专题2.5 对数与对数函数（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 指数式与对数式的互化】..........................................................................................................................2
【题型2 对数的运算】..............................................................................................................................................3
【题型3 指数、对数函数模型的应用】..................................................................................................................4
【题型4 对数函数图象的识别及应用】..................................................................................................................7
【题型5 比较对数式的大小】..................................................................................................................................9
【题型6 解对数不等式】........................................................................................................................................11
【题型7 对数（型）函数的单调性问题】...........................................................................................................13
【题型8 对数（型）函数的综合问题】................................................................................................................15
1、对数与对数函数
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解对数的概念及运算
性质，能用换底公式将一
般对数转化成自然对数或
常用对数
(2)通过实例，了解对数函
数的概念，会画对数函数
的图象，理解对数函数的
单调性与特殊点
(3) 了解指数函数y=ax
（a>0 且a≠1）与对数函
数y=logax（a>0 且a≠1）
互为反函数
2023 年北京卷：第4 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第6
题，5 分
2024 年北京卷：第7 题，4 分
2025 年全国一卷：第8 题，5
分
2025 年北京卷：第9 题，4 分
对数函数是常见的重要函数，对
数与对数函数是高考常考的热点内容，
从近几年的高考形势来看，对数函数往
往与幂函数、指数函数结合考查，主要
以基本函数的性质为依托，结合指、对
数运算性质，运用幂函数与指、对数函
数的图象与性质解决具体的问题，包括
比较指对幂的大小、解不等式等题型，
主要以单选题的形式考察，难度不大.
知识点
1
对数运算的解题策略
1．对数运算的常用技巧
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然
后用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的
积、商、幂再运算.
(3)指对互化：
(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意
互化.
知识点
2
对数函数的常见问题及解题思路
1．对数函数图象的识别及应用
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最
低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：
一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与
1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是
由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
【题型1 指数式与对数式的互化】
【例1】（2025·四川乐山·三模）已知2lg2=m，10
n=3，则10
3m−2n
2
的值为（ ）
A．64
9
B．8
3
C．4
3
D．2❑√2
3
【答案】B
【解题思路】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可.
【解答过程】由2lg2=m可得10
m
2 =2，又因为10
n=3，
所以10
3m−2n
2
= 10
3m
2
10
n =(10
m
2)
3
10
n
= 8
3
，
故选：B.
【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）已知实数x , y满足log2(log3 x)= log3(log2 y)=1，则x + y =（ ）
A．11
B．12
C．16
D．17
【答案】D
【解题思路】由指对互化公式即可求解.
【解答过程】因为log2(log3 x)= log3(log2 y)=1，所以x + y =3
2
1
+2
3
1
=9+8=17.
故选：D.
【变式1-2】（2025·全国·三模）若a>1，则alg(lga)−(lga)
lga的值是（ ）
A．零
B．正数
C．负数
D．以上皆有可能
【答案】A
【解题思路】b=lga，则a=10
b，代入已知利用指数、对数运算化简求解即可.
【解答过程】令b=lga，则a=10
b，由a>1得b>0，
所以alg(lga)−(lga)
lga=(10
b)
lgb−b
b=10
lgb
b
−b
b=0.
故选：A.
【变式1-3】（2025·吉林·模拟预测）满足条件x1
a= x2
b= x3
c，且1
a −2
b + 3
c =0的一组x1, x2, x3为（ ）
A．x1= 4，x2=3，x3=2
B．x1= 4，x2=2，x3=3
C．x1=3，x2=9，x3=2
D．x1=18，x2=12，x3=2
【答案】D
【解题思路】由指数转对数，结合对数的运算逐个判断即可.
【解答过程】设x1
a= x2
b= x3
c =m，∴a=logx1m，b=logx2m，c =logx3m，
∴1
a −2
b + 3
c =logm(
x1 x3
3
x2
2 )=0，∴x1 x3
3
x2
2 =1，
结合选项，ABC 不符合，D 符合，
故选：D．
【题型2 对数的运算】
【例2】（2025·天津河北·模拟预测）已知a=lg2，b=lg3，则lg12可以表示为（ ）
A．a
2b
B．2ab
C．a+2b
D．2a+b
【答案】D
【解题思路】结合对数运算性质即可得解．
【解答过程】由对数运算性质可得lg12=lg(3×4)=lg3+lg 4 =lg3+lg2
2=lg3+2lg2=2a+b，
故选：D．
【变式2-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）对数log23的第一位小数的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解题思路】设对数log23的第一位小数位b，第二位小数及以后的值为c，则log23−1=0.1b+0.01c，
利用对数的运算可得5<b+0.1c<6，即得.
【解答过程】设对数log23的第一位小数位b，第二位小数及以后的值为c，则log23−1=0.1b+0.01c，
∴b+0.1c =10 log2
3
2 = log2(
3
2)
10
= log2
59049
1024 ，又59049
1024 ≈57.7，
∴32=2
5< 59049
1024 <2
6=64，即5<b+0.1c<6，
所以b=5，
故选：B.
【变式2-2】（2025·山西临汾·三模）已知2
log2a=3，log55
b=2，则a−b=（ ）
A．3
B．1
C．−1
D．−3
【答案】B
【解题思路】根据指数，对数的运算性质即可求解.
【解答过程】由2
log2a=3，log55
b=2可得2
log2a=a=3，log55
b=b=2，
则a−b=1，
故选：B.
【变式2-3】（2025·宁夏吴忠·一模）若abc≠0，且3
a= 4
b=6
c，则（ ）
A．1
c = 1
a + 1
b
B．1
c = 2
a + 2
b
C．2
c = 2
a + 1
b
D．2
c = 1
a + 2
b
【答案】C
【解题思路】利用对数的运算性质及换底公式逐项判断可得答案.
