题型6 求最值（值域）
例6-1
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，即
．又
在
上单调递增，故
当
时，函数取最大值为
，即
的值域为
．
例6-2 已知幂函数
的图象过点
，则函数
在区间
上的最小值是 ．
【答案】
【详解】由已知得
，解得
，所以
在区间
上单调递增，则
．
方法技巧 （1）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调
性相反；
（2）一些重要函数的单调性：
①
的单调性：在
和
上单调递增，在
和
上单调递减；
②
（
，
）的单调性：在
和
上单调递增，在
和
【变式训练6-1】函数
的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6
B．1，3
C．1，4
D．1，6
【答案】C
【详解】函数
在区间
上单调递减，把6，3
分别代入得
．
【变式训练6-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数
，则
在
上的最大值为
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【分析】先利用换元法求出
的解析式，再利用定义法求证
在
上的单调性即可求出.
【详解】
，令
，则
，
则
，
且
，则
因
，则
，则
，
又
，则
，即
，
则
在
上单调递增，
则
的最大值为
.
故选：C
题型7 判断函数的奇偶性
例7-1（多选）下列函数是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】在A 中，
的定义域关于原点对称，且
，则
是偶函
数；在B 中，
的定义域关于原点对称，且
，则
是偶函数；
在C 中，
的定义域关于原点对称，且
，则
是奇函
数；在D 中，
的定义域关于原点对称，
，则
，则
是奇函数．
例7-2 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性的定义、复合函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A 选项，函数
的定义域为
，
因为
，
，故
，
所以，函数
不是奇函数，A 不满足；
对于B 选项，对于函数
，由
可得
，解得
，
所以，函数
的定义域为
，
因为
，故函数
为奇函数，
因为内层函数
在
上单调递减，
外层函数
为增函数，故函数
在定义域
上单调递减，B 不满足；
对于C 选项，函数
的定义域为
，
，
故函数
为偶函数，C 不满足；
对于D 选项，对任意的
，
，即函数
的定义域为
，
，即函数
为奇函数，
因为
，
内层函数
为增函数，外层函数
在
上为增函数，
所以，
在定义域
上为增函数，D 满足.
故选：D.
方法技巧 常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
【变式训练7-1】（2025·云南曲靖·二模）（多选）下列函数中，既是偶函数，又在
上单调递增的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】求出各个函数的定义域，代入
判断函数奇偶性，进而结合二次函数以及对数函数的性质，即
可得出单调性.
【详解】设
，
，
，
对于A 项，易知
定义域为R，
且
，所以
为偶函数.
根据二次函数的性质可知，
在
上单调递增.故A 正确；
对于B 项，
定义域为R，
且
，所以
不是偶函数.故B 错误；
对于C 项，
定义域为
，
且
.
当
时，
在
上单调递增.故C 正确；
对于D 项，
定义域为
，
且
，所以
为奇函数.故D 错误.
故选：AC.
【变式训练7-2】下列函数为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于选项B，当
时，
，而当
时，函数无意义，故选项B 也是非奇非偶函数；对于选项C，令
，无论x 取
何值都满足
．
【变式训练7-3】（2026 高三·全国·专题练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，
的定义域为
，
，
为奇函数，A
不是；
对于B，
的定义域为
，
，
为偶函数，B 是；
对于C，
的定义域为
，该函数为非奇非偶函数，C 不是；
对于D，
的定义域为R，
，该函数为偶函数，D 是.
故选：BD
题型8 根据奇偶求解析式
例8-1 已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则当
时，
【答案】
【分析】根据条件得到
时，
，又
，求出答案.
【详解】当
时，
，故
，
又
是定义在
上的奇函数，故
，
所以
，故
.
故答案为：
例8-2（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当且仅当
时，
，则当
时，
的解析式为 .
【答案】
.
【分析】利用奇函数的定义，将求
时的解析式转化为
时的情况，直接代入已知解析式即可.
【详解】解析：因为
是奇函数，当
时，
，
所以当
时，
.
故答案为：
.
【变式训练8-1】已知函数
满足
，当
时，
，当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先设
时，
代入再结合函数是奇函数得出函数的解析式即可.
【详解】当
时，
，
又
．
故选:C．
【变式训练8-2·变考法】定义在
上的奇函数有最小正周期为2，且
时，
．
(1)求
在
上的解析式；
(2)
取何值时，方程
在
上有解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当
时，
，利用奇函数性质可求
在
上的解析式，利用周期性
和奇偶性可得
；
（2）求出单调性，画出
的图象，利用图象交点可得
的范围.
