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专题1.1：三角函数中的ω 取值范围
目录
思路梳理........................................................................................................................1
题型一：单调性与ω 的取值范围...............................................................................2
题型二：对称性与ω 的取值范围...............................................................................2
题型三：最值与ω 的取值范围...................................................................................3
题型四：零点与ω 的取值范围...................................................................................4
题型五：由几何问题求ω 的取值范围.......................................................................4
综合训练........................................................................................................................5
思路梳理
在三角函数中，ω（通常称为角频率或角速度）的取值范围需根据具体问题的条件和
性质来确定，以下是一些常见情况：
①一般情况：若无特殊限制，ω 可以是任意正实数，即 ω>0。这是因为ω 控制
三角函数的周期和变化速度，正数确保函数按常规方向周期性变化.
②由周期确定：若已知函数的最小正周期为T，则 ω= 2π
T
。此时ω 的取值由T
唯一确定，且ω>0.
③有单调性确定：若已知函数的最小正周期为T，则 ω= 2π
T
。此时ω 的取值由T
唯一确定，且ω>0.
④由零点个数确定：若函数在区间(a,b) 内有n 个零点，需满足区间长度与周期的
关系。例如，至少有n 个零点时，(b-a)≥n-1
2
⋅2π
ω
，由此可解出ω 的范围.
⑤由对称性确定：若函数图象有对称轴或对称中心，可通过对称点的坐标关系确定ω。
例如，对称轴x = x0 满足ω x0+φ =kπ + π
2
（k ∈Z），由此解出ω.
⑥由极值或最值确定：若函数在某区间内有极值或最值，需满足函数在该区间内完成
至少半个周期的变化。例如，函数y =sin (ωx +φ) 在区间(a,b) 内有极值，
则
b-a
π
ω
≥1，即 ω≥
π
b-a
.
对于较难的求ω取值范围的问题，往往是通过不等式求解的.
我们将ωx +φ看作一个整体，
如果满足单调性，则让ωx +φ落在这个单调区间内，解得ω的范围.
如果满足对称性，零点，极值点等，则具体的点坐标代入，解出ω的等式.
题型一：单调性与ω 的取值范围
例1．已知函数
的图象过点
，且对任意
，都有
，则
的取值范围是 .
例2．已知函数
，（
，
），
，
，且
在区间
上单调，则
的最大值为（ ）
A．3
B．5
C．6
D．7
例3．已知函数
，
，
，
在区间
上单调，则正整数
的最大值为
.
例4．设函数
，若
在
上单调递增，则
的取值
范围是 ．
题型二：对称性与ω 的取值范围
例1．将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关于坐标
原点对称，则
的值可以是（ ）
A．4
B．5
C．10
D．16
例2．已知函数
，将
的图象先向左平移
个单位长
度，得到函数
的图象，若
图象关于
对称，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（多选题）已知函数
在区间
上有且仅有4 条对称轴，
则下面给出的结论中，正确的是（ ）．
A．
的取值范围是
B．
的最小正周期可能是2
C．
在区间
上可能恰有4 个零点
D．
在区间
上可能单调递增
例4．
，
在
有且仅有一条对称轴，则
范围为
题型三：最值与ω 的取值范围
例1．已知函数
（
）在
上的图象有且仅有3 个最高点．下
面四个结论：
①
在
上的图象有且仅有3 个最低点；
②
在
至多有7 个零点；
③
在
单调递增；
④
的取值范围是
；
则正确的结论是 ．（填写序号）
例2．已知
（
，
，
），其图象经过点
，若存
在
，
使得
为函数的最大值，
为函数的最小值，且同时满足
，则
的取值范围是 ．
例3．若函数
在区间
上恰有5 个极值点，且在区间
上单调，则
的取值范围为 .
例4．已知
，
，若对任意实数x 均有
，则满足条件的有
序实数对
的组数为 ．
题型四：零点与ω 的取值范围
例1．已知函数
的图象与
轴的交点为
，
，又在区间
上有且仅有一个零点，则
的取值范围是 .
例2．已知定义域为R 的函数
的解析式为
，若
在区
间
上至多出现2025 个最小值，且对任意实数s，
在
上至少出现2025 个零
点，则实数
的取值范围为 ．
例3．已知函数
满足
恒成立.①
的取值范围是
；②若
，则
的最小值为 .
例4．已知函数
在区间
内不存在零点，则
的
取值范围是 .
题型五：由几何问题求ω 的取值范围
例1．已知函数
和函数
的图象上相
邻的四个交点构成的四边形的面积为
，且
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
例2．如图，函数
的图象与它在原点
右侧的第二条对称轴
交于点
是
图象在原点左侧与
轴的第一个交点，点
在图象上，
，
，则
．
例3．已知
，曲线
与
，相邻的三个交点构成一个等腰直角
三角形，求
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．已知函数
，若存在实数
使得函数图象上的最低点或最
高点恰有2 个在椭圆
的内部（包含边界），则
的取值范围是 .
综合训练
1．将函数
的图象向左平移
后得到函数
的图象，若
的图象关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．设A，B，C 是函数
与函数
的图象连续相邻的三
个交点，若
则
.
3．已知
，若对任意实数
均有
，则满足条件的有序实
数对
的个数为 .
4．已知函数
仅存在一个极值点和两个零点在区间
内，
则实数
的取值范围为 .
5．定义：闭区间[a，b]的长度为
，已知函数
同时满足以下3
个条件：①在任意一个区间长度为
的闭区间内，都不存在
，使得
；
②
；③
是函数
图象的一个对称中心，则实数
的最大值
为 .
6．已知函数
，点
，
分别为函数
图
象上的最高点和最低点，若线段
的长度的最小值为
，且
，则
的值为
.
7．若存在
使
满足
，则正数
的取值范围是 .
8．已知函数
，若存在
，
使得
，则
的最小值为 .
9．已知
，顺次连接函数
与
的任意四个相邻交点，所构
成的四边形的周长为
，则
．
10．若函数
在区间
上恰有5 个零点，则
的取值范围为
.
11．已知函数
（
，
），若
，
，且
在区间
上单调，则
．
12．已知函数
区间
内没有零点，则
的取值范围是
.
13．已知函数
在
上单调，且
，
则
的取值可能为 .
①
②
③
④12 ⑤
14．已知函数
，其中
，
，且
恒成立，若
在区间
上恰有个零点，则
的取值范围是 .
15．已知函数
在区间
上单调递减，且在区间
上恰有
个零点，则
的取值范围是 .
16．已知函数
和
的图象相邻的两个交
点为A，B，若
，则
的取值范围为 .
17．已知函数
，
，
，
且
在
上单调，则
的值为 ．
18．已知
，若存在
、
，且
，使得
成立，则
的取值范围是 ．
19．若存在
（
互不相等），满足
，
则
的取值范围为 .
20．设A，B，C 是函数
与函数
的图象连续
相邻的三个交点，若
是钝角三角形，则
的取值范围是 ．