【解答过程】设3
a= 4
b=6
c =t，则a= log3t ,b= log4t ,c = log6t，
∴1
a =
1
log3t = lg3
lgt , 1
b =
1
log4t = lg 4
lgt , 1
c =
1
log6t = lg6
lgt .
A. 1
a + 1
b = lg3
lgt + lg 4
lgt = lg12
lgt ≠1
c ，A 错误.
B. 2
a + 2
b = 2lg3
lgt + 2lg 4
lgt = 2lg12
lgt
≠1
c ，B 错误.
C.2
a + 1
b = 2lg3
lgt + lg 4
lgt = lg(3
2×4)
lgt
= lg36
lgt = 2lg6
lgt = 2
c
，C 正确.
D. 1
a + 2
b = lg3
lgt + 2lg 4
lgt = lg(3×4
2)
lgt
= lg 48
lgt ≠2lg6
lgt = 2
c
，D 错误.
故选：C.
【题型3 指数、对数函数模型的应用】
【例3】（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
T =k log2 N（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从10
6个单位增加到1.024×10
9
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时
间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
【答案】B
【解题思路】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【解答过程】设当N 取10
6个单位、1.024×10
9个单位、4.096×10
9个单位时所需时间分别为T 1,T 2,T 3,
由题意，T 1=k log210
6=6 k log210，
T 2=k log2(1.024×10
9)=k log2(2
10×10
6)=k (10+6 log210)，
T 3=k log2(4.096×10
9)=k log2(2
12×10
6)=k (12+6 log210)，
因为T 2−T 1=k (10+6 log210)−6 k log210=10k =20，所以k =2，
所以T 3−T 2=k (12+6 log210)−k (10+6 log210)=2k = 4，
所以当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）
喊泉
是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他
“
”
声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生
共鸣
等物理声学作用，激起水波，形成涌泉
“
”
.声音越大，
涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声强m0（m0约为10
−12，单位：W /m
2）之比的常用对数称作声
强的声强级，记作L（贝尔），即L=lg m
m0
，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处
喊泉
的声音响度
“
”
y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y = 40 x，现知A同学用喇叭大喝一
声激起的涌泉最高高度为2 米，若A同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10 倍，
则A同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75 米
B．1.5 米
C．1.25 米
D．1 米
【答案】A
【解题思路】设A同学不用喇叭时的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学用喇叭时的声强为10m，喷出
泉水高度为2 米.由题意知10×lg m
m0
= 40 x及10×lg 10m
m0
= 40×2=80，联立方程组，结合对数的运算性
质即可求解.
【解答过程】设A同学不用喇叭时的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学用喇叭时的声强为10m，喷出
泉水高度为2 米.
由题意知，10×lg m
m0
= 40 x，即lgm−lgm0= 4 x①.
又10×lg 10m
m0
= 40×2=80，即lg 10m
m0
=lg10+lgm−lgm0=1+lgm−lgm0=8，即lgm−lgm0=7②.
由①②可得4 x =7，解得x = 7
4 =1.75.
故选：A.
【变式3-2】（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14 的半衰期约为5730 年（即碳14 大约每过
5730 年衰减为原来的一半），即经过t年后，碳14 的含量N = N 0( 1
2 )
kt
（N 0为碳14 的初始含量，k为常
数），则碳14 含量由原来的80 %衰减为60 %大约需要经过（ ）
（参考数据：ln2≈0.7 ,ln3≈1.1）
A．2292 年
B．2456 年
C．2674 年
D．2838 年
【答案】B
【解题思路】利用半衰期的意义求出k，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得.
【解答过程】依题意，当t =5730时，N = 1
2 N 0，即1
2 =( 1
2 )
5730k
，解得k =
1
5730，
设经过t1年碳14 含量衰减为原来的80 %，经过t2年碳14 含量衰减为原来的60 %，
则{
( 1
2 )
t1
5730 =80 %
( 1
2 )
t2
5730 =60 %)
，即{
t1=5730log1
2
0.8
t2=5730log1
2
0.6)
，
所以t2−t1=5730log1
2
0.6−5730log1
2
0.8
=5730log1
2
3
4 =5730log2
4
3 =5730(log24−log23) =5730(2−ln3
ln2 )≈5730(2−11
7 )≈2456.
故选：B.
【变式3-3】（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有
所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为：
lg E = 4.8+1.5 M.若记2025 年1 月7 日西藏日喀则发生里氏6.8 级地震释放出来的能量为E1，2022 年5 月
20 日四川雅安发生里氏4.8 级地震释放出来的能量为E2，则E1
E2
=（ ）
A．100
B．200
C．1000
D．2000
【答案】C
【解题思路】根据对数的运算可得正确的选项.
【解答过程】由题设有lg E1= 4.8+1.5×6.8，lg E2= 4.8+1.5×4.8，
故lg E1−lg E2=3即
E1
E2
=1000，
故选：C.
【题型4 对数函数图象的识别及应用】
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=(|x)−1
|x))ln x
2，则f (x)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】先判断函数奇偶性排除选项A，再根据函数值正负排除B,C, 即可得出答案.
【解答过程】因为f (x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，
f (−x)=(|−x)−
1
|−x))ln(−x)
2=(|x)−1
|x))ln x
2= f (x)，所以f (x)是偶函数，则其图象关于y 轴对称，
排除A；
当x>1时，|x)−1
|x) >0，ln x
2>0，所以f (x)>0，当0< x<1时，|x)−1
|x) <0，ln x
2<0，所以f (x)>0，
故排除B，C.
故选:D.
【变式4-1】（2025·湖南长沙·一模）已知lga+lgb=0(a>0,b>0，且a≠1,b≠1)，则函数f (x)=a
−x与
g(x)=logb x的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】依题意可得1
a =b，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论.
【解答过程】由lga+lgb=0可知，1
a =b，
故f (x)=a
−x =b
x，故函数f (x)=a
−x与函数g(x)=logb x的单调性相同，
故选：B.
