专题2.13 函数与方程（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)理解函数的零点与方程的解的联系
(2)理解函数零点存在定理，并能简单应用
(3)了解用二分法求方程的近似解
考点
2024 年
2025 年
2026 年
高考真题
统计
函数与方程
新课标Ⅱ卷：第6
题，5 分
全国甲卷（文数）：
第16 题，5 分
天津卷：第7 题，5
分
上海卷（秋考）：第
21 题，18 分
全国二卷：第13 题，
5 分
北京卷：第15 题，5
分
命题规律
分析
1、函数与方程
函数的零点问题是高考常考的重点和热点内容，从近三年的高考情况来
看，一般以选择题与填空题的形式出现，此时主要考查零点所在的区间、
函数图象交点问题以及函数零点个数问题等，难度较易或中档；有时候也
会在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分
布、个数问题等，或者与导数结合考查，此时难度偏大，一般出现在压轴
题位置。
知识点
1
函数零点所在区间
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若
有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)=
函数与方程
考点1
g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
知识点
2
函数的零点个数和求参问题
1．函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接
法
：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数
的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同
的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函
数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
2．已知函数零点求参数的方法
(1)已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟
悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数
法
：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
(2)已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出
两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
知识点
3 嵌套函数的零点问题
1．嵌套函数的零点问题的解题策略
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,
设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
【题型1 函数零点所在区间的判断】
【例1】（2026·山东泰安·一模）函数f ( x)=( x −1)2
x−26的零点所在的大致区间为（ ）
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
【变式1-1】（25-26 高二下·四川自贡·阶段检测）函数f (x)=2
x+ ln x−3的零点所在区间为（ ）
A．(2,3)
B．(0, 1
2)
C．(
1
2 ,1)
D．(1,2)
【变式1-2】（25-26 高一上·陕西商洛·期末）函数f (x)= 4
x+ x−6的零点所在的区间为（ ）
A．(
1
2 ,1)
B．(1, 3
2)
C．(
3
2 ,2)
D．(2, 5
2)
【变式1-3】（25-26 高一上·江西抚州·期末）函数f ( x)= x
3−( 1
2 )
x
的零点所在的区间是（ ）
A．(2,3)
B．(1,2)
C．(0,1)
D．(−1,0)
【题型2 求函数的零点或零点个数】
【例2】（25-26 高一上·辽宁大连·期末）函数f (x)=2
x+ x−6的零点为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式2-1】（25-26 高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数f (x)=1−ln|x)的零点为（ ）
A．e
B．−e
C．e和−e
D．(e,0)或(−e,0)
【变式2-2】（2026·四川巴中·一模）已知函数f ( x)={
|ln x), x>0
x
2+2 x +2, x ≤0)
，则方程f (f ( x)−2)=2实数根的
个数为（ ）
A．6
B．7
C．10
D．11
【变式2-3】（2026·北京·模拟预测）已知函数f ( x)={
2
x ,0< x ≤1
1
2 f ( x−1), x>1)
，则函数g( x)= f ( x)−2
x
的零点
个数为（ ）
A．2
B．0
C．3
D．无穷
【题型3 根据函数零点的个数求参数】
【例3】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数f (x)={
x
2+ 4 x +3, x ≤0
1+log 1
3
x , x>0)
，若函数g(x)= f (x)−a恰有3 个零
点，则a的取值范围为（ ）
A．(−1,3)
B．[0,3)
C．(−1,0)
D．(3,+∞)∪{−1)
【变式3-1】（2026·河北沧州·一模）已知函数f (x)={
log2 x +1, x>0
−2 x
2+ax , x ≤0)
,若函数y = f (f (x))至少有7 个零
点，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−2, +∞)
B．(−∞, 2)
C．[−2, 0)
D．(−∞, −2)
【变式3-2】（2026·北京顺义·一模）已知函数f ( x)={
x
3, x ≥0
−x , x<0)
，若方程f ( x)= x
2−kx有4 个不同的实
数解，则k的取值范围是（ ）
A．(−∞,0)
B．(0, 1
4 )
C．(−∞,0)∪(0, 1
4 )
D．( 1
4 ,+∞)
【变式3-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)={
x
3, x ≥0
−x , x<0)
，若函数
g(x)= f (x)−|k x
2−3 x)(k ∈R)恰有4 个零点，则k的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1
3)∪(2❑√3,+∞)
B．(−∞,−1
3)∪(0,2❑√3)
C．
(−∞,0)∪(0,2❑√3)
D．
(−∞,0)∪(2❑√3,+ ∞)
【题型4 根据零点的范围求参数】
【例4】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数f (x)=lg x +t在(1,10)上有零点，则t的取值范围为（ ）
