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专题 13.3 三角形的外角【十大题型】
【人教版】
【题型1 三角形的外角】..........................................................................................................................................1
【题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）】.................................................................................................2
【题型3 三角形的外角性质（求角）】..................................................................................................................3
【题型4 三角形的外角性质（含角平分线）】.....................................................................................................4
【题型5 三角形的外角性质（含垂直关系）】.....................................................................................................5
【题型6 三角形的外角性质（含三角板）】.........................................................................................................6
【题型7 三角形的外角性质（含平行线）】.........................................................................................................7
【题型8 三角形的外角性质（折叠问题）】.........................................................................................................8
【题型9 三角形的外角性质（内外角平分线模型）】.......................................................................................9
【题型10 三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）】.............................................................................11
【知识点1 三角形的外角】
三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
【题型1 三角形的外角】
【例1】（2024•海沧区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则
下列是△BDE的外角的是（ ）
A．∠AED B．∠AEC C．∠ADE D．∠BAE
【变式1-1】（2024•思明区校级期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC边上一
点，连接AE，OE，则下列角中是△AEO的外角的是（ ）A．∠AEB B．∠AOD C．∠OEC D．∠EOC
【变式1-2】如图，有 个三角形，∠1是 的外角，∠ADB是 的外角．
【变式1-3】（2024•江北区校级月考）如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【知识点2 三角形的外角性质】
①三角形的外角和为360°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大
于和它不相邻的任何一个内角．
【题型2 三角形的外角性质（比较角的大小）】
【例2】（2024•通川区期末）如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
【变式2-1】（2024•临淄区期中）点P是△ABC内任意一点，则∠APC与∠B的大小关系是（ ）
A．∠APC＞∠B B．∠APC＝∠B C．∠APC＜∠B D．不能确定
【变式2-2】（2025春•兴隆县期末）如图所示，下列结论正确的是（ ）A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B
【变式2-3】（2024•双流区期末）如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC
到D，连接DE．则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A
【题型3 三角形的外角性质（求角）】
【例 3】（2024•石阡县模拟）如图，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，则∠B的度数是
（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式3-1】（2024•梁子湖区期末）三角形中，三个内角的比为1：3：6，它的三个外角的比为（ ）
A．1：3：6 B．6：3：1 C．9：7：4 D．3：5：2
【变式3-2】（2025春•光明区期末）某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝
30°，那么∠A的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式3-3】（2025春•江阴市期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝
30°，则∠D+∠E等于（ ）A．100° B．110° C．120° D．130°
【题型4 三角形的外角性质（含角平分线）】
【例4】（2024•沈阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若∠C
＝26°，则∠ADB的度数是（ ）
A．61° B．64° C．71° D．109°
【变式4-1】（2025春•宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，
角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若
∠M＝35°，则∠CFE＝ ．
【变式4-2】（2025春•邗江区期中）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝
10°，则∠P的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【变式4-3】（2024•武冈市期末）如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是
∠ABP的角平分线，CE是∠ACP的角平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（ ）A．100° B．90° C．85° D．95°
【题型5 三角形的外角性质（含垂直关系）】
【例5】（2024•赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D
＝15°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．85°
【变式5-1】（2025春•鄂州校级期中）如图，BD，CE是△ABC的两条高，且交于点O，
问：（1）∠1和∠2大小如何？
（2）若∠A＝50°，∠ABC＝70°，求∠3和∠4度数．
【变式5-2】（2025春•普陀区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE
交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（ ）
A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°【变式5-3】（2025春•腾冲县期末）已知：如图所示，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC边上的高，
CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．
【题型6 三角形的外角性质（含三角板）】
【例6】（2025春•宿城区期末）将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过点D，
则∠EDB＝ °．
【变式6-1】（2024•亭湖区校级一模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）
A．105° B．75° C．65° D．55°
【变式6-2】（2024•丹东期末）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°【变式6-3】（2024•安徽二模）一副三角板如图放置，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【题型7 三角形的外角性质（含平行线）】
【例7】（2024•沙湾区模拟）如图，直线a∥b，则∠1＝（ ）
A．100° B．110° C．125° D．135°
【变式7-1】（2025春•东西湖区校级月考）如图所示，l∥l，则下列式子中值为180°的是（ ）
1 2
A．α+β+γ B．α+β﹣γ C．β+γ﹣α D．α﹣β+γ
【变式7-2】（2024•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，
若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【变式7-3】（2024•细河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD
的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【题型8 三角形的外角性质（折叠问题）】
【例8】（2024•东城区校级期末）如图，将一张三角形纸片 ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的
A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
【变式8-1】（2024•武昌区月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（ ）
A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【变式8-2】（2025春•宜兴市校级期末）如图，将△ABC的∠C折叠，使C点在AC边上，折痕为DE，
则（ ）
A．∠BDC＝∠DCE+90° B．∠BDC＝2∠DCE
C．∠BDC+∠DCE＝180° D．∠BDC＝3∠DCE
【变式8-3】（2025春•长安区期末）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，
沿DE折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明理
由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
【题型9 三角形的外角性质（内外角平分线模型）】
【例9】（2025春•茌平区期末）．如图，在 中， ， 的平分线交于点 ， 是与 平分线的交点， 是 的两外角平分线的交点，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024•中原区校级期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分
线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °．
【变式9-2】（2024•郏县期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角
∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝
2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【变式9-3】（2025春•江都区月考）如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A
的度数．【题型10 三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）】
【例10】（2025春•靖江市月考）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC
＝90°+ ∠A＝ ×180°+ ∠A．
如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O，O，则∠BOC＝ ×180°+
1 2 1
∠A，∠BOC＝ ×180°+ ∠A．
2
根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示）∠BO C＝（
n﹣1
）
A． ×180°+ ∠A B． ×180°+ ∠AC． ×180°+ ∠A D． ×180°+ ∠A
【变式10-1】（2024•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线
BP 与外角∠ACE的平分线CP 的交点；P 是△BPC的内角∠PBC的平分线BP 与外角∠PCE的平分
1 1 2 1 1 2 1
线CP 的交点；P 是△BPC的内角∠PBC的平分线BP 与外角∠PCE的平分线CP 的交点；依次这样
2 3 2 2 3 2 3
下去，则∠P 的度数为（ ）
6
A．2° B．4° C．8° D．16°
【变式10-2】（2024•市北区期末）【探究发现】
如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数
量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC＝ ∠ABC，
∠PCD＝ ∠ACD，
试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝
25°，则∠BPD＝ ．【变式10-3】（2025春•宝应县期中）【问题引入】
（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC
的度数．
【深入探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请
求出∠AOC的度数．
【类比猜想】
（3）如图3，在△ABC中，∠CBO＝ ∠DBC，∠BCO＝ ∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用α的
代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点 O，∠CBO＝
∠DBC，∠BCO＝ ∠ECB则∠BOC＝ （用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出
解答过程）．