【详解】（1）
时，
，则
，
因
为奇函数，则
；
因
的最小正周期为
，则
，
又
，则
，
则
（2）
，且
，则
，
因
，则
，
，
则
，即
，则
在
上单调递减，则
；
利用奇函数性质可得，
在
上也单调递减，且
，
画出图象如图所示，
由图象可知，则
或
或
时，
与
的图象有交点，
即方程
在
上有解，故
．
题型9 利用奇偶求函数值或参数
例9-1 已知函数
是奇函数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】方法一：根据
，得到方程，求出
；方法二：根据
得到方程，
求出
，经检验，满足
，故
.
【详解】方法一：
，
令
，解得
，故定义域为
，
则
，
因为
是奇函数，所以
，即
，
故
，因此
；
方法二：
，故
，
即
，故
，解得
，
故
，
令
，解得
，故定义域为
，
所以
，故
为奇函数.
故选：A.
例9-2 若函数
为偶函数，则实数a 的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【详解】因为
为偶函数，
为奇函数，所以
为奇函数，所以
，所以
．
【变式训练9-1】若函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质
来求解
的值，进而得出
的值.
【详解】由题可得
的定义域为
.
因为
为偶函数，所以其定义域关于原点对称，所以
，
.
所以
，则
，
因为对任意的
，
恒成立，
所以
，所以
.
故选：C.
【变式训练9-2】（2025·湖南长沙·二模）若函数
为奇函数，则
．
【答案】
【分析】根据辅助角公式得出
，再根据奇函数的性质求出
的值，得出答案.
【详解】由辅助角公式，得
，其中
．
又因
为奇函数，则有
，即
，故
（
），
于是
，故
．
故答案为：
.
【变式训练9-3】已知定义域为
的奇函数
，则
的值为
．
【答案】0
【详解】因为函数的定义域为
，所以
，得
．因为
，即
，得
，所以
，所以
．
【变式训练9-4】（2025·浙江·三模）已知函数
，为奇函数，则
．
【答案】-3
【分析】可根据奇函数的性质
来求解
与
的值，进而得到
的值．
【详解】因为函数
为奇函数，
所以，当
时，
，
，
所以
，
，
所以
．
故答案为：
.
题型10 利用奇偶和单调解不等式
例10-1（2025·山西临汾·三模）已知
，则满足
的实数m 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函
数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案.
【详解】由
，易知其定义域为
，
由
，则函数
为偶函数，
，
由
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，则
，即
，
整理可得
，分解因式可得
，
解得
.
故选：A
例10-2 设函数
是定义在R 上的偶函数，当
时，
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【分析】当
时解不等式
求出
，再根据函数
为偶函数可得答案.
【详解】当
时，由
，得
，
解得
．又因为函数
为偶函数，所以函数
的图象关于
轴对称，
所以当
时，不等式
的解集为
，
所以不等式
的解集为
．
故答案为：
．
【变式训练10-1】已知函数
是定义在
上的偶函数，且当
时，
单调递增，则关于x
的不等式
的解集是 ．
【答案】
【详解】由题意得
．关于x 的不等式
，即
，所以
．又
定义在
上，且当
时，
单调递增，所以
，解得
或
．
易错警示 解题中易忽视函数的定义域．
【变式训练10-2】已知函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递减.若实数a 满足
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意，知
，所以
.又函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递减，所以
，即
或
，所以
或
.
【变式训练10-3·变考法】已知函数
，若关于
的不等式
有解，
则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造函数
，通过其单调性奇偶性，得到
在
上有解，求得最值，
进而可求解；
【详解】设
，
因为
，
在R 上单调递增，所以
在R 上单调递增，
又
，则
是奇函数，
由
，可得
，
即
，
，即
在
上有解，
令
，则
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
题型11 函数的周期性
例11-1（2025·青海海东·三模）（多选）定义在
上的函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2 为
的一个周期
【答案】ACD
【分析】根据给定条件求得函数
的周期，再逐项分析判断.
【详解】对于D，由
，得
，则2 为
的一个周期，D 正确；
对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确.
故选：ACD
例11-2 已知
是定义在
上的周期为3 的奇函数，且
，则
．
【答案】
【分析】利用函数的周期性得
，由已知条件可知
，即可求值.
【详解】由题意知
，又
，且
，
所以
，所以
，即
．
所以
．
故答案为：
方法技巧
【变式训练11-1】已知定义在R 上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
．
【答案】
/0.125
【分析】由
可得函数
的周期为3，再结合奇函数的性质求解即可.
【详解】由
知，函数
的周期为3，又函数
为奇函数，
所以
．
故答案为：
.
【变式训练11-2·变考法】定义在R 上的函数
满足
，当
时，
，当
时，
，则
．
【答案】339
【分析】利用条件可得
的周期，再利用函数解析式和周期性计算出
至
，再利用
，从而将目标转化为一个周期内的函数值的运算.
