专题2.1 函数性质（单调性、奇偶性、中心对称、轴对称、
周期性）
近三年：1、函数的性质是近3 年的高考命题热点，包括单调性、奇偶性、周期性与对称性；单一性质的
题目减少，综合题成为绝对主流。特别是对称性+周期性的组合，是近年选择题压轴的热门模型。例如，
给出一个函数有两条对称轴或一个对称中心加一条对称轴，推导其周期性，然后进行函数值求和。
2 会以基本初等函数、抽象函数或新定义/新情境函数为载体进行考核，内容贴近实际应用；
以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度较为稳定，重点是集合间的基本运算．
3 解题方法上注重数形结合与转化化归，确定数学思考的渗透。
预测2026 年：可能以选填题的形式考核：① “四性”综合小题：对称性与周期性的综合题仍是压轴小题
的最大热门；② 比较大小，利用单调性比较指数、对数、幂函数值的大小，可能涉及中间量法；③函数
零点问题：判断零点个数或所在区间，本质是函数与方程思想的应用，需结合单调性和零点存在定理。若
出现在解答题中，会结合导数一起，会涉及到分类讨论，题目信息更接近生活，需要有较好的函数建模能
力与应用意识。
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题型01 奇偶性的基础
解｜题｜策｜略
1 判断函数的奇偶性的方法有
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求f (- x) , 看下与f ( x)的关系：
若f (- x)= f ( x)，则y = f (x)是偶函数；若f (- x)=- f ( x)，则y = f (x)是奇函数.
② 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
2 奇偶性的性质
① 偶函数关于y轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数f ( x)定义域内含有0，则f (0)=0。
1（2025·广东佛山·一模）设f (x)是定义在R上的奇函数,当x>0时，f (x)=3+log2 x,则f (-2)=（ ）
A．7
2
B．- 7
2
C．4
D．-4
2（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数f (x)=
xcos x
(2 x -1)(2 x +a)为奇函数，则a=（ ）
A．－1
B．1
C．0
D．－2
3（25-26 高三上·辽宁·期中）设函数f (x)=|x
3-3 x|，则方程f (x)=1的所有解之和为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．3
题型02 单调性求参数
解｜题｜策｜略
1 根据函数的特性，结合图象分析；
2 若已知分段函数的单调性，则先由单调性确定各段函数的参数取值范围，再数形结合使得各段函数之
间也形成单调性，最终得到参数范围或其值；
3 若函数是奇偶函数，可先处理y轴右侧函数部分，利用函数单调性求出参数，再结合对称性得到最后
结果。
1（25-26 高三上·安徽淮北·期中）已知函数f (x)=¿在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[3,+ ∞)
B．[-3,-1]
C．(-∞,-1]
D．[-3,-1)
2（25-26 高二下·浙江·月考）已知函数f ( x)=-
1
4
x+1
+2 x
3+ 3
2，若对任意x∈[-2,2]，都有
f ( x +1)+ f (a- x
2)>2，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a< 4
5 }
B．{a∣a<5}
C．{a|0<a< 4
5 }
D．{a∣a>5}
3（25-26 高三上·江西·期中）已知函数f (x)= x -sin x +1，则满足不等式f (m+2)+ f (2m-1)<2的实数m
的取值范围是（ ）
A．{m|m<- 1
3}
B．{m|m>- 1
3}
C．{m|m<3}
D．{m|m>3}
4（25-26 高一上·辽宁·期中）已知函数f ( x)=¿，若对于任意的x1, x2∈[2,+ ∞)，且x1< x2
，都有
x2f (x1)- x1f (x2)<a x1 x2
2-a x1
2 x2
成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．(- 3
2 ,4]
B．(
1
2 ,4]
C．[
1
2 ,4]
D．[
1
2 ,+ ∞)
题型03 单调性与奇偶性综合
解｜题｜策｜略
1 奇函数在y轴两侧的单调性相同，偶函数在y轴两侧的单调性相反；
2 处理奇偶函数的单调性，可以只需要严谨函数在y轴右侧的单调性便可；
3 单调性与奇偶性结合的题目，常常用到数形结合，注意奇偶性的性质的运用。
1（25-26 高三上·安徽·期中）已知函数f (x)是定义在(-∞,0)∪(0,+ ∞)上的奇函数，且当x>0时，
f (x)= x
