文档文本内容
第06 讲 对数与对数函数
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................4
高频考点一：对数的运算......................................................................................................4
高频考点二：换底公式..........................................................................................................4
高频考点三：对数函数的概念...............................................................................................5
高频考点四：对数函数的定义域...........................................................................................5
高频考点五：对数函数的值域...............................................................................................6
角度1：求对数函数在区间上的值域..............................................................................6
角度2：求对数型复合函数的值域..................................................................................6
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围...............................................................7
高频考点六：对数函数的图象...............................................................................................8
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象...................................................................8
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数...............................................................9
角度3：对数（型）函数图象过定点问题....................................................................10
高频考点七：对数函数的单调性.........................................................................................11
角度1：对数函数（型）函数的单调性........................................................................11
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数.........................................................12
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式.....................................................12
角度4：对数（指数）综合比较大小............................................................................14
高频考点八：对数函数的最值.............................................................................................14
角度1：求对数（型）函数的最值................................................................................14
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数.................................................................16
角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用.....................................................16
第四部分：典型易错题型...........................................................................................................18
第一部分：基础知识
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果
，那么数
叫做以
为底
的对数，记作
，其中
叫做对数的底数，
叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10 为底的对数
；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的
对数
.
（3）对数式与指数式的互化：
.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数
具有以下性质：
①负数和零没有对数，即
；
②1 的对数等于0，即
；
③底数的对数等于1，即
；
④对数恒等式
.
（2）对数的运算性质
如果
，那么：
①
；
②
；
③
.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：
.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换
成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10 为底的常用对数或以
为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①
；
②
；
③
(其中
，
，
均大于0 且不等于1，
).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如
(
，且
)的函数叫做对数函数，其中
是自变量，函数的定义域是
．
（2）对数函数的图象与性质
图象
性质
定义域：
值域：
过点
，即当
时，
在
上是单调增函数
在
上是单调减函数
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）
．
例题2．（24-25 高二上·四川绵阳·阶段练习）
精练高频考点
1．（2025 高一上·全国·专题练习）计算：
．
2．（2025 高三·全国·专题练习）计算：
．
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（多选）（25-26 高三上·全国·课后作业）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（25-26 高三上·全国·课后作业）（1）设
，求
的值；
（2）已知
，且
，求
；
（3）求
的值．
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高二下·湖南郴州·）
（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（24-25 高三上·全国·课后作业）若代数式
有意义，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·上海·随堂练习）函数
为对数函数，则实数a 的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
精练高频考点
1．（多选）（23-24 高三上·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使
有意义的a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·上海·随堂练习）若对数
有意义，则
的取值范围是 ．
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·新疆喀什·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·广东深圳·期末）函数
的定义域为 .
精练高频考点
1．（2025 高二下·湖南郴州·学业考试）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·河南漯河·阶段练习）函数
的定义域是 ．
高频考点五：对数函数的值域
角度1：求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·全国·单元测试）函数
，
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2024 高三·河南）函数
的值域是 .
精练高频考点
1．（23-24 高三·全国·课后作业）已知函数
，则f（x）的值域是（ ）
A．
B．[﹣
，2]
C．[0，2]
D．[0，
]
2．（23-24 高三上·全国·课后作业）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
角度2：求对数型复合函数的值域
典型例题
例题1．（23-24 高三上·广东深圳·阶段练习）函数
的值域是（ ）
A．
B．R
C．
D．
例题2．（23-24 高一上·四川成都·阶段练习）求解下列各题
(1)已知
，求
的最大值与最小值.
(2)求函数
的值域.
精练高频考点
1．（23-24 高三上·全国·阶段练习）若函数
，则
的值域为 .
2．（23-24 高二下·甘肃武威·期中）函数
的值域是 .
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2025 高二下·陕西西安·学业考试）若函数
的值域为
，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
]
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域为
，求a 的取值范
围．
精练高频考点
1.（24-25 高三下·河南·开学考试）已知函数
的最大值为1，则实数
（ ）
A．1
B．2 或
C．4
D．4 或
2．（24-25 高一上·山东济宁·阶段练习）函数
的值域为
，则实数a 的取值范围是
.