【详解】因为
，所以
，则
，
所以
的周期
，
当
时，
，则
，
，
则
，
，
当
时，
，则
，
，
，
，
则
，
，
则
，
，
而
，
所以
．
故答案为：339.
题型12 对称性
例12-1（2025·四川·三模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性可得
为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.
【详解】因为
，则
为奇函数，
所以
的图象关于原点对称，
函数
的图象可由
的图象先向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位得到，
所以函数
的图象关于点
对称．
故选：A
例12-2 已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象有对称轴
B．
的图象有对称轴
C．
的图象有对称中心
D．
的图象有对称中心
【答案】D
【分析】只需计算
，验证
即可求解.
【详解】
，
，所以
，所以
的图象
有对称中心
，故A 错误，D 正确；
，
，
所以
，
，故B 错误，C 错误，
故选：D.
方法技巧
1.中心对称结论：
（1）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（2）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（3）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
.
2.轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（2）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（3）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称；
【变式训练12-1】（2025·重庆·三模）设函数
的定义域为
，
是
的导函数.若
是奇
函数，则
的图象（ ）
A．关于
对称
B．关于
对称
C．关于
对称
D．关于
对称
【答案】B
【分析】由题意得
，求导得
，即可求解.
【详解】因为
是奇函数，所以
，即
，
对其求导，则有
，所以
关于直线
对称.
故选：B
【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断：
（1）对于
，若
，则函数
周期为
；
（2）对于
，若
，则函数
关于直线
对称；
（3）对于
，若
，则函数
关于点
对称.
【变式训练12-2】（多选）设函数
满足
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于
中心对称
C．
是函数
的图象的一条对称轴
D．
【答案】AD
【分析】围绕函数
，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对
称中心以及计算函数值的和等性质.
【详解】对于A，令
，代入等式可得
.得到
，开方后解得
，所以
A 选项正确.
对于B，令
，则原等式变为
.
因为前面已求得
，所以
，即
，移项可得
.
根据偶函数的定义，可知函数
是偶函数，所以B 选项错误.
对于C，令
，原等式变为
.
由于
，则
，即
.
令
，则
，那么
.
根据周期函数的定义，所以
是函数
的一个周期.
当
，
时，可得
，
可得
，①；
当
时，可得
②.
由①+②可得
，由于
，
所以
，
代入②式得到
，由于
，进而解得
.
令
，原等式变为
.
因为
，所以
，移项可得
.
又因为
，所以
.
根据函数对称中心的性质可知
是函数
图象的一个对称中心.
因为
是函数
的一个周期，
，所以
也是函数
图象的一个对称中心，
所以C 选项错误.
对于D，根据前面的分析，有
，
，
，
，且
是函数
的一个周期，
所以
.
因为
，所以
，所以D 选项正确.
故选：AD.
【变式训练12-3·变考法】（2025·湖北·模拟预测）若函数
的图象关于直线
对称，
则
．
【答案】4
【分析】由题意可得对任意
，恒有
成立，进而求解即可.
【详解】由题意知，对任意
，恒有
成立，
即
恒成立，化简得
，
故只能
，又
，则
．
故答案为：4.
题型13 对称、周期的综合
例13-1 已知定义在
上的奇函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】推导出函数
是周期为
的周期函数，结合函数
的周期性和奇函数的性质可求得
的值.
【详解】因为定义在
上的奇函数
满足
，
所以
，所以
，即
，
所以
是周期为
的周期函数，且
，
，
所以
．
故选：C．
例13-2 已知函数
的定义域为
为偶函数，
为奇函数，则
．
【答案】
【分析】根据奇偶性得到
，进而推导出
是周期为4 的函数，利用周期性求函数值
即可.
【详解】由
为偶函数，
，即
，
由
为奇函数，
，即
，
所以
，即
，即
，
所以
，即
是周期为4 的函数，
所以
，又
，
所以
.
故答案为：
方法技巧 ①两中心
②两垂直轴
③一个中心
，一条轴
【变式训练13-1】已知
是定义在
上的偶函数且
，
是奇函数，则
．
【答案】0
【分析】利用奇偶性和周期性的定义得到
的周期为4，再利用赋值法求出前几项的函数值，再求和即
可.
【详解】
是
上的偶函数，且
为奇函数，
的图象关于点
对称，得到
，
，
，
故
，即
的周期为4，
是
上的偶函数，
的图象关于点
对称，
，由已知得
，
对于
，当
时，得到
，
当
时，得到
，当
时，
，
，
.
故答案为：
【变式训练13-2】已知定义在R 上的函数
，对任意实数x 都有
，若函数
的图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】先利用图象变换得出
为偶函数，再利用
得出
的周期，进而利用周
期性和对称性即可求解.
