文档文本内容
第06 讲 函数
的图象及其应用
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................2
高频考点一：函数
的图象变换....................................................................................2
高频考点二：根据图象确定函数
的解析式..................................................................3
高频考点三：五点法作图...........................................................................................................................6
高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用.......................................................................................10
高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题................................................................................13
高频考点六：三角函数模型..................................................................................................................... 15
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................18
第一部分：基础知识
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数
,
的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数
,
的图象上,五个关键点是:
2、由
的图象变换得到
(
，
)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国甲卷·高考真题）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度
得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数
的图象，只要把函数
图象上所有的点
（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数
的图象变换
典型例题
例题1．（24-25 高一下·河南南阳·期末）为了得到函数
的图象，可以将函数
的
图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
是个单位长度
D．向左平移
个单位长度
例题2．（24-25 高一下·吉林长春·期中）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位 B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向右平移
个单位
精练高频考点
1．（24-25 高一下·江西萍乡·期中）为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象上
各点（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
2．（24-25 高三上·四川雅安·阶段练习）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图
象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
3．（24-25 高三上·四川·阶段练习）要得到函数
的图象，只需要将函数
的
图象（ ）
A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移
高频考点二：根据图象确定函数
的解析式
典型例题
例题1．（24-25 高二下·浙江宁波·期末）已知函数
的部分图象如图所示，则将
该函数图象向左平移
个单位后得到的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（多选）（24-25 高三上·河北承德·阶段练习）已知函数
部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向右平移
个个单位得到函数
的图象
D．若方程
在
上有且只有一个实数根，则m 的取值范围是
精练高频考点
1．（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
的部分图象如
图所示，将函数
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，则
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（24-25 高一下·重庆·期中）已知函数
的部分图象如
图所示，则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于点
对称
D．将
的图象向左平移
个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数
3．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知如图是函数
的部分图象，
则（ ）
A．
的图象关于
中心对称
B．
在
单调递增
C．若
在
上的值域为
，则
的最大值为
D．
的图象向左平移
个单位长度后为偶函数的图象
高频考点三：五点法作图
典型例题
例题1．（24-25 高一下·云南丽江·期末）已知函数
(1)用“五点法”作出
在
上的简图；
(2)求
的最大值以及取得最大值时
的集合.
例题2．（24-25 高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数
．
(1)填写下表，并在坐标系中用“五点法”画出函数
在一个周期上的图象；
(2)求
的对称轴与对称中心；
(3)当
，求函数
的值域.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·北京西城·阶段练习）已知函数
，
.
(1)填写下表，用“五点法”作函数
在一个周期内的图象；
0
0
0
0
(2)函数
的最小正周期
_____；
(3)求函数
的单调增区间和对称中心.
2．（24-25 高一下·福建宁德·阶段练习）已知
(1)说明该函数图象可由
的图象经过怎样平移和伸缩变换得到.
(2)填写下表并用五点法画出
在
上简图；
3．（24-25 高一上·山东枣庄·期末）已知函数
．
(1)请用“五点法”画出函数
在一个周期上的图象；
(2)写出
的单调递增区间．
高频考点四：三角函数图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（24-25 高一下·江西赣州·期末）已知函数
，若
的
一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为
.
(1)求
的解析式，并写出
的单调递减区间；
(2)把
的图象向右平移
个单位，再向上平移
个单位，得到函数
的图象，求
在区
间
上的值域.
例题2．（24-25 高一下·四川成都·期中）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)设常数
，若
在区间
上是增函数，求
的取值范围；
(3)将
的图像向下平移一个单位，所有纵坐标缩短为原来的一半得到函数
．若
对一切
恒成立，求实数a 的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·上海浦东新·期中）已知函数
(1)求
的最小值；
(2)若将
的图象上所有点向左平移
个单位长度得到
的图象，求函数
的对称轴和对
称中心；
(3)当
时，
的值域为
，求
的值.