3-3 x -2，则满足xf (x +1)>0的x的取值范围是（ ）
A．(-∞,-3)∪(0,1)
B．(-3,0)∪(1,+∞)
C．(-3,0)∪(-1,0)
D．(-∞,-3)∪(-1,0)∪(1,+∞)
2（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-8,8]上的大致图象，则该函数可
能是（ ）
A．f (x)= x
4sin x
e
x+e
- x
B．f (x)= x
4(sin x - x)
e
x+e
- x
C．f (x)= x
4cos x
e
x+e
- x
D．f (x)= x
4(cos x - x)
e
x+e
- x
3（25-26 高三上·广东惠州·期中）已知函数f ( x)=e
x+ae
- x，则下列说法正确的是（ ）
A．当a=1时，函数f ( x)为奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．当a=1时，函数f ( x)为偶函数，且在(0,+ ∞)单调递减
C．当a=-1时，函数f ( x)为奇函数，且在(0,+∞)单调递增
D．当a=-1时，函数f ( x)为偶函数，且在(0,+∞)单调递减
题型04 抽象函数的单调性与奇偶性
解｜题｜策｜略
判断抽象函数的单调性或奇偶性，我们都是利用它们的定义判断。
1（2025·辽宁·一模）对任意x , y ∈R，都有f (x + y)f (x - y)= f
2(x)- f
2( y)，且f ( y)不恒为0，函数
g(x)= (1- x)
2+sin x
1+ x
2
+ f (x)，则g(2)+ g(-2)=（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
2（2025 高三·上海·专题练习）已知定义在R上的函数f (x)满足2f (x + y)f (x - y)= f (x)+ f ( y)，且f (0)≠0，
则（ ）
A．f (0)=2
B．y = f (x)为奇函数
C．y = f (x)有零点
D．f (2 x)= f (x)
3（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的单调函数f (x)，满足∀x，y ∈R，f (xy)= f (x)f ( y)，
则下列说法不正确的是（ ）
A．f (1)=1
B．f (x)可能是单调递减函数
C．f (x)为奇函数
D．若f (8)=2，则f (2
n)=2
n
3
题型05 判断函数周期性
解｜题｜策｜略
1 对于函数y = f ( x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
f ( x +T )= f ( x)都成立，那么把函数y = f ( x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.
2 若f ( x +a)= f ( x +b)，则y = f ( x)的周期是T =a-b.
3 若f ( x +a)=- f ( x)，则y = f ( x)的周期是T =2a；
4 若f (x +a)=
1
f (x)，则y = f ( x)的周期是T =2a.
1（2025·福建泉州·模拟预测）定义在R上的奇函数f (x)满足f (x +2)= f (x)，且当0< x ≤1时，f (x)=- x
2+ x，
则f(
11
2 )=（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．1
4
D．- 1
4
2（25-26 高三上·广东广州·期中）已知定义域为R的函数f (x)满足f (- x)=- f (x)，f (2+ x)+ f (4 - x)=0，
当0≤x ≤3时，f (x)= x
2+ax，则f (8)=（ ）
A．-2
B．2
C．-3
D．3
3（25-26 高三上·山东泰安·期中）已知定义在R上的函数f (x)，g(x)，其导函数分别为f
' (x)，g
' (x)，
f (x)+ g
' (x)=2，f (x)- g
' (2- x)=2，且g(x +2)为奇函数，则f (2024)+ f (2025)+ f (2026)=（ ）
A．6
B．4
C．2
D．0
题型06 抽象函数的赋值问题
解｜题｜策｜略
1 对于抽象函数的赋值问题，先要确定抽象函数的结构，大胆进行尝试，往往赋予一些特殊值（如取
x =0等）或特殊关系（如取y = x , y =- x等）。
2 了解常见的抽象函数模型
特殊模型
抽象函数
正比例函数f (x)=kx( x≠0)
f (x + y)= f (x)+ f ( y)
幂函数f (x)= x
α
f (xy)= f (x)f ( y)或f(
x
y)= f (x)
f ( y)
指数函数f (x)=a
x (a>0 且a≠1)
f (x + y)= f (x)f ( y)或f (x - y)= f (x)
f ( y)
对数函数f (x)= loga x (a>0 且a≠1)
f (xy)= f (x)+ f ( y)或f(
x
y)= f (x)- f ( y)