高频考点六：对数函数的图象
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2025 高二下·湖南郴州·）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
且
，则函数
与函数
的图
象可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（24-25 高一上·福建泉州·期末）函数
的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知实数
且
，函数
的大致图象如下，则
，
的取值范围可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（23-24 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数
，对数函数
的图象如图所示，则下
列关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2024 高三上·全国·专题练习）已知函数
为常数，其中
的图象如图，则下
列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三·全国·课堂例题）如图所示的曲线分别是对数函数
，
，
，
的图象，则
，
，，
，1，0 的大小关系为 （用“＞”号连接）．
角度3：对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（24-25 高三下·海南·阶段练习）已知函数
的图象经过定点
，且幂函数
的图象过点
，则
．
例题2．（2025·河南·三模）函数
过定点A，若
，则
的最小值为（ ）．
A．4
B．6
C．8
D．10
精练高频考点
1．（2025·上海宝山·二模）已知函数
且
)的图像经过定点
，则点
的
坐标为
2．（23-24 高一下·云南昭通·期末）已知函数
（
，
）的图象恒过定点A，若
点A 在一次函数
的图象上，其中
，
，则
的最小值是 .
高频考点七：对数函数的单调性
角度1：对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误
是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
例题2．（2025·山东潍坊·一模）写出一个同时具有下列性质①②的函数
．
①
；②
在
上是增函数．
精练高频考点
1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·安徽蚌埠·期末）函数
的单调递增区间是 .
3．（24-25 高三上·山西运城·期末）函数
的单调递减区间是 ．
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（24-25 高一下·广西·期中）已知函数
在
上单调递减，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·安徽宿州·期末）已知关于
的函数
在
上单调递增，
则实数
的取值范围是 .
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误
是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
精练高频考点
1．（24-25 高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数
在
上是严格增函数，则实数
的取值范围是 .
2．（24-25 高三上·湖南永州·阶段练习）若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（24-25 高三上·北京西城·阶段练习）已知函数
.
(1)判断
的奇偶性，并证明；
(2)若
，求
的取值范围.
例题2．（24-25 高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知函数
的图象与
（
且
）
的图象关于直线
对称，且
的图象过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
成立，求x 的取值范围．
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误
是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数
是指数函数.
(1)求
的表达式；
(2)判断
的奇偶性，并加以证明；
(3)解不等式：
.
2．（24-25 高三上·山东临沂·期末）已知函数
为偶函数.
(1)求a 的值；
(2)若
，求m 的取值范围.
角度4：对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2025·天津南开·二模）已知
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·天津滨海新·三模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025·天津·二模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点八：对数函数的最值
角度1：求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（24-25 高三上·全国·课后作业）函数
在区间
内的最大值为 ．
例题2．（24-25 高三上·浙江杭州·期中）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，求函数
的值域
精练高频考点
1．（23-24 高三上·吉林延边·期末）设函数
，且
.
(1)求实数
的值及函数
的定义域；
(2)求函数
在区间
上的最小值.
2．（23-24 高三上·陕西延安·期末）设
，且
．
(1)求
的值及
的定义域；
(2)求
在区间
上的最值.
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（23-24 高三上·山西长治·期末）已知函数
的最大值为2，则
．
例题2．（22-23 高三上·安徽合肥·阶段练习）若函数
（
且
）的最小值为
－4，则实数a 的值为 .
精练高频考点
1．（23-24 高三上·四川成都·期末）已知函数
的值域为
，
的值域为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5
2．（2024·广西南宁·模拟预测）已知函数
，若
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用
典型例题
例题1．（24-25 高三上·河北张家口·开学考试）已知函数
（
为常数，
），且
是偶函数.
(1)求
的值；
(2)若函数
，问是否存在正实数
，使关于
的不
等式
对
恒成立，若存在，求出
的范围；若不存在，请说明理由.
例题2．（24-25 高三上·山西太原·开学考试）已知函数
．
(1)证明函数
为奇函数；
(2)设函数
，若
，使得
，求实数
的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若
在
上单调递增，求
的取值范围．
(3)设
，若对于任意
，存在
，使得不等式
成立，求
的取值范
围．
2．（24-25 高三上·山西·期末）已知函数
．
(1)当
时，解方程
；
(2)若对
，函数
在区间
上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的
取值范围．
第四部分：典型易错题型
备注：对数型复合函数容易忽略定义域
1．（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数
在
内单调递增，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广东·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一上·云南昆明·期末）函数
的单调递减区间为（ ）．
A．
B．
C．
D．
备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较
1．（24-25 高二上·安徽·开学考试）已知
是
上的减函数，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
