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专题07 三角恒等变换十大题型 全解析 + 考场实练
读考点
考点总结与提升
1.三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简
记为：“同名相乘，符号反．”
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
2.三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正
用、逆用和变形使用．
3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便
构造适合公式的形式．
4.三角公式求值中变角的解题思路
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把
“所求角”变成“已知角”．
5.三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切
化为正弦、余弦．
6.两角和差公式
（1）
;
（2）
;
（3）
;
（4）
;
（5）
.
（6）
.
7.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）
;
（2）
;
（3）
.
8.常见角的拆分与组合:
9 辅助角公式:形如
的式子可做如下变换:
--------(1)
令
(1)式=
,其中
.
二、典例精讲
核心考点01 .切弦互化
例1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B. C. D．－
【解析】因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
例2．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
，
，
，
，
.故选：D.
例3．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝________．
【解析】因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.
又因为＝2，所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．
展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝.
例4．已知方程
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：因为方程
，
所以
，
即
，则
或
（舍去），
所以
，所以
，
，故选：B
核心考点02．万能公式：（齐次式切弦互化）
作为齐次切弦互换的一个应用典例，推导出的万能公式及应用也是非常常见常考的问题.
，
，
例5．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
解析：由
，所以
，则
，由
，则
.故选：A
例6．已知第二象限角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：∵
，∴
，解得
或
（舍去），
所以
.故选：D
例7．已知
为锐角，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：∵
，解得
，
∴
，∵
，∴
，∴
，
∴
，故选：B．
核心考点03．诱导公式
例8．已知
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
解析：（1）由
可得
，
即
；
（2）
.
核心考点04.两角和与差与二倍角公式
例9．
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
．故选：B．
例10．（给值求值）已知
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
，
因为
，所以
，则
在第二或第三象限，
因为
，当
在第三象限时，由于
，
又
在
上递增，且
，所以当
在第三象限时，
，与
矛盾，所以
在第二象限，因为
，所以
．
因为
，所以
，则
．因为
，所以
．所以
，
即
．故选：A．
例11．（给值求角）若
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
，
符号相同，又
，
，
，由
可得
，又
，
，
，所以
，
，
，由
，
，得
，
，故选：
A．
例12．（给值求角）已知
，且
，
，则
的值___________
解析：
，
，
，
，
，
.故答案为：
.
例13．已知
，
，
，则
___________
解析：因为
，所以
，若
，则
，
所以
，因为
，所以
，若
，则
，所有
，故
.
故答案为：
.
注：在给值求角过程中，一定要注意“缩角”，即已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范
围是
，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是
，则选余弦函数较好；若角的范围为
，
则选正弦函数较好．
核心考点05．辅助角公式
例14．已知函数
.
（1）当
时，求
的取值范围；
（2）若锐角
，
满足
，
，求
.
解析：（1）
,
因为
，则
，所以
，所以
.
（2）由第（1）问知
，所以
，
因为
，所以
，因为
，
为锐角，所以
，因为
，所以
，所以
.
例15．已知函数
在
处取得最大值，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：因为
，其中
，当
时，
取得最大值，即
，所以
，所以
故选：A
核心考点06．二次函数型
（1）把形如
或
的三角函数最值问题看成与
或
有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为
或
，
最后根据已知变量的范围求最值.
（2）
或
.
对于
,由二倍角公式
,得
,令
,则问题转化为关于的二次函数问题.
类似地,对于
,用二倍角公式
,使其转化为二次函数问题.
例16．函数
的定义域为
，值域为
，则α 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：由
，令
，得：
，二次函数开口向下，对称轴为
，因为
，所以函数为递增函数，因
为当
时，
，当
时，
，所以
，即
时，
，使函数的值域为
，所以由余弦函数图象与性质可知，
，所以
的
取值范围是：
．故选：A
核心考点07.和差与乘积结合型函数
如求三角函数
的最值，可将
看作，则原函数可变形为
，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值.
例17．已知函数
，则
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
解析：
，
令
，
即
，由
，则
.故选：A.
核心考点08 ．三倍角公式：
例18．函数
的值域为____________．
解析：
，设
，
，则
，
，令
，解得
，所以函数
在
上单调递减，在
上
单调递增，在
上单调递减，又
，
，
，
，所以值
域为
.
核心考点09 求值计算
例19.
.
解析：
.