A．(−10,0)
B．(−1
10 ,0)
C．(0,1)
D．(−1,0)
【变式4-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数f (x)=kx −4+ x log2 x在区间[1,4)内有零点，则实数k的取
值范围为（ ）
A．[−4,1)
B．(−4,1)
C．[−1,4)
D．(−1,4)
【变式4-2】（25-26 高一上·河南信阳·期末）函数f ( x)=2
x−2a
x
的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取
值范围是（ ）
A．(1,3)
B．(1,4)
C．(0,3)
D．(1,2)
【变式4-3】（25-26 高一上·重庆·阶段检测）函数f (x)=kx −4+ x log2 x在区间[ 4,8)内有零点，则实数k
的取值范围为（ ）
A．[−2,−1)
B．(−2,−1]
C．[−5
2 ,−1]
D．(−5
2 ,−1]
【题型5 嵌套函数的零点问题】
【例5】（2026·山西临汾·二模）已知函数f (x)={
|2
x−1), x ≤2,
3
x−1 , x>2, )
若方程[f (x))
2−(a+5)f (x)+5a=0有三
个不同的实数根，则a的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(0,3)
D．(1,3)
【变式5-1】（25-26 高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数f (x)={
4−x
2, x ≤0
|ln x)+2, x>0)
，若函数
g(x)= f (f (x))−t恰有5 个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A．(2,e
2)
B．(ln2+2,4)
C．(ln2+2,2ln2+2) D．(2,4)
【变式5-2】（2026·陕西宝鸡·二模）已知函数f (x)={
x
2−2 x +1, x ≥0
|1−ln (−x)), x<0)
，若关于x的方程
a[f (x))
2−(2a+1)f (x)+2=0有7个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(0,1)
C．[0,1)
D．[1,+∞)
【变式5-3】（2026·河南鹤壁·一模）已知函数f (x)={
−2
−x+1，x ≤0，
f (x−1)，x>0，)
若关于x的方程
2[f (x))
2+(3−3a)f (x)+2a=0在区间(−∞,2025]内有2027 个不同的实数根，则实数a的取值范围是（
）
A．[
1
10 ，1
5)
B．[0，1
5)
C．(0，1
5)
D．(−∞，1
5)
【题型6 用二分法求方程的近似解】
【例6】（2026·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数f (x)=ln x +2 x−6在(2,3)内的零点近似值，若精确
度要求为0.1，则需重复相同步骤的次数至少为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式6-1】（25-26 高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程ln (2 x +6)+2=3
x根的近似解时，令
f (x)= ln (2 x +6)+2−3
x，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程ln (2 x +6)+2=3
x的
一个近似解为（精确度为0.1）（ ）
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f (x)
1.0794
0.1918
−0.3604
−0.9989
A．1.125
B．1.3125
C．1.4375
D．1.46875
【变式6-2】（25-26 高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程2
x+ x−8=0在[1,5)上的近似解时，经过两次
二分后，可确定近似解所在区间为（ ）
A．[1,1.5)
B．[2,3)
C．[1,2)
D．[3,5)
【变式6-3】（25-26 高一上·全国·阶段检测）若函数f (x)= x
3+ x
2−2 x−2的一个正数零点附近的函数值用
二分法逐次计算，参考数据如表：
x
1
1.5
1.25
1.375
1.4375
1.40625
f (x)
−2
0.625
−0.984
−0.260
0.162
−0.054
那么当精确度达到0.04时，可作为方程x
3+ x
2−2 x−2=0的一个近似根的是（ ）
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.4375
【题型7 多零点的大小与范围问题】
【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数f ( x)=3
x+3 x , g( x)= log3 x +3 x ,h( x)= x
3+3 x的零点分别为
a,b,c，则a,b,c的大小顺序为（ ）
A．b>c>a
B．b>a>c
C．c>a>b
D．a>b>c
【变式7-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数f (x)= x⋅10
x−1,g(x)= x⋅lg x−1,h(x)= x
4
3 −1
的
零点分别为a,b,c，则a,b,c的大小顺序为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<c<a
D．c<a<b
【变式7-2】（2026·海南·模拟预测）已知函数f ( x)={
−1
4 x
2−x +1, x ≤0
|log2 x|, x>0 )
，若存在不相等的实数
x1< x2< x3< x4
，满足f (x1)= f (x2) = f (x3)= f (x4)，则x1+ x2+ x3+ x4
的取值范围为（ ）
A．[−2, 1
4)
B．(−2, 1
4)
C．[−3
2 , 1
4)
D．(−3
2 , 1
4)
【变式7-3】（2026·陕西延安·一模）设函数f (x)=|x
2−4 x +3)−a(a>0),若f (x)有四个不同的零点
x1, x2, x3, x4
，且满足x1< x2< x3< x4
，则x2+ x4
x1+ x3
的取值范围是（ ）
A．(1, 9+ 4 ❑√2
7 )
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
一、单选题
1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数f (x)=0.3
x−❑√x的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.5)