3 遇到数值较大的，往往要用到函数的周期进行运算。
1（25-26 高三上·浙江温州·月考）已知函数f (x)的定义域为R，f (x)+ f (2- x)=0，f (x +2)为偶函数，且
f (2)=1，则f (2025)+ f (2026)=（ ）
A．47
B．-1
C．1
D．2
2（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)的定义域为R，且f ( x + y)+ f ( x - y)= f ( x)f ( y),f (1)=1，
则∑
k =1
2025
❑f (k )=（ ）
A．－3
B．－2
C．0
D．1
3（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数f (x)满足：f
2(x)+ f
2(x +2)= 4，且f (x)f(x + 1
2)>0，若f (2)<0，则
f (2025)=（ ）
A．1
B．❑√2
C．- ❑√2
D．-1
题型07 中心对称型函数
解｜题｜策｜略
若函数y = f ( x)定义域为R，且满足条件 f (a+ x)+ f (b- x)=c(a, b, c为常数)，则函数y = f ( x)
的图象关于点( a+b
2
, c
2 )对称。
1（25-26 高三上·江西·期中）已知函数f (x)=ln(x -1)-ln(3- x)，则f (x)的图象（ ）
A．关于x =1对称
B．关于x =2对称
C．关于(1,0)对称
D．关于(2,0)对称
2（25-26 高三上·河南·期中）已知函数f ( x)=e
2 x - 4-1
e
x -2
+ x -1在区间[a,b]上的值域为[m, M ].若a+b= 4，
则m+ M的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
3（2025·湖南郴州·一模）函数f (x)对∀x∈R ,f (x +2)= f (4 - x)，且f (x +6)为奇函数，则下列说法正确
的是（ ）
A．若x∈(0,3]时f (x)=2
x，则f (8)= 4
B．f (x)的周期为6
C．f (x)的图象关于(-6,0)中心对称
D．f (2025)+ f (3)≠0
题型08 一元三次函数型中心对称
解｜题｜策｜略
特殊的一元三次函数具有中心对称性，要求其对称中心，可直接根据中心对称的定义求解；也可以把函
数进行变形再通过平移，转化为奇函数，便可得到对称中心.
1（25-26 高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数f (x)= 1
3 x
3- 3
2 x
2+2 x + 1
4
，则函数y = f (x)的图像对称中心是
（ ）
A．(1, 13
12)
B．(2, 11
12)
C．(
3
2 ,1)
D．(
5
4 , 25
24)
2（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知函数f (x)= x
3-3 x
2+2 x，则下列说法错误的是（ ）
A．y = f (x +1)是奇函数
B．y = f (|x|)是偶函数
C．y =|f (x)|的图象关于x =1对称
D．y =|f (x)+1|的图象关于x =1对称
3（2025·全国·模拟预测）若函数f (x)=(x -2)
3+2 x - 4，且f (3a-b)+ f (4 -2b)<0 (a,b∈R)，则
（ ）
A．1
a > 1
b
B．sina<sinb
C．e
a<e
b
D．a
2024>b
2024
题型09 轴对称型函数
解｜题｜策｜略
若f ( x +a)= f (b- x),则y = f ( x)有对称轴x = a+b
2
.
注意与函数周期性的“若f ( x +a)= f ( x +b)，则y = f ( x)的周期是T =a-b”混淆。
1（25-26 高三下·四川成都·开学考试）已知函数f (x)=e
x+e
- x +2，则（ ）
A．f (x)关于点(2,0)对称
B．f (x)关于点(-2,0)对称
C．f (x)关于直线x =1对称
D．f (x)关于直线x =-1对称
2（25-26 高三上·江西·期中）已知函数f (x)=|sin x|+
1
sin x
，则（ ）
A．f (x)是奇函数 B．f (x)是偶函数
C．f (x)的图象关于(0,1)对称 D．f (x)的图象关于x =π
2
对称
3（25-26 高三上·山西太原·月考）已知函数f (x)(x∈R)满足f (x)= f (4 - x)，若函数y =|x
2- 4 x|与
y = f (x)的图象有6 个交点，交点横坐标为xi(i=1,2,3,4,5,6)，则∑
i=1
6
xi=（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
题型10 两个函数的对称性问题
解｜题｜策｜略
1 轴对称
若函数y = f ( x)定义域为R，则两函数y = f ( x +a)与 y = f (b- x)的图象关于直线x = b-a
2
对称.