【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）函数f (x)=e
x−e
1
x −ln x
2的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据x<0时f ( x)的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【解答过程】f (x)=e
x−e
1
x −ln x
2={
e
x−e
1
x −2ln(−x), x<0
e
x−e
1
x −2ln x , x>0 )
，
因为当x<0时，y =e
x , y =−e
1
x , y =−2ln(−x)都为增函数，
所以，y =e
x−e
1
x −2ln(−x)在(−∞,0)上单调递增，故B，C 错误；
又因为f (−x)=e
−x−e
−1
x −ln x
2≠−f (x)，
所以f (x)不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D 错误.
故选：A.
【变式4-3】（2025·甘肃陇南·一模）函数f (x)=
x
2ln|x)的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.
【解答过程】f (x)=
x
2ln|x)的定义域为{x| x≠0,)且x≠±1)，
因为f (−x)=−f (x)，所以f (x)为奇函数，排除A，D，
当x∈(0,1)时，f (x)<0，B 错误，
故选：C.
【题型5 比较对数式的大小】
【例5】（2025·天津南开·模拟预测）若2
a=3= logb9，c =e
ln 2
3，则实数a、b、c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．b>a>c
【答案】D
【解题思路】求出a、b、c，利用对数函数、幂函数的单调性可得出a、b、c的大小顺序.
【解答过程】由题意可得a= log23，b
3=9，可得b=9
1
3，c = 2
3，
因为对数函数y = log2 x为(0,+ ∞)上的增函数，则2= log24>a= log23>log22=1，
幂函数y = x
1
3在(0,+ ∞)上为增函数，则b=9
1
3 >8
1
3 =2，
故b>a>c.
故选：D.
【变式5-1】（2025·河南许昌·模拟预测）已知a=3
log23.4，b=9
log163.3，c =( 1
3 )
log20.3
，则（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．a>c>b
【答案】D
【解题思路】根据指数函数及对数函数的单调性结合指对数运算比较大小.
【解答过程】由题意知b=9
log163.3=3
1
2 log23.3
=3
log2
❑√3.3，c =( 1
3 )
log20.3
=3
−log20.3=3
log2
10
3 ，
又函数y =log2 x在(0,+∞)上单调递增，而3.4> 10
3 >❑√3.3，即log23.4>log2 10
3 >log2
❑√3.3，
又y =3
x在R上单调递增，所以3
log23.4>3
log2
10
3 >3
log2
❑√3.3，即a>c>b.
故选:D.
【变式5-2】（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z 满足2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x，y，z
的大小关系不可能是（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．y > x> z
D．y > z> x
【答案】B
【解题思路】法一：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，对m讨论赋值求出x , y , z，即可得出大小关
系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【解答过程】法一：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，所以
令m=2，则x =1, y =3
−1= 1
3 , z =5
−3= 1
125，此时x> y > z，A 有可能；
令m=5，则x =8, y =9, z =1，此时y > x> z，C 有可能；
令m=8，则x =2
6=64 , y =3
5=243, z =5
3=125，此时y > z> x，D 有可能；
故选：B．
法二：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，所以，x =2
m−2, y =3
m−3, z =5
m−5
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y =2
x−2, y =3
x−3, y =5
x−5的图象，以上方程的根分别是函数y =2
x−2, y =3
x−3, y =5
x−5的图象与
直线x =m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x> y > z，y > x> z，y > z> x，z> y > x，
故选：B．
【变式5-3】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数f (x)= x⋅e|x)，a= f (log3
❑√5)，
b=−f(log3
1
2)，c = f (ln3)，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>a>b
【答案】D
【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简b= f (log32)，再结合函数的单调性，即可求
解.
【解答过程】f (x)= x⋅e|x)，定义域为R，关于原点对称，
且f (−x)=−x⋅e|−x)=−x⋅e|x)=−f (x)，所以函数f (x)= x⋅e|x)为奇函数，
所以b=−f(log3
1
2)= f(−log3
1
2)= f (log32)，
又f (x)= x⋅e
x, x>0，
任取x1, x2∈(0,+ ∞)，且0< x1< x2，则0<e
x1<e
x2，则f (x1)<f (x2)，
故f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，
又由对数函数的单调性可得log32<log3
❑√5<1<ln3，
所以f (log32)<f (log3
❑√5)<f (ln3)，即c>a>b.
故选：D.
【题型6 解对数不等式】
【例6】（24-25 高一下·四川南充·阶段练习）“a<b+e
是
”
“ln(a−b)<1
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断即可求解．
【解答过程】因为a<b+e，所以a−b<e，
又因为a−b不一定大于0，即ln (a−b)不一定成立，
所以“a<b+e
是
”
“ln(a−b)<1的不充分条件，
因为y = ln x在(0,+ ∞)上单调递增，
所以ln(a−b)<1⇔0<a−b<e，即a<b+e，所以“a<b+e
是
”
“ln(a−b)<1的必要条件，
所以“a<b+e
是
”
“ln(a−b)<1的必要不充分条件，
故选：B．
【变式6-1】（2025·重庆·模拟预测）已知集合 A ={x∣x
2−5 x +6=0)，B ={x∣log2 x>1)，则 A ∩B =
（ ）
A．{3)
B．{2)
C．∅
D．{2,3)
【答案】A
【解题思路】解方程与不等式，得到A = {2,3)，B ={x) x >2)，然后根据交集的定义求出答案.
【解答过程】对于集合A，因为x
2−5 x +6=0，
所以(x−2)(x−3)=0，所以x =2或x =3.
所以集合A = {2,3).
对于集合B，因为log2 x>1，所以log2 x>log22，
因为函数log2 x在(0,+∞)上单调递增，所以x>2.
所以集合B ={x) x>2).
所以A ∩B = {3).
故选：A.
【变式6-2】（2025·广东汕头·一模）“log3a>log3b
是
”
“3
a>3
b
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据指、对数函数性质解不等式，结合充分、必要条件分析判断.