B．(0.5,0.7)
C．(0.7,1)
D．(1,2)
2．（25-26 高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数f ( x)=ln x + 4 x−9，利用二分法求函数f ( x)在(2,3)内
的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（ ）
A．(2, 9
4 )
B．( 9
4 , 5
2 )
C．( 5
2 , 11
4 )
D．( 11
4 ,3)
3．（2026·天津·二模）函数f (x)=log2 x−1
3 x的一个零点所在区间为（ ）
A．(7,8)
B．(8,9)
C．(9,10)
D．(10,11)
4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数f (x)={
x
2−2 x−1, x ≤0
e
x−1, x>0
)
，若方程f (x)=k只有一个实数解，
则k的取值范围为（ ）
A．[−1,0)
B．(−1,0)
C．[−1,0)
D．(−1,0)
5．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数f (x)=¿在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[−1,0)
B．(−1,0)
C．[−1,0)
D．(−1,0)
6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数f (x)={
3
x−1+1,(x ≤1)
|ln (x−1)),( x>1))
，若F (x)= f
2(x)−2af (x)+ 4
3
的零
点个数为4，则实数a取值范围为（ ）
A．(
❑√6
3 , 5
6 ]∪( 4
3 ,+∞)
B．(
❑√6
3 , 5
6 ]∪(2,+∞)
C．[
5
6 ,2)
D．(
4
3 ,+ ∞)
7．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数f (x)= 1
3 x
3−x +e，g(x)=ln x + x−e与h(x)=e
x+ x−e的零点
分别为x1，x2，x3，则（ ）
A．x1< x2< x3
B．x1< x3< x2
C．x2< x3< x1
D．x3< x2< x1
8．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数f (x)={
−x
2−2 x +2, x ≤0
|ln x), x>0 )
，若函数g(x)=[f (x))
2−af (x)+5有8 个
不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(2❑√5, 9
2)
B．(2❑√5, 9
2)
C．(
9
2 , 14
3 )
D．[
9
2 , 14
3 )
二、多选题
9．（25-26 高一上·四川成都·阶段检测）已知函数y = f ( x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应
值表：
x
1
2
3
4
5
6
f ( x)
16.88
8.66
−2.01 8.88
−1.24 −10.064
在下列区间中，函数f ( x)必有零点的区间为（ ）
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(5,6)
10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数f (x)=¿函数g(x)=[f (x))
2−2mf (x)+m
2−1，则下列结论正确
的是（ ）
A．若关于x的方程f (x)=a恰有1 个实数根，则a的取值范围是(6,+∞)
B．若关于x的方程f (x)=a恰有2 个不同的实数根，则a的取值范围是(0,1)∪[2,6)
C．若g(x)有5 个零点，则m的取值范围是(2,3)
D．g(x)可能有6 个零点
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数f (x)={
|log3(−x)), x<0
2−x , x ≥0 )
，若函数y = f (x)−a(a∈R)有三个
互不相等的零点x1, x2, x3，且x1< x2< x3，则下列结论正确的是（ ）
A．实数a的取值范围是[0,2)
B．f (x)的单调递减区间为(−∞,−1)，[0,+∞)
C．x1 x2 x3∈[0,2)
D．函数y = f (f (x))有4 个零点
三、填空题
12．（2026 高一上·全国·专题练习）用二分法求函数f (x)= ln x +2 x−6在区间(2,3)内的零点近似值，至少
经过__________次二分后精确度达到0.1.
13．（2026·山东济宁·一模）已知函数f (x)={
x +2, x ≤0
ln(x +1), x>0)若关于x的方程f (f (x))=m恰有三个不相等
的实数根，则实数m的取值范围是__________.
14．（2026·天津红桥·二模）设函数f (x)={
e
(x +1)
2
, x ≤0
x + 4
x −3, x>0)
，若y = f (x)−a有四个不同的零点，从小到大
依次为x1, x2, x3, x4，则x1 x2+ x3+ x4的取值范围为__________．
四、解答题
15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知f (x)=e
2 x−ax +2，a∈R，e是自然对数的底数．
(1)求函数y = f (x)的单调区间；
(2)若关于x的方程f (x)−2=0有两个不等实根，求a的取值范围．
16．（2026 高三·全国·专题练习）已知关于x 的方程a x
2−2(a+1) x +a−1=0，求实数a为何值时？
(1)方程有唯一实数根或两相等实数根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
17．（2026 高一·全国·专题练习）已知函数f (x)=¿其中k ∈R，且y = f (x)在(−1,5)上有三个零点x1，x2
，x3．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求x1
2+ x2
2+ x3
2的取值范围．
18．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数f ( x)为定义在R上的偶函数，且x ≥0，f ( x)= x
2−mx +1.
(1)若m=1，求函数f ( x)解析式；
(2)求函数f ( x)在[1,3]的最小值；
(3)若函数y = f ( x)在(0,4)有两个不同的零点，求m 的取值范围.
19．（25-26 高一上·北京西城·期中）已知函数f (x)= x
2+ax +b，f (0)= 4且满足∀x∈R，f (x)≥f (1)
．
(1)求a，b的值；
(2)已知函数g(x)= f (x)−(m−2) x有两个不同的正数零点x1，x2．
（i）求m的取值范围；
（ii）若|x1−x2)=2，求m的值：
