第11 讲 函数的图像 · 讲义（解析卷）
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
一、掌握基本初等函数的图像..............................................................................................2
二、函数图像作法..................................................................................................................2
三、典题精讲......................................................................................................................................3
考点一：函数图象的识辨......................................................................................................3
考点二：函数图象的变换......................................................................................................6
考点三：函数图象的应用......................................................................................................8
四、高考真题....................................................................................................................................13
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与
题型
分值
考察类型
考察内容与方式
2024
第7 题
单选题
5 分
直接
函数图象的应用（画出三角函数图象求交点个数）
2025
第8 题
单选题
5 分
间接
函数图象的应用（数形结合比较对数方程根的大小）
2026
-
0 分
-
-
近三年全国一卷中，对函数图象的考查频次适中，主要以单选题形式出现，分值为5
分.考查方式侧重于函数图象的应用，如利用图象解决交点个数问题或数形结合比较大小.
2. 命题角度与特色
核心考点：侧重考查利用函数图象解决方程的根（交点）个数问题，以及基本初等函
数图象的走势与性质.
命题趋势：单纯考查图象识辨的题目减少，更多地将函数图象作为一种工具（数形结
合思想），融入到方程、不等式或大小比较等综合问题中.
试题特点：对作图能力要求较高，需要考生能够准确画出函数的草图，并敏锐捕捉图
象的交点、渐近线、增减趋势等关键特征.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基本初等函数（特别是指数函数、对数函数、三角函数）的图象特征
及作图方法.
· 强化数形结合思想，在遇到方程根的个数、不等式恒成立或复杂代数式比较大小时，
优先考虑画出图象辅助分析.
· 掌握函数图象的平移、伸缩、翻折等常见变换规律，能够根据解析式快速描绘出复
杂函数的草图.
二、知识清单
一、掌握基本初等函数的图像
· （1） 一次函数；（2） 二次函数；（3） 反比例函数；（4） 指数函数；（5）
对数函数；（6） 三角函数.
二、函数图像作法
1. 直接画
· ①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性 (或其他对称性)、单调性、周
期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线 (对称轴、渐近线等).
2. 图像的变换
（1） 平移变换
· ①函数y = f ( x +a) (a>0) 的图像是把函数y = f ( x)的图像沿x轴向左平移a个单位得到
的.
· ②函数y = f ( x -a) (a>0) 的图像是把函数y = f ( x)的图像沿x轴向右平移a个单位得到
的.
· ③函数y = f ( x)+a (a>0) 的图像是把函数y = f ( x)的图像沿y轴向上平移a个单位得到
的.
· ④函数y = f ( x)-a (a>0) 的图像是把函数y = f ( x)的图像沿y轴向下平移a个单位得到
的.
（2） 对称变换
· ①函数y = f ( x)与函数y = f (- x)的图像关于y轴对称；函数y = f ( x)与函数y =- f ( x)的
图像关于x轴对称；函数y = f ( x)与函数y =- f (- x)的图像关于坐标原点(0,0)对称.
· ②若函数f ( x)的图像关于直线x =a对称，则对定义域内的任意x都有f (a- x)= f (a+ x)
或f ( x)= f (2a- x) (实质上是图像上关于直线x =a对称的两点连线的中点横坐标为a，即
(a- x)+(a+ x)
2
=a为常数).
· 若函数f ( x)的图像关于点(a,b)对称，则对定义域内的任意x都有f ( x)=2b- f (2a- x)
或f (a- x)=2b- f (a+ x).
· ③y =|f ( x)|的图像是将函数f ( x)的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分
关于x轴对称翻折上来得到的 (如图 (a) 和图 (b)) 所示.
· ④y = f (| x|)的图像是将函数f ( x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图
像关于y轴对称得到函数y = f (| x|)左边的图像即函数y = f (| x|)是一个偶函数 (如图 (c)
所示).
· ⑤函数y = f
-1( x)与y = f ( x)的图像关于y = x对称.
【易错提醒】|f ( x)|的图像先保留f ( x)原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x
轴对称图形，然后擦去x轴下方的图像得到；而f (| x|)的图像是先保留f ( x)在y轴右方的
图像，擦去y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到.这两变换又
叫翻折变换.
（3） 伸缩变换
· ①y = Af ( x) (A >0) 的图像，可将y = f ( x)的图像上的每一点的纵坐标伸长 (A >1) 或
缩短 (0< A <1) 到原来的A倍得到.