2．（24-25 高一下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数
的最大值为
．
(1)求φ 的值及
的单调递增区间；
(2)先将
向右平移
个单位，再将所得图像上的所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不
变），得到
的图像．若
，
，求实数m 的取值范围．
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的最小正周期及单调递减区间；
(2)将
图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，再将
的图象向右平移
个单位后，再将纵坐标变
为原来的
，最终得到
的图象，若
，满足不等式
，求
的
取值范围．
高频考点五：三角函数的零点（方程的根）的问题
典型例题
例题1．（24-25 高三上·河南焦作·阶段练习）已知向量
，
，函数
，
图象的相邻对称轴之间的距离为
．
(1)求
的解析式；
(2)求函数
的单调递增区间和
的图象的对称轴方程；
(3)将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标伸长为原来的2 倍，再向左平移
个单位
得
的图象，若关于
的方程
在
上只有一个解，求实数
的取值范围．
例题2．（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）已知函数
(1)求函数
的单调增区间：
(2)将函数
的图象上所有的点向右平移
个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象．
①当
时，求函数
的值域；
②若方程
在
上有三个不相等的实数根
，求
的值．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·贵州毕节·阶段练习）已知函数
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)将
的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移
个单位得到
的图象，当
时，方程
有解，求实数
的取值范围.
2．（24-25 高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数
.
(1)若
图象纵坐标不变，横坐标变为原来的4 倍，再向右平移
个单位，得到的图象在
上单调
递增
，求
的最大值；
(2)是否存在实数
，使
在
上有两个零点，若存在，求出实数
的值或取值范围，若不存在，请
说明理由.
3．（24-25 高三上·河北保定·阶段练习）已知函数
，
图象
的相邻对称轴之间的距离为
.
(1)求
的解析式和函数
的单调递增区间；
(2)将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标伸长为原来的2 倍，再向左平移
个单位
得
的图象，若关于
的方程
在
上只有一个解，求实数
的取值范围.
高频考点六：三角函数模型
典型例题
例题1．（24-25 高一下·辽宁辽阳·期末）如图，四边形
是一块矩形铁皮，
.该铁皮
内有一半径为2 的扇形
（
在
上，
在
上）区域因被腐蚀而不能使用，其余部分可以使用.工
人计划在
上找一点
（包含
），作
，得到可以使用的矩形铁皮
.
(1)试比较当点
分别与点
重合时，矩形铁皮
的面积的大小；
(2)以
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系.定义：若
，
，则
.求
的取值范围.
例题2．（24-25 高一下·广东肇庆·期末）某人承包了一片长方形水域
养殖水产，需要在四条边上建
立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M 在
的中点处，另外两个
投放点N，P 分别在
，
上，且要求
与
垂直，已知
，
．
(1)求
的面积S 的最大值；
(2)已知建造浮桥的费用为每米100 元，预估造桥费用为Q 元，求Q 的取值范围．
精练高频考点
1．（24-25 高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮
，其中
米，
米，其中，是一个
大于等于
的常数．阴影部分
是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分
均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在
与
上的矩形铁皮
，使点P 在弧
上．设
，矩形
的面积为S 平方米．
(1)求S 关于
的函数表达式；
(2)当
时，求S 的最值，并求出当S 取得最值时，所对应的
的值．
2．（24-25 高三上·上海松江·阶段练习）如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形
内的空地上植造
一块“绿地
”，规划在
的内接正方形
内种花，其余地方种草，若
，
，种草的面积为
，种花的面积为
，比值
称为“规划和谐度”．
(1)试用
、
表示
、
；
(2)若
为定值，
足够长，当
为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少?
3．（24-25 高一下·江西南昌·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮
汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录
的水面深度（y）与时间（x）的关系表：
x
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
（米）
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
(1)若某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系可用
这个函数模型近似描述，请求出该函数模型的解析式；
(2)依照（1）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 米，安全条例规定至少要
有2.25 米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能
在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？
第四部分：典型易错题型
易错点一：函数图象变换过程中忽视了函数名要统一
1．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
2．为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