例20.（1）
；
（2）
.
解析：（1）
.
（2）
例21 求4sin 20°＋tan 20°的值为________．
【解析】原式＝4sin 20°＋
＝＝
＝＝.
核心考点10 三角函数恒等式的证明
1 若tanα＝3，则的值等于( )
A．2
B．3
C．4
D．6
【解析】＝＝2tanα＝2×3＝6.故选D.
2（多选）已知α，β∈，且sin(α＋2β)＝sin α，则下列说法正确的有（ ）
A. tan(α＋β)＝6tanα B. tan(α＋β)＝6tan β
C.若tan α＝3tan β，则α＝ D. 若tan α＝3tan β，则α＝π
3
【解析】因为sin(α＋2β)＝sin α，所以sin[(α＋β)＋β]＝sin[(α＋β)－β]，
所以sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β＝[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β]，
所以sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.①因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π).
若cos(α＋β)＝0，则由①得sin(α＋β)＝0，与α＋β∈(0，π)矛盾，所以cos(α＋β)≠0.又β∈，所以cos β≠0.由
①两边同除以cos(α＋β)·cos β，得tan(α＋β)＝6tan β.A 错误，B 正确；由前面知tan(α＋β)＝6tan β，则＝6tan
β，
因为tan α＝3tan β，所以tan β＝tan α，所以＝2tan α.因为α∈，所以tan α＞0，所以＝2，所以tan2α＝1.因
为α∈，所以tan α＝1，从而α＝.C 正确，D 错误。故选BC。
3 求的值
【解析】原式＝＝＝tan30°＝.
4 求证：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝.
【证明】证法一：(复角→单角，从“角”入手)
左边＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
证法二：(从“名”入手，异名化同名)
左边＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos2αcos2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos2αcos2β
＝cos2β－sin2αcos2β－cos2αcos2β
＝cos2β－cos2β(sin2α＋cos2α)
＝－cos2β
＝－cos2β＝.
证法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
左边＝·＋·－cos2αcos2β
＝(1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β)－cos2αcos2β＝.
证法四：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)
左边＝(sinαsinβ－cosαcosβ)2＋2sinαsinβcosαcosβ－cos2αcos2β
＝cos2(α＋β)＋sin2αsin2β－cos2αcos2β
＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)
＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.
三、高考练场
1．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：将式子进行齐次化处理得：
．故选：C．
2．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
，
，
，
，解得
，
，
.故选：A.
3．已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
解析：因为
，而
，因此
，
则
，
所以
.故选：B
4．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
，得
，
即
，解得
或
（舍去），又
.
故选：A.
5．设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
.
故选：A.
6 ．已知不等式
对
恒成立，则m 的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】因为不等式
对
恒成立，
所以不等式
对
恒成立，
令
，因为
，所以
，
则
，所以
，所以
，解得
，
所以m 的最小值为
，
故选：D
7．若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．2
【解析】
，故
，
可解得
或
，又
，故
，故
，
故选：D
8．设
，
，在平面直角坐标系内，点
为角
终边
上任意一点，则
的一个对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据已知得到，
，
所以
，又因为
，
所以
，所以点
．不妨取
，所以
，令
，
，
，
，所以对称中心为
，
，
当
时，函数的一个对称中心是
故选：A
9．若函数
在
上为增函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：
，令
，得
，∴函数
在
，
单调递增，由题知
在
上单调递增，∵
，
∴
，解得
.故选：B.
10．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于
时，费
马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为
.已知点
为
的费马点，角
，
，
的对边分
别为
，
，
，若
，且
，则
的值为
__________.
【详解】∵
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，∴
，
∵
，∴
，
由余弦定理知，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
故答案为：6
11．已知
，
，则
______．
【
解
析
】
由
题
知
，
则
，
即
，
即
，即
，则
或
，
．因为
，所以
，所以
，解得
．
故答案为：
12．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643 年提出的平面几何极值问题：“已
知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马
点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当
的三个内角均小于
时，则使得
的点
即为费马点．已知点
为
的费马点，且
，若
，则实数
的最小值为_________．
【解析】根据题意, 点
为
的费马点，
的三个内角均小于
,
所以
，
设
，
所以在
和
中，
，且均为锐角，
所以
所以由正弦定理得：
，
，
所以
，
，
因为
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
故实数
的最小值为
.
故答案为：