· ②y = f (ωx) (ω>0) 的图像，可将y = f ( x)的图像上的每一点的横坐标伸长 (0<ω<1)
或缩短 (ω>1) 到原来的1
ω倍得到.
三、典题精讲
考点一：函数图象的识辨
考法1：利用函数的奇偶性与特殊点识辨图象
例1.已知函数f ( x)的部分图象如图所示，则f ( x)的解析式可能为（ ）
A. f ( x)= x cos π( x +1) B. f ( x)=( x -1)cos πx
C. f ( x)=( x -1)sin πx D. f ( x)= x
3-2 x
2+ x -1
【答案】B
【思路】观察给定图象，可以从特殊点的函数值、图象的对称性以及极值点的个数入手.通过代入
特殊点x =0的值排除部分选项，再结合导数分析极值点个数，最后验证符合图象特征的解析式.
【解析】对于 A 选项，f （0）=0，A 选项错误；对于 C 选项，f （0）=0，C 选项错误；对
于 D 选项，f
'( x)=3 x
2- 4 x +1，f
'( x)=0有两个不等的实根，故f ( x)有两个极值点，D 选项错误.
对于 B 选项，f ( x)=( x -1)cos πx，f （0）<0；当x∈(- 1
2 , 1
2)，k ∈Z时，cos πx>0，
x -1<0，此时f ( x)<0，当x∈(
1
2 ,1)，k ∈Z时，cos πx<0，x -1<0，此时f ( x)>0，当
x∈(1, 3
2)，k ∈Z时，cos πx<0，x -1>0，此时f ( x)<0，依次类推可知f ( x)函数值有正有负；
显然f ( x)不单调；∵当x = 1
2 + k ,k ∈Z时f ( x)=0，∴f ( x)有多个零点；∵
f （2）=1,f (-2)=-3，∴f （2）≠f (-2),f （2）≠- f (-2)，∴f ( x)既不是奇函数也不是
偶函数，以上均符合，故 B 正确.故选：B.
【规律】识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶性、周
期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点.通过排除法逐步
缩小范围，最终确定正确选项.
考法2：利用导数与单调性识辨图象
例2.（2026·淮北·一模）函数f ( x)=
x
1+e
- x在AI 神经网络中作为激活函数使用，可提升模
型的非线性拟合能力.下列函数图象中，可以作为f ( x)大致图象的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【思路】面对结构较为复杂的函数，常规的奇偶性有时无法直接判断，此时需借助导数工具.通过
求导分析导函数的符号变化，进而确定原函数的单调区间与极值情况，对比各选项图象的升降趋
势即可锁定答案.
【解析】∵f ( x)=
x
1+e
- x ，∴f （1）=
1
1+e
-1 >0，排除选项 BD，∵f ( x)=
x
1+e
- x ，∴
f
'( x)= 1+e
- x+ x e
- x
(1+e
- x)
2
= 1+e
- x(1+ x)
(1+e
- x)
2
，设g( x)=1+e
- x(1+ x)，g
'( x)=-e
- x(1+ x)+e
- x =- x e
- x，
当g
'( x)>0时，即- x e
- x>0，x<0，则g( x)在x<0范围内是单调递增函数；当g
'( x)<0时，即
- x e
- x<0，x>0，则g( x)在x>0范围内是单调递减函数；当x>0时，∵g( x)>0，∴f
'( x)>0，∴
f ( x)在x>0范围内是单调递增函数；当x<0时，g( x)在x<0范围内是单调递增函数，∵
g（0）=1+e
-0(1+0)=2，g(-2)=1+e
2(1-2)=1-e
2<0，∴∃x0∈(-2,0)，使得g( x0)=0，
∴当x∈(-∞, x0)时，g( x)<0，f
'( x)<0，则f ( x)在x∈(-∞, x0)是单调递减函数；∴当
x∈( x0,0)时，g( x)>0，f
'( x)>0，则f ( x)在x∈( x0,0)是单调递增函数；则选项 A 符合.故选：
A.
【规律】当函数图象的局部特征（如单调性、极值点位置）不明显时，求导是判断图象走势的核
心手段.特别要注意导数符号改变的点（即极值点）在图象上的反映，这往往是区分相似图象的关
键.
考法3：含参基本初等函数图象的识辨
例3.在同一直角坐标系中，函数y = 1
a
x，y = loga(x + 1
2)(a>0且a≠1)的图象可能是
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【思路】题目涉及指数函数与对数函数，且底数a未知，需对底数a进行分类讨论.分别探讨0<a<1
和a>1两种情况下，两个函数的单调性及所过定点，寻找能够同时满足这两种图象特征的选项.