【解答过程】因为log3a>log3b，等价于a>b>0，
且3
a>3
b，等价于a>b，
又因为a>b>0可以推出a>b，a>b不能推出a>b>0，
所以“log3a>log3b
是
”
“3
a>3
b
的充分不必要条件
”
.
故选：A．
【变式6-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)={
|2
x−1), x ≤0,
log3(x +1), x>0,)则不等式f (x)≤1的解集为（ ）
A．[0,2)
B．[0,1)
C．(−∞,2)
D．(−∞,1)
【答案】C
【解题思路】分x ≤0和x>0两种情况，解不等式，得到不等式解集.
【解答过程】由题意可知当x ≤0时，0<2
x≤1,故f (x)=1−2
x<1，满足题意；
当x>0时，令log3(x +1)≤1，即0< x +1≤3，解得−1< x ≤2，所以0< x ≤2.
综上，x ≤2.
故选：C.
【题型7 对数（型）函数的单调性问题】
【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数f (x)= log2(x
2−2 x)的单调递增区间为（ ）
A．(2,+∞)
B．(1,+∞)
C．(−∞,1)
D．(−∞,0)
【答案】A
【解题思路】先求函数y = log2(x
2−2 x)的定义域，再求函数y = x
2−2 x在定义域上的增区间即可.
【解答过程】解：由已知得x
2−2 x>0，解得x<0或x>2，函数的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞)，
因为y = log2t总为增函数，要求函数f ( x)= log2( x
2−2 x)的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数y = x
2−2 x在(−∞,0)∪(2,+ ∞)上的增区间
由二次函数的性质可得y = x
2−2 x在(−∞,0)∪(2,+ ∞)上的增区间为(2,+∞)，
故函数f ( x)= log2( x
2−2 x)的单调递增区间是(2,+∞).
故选：A.
【变式7-1】（2025·天津·模拟预测）已知函数f ( x)= loga x + log(a+1)x(a>0 且a≠1)在(0,+ ∞)上单调递
增，则a 的取值范围为（ ）
A．(0,
❑√5−1
2 )∪(1,+ ∞)
B．(
❑√5−1
2
,1)∪(1,+∞)
C．(
❑√5−1
2
,1)
D．
(1,+∞)
【答案】A
【解题思路】分a>1和0<a<1两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于a
的不等式即可求解.
【解答过程】当a>1时，根据对数函数的性质可知：函数f ( x)= loga x + log(a+1)x(a>0 且a≠1)在
(0,+∞)上单调递增，符合题意；
当0<a<1时，由换底公式可得f ( x)= loga x + log(a+1)x = lg x
lga +
lg x
lg(a+1) =[
1
lga +
1
lg(a+1))lg x
= lga+lg(a+1)
lgalg(a+1) lg x =
lg(a
2+a)
lgalg(a+1) lg x，
因为函数f ( x)= loga x + log(a+1)x在(0,+∞)上单调递增，且函数y =lg x在(0,+∞)上单调递增，所以
lg(a
2+a)
lgalg(a+1) >0.
又0<a<1，所以lga<0，lg(a+1)>0，所以lg(a
2+a)<0，所以a
2+a<1，即a
2+a−1<0，解得
0<a<
❑√5−1
2
.
综上，a 的取值范围为(0,
❑√5−1
2 )∪(1,+ ∞).
故选：A.
【变式7-2】（2025·广东·模拟预测）已知函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，则实数a
的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
3)
B．(−∞,1)
C．(−1, 1
3)
D．(−1,0)∪(0, 1
3)
【答案】C
【解题思路】由复合函数的单调性得到g(x)= x
2−2ax−3a
2在[1,+∞)上单调递增，列出不等式组，解之
即得参数范围.
【解答过程】因为f (x)= ln x在(0,+ ∞)上单调递增，由函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在[1,+ ∞)上单调递增，
可得g(x)= x
2−2ax−3a
2在[1,+∞)上单调递增且g(x)>0恒成立，
{
a≤1
g(1)=1−2a−3a
2>0)，解得−1<a< 1
3，
即实数a的取值范围是(−1, 1
3).
故选：C.
【变式7-3】（2025·吉林·三模）若函数f (x)=loga(ax−1
2)（a>0且a≠1）在区间[1,2)上单调递减，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(
1
2 ,1)
B．(
1
4 ,1)
C．(0, 1
2)
D．(1,+∞)
【答案】A
【解题思路】由对数的底数大于0，可得内函数t =ax−1
2为增函数，结合复合函数的单调性可得0<a<1，
再由t =ax−1
2 >0对于[1,2)恒成立，可得a的取值范围，再求交集即可.
【解答过程】f (x)=loga(ax−1
2)是由t =ax−1
2，y = logat复合而成，
由题意知：a>0，t =ax−1
2在区间[1,2)上单调递增，
若函数f (x)=loga(ax−1
2)（其中a>0且a≠1）在区间[1,2)上单调递减，
所以y = logat单调递减，
可得：0<a<1 ,
又t =ax−1
2 >0对于[1,2)恒成立，
所以tmin=t(1)=a−1
2 >0，
解得：a> 1
2，
综上所述：1
2 <a<1.
故选：A.
【题型8 对数（型）函数的综合问题】
【例8】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数f ( x)={
1
2
x−1 ，x<0
2a
( x +1)
2 ，x ≥0
(a≠0))
在R上单调，且
f (loga x)≤8在[2,4 ]上恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．0<a≤1
B．0<a≤1
2
C．0<a≤
❑√2
2
D．
❑√2
2 ≤a<1
【答案】B
【解题思路】由题可得函数f ( x)={
1
2
x−1 ，x<0
2a
( x +1)
2 ，x ≥0
(a≠0))
在R上单调递减，由f (loga x)≤8在[2,4 ]恒成
立可得x ≤1
a
2恒成立，据此可得答案.