特殊地，函数y = f (a+ x)与函数y = f (a- x)的图象关于直x =0对称.
2 中心对称
若函数y = f ( x)定义域为R，则两函数y = f (a+ x)与y =c - f (b- x)的图象关于点( b-a
2
, c
2 )对称.
特殊地，函数y = f ( x +a)与函数y =- f (b- x)图象关于点( b-a
2
, 0)对称.
1（25-26 高一上·天津宁河·期中）函数y =3
x与y =(
1
3)
x的图象（ ）
A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y = x对称
2（2025 高三·全国·专题练习）设函数y = f (x)的定义域为R，则函数y = f ( x -3)与函数y = f (1- x)的图象
关于（ ）
A．直线y =1对称
B．直线x =1对称
C．直线y =2对称
D．直线x =2对称
3（2025·四川成都·三模）函数y =3
2 x与y =3
1-2 x的图象（ ）
A．关于x =2对称
B．关于x =1对称
C．关于x = 1
2
对称
D．关于x = 1
4
对称
题型11 “四性”综合问题
解｜题｜策｜略
1 若函数y = f ( x)同时关于直线x =a, x =b对称则函数y = f ( x)的周期T =2|b-a|
2 若函数y = f ( x)同时关于点(a,0),(b,0)对称，则函数y = f ( x)的周期T =2|b-a|
3 若函数y = f (x)同时关于直线x =a 对称，又关于点(b,0)对称,
则函数y = f ( x)的周期T = 4|b-a|
4 若偶函数y = f ( x)的图像关于直线x =a对称，则f ( x)为周期函数且T =2|a|
5 若奇函数y = f ( x)的图像关于直线x =a对称，则f ( x)为周期函数且T = 4|a|。
1（25-26 高二下·湖南·月考）已知函数f (x)为定义在R上的偶函数，f (0)=1，且f (x -1)+ f (x +1)= f (x)，
则下列选项不正确的是（ ）
A．f (1)= 1
2
B．f (x)的图象关于点(
3
2 ,0)
对称
C．f (x)以6为周期的函数
D．∑
k =1
2023
❑f (k )=- 1
2
2（2025·陕西商洛·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足f (2 x +6)= f (-2 x)，且
f (x -1)+ f (x +1)= f (-2)，f(
5
2)=1，现有下列4 个结论：
①f (2024)=1；
②f (x)的图象关于直线x =-3对称；
③f (x)是周期函数；
④∑
k =1
2025
(-1)
k kf(k - 1
2)=2025.
其中结论正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数f (x)=cos x + 1
2 cos2 x + 1
3 cos3 x，则（ ）
A．π是f (x)的一个周期
B．x =π是f (x)图象的一条对称轴
C．(
π
2 ,0)是f (x)图象的一个对称中心
D．f (x)在区间(0,π)内单调递减
题型12 新定义中的函数性质
解｜题｜策｜略
1 新定义问题，理解定义是关键，可以先通过具体例子感性上认识下，再通过其共性理解定义的本质；
2 判断函数或其性质是否新定义，则严格按照新定义去作进行，其中要注意各符号或字母的含义，注意
它们的先后顺序等。
1（2025 高三·全国·专题练习）若定义在R上的函数f (x)满足对任意x1, x2
，都有f (x0+ x2)- f (x1- x0)
x0
<0，
其中x0= x1- x2, x1≠x2
，则称f (x)为T函数.给出下列函数：①y =-e
x- x
；②y =- x
3+3 x
2-3 x +1
；③
y =ln x
x
；④y =- x -sin x.其中是T函数的个数为（ ）
A．2
B．4
C．1
D．3
2（2025 高三·全国·专题练习）方程x| x|
16
+ y | y |
9
=-1的曲线即为函数y = f ( x)的图象，对于函数
y = f ( x)，有如下结论：①f ( x)在R上单调递减；②函数F( x)= 4 f ( x)+3 x不存在零点；③函数y =
f ( x)的值域是R；④若函数g( x)和f ( x)的图象关于原点对称，则y = g( x)由方程y | y |
16
+ x| x|
9
=1确定．
其中所有正确的命题序号是（ ）
A．①③
B．①④
C．①③④
D．①②③
3（多选）（25-26 高三上·广东揭阳·期中）若定义在D上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值