【解析】当0<a<1时，函数y =a
x过定点(0,1)且单调递减，则函数y = 1
a
x 过定点(0,1)且单调递增，
函数y = loga(x + 1
2)过定点(
1
2 ,0)且单调递减，D 选项符合；当a>1时，函数y =a
x过定点(0,1)且
单调递增，则函数y = 1
a
x过定点(0,1)且单调递减，函数y = loga(x + 1
2)过定点(
1
2 ,0)且单调递增，
各选项均不符合.综上，选D.
【规律】解决含参基本初等函数图象问题，核心在于“分类讨论”与“抓定点”.根据底数与1 的
大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过(0,1)和对数函数过(1,0)（或平移后的定点）的性
质，可快速排除错误选项.
【考点一 方法总结】
· 识辨函数图象的常用方法是“先定性，后定量”.定性即观察函数的定义域、奇偶
性、周期性、单调性以及变化趋势；定量即寻找图象与坐标轴的交点、极值点等特殊点.
· 当函数图象的局部特征（如单调性、极值点位置）不明显时，求导是判断图象走
势的核心手段.特别要注意导数符号改变的点（即极值点）在图象上的反映，这往往是区
分相似图象的关键.
· 解决含参基本初等函数图象问题，核心在于“分类讨论”与“抓定点”.根据底数
与1 的大小关系确定函数的单调性，利用指数函数过(0,1)和对数函数过(1,0)（或平移后
的定点）的性质，可快速排除错误选项.
考点二：函数图象的变换
考法1：平移、伸缩与对称变换的综合
例4.已知函数f ( x)的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式
（ ）
A. y = f (2 x -1)
B. y = f(
4 x -1
2 )
C. y = f (1-2 x)
D. y = f(
1- 4 x
2 )
【答案】C
【思路】对比原图象与目标图象，观察关键点的位置变化.可以发现目标图象发生了翻转、平移以
及宽度的缩放.依据“左加右减、上加下减”的平移法则以及对称、伸缩变换规则，逆向或正向推
导解析式的变化过程.
【解析】y = f ( x) →
①x→- x
y = f (- x)
→
②x→x -1
y = f (1- x) →
③x→2 x
y = f (1-2 x)，①关于y轴对称②向右
平移1 个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半.故选：C.
【规律】复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量直接加减在x上；若先伸缩
后平移，平移量需提取系数.处理f (- x)等对称变换时，务必将- x视为一个整体，避免符号干扰.
考法2：含有绝对值的翻折变换
例5.已知函数f ( x)={
-2 x(-1≤x ≤0),
❑√x(0< x ≤1), 则下列图象错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【思路】题干给出了分段函数，可先画出原函数f ( x)的准确图象.随后，分别根据绝对值在函数外
y =|f ( x)|和绝对值在自变量上y = f (| x|)的翻折规律，逐一验证各选项图象的正确性.
【解析】当-1≤x ≤0时，f ( x)=-2 x，表示一条线段，且线段经过(-1,2)和(0,0)两点.当0< x ≤1
时，
f ( x)= ❑√x
，表示一段曲线.函数
f ( x)
的图象如图所示.
f ( x -1)的图象可由f ( x)的图象向右平移一个单位长度得到，故A 正确；f (- x)的图象可由f ( x)
的图象关于y轴对称后得到，故B 正确；由于f ( x)的值域为[0,2]，故f ( x)=|f ( x)|，故|f ( x)|
的图象与f ( x)的图象完全相同，故C 正确；很明显D 中f (| x|)的图象不正确.故选：D.
【规律】熟记两种核心翻折变换：y =|f ( x)|是将x轴下方的图象翻折到上方，上方保留；
y = f (| x|)是保留y轴右侧图象，并将其对称到左侧（左侧原有图象舍弃）.结合原图象特征即可
迅速作答.
【考点二 方法总结】
· 复合变换问题需严格遵循变换顺序.若先平移后伸缩，平移量直接加减在x上；若
先伸缩后平移，平移量需提取系数.处理f (- x)等对称变换时，务必将- x视为一个整体，
避免符号干扰.
· 熟记两种核心翻折变换：y =|f ( x)|是将x轴下方的图象翻折到上方，上方保留；
y = f (| x|)是保留y轴右侧图象，并将其对称到左侧（左侧原有图象舍弃）.