【解答过程】因函数f ( x)={
1
2
x−1 ，x<0
2a
( x +1)
2 ，x ≥0
(a≠0))
在R上单调，又y =
1
2
x−1在(−∞,0)上单调递减，
则函数f ( x)={
1
2
x−1 ，x<0
2a
( x +1)
2 ，x ≥0
(a≠0))
在R上单调递减，则{
a>0
1
2
−1 ≥2a)
⇒0<a≤1.
则x∈[2,4 ]时，loga x<0，又f (loga x)≤8，
则
1
2
(loga x)−1 ≤8⇒2
1−loga x≤2
3⇒loga x ≥−2⇒x ≤1
a
2恒成立，
则1
a
2 ≥(x)max = 4⇒0<a≤1
2.
故选：B.
【变式8-1】（2025·重庆·三模）已知函数y = f ( x +1)是R 上的偶函数，对任意x1, x2∈[1,+ ∞)，且
x1≠x2都有
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0，若a= f (log36)，b= f (lne
❑√2 )，c = f (e
ln 4
2 )，则a,b,c的大小关系是
（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【答案】A
【解题思路】根据函数y = f ( x +1)为偶函数，推出函数y = f ( x)的图象关于直线x =1对称，再由条件推出
函数y = f ( x)在(1,+ ∞)上单调递增，于是可得ln(2−lne
❑√2 )= ln(e
❑√2 )，利用幂和对数的运算性质和换
底公式，以及对数函数的单调性化简比较得1<2−lne
❑√2 <log36<e
ln 4
2 =2，再由y = f ( x)的单调性即可判
断.
【解答过程】因函数y = f ( x +1)是R 上的偶函数，则y = f ( x)的图象关于直线x =1对称，
因对任意x1, x2∈[1,+∞)，且x1≠x2都有
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0，即函数y = f ( x)在(1,+ ∞)单调递增.
因1<log36= log32+1<2，1<2−lne
❑√2 = ln(❑√2e)= 1
2 ln 2+1<2，e
ln 4
2 =e
ln2=2,
由log32−1
2 ln2= ln2
ln3 −1
2 ln2= ln2( 1
ln3 −1
2 )>0，可得1<2−lne
❑√2 <log36<e
ln 4
2 =2，
又由对称性可得：ln(2−lne
❑√2 )= ln(e
❑√2 )，
故再由单调性，可得ln(2−lne
❑√2 )= ln(e
❑√2 )<f (log36)<f (e
ln 4
2 )，即b<a<c.
故选：A.
【变式8-2】（2025·河北石家庄·一模）已知函数f ( x)= x
2+ ln(e
x+e
−x)−2，则不等式
f ( x +2)≤f (2 x−3)的解集为（ ）
A．[−5,−1
3)
B．(−∞,−5]∪[−1
3 ,+ ∞)
C．[
1
3 ,5)
D．(−∞, 1
3)∪[5,+∞)
【答案】D
【解题思路】由函数奇偶性、单调性即可求解.
【解答过程】易知函数定义域为R，
又f (−x)=(−x)
2+ ln(e
−x+e
x)−2= x
2+ ln(e
x+e
−x)−2= f ( x)，故为偶函数，
当x ≥0时，e
x≥1，所以y =e
x+e
−x =e
x+ 1
e
x ，
令t =e
x≥1，结合对勾函数y =t + 1
t 在[1,+∞)单调递增，y =e
x在[0,+∞)单调递增，
由复合函数的单调性可知：y =e
x+e
−x在(0,+ ∞)上单调递增，
又y = ln x在(0,+ ∞)上单调递增，
故y = ln(e
x+e
−x)在[0,+ ∞)上单调递增，
易知f ( x)= x
2+ ln(e
x+e
−x)−2在[0,+ ∞)上单调递增，
结合函数为偶函数，
所以由f ( x +2)≤f (2 x−3)可得|x +2)≤|2 x−3)，
平方得：3 x
2−16 x +5≥0，
解得x ≥5或x ≤1
3，
所以不等式f ( x +2)≤f (2 x−3)的解集为(−∞, 1
3)∪[5,+∞)，
故选：D.
【变式8-3】（2025·陕西西安·一模）已知函数f (x)为偶函数，满足f (x +2)=−
1
f (x)，且−2≤x ≤0时，
f (x)=(
❑√3
3 )
x
−2，若关于x的方程f (x)−loga(x +1)=0至少有两解，则a的取值范围为（ ）．
A．(
1
3 ,3)
B．(0, 1
3)∪[3,+ ∞) C．(0, 1
5)∪[3,+∞) D．[
1
5 ,3)
【答案】C
【解题思路】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.
【解答过程】由已知f (x +2)=−
1
f (x)，则f (x)=−
1
f (x−2)，则f (x +2)= f (x−2)，
可知函数f (x)为周期函数，最小正周期T = 4，
又当−2≤x ≤0时，f (x)=(
❑√3
3 )
x
−2，
可知函数f (x)的图象如图所示，且f (x)的值域为[−1,1)，
关于x的方程f (x)−loga(x +1)=0至少有两解，
可得函数y = f (x)与函数y = loga(x +1)的图象至少有两个交点，
如图所示，
可知当0<a<1时，loga(4+1)≥−1= loga 1
a，解得a≤1
5，即a∈(0, 1
5)，
当a>1时，loga(2+1)≤1= logaa，解得a≥3，即a∈[3,+ ∞)，
综上所述a∈(0, 1
5)∪[3,+ ∞)，
故选：C.
一、单选题
1．（2025·北京大兴·三模）已知2
a=3,log25=b，则2
a−b的值为（ ）
A．15
B．5
3
C．3
5
D．−2
【答案】C
【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解.
【解答过程】因为log25=b，所以2
b=5，
又2
a=3，所以2
a−b= 2
a
2
b = 3
5.
故选：C.