【详解】将函数
的图象向左平移个单位即可得到函数
的图象，
由函数
的图象关于直线
对称，
可知函数
的图象关于y 轴对称，故
为偶函数，
又由
，得
，则
，
所以
是周期为8 的偶函数，则
．
故选：B.
【变式训练13-3·变考法】（2025·宁夏银川·三模）（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是周期为3 的周期函数
D．
【答案】BCD
【分析】由
可判断A，由
，得到
，可判断C，由
和
可判断B，由周期性，奇偶性可判断D.
【详解】对于A，
，所以
不是奇函数，错误；
对于B：因为
为奇函数，
所以
，
由
，可得：
，
所以
，即
，
所以
，偶函数，正确；
对于C：由
，
可得
，所以
是周期为3 的周期函数，正确；
对于D，
，
所以
，
由周期性可得：
故选：BCD
1.（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入
可得
，可排除D.
【详解】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
2.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小关系，结合符号
分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析
的符号，进而可得
的符号，即可得
，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求
、
的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
3.（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
4.．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
5.．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数
的定义域为
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例
即可排除选
项D.
方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数
进行判断即可.
【详解】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值点，故D 错误.
故选：
.
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出
值，再检验即可.
【详解】因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称.
，
故此时
为偶函数.
故选：B.
8．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到
，从而求得
，再检验即可得解.
【详解】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
1．图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断各选项中函数的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.
【详解】对于A 选项，当
时，
，A 选项不满足条件；
对于B 选项，当
时，
，
，B 选项不满足条件；
对于C 选项，令
，该函数的定义域为
，
，
故函数为偶函数，当
时，
，由三角函数图象可知，C 选项满足条件；
对于D 选项，当
时，
，D 选项不满足条件.
故选：C.
2．已知
(1)求
和
；
(2)求函数
的值域．
【答案】(1)
，
，
.
(2)
【分析】（1）根据函数
的解析式，代入即可求解；
（2）解法1：由
，得到
，函数
的值域；
解法2：根据题意，转化为
应该有解，结合
，即可求得函数
的值域．
【详解】（1）解：由函数
，
可得
，
，
.
（2）解法1：因为
，可得
恒成立，可得
，所以
，
即函数
的值域为
.
解法2：假设是所求值域中的元素，则关于
的方程应该有解，即
应该有解，
从而
，即
，解得
，所以函数
的值域为
．
3．讨论下列函数的单调性：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)在
上单调递减，在
上单调递增.
【分析】（1）结合二次函数的图像即可；
（2）利用导数判断单调性.
【详解】（1）
，定义域为R，开口向上，对称轴
，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）
,定义域为R，
，令
，
，
，
所以函数在
上单调递减，在
上单调递增.
4．已知函数
在定义域R 上是减函数，求实数a 的取值范围．
【答案】
【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值.
【详解】要想满足
在R 上是减函数，
则二次函数
的对称轴
，且
，
解得
，
所以实数a 的取值范围是
.
5．函数
是周期为2 的周期函数，且
，
．
(1)画出函数
在区间
上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求
的值；
(3)求
在区间
上的解析式，其中
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
；
(3)
，
.
【分析】（1）根据周期性及已知区间解析式画出函数图象，数形结合确定单调区间、零点、最值；
（2）利用周期性求函数值即可；
（3）由
，代入已知解析式，根据周期性即可得解析式.
【详解】（1）由
的周期性及
上解析式，得区间
上的图象如下：
由上图知：增区间为
，减区间为
；
零点为
共3 个；最大值为1，最小值为0.
（2）由题设
.
（3）令
且
，则
，
又
，则
，即
，
综上，在区间
上
，
.
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
．
【答案】(1)非奇非偶函数；
(2)非奇非偶函数；
(3)奇函数
(4)偶函数
(5)奇函数
【分析】首先根据对数函数定义判断出各函数定义域，可得（1）（2）中的两函数定义域不关于原点对称，
所以（1）（2）为非奇非偶函数；对（3）（4）（5）中的函数再利用奇偶性的定义可分别判断出（3）
（5）为奇函数，（4）为偶函数.
【详解】（1）由对数函数定义可知
需满足
，解得
；
即函数
的定义域为
，显然定义域不关于原点对称，
所以函数
为非奇非偶函数；
（2）由对数函数定义可知
需满足
，
解得
，所以
，
即函数
的定义域为
，显然定义域不关于原点对称，
所以函数
为非奇非偶函数；
（3）由对数函数定义可知
需满足
，解得
，
即函数
的定义域为
，显然关于原点对称，
且易知
，满足
；
所以函数
为奇函数.
（4）对于函数
可得
对于
恒成立，
即函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
，满足
；
所以函数
为偶函数；
（5）对于函数
可知
对于
恒成立，
即函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
，满足
；
所以函数
为奇函数.