· 处理对称性问题时，若f (m+ x)= f (m- x)恒成立，则图象关于直线x =m对称；若
f (a+ x)= f (b- x)恒成立，则图象关于直线x = a+b
2 对称.
考点三：函数图象的应用
考法1：由函数图象求解析式中的参数
例6.若函数f ( x)=
2
a x
2+bx +c 的部分图象如图所示，则f （5）=（ ）
A. - 1
3
B. - 2
3
C. - 1
6
D. - 1
12
【答案】A
【思路】观察图象中的垂直渐近线，这通常对应分母为零的点.结合图象经过的明确坐标点，代入
解析式构建关于参数a,b,c的方程组，解出参数后即可得到完整解析式并求值.
【解析】由图象知，a x
2+bx +c =0的两根为2，4，且过点(3,1)，∴{
9a+3b+c =1
2×4 = c
a
2+ 4 =- b
a
，解得
a=-2,b=12,c =-16，∴f ( x)=
2
-2 x
2+12 x -16
=
1
- x
2+6 x -8 ，∴f （5）=
1
-25+30-8 =- 1
3，
故选：A.
【规律】由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线（分母的根）、极值点
（导数为零）、截距（过轴点）等.将这些几何特征转化为代数方程，通过解方程组即可确定参数.
考法2：利用函数图象解决方程零点问题
例7.已知函数f ( x)=|
x +a
x -a|( x≠a)，若关于x的方程f (f ( x))=2恰有三个不相等的实数解，则
实数a的取值集合为＿＿＿＿＿＿.
【答案】{1
3 ,3}
【思路】处理复合函数方程f (f ( x))=2时，采用换元法是突破口.令内层函数f ( x)=t，先求解外层
方程f (t )=2，再将求得的根作为常数，结合y = f ( x)的图象，分析内层方程f ( x)=t的交点个数.由
于含有参数a，需对其正负及大小进行分类讨论.
【解析】f ( x)=|
x +a
x -a|=|1+ 2a
x -a|( x≠a)，当a=0时，f ( x)=1( x≠0)，此时f (f ( x))=2无解，不
满足题意；当a<0时，设t = f ( x)，则y = f (t )与y =2的图象大致如下，
则f (t )=2对应的2 个根为t1<a<t2<0，此时方程f ( x)=t1,f ( x)=t2均无解，即方程f (f ( x))=2无
解，不满足题意；当a>0时，设m= f ( x)，则y = f (m)与y =2的图象大致如下，
则f (m)=2对应的2 个根为0<m1<a<m2，若方程f (f ( x))=2恰有三个不相等的实数解，则
y =m1, y =m2与函数y = f ( x)的图象共有3 个不同的交点，①当0<a<1时，y =m1与函数f ( x)的图
象共有2 个交点，如图所示，
∴y =m2与函数f ( x)的图象只有1 个交点，则m2=1，∴|
1+a
1-a|=2，解得a= 1
3；②当a=1时，
y =m1与函数f ( x)的图象共有2 个交点，∴y =m2与函数f ( x)的图象只有1 个交点，则m2=1，与
m2>a矛盾，不合题意；③当a>1时，y =m2与函数f ( x)的图象共有2 个交点，如图所示，
∴y =m1与函数f ( x)的图象只有1 个交点，则m1=1，∴|
1+a
1-a|=2，解得a=3；综上，a的取值集
合为{1
3 ,3}.
【规律】解决复合方程或嵌套函数零点问题，核心思想是“由外及内，换元降维”.先解外层确定
内层函数的值，再结合内层函数的图象（数形结合）讨论交点个数.遇到参数时，需根据图象的渐
近线、极值等临界状态进行分类讨论.
考法3：利用函数图象解决不等式问题
例8.定义在R上的函数f ( x)满足f ( x +1)=2f ( x)，且当x∈(0,1]时，f ( x)=1-|2 x -1|.若对
任意x∈(-∞,t ]，都有f ( x)≤2，则t的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】t ≤9
4
【思路】题目给出了函数在一个周期（或基础区间）内的解析式及递推关系，要求解不等式恒成
立问题.可利用递推关系逐步推导出相邻区间上的解析式，进而画出函数在更广范围内的图象.借助
图象直观找出满足f ( x)≤2的临界点.