2．（2025·山东潍坊·一模）已知a>0且a≠1，a
y与x成正比例关系，其图象如图所示，且y =loga x +1，
则a=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解题思路】先设a
y =kx，根据2=k ⋅1，求出k，再根据指数式与对数式的转化，可求a的值.
【解答过程】因为a
y与x成正比例关系，所以可设a
y =kx，
由2=k ⋅1 ⇒ k =2.
由a
y =2 x ⇒ y = loga2 x = loga x + loga2，
又y =loga x +1，所以loga2=1 ⇒ a=2.
故选：B.
3．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最
小声强为I 0=10
−12（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强I，用声强I与I 0比值的常用
对数来表示声强I的
声强级数
“
n
，即
”
n=lg I −lg I 0，则
声强级数
“
8”的声强是
声强级数
“
6”的声强的
（ ）
A．2 倍
B．20 倍
C．100 倍
D．1000 倍
【答案】C
【解题思路】根据已知条件分别求出
声强级数
“
8
和
声强级数
”
“
6
对应的声强，再计算它们的倍数关
”
系.
【解答过程】当n=8时，代入声强级数公式可得8=lg I 1−lg10
−12.
可将上式变形为8=lg
I 1
10
−12.
那么
I 1
10
−12 =10
8，解得I 1=10
8×10
−12=10
−4.
当n=6时，代入声强级数公式可得6=lg I 2−lg10
−12.
则6=lg
I 2
10
−12，可得
I 2
10
−12 =10
6，解得I 2=10
6×10
−12=10
−6.
I 1
I 2
= 10
−4
10
−6 =10
−4−(−6)=10
2=100.
故
声强级数
“
8
的声强是
声强级数
”
“
6
的声强的
”
100 倍.
故选：C.
4．（2025·吉林长春·模拟预测）已知f ( x)={
log2 x , x>0
4
x , x ≤0 )，则f (f (−1
3 ))=（ ）
A．−2
3
B．1
9
C．1
3
D．2
3
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，依次判断代入求值.
【解答过程】函数f ( x)={
log2 x , x>0
4
x , x ≤0 )，则f (−1
3 )= 4
−1
3 =2
−2
3，
所以f (f (−1
3 ))= f (2
−2
3 )= log22
−2
3 =−2
3
.
故选：A.
5．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量
和信噪比及信道带宽的关系，即C =W log2(1+ S
N)其中C是信道容量，单位bps；W 为信道带宽，单位
Hz；S
N 代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换
数千次频率将信道带宽由5MHz 扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由
17.3Mbps 提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
2
3.46≈11，2
5.93≈60.97）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解题思路】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可.
【解答过程】设原始状态信道容量为C1，提升后信道容量为C2，
由题意可得C1=W 1log2(1+ S1
N 1)，即17.3=5 log2(1+ S1
N 1)，解得
S1
N 1
≈10，
同理C2=W 2log2(1+ S2
N 2)，即593=100 log2(1+ S2
N 2)，解得
S2
N 2
≈60，
所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6 倍.
故选：B.
6．（2025·山东泰安·模拟预测）a=0.3
0.7,b=0.7
0.3,c = log0.70.3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】A
【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可求解.
【解答过程】由幂函数y = x
0.7为增函数，得a=0.3
0.7<0.7
0.7；
由指数函数y =0.7
x为减函数，得0.7
0.7<b=0.7
0.3<0.7
0=1；
由对数函数y = log0.7 x为减函数，得c = log0.70.3>log0.70.7=1.
所以c>b>a.
故选：A.
7．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f ( x)=lg(x
2−ax−5)在(5,+∞)上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,4)
B．(−∞,4)
C．(4 ,+∞)
D．[4 ,+∞)
【答案】B
【解题思路】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可
得a的取值范围.
【解答过程】由函数f ( x)=lg(x
2−ax−5)在(5, +∞)上单调递增，
可得u( x)= x
2−ax−5在(5, + ∞)上单调递增，
且u( x)>0在(5,+ ∞)上恒成立，故需满足{
a
2 ≤5
u(5)=25−5a−5≥0)
，解得a≤4.
故选：B.
8．（2025·广东茂名·二模）已知函数f (x)={
−x
2−2ax +1, x<1
loga x +2a, x ≥1
(a>0,a≠1))，若f (x)≤3
2，则a的取值
范围是（ ）
A．(0, 3
4)
B．(0,
❑√2
2 )
C．[
❑√2
2 , 3
4)
D．[
3
4 ,1)
【答案】B
【解题思路】先讨论当x<1时，不等式转化为x
2+2ax + 1
2 ≥0，确定函数y = x
2+2ax + 1
2在x<1时的单调
性得最值即可得此时a的取值范围，再根据此范围确定当x ≥1时，函数f (x)= loga x +2a的单调性，从而得
最值得a的取值范围，综合可得结论.
【解答过程】当x<1时，不等式f (x)≤3
2为−x
2−2ax +1≤3
2，即x
2+2ax + 1
2 ≥0，
因为a>0,a≠1，所以函数y = x
2+2ax + 1
2在(−∞,−a)上单调递减，在(−a,1)上单调递增，
所以ymin=(x
2+2ax + 1
2)min
=−a
2+ 1
2 ≥0，所以0<a≤
❑√2
2 ；
由于0<a≤
❑√2
2 ，则当x ≥1时，函数f (x)= loga x +2a在[1,+∞)上单调递减，
所以f (x)max= f (1)= loga1+2a=2a≤3
2，解得0<a≤3
4 ，所以0<a≤
❑√2
2 ；
综上，a的取值范围是(0,
❑√2
2 ).
故选：B.
二、多选题
9．（2025·江苏苏州·三模）若6
a=2，6
b=3，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b=1
B．a
2+b
2< 1
2
C．ab< 1
4
D．a> 1
3
【答案】ACD
【解题思路】根据指数、对数的关系及对数加法的运算法则判断A，由基本不等式判断BC，利用对数函
数的单调性判断D.