与最小值的差不大于2，则称该函数是D上的完美函数.下列判断正确的是（ ）
A．y = 2 x
x
2+1
是R上的完美函数
B．若f (x)是D上的完美函数，则g(x)=2f (x -1)也是D上的完美函数
C．y =lg
❑√
❑√x
2+1- x
是[- 49，49]上的完美函数
D．存在a∈R，使得h(x)=a(x
3-3 x
2+2)(a≠0)是[0，2]上的完美函数
（建议用时：60 分钟）
1（25-26 高三上·山西吕梁·月考）已知a>0，且a≠1．若函数f (x)=¿在R上单调递减，则实数a的取值范围
是（ ）
A．(0,1)
B．(2,+∞)
C．(0, 1
2]
D．[
1
2 ,1)
2（25-26 高三上·云南昆明·月考）已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则f (-2)、
f (1)、f (3)的大小关系是（ ）
A．f (-2)<f (1)<f (3)
B．f (-2)>f (1)>f (3)
C．f (1)<f (-2)<f (3)
D．f (1)<f (3)<f (-2)
3（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数f (x)是(-∞,+∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有
f (x +2)=- f (x)，且当x∈[0,2)时，f (x)=log2(x +1)，则f (-2025)=（ ）
A．-2
B．-1
C．2
D．1
4（25-26 高三上·北京·开学考试）已知函数f (x)满足f (-2- x)= f (-2+ x)，对任意x1, x2∈(-∞,-2]，且
x1≠x2，都有f (x1)- f (x2)
x1- x2
>0成立，且f (0)=0，则f (x)>0的解集是（ ）
A．(-∞,-2)∪(2,+∞)
B．(-2,2)
C．(-∞,- 4)∪(0,+ ∞)
D．(- 4,0)
5（2025·山东·模拟预测）若方程x
2- ❑√2 x + ❑√2-1=0的非整数根是函数f (x)=a x
3-bx +a+1(a,b∈N
*)
的一个零点，则f (x)图象的对称中心为（ ）
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(2,0)
D．(2,1)
6（2025·福建三明·三模）已知函数f (x)=e
x -1-e
1- x+ x
3-3 x
2+3 x，若实数x , y满足
f (3 x
2)+ f (2 y
2- 4)=2，则x + y的最大值为（ ）
A．1
B．
❑√5
2
C．❑√5
D．
❑√30
3
7（2025 高三·全国·专题练习）如果对定义在R上的函数f (x)，对任意两个不相等的实数x1, x2，都有
x1f (x1)+ x2f (x2)> x1f (x2)+ x2f (x1)，则称函数f (x)为“H函数”，给出下列函数：①y =- x
3+ x +1；
②y =3 x -2(sin x -cos x)；③y =e
x+1；④f (x)=¿以上函数是“H函数”的所有序号为（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
8（多选）（2025·甘肃武威·模拟预测）对于定义域关于原点对称的函数f (x)，称“f 1(x)= f (x)- f (- x)
2
”
为f (x)的奇分解函数，“f 2(x)= f (x)+ f (- x)
2
”为f (x)的偶分解函数，则（ ）
A．奇分解函数f 1(x)为奇函数，偶分解函数f 2(x)为偶函数
B．函数f (x)cos x的奇分解函数为f 1(x)cos x
C．函数f (x)sin x的偶分解函数为f 2(x)sin x
D．若f 2(x)=
1
x
2+|x|
，则∑
i=-2025
-1
❑f (i)+∑
i=1
2025
❑f (i)= 2025
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9（2025·四川遂宁·二模）定义在R上的函数f (x)满足f ( x)- f (- x)=sin x，当x ≤0时，f
' (x)≥1
2
恒成立.若
f (t )≥f (π
3 -t )+
❑√3
2 sin(t -π
6 )，则实数t的取值范围为 .
10（25-26 高三上·江苏镇江·月考）已知函数f ( x)= x( x -2)( x -a)，其导函数记作y = f
'( x).
(1)当a=1时，求函数y = f ( x)图象对称中心的坐标；
(2)若方程f ( x)=0与f
'( x)=0存在非零公共根x0
，证明：x0
为函数y = f ( x)的极小值点.