【解析】∵当x∈(0,1]时，f ( x)=1-|2 x -1|，∴f ( x)={
2 x ,
x∈(0, 1
2]
2-2 x ,
x∈(
1
2 ,1]
，∵
f ( x +1)=2f ( x)，当x∈(1,2]时，即x -1∈(0,1]时，由f ( x)=2f ( x -1)，∴
f ( x)={
4 x - 4 ,
x∈(1, 3
2]
8- 4 x ,
x∈(
3
2 ,2]
，同理可得f ( x)={
8 x -16,
x∈(2, 5
2]
24 -8 x ,
x∈(
5
2 ,3]
，依此类推，作出函数f ( x)
的图象，如图所示：
由图象知：当2≤x ≤5
2时，令f ( x)=2，则8 x -16=2⇒x = 9
4 ，对任意x∈(-∞,t ]，都有f ( x)≤2，
则t ≤9
4 ，故t的取值范围为t ≤9
4 .
【规律】遇到具有递推关系（如周期性、对称性或倍数递推）的函数不等式问题，首选“数形结
合”.先精确描绘出基础区间内的图象，再根据递推规律拓展图象，最后在图象上画出水平直线，
通过交点位置直观确定自变量的取值范围.
考法4：实际情境中的函数图象问题
例9.匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数
图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【思路】这是一个经典的实际应用模型.水匀速注入意味着体积与时间成正比.由于容器是圆锥形，
截面积随高度增加而增大，因此相同体积的水带来的高度变化会越来越小.可以通过建立体积与高
度的几何关系，推导出高度关于时间的函数表达式，利用导数分析其增长趋势.
【解析】设圆锥PO 底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO 交于点O'，水面半径AO'=x
，此时水面高度PO'=h，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x
r = h
H ，即x = r
H ⋅h，则注入水的
体积为V = 1
3 π x
2h= 1
3 π(
r
H ⋅h)
2
⋅h= π r
2
3 H
2 ⋅h
3，令水匀速注入的速度为v，则注水时间为t时的水
的体积为V = vt，于是得π r
2
3 H
2 ⋅h
3= vt ⇒h
3= 3 H
2vt
π r
2
⇒h=
3√
3 H
2v
π r
2 ⋅
3√t，∵r , H ,v都是常数，即
3√
3 H
2v
π r
2 是常数，∴盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是h=
3√
3 H
2v
π r
2 ⋅
3√t ,0≤t ≤π r
2 H
3 v
，
h
' =
3√
3 H
2v
π r
2 ⋅1
3 t
- 2
3 >0，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即
图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B，C，D 三个选项与其图象都不同.故选：A.
【规律】解决实际情境中的图象问题，若能定性分析，可直接根据变化率（如截面积变大导致上
升速度变慢，即图象变缓）快速判断；若需定量分析，则需建立物理或几何模型，求出函数解析
式，借助导数判断其单调性与凹凸性.
【考点三 方法总结】
· 由图象求参数，关键在于捕捉图象的“特征元素”：如渐近线（分母的根）、极
值点（导数为零）、截距（过轴点）等.将这些几何特征转化为代数方程，通过解方程组
即可确定参数.
· 解决复合方程或嵌套函数零点问题，核心思想是“由外及内，换元降维”.先解外
层确定内层函数的值，再结合内层函数的图象讨论交点个数.遇到参数时，需根据图象的
渐近线、极值等临界状态进行分类讨论.
· 遇到具有递推关系（如周期性、对称性或倍数递推）的函数不等式问题，首选
“数形结合”.先精确描绘出基础区间内的图象，再根据递推规律拓展图象，最后在图象
上画出水平直线，通过交点位置直观确定自变量的取值范围.
· 解决实际情境中的图象问题，若能定性分析，可直接根据变化率快速判断；若需
定量分析，则需建立物理或几何模型，求出函数解析式，借助导数判断其单调性与凹凸性.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）当x∈[0,2π ]时，曲线y =sin x与y =2sin(3 x - π
6)的交点个数为（
）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C
【解析】∵函数y =sin x的最小正周期为T =2π，函数y =2sin(3 x - π
6)的最小正周期为T = 2π
3 ，
∴在x∈[0,2π ]上函数y =2sin(3 x - π
6)有三个周期的图象.
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C.
2.（2025·全国一卷）若实数x，y，z满足2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x，y，z的大小
关系不可能是（ ）
A. x> y > z
B. x> z> y
C. y > x> z
D. y > z> x
【答案】B
【解析】设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，
∴x =2
m-2, y =3
m-3, z =5
m-5.
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根.
作出函数y =2
x -2, y =3
x -3, y =5
x -5的图象，以上方程的根分别是函数y =2
x -2, y =3
x -3, y =5
x -5的图
象与直线x =m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x> y > z，y > x> z，y > z> x，z> y > x.
故选：B.