【解答过程】因为6
a=2，6
b=3，
所以a+b= log62+ log63= log66=1，故A 正确；
由a
2+b
2
2
≥(
a+b
2 )
2
可得a
2+b
2≥1
2（a≠b，等号不成立），故B 错误；
由a+b=1≥2❑√ab可得ab≤1
4 （a≠b，等号不成立），故C 正确；
因为a= log62= log68
1
3 >log66
1
3 = 1
3
，故D 正确.
故选：ACD.
10．（2025·河北保定·一模）下列不等式成立的有（ ）
A．log0.30.2>log0.20.3
B．0.3
0.2>0.2
0.3
C．log30.2<log20.2
D．3
0.2<2
0.3
【答案】AB
【解题思路】根据指数函数以及对数函数的单调性，即可结合选项逐一求解.
【解答过程】对于A，log0.30.2>log0.30.3=1,log0.20.3<log0.20.2=1，故log0.30.2>log0.20.3，A 正
确，
对于B，0.3
0.2>0.3
❑
0.3
>0.2
0.3，故0.3
0.2>0.2
0.3，B 正确，
对于C, 由于log30.2<0,log20.2<0，故log20.2
log30.2 =
1
log0.22
1
log0.23
= log0.23
log0.22 = log23>1，故log30.2>log20.2
，故C 错误，
对于D, 3
0.2=3
1
5 ,2
0.3=2
3
10 ,∵(3
1
5)
10
=3
2=9,(2
3
10)
10
=8,所以(3
1
5)
10
>(2
3
10)
10
，故3
0.2>2
0.3，故D 错误，
故选：AB.
11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数f ( x)= ln|
2−x
2+ x)，则（ ）
A．f ( x)是奇函数
B．f ( x)≥0
C．f ( x)在(−2,2)上单调递减
D．f ( x)在(2,+∞)上单调递增
【答案】ACD
【解题思路】A 选项，利用函数奇偶性的定义判断，B 选项，特值代入说明不成立，C 和D 选项，利用复
合函数的单调性判断.
【解答过程】要使得函数f ( x)有意义，则|
2−x
2+ x)>0，解得x≠2且x≠−2，所以f ( x)的定义域关于原点对
称，
且f (−x)+ f ( x)= ln|
2+ x
2−x)+ ln|
2−x
2+ x)= ln1=0，从而f ( x)是奇函数，A 正确；
f (1)= ln|
2−1
2+1)<ln1=0，B 错误；
当x∈(−2,2)时，f (x)= ln|
2−x
2+ x)= ln 2−x
2+ x = ln (2−x)−ln (2+ x)，
y = ln(2−x)在(−2,2)上单调递减，y = ln(2+ x)在(−2,2)上单调递增，
所以f ( x)在(−2,2)上单调递减，C 正确；
当x∈(2,+ ∞)时，f (x)= ln|
2−x
2+ x)= ln x−2
x +2 = ln(1−
4
x +2)，
y =1−
4
x +2在(2,+ ∞)上单调递增，y = ln x在(0,+∞)上单调递增，
所以f ( x)在(2,+ ∞)上单调递增，D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2025·江西萍乡·三模）已知x0
e
x0 = 1
3，则x0+ln 1
x0
= .
【答案】ln3
【解题思路】利用对数的运算法则计算即可求解.
【解答过程】依题意，ln x0
e
x0 = ln x0−x0=−ln 1
x0
−x0=−ln3，故x0+ ln 1
x0
= ln3.
故答案为：ln3.
13．（2025·浙江·三模）已知函数f (x)=ln x +1
1−x +a(a∈R)为奇函数，则f(
1
3)= .
【答案】ln2
【解题思路】由题可得f (x)定义域，由f (0)=0可得a=0，据此可得答案.
【解答过程】因f (x)=ln x +1
1−x +a，则x +1
1−x >0⇒x∈(−1,1)，
由于f (0)有意义，结合f (x)为奇函数，则f (0)=0+a=0，因此a=0，
故f (x)= ln x +1
1−x ，则f(
1
3)= ln
4
3
2
3
= ln 2.
故答案为：ln2.
14．（2025·海南·模拟预测）已知函数f (x)= log 1
7
(x
2−ax +6)在(−∞,2)上单调递增，则实数a的取值范围
是 ．
【答案】[4,5)
【解题思路】令u= x
2−ax +6，由复合函数可知，内层函数u= x
2−ax +6在(−∞,2)上为减函数，且对任
意的x∈(−∞,2)，u= x
2−ax +6>0恒成立，即可得出关于实数a的不等式组，由此可求得实数a的取值范
围.
【解答过程】令u= x
2−ax +6，因为外层函数y = log 1
7
u为减函数，且原函数f (x)在(−∞,2)上单调递增，
所以内层函数u= x
2−ax +6在(−∞,2)上为减函数，
且对任意的x∈(−∞,2)，u= x
2−ax +6>0恒成立，
所以{
a
2 ≥2
umin=2
2−2a+6=10−2a>0)
，解得4≤a<5.
因此，实数a的取值范围是[4,5).
故答案为：[4,5).
四、解答题
15．（24-25 高一上·广东湛江·阶段练习）计算：
(1)8
2
3 +(
1
3)
−2
−(3−π)
0+(3
1
3 ×2
1
2)
6
；
(2)log327−(lg 4 +lg25)−log58⋅log25+7
log72
【答案】(1)84
(2)0
【解题思路】（1）根据指数的运算化简可得值；
（2）根据对数的运算化简可得值.
【解答过程】（1）8
2
3 +(
1
3)
−2
−(3−π)
0+(3
1
3 ×2
1
2)
6
=(2
3)
2
3 +(3
−1)
−2−1+(3
1
3)
6
×(2
1
2)
6
=2
2+3
2−1+3
2×2
3
= 4 +9−1+9×8
=84；
（2）log327−(lg 4 +lg25)−log58⋅log25+7
log72
= log33
3−lg(4×25)−log52
3⋅log25+2
=3−lg10
2−3⋅log52⋅log25+2
=3−2−3+2
=0.
16．（24-25 高一上·全国·课后作业）已知对数函数f (x)= loga x（a>0，且a≠1）的图象过点(4,1)．
(1)求f (16)；
(2)若函数g(x)= f (2−x)+ f (2+ x)，求g(x)的定义域．
【答案】(1)2
(2){x|−2< x <2))
【解题思路】（1）根据待定系数法求出解析式，再求值即可；
（2）求出表达式，根据对数函数的性质得到真数为正，构造不等式组计算即可．
【解答过程】（1）由题意可得f (4)= loga4 =1，可得a= 4，故f (x)= log4 x，故f (16)= log416=2；
（2）g(x)= f (2−x)+ f (2+ x)=log4(2−x)+log4(2+ x)=log4(4−x
2)，
其中2−x>0,2+ x>0，解得−2< x<2，
此时函数g(x)的定义域为{x|−2< x<2))．
17．（2025·上海金山·二模）已知函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)=log2 x.
(1)求f (−2)+ f (0)的值；
(2)若g(x)= f (x)⋅f(
x
4), x∈[1,8)，求函数y = g(x)的值域.
【答案】(1)−1
(2)[−1,3)
【解题思路】（1）根据函数的奇偶性求解即可；
（2）计算g(x)表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可.
【解答过程】（1）因为函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (−x)=−f (x),f (0)=0，
所以f (−2)+ f (0)=−f (2)+ f (0)=−1+0=−1；
（2）g(x)=(log2 x)⋅(log2
x
4)=(log2 x)⋅(log2 x−2)=(log2 x)
2−2log2 x , x∈[1,8)，
令log2 x =t ,t ∈[0,3)，问题等价于求ℎ(t )=t
2−2t ,t ∈[0,3)的值域，
∵函数ℎ(t )=t
2−2t图象开口向上，对称轴为直线t =1，
∴ℎ(t )min=ℎ(1)=−1,ℎ(t )max=ℎ(3)=3，
∴函数g(x)的值域为[−1,3)．
18．（2025·上海·三模）设a>0且a≠1，已知函数f (x)=loga(x +2),g(x)=loga(2−x)．
(1)判断f (x)+ g(x)是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数ℎ(x)= f (x)+ g(x)，解关于x的不等式ℎ(2 x−3)>ℎ(3 x−1)．
【答案】(1)偶函数，理由见解析.
(2)当a>1时，不等式的解集为(
4
5 ,1)；当0<a<1时，不等式的解集为(
1
2 , 4
5).
【解题思路】（1）由偶函数的性质证明即可；
（2）由偶函数的性质，换元令t = 4−x
2，再分a>1和0<a<1结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即
可.
【解答过程】（1）f (x)+ g(x)是偶函数.
理由如下：
因为f (x)+ g(x)=loga(x +2)+loga(2−x)，
∴x +2>0且2−x>0，即定义域为{x∣−2< x<2}，定义域关于原点对称.
∵f (−x)+ g(−x)=loga(−x +2)+loga(2+ x)= f (x)+ g(x)，
∴f (x)+ g(x)是偶函数.
（2）ℎ(x)=loga(x +2)+loga(2−x)=loga(4−x
2),ℎ(x)为偶函数，
令t = 4−x
2,∵x∈(−2,2),∴t ∈(0,4).
当a>1时，y =logat在(0,4)上单调递增，ℎ(x)在区间(0,2)上单调递减，
由ℎ(2 x−3)>ℎ(3 x−1)，得|2 x−3)<|3 x−1)且{
−2<2 x−3<2
−2<3 x−1<2)，解得4
5 < x<1.
当0<a<1时，y =logat在(0,4)上单调递减，ℎ(x)在区间(0,2)上单调递增，
由ℎ(2 x−3)>ℎ(3 x−1)，得|2 x−3)>|3 x−1)且{
−2<2 x−3<2
−2<3 x−1<2)，解得1
2 < x< 4
5 .
综上所述：当a>1时，不等式的解集为(
4
5 ,1)；
当0<a<1时，不等式的解集为(
1
2 , 4
5).
19．（2025·江苏南通·一模）已知函数f ( x)= log2 1−x
1+ x ．
(1)判断并证明f (x)的奇偶性；
(2)若对任意x∈[−1
3 , 1
3)，t ∈[−2,2)，不等式f ( x)≥t
2+at −6恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)−1
2 ≤a≤1
2.
【解题思路】（1）利用奇偶性定义证明判断即可；
（2）根据对数复合函数单调性确定f (x)在x∈[−1
3 , 1
3)上最小值，把问题化为t
2+at −5≤0在t ∈[−2,2)
上恒成立，即可求结果.
【解答过程】（1）f (x)为奇函数，证明如下：
由解析式易知1−x
1+ x >0⇒( x−1)( x +1)<0⇒−1< x<1，函数定义域为(−1,1)，
而f (−x)= log2 1+ x
1−x =−log2 1−x
1+ x =−f ( x)，故f (x)为奇函数.
（2）由m= 1−x
1+ x =
2
1+ x −1在x∈[−1
3 , 1
3)上为减函数，而y = log2m在定义域上为增函数，
所以f (x)在x∈[−1
3 , 1
3)上为减函数，故f (x)min= f ( 1
3 )=−1，
要使任意x∈[−1
3 , 1
3)，t ∈[−2,2)，不等式f ( x)≥t
2+at −6恒成立，
只需t
2+at −6≤−1在t ∈[−2,2)上恒成立，即t
2+at −5≤0在t ∈[−2,2)上恒成立，
由y =t
2+at −5开口向上，则{
4−2a−5≤0
4 +2a−5≤0)⇒−1
2 ≤a≤1
2，
综上，−1
2 ≤a≤1
2.
