专题2.11 函数的图象（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）
表示函数
(2)会画简单的函数图象
(3)会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题
考点
2024 年
2025 年
2026 年
高考真题
统计
函数的图象
全国甲卷（文数）：
第8 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第7 题，5 分
北京卷：第4 题，4
分
天津卷：第3 题，5
分
上海卷（春考）：第
15 题，5 分
天津卷：第4 题，5
分
命题规律
分析
1、函数的图象
函数图象是高考常考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，高
考试题中主要以考查函数图象的识别与变换为重点和热点，也可能考查利
用函数图象研究函数性质、解不等式等问题，一般以单选题的形式出现，
难度不大。
知识点
1
函数的图象的作法与识别
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图
象的关键点直接作出.
(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，
并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
函数的图象
考点1
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)利用函数的零点、极值点判断.
(3)抓住函数的
特征
，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
知识点
2
函数图象的应用及其解题策略
1．利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借
助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思
想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【题型1 作出函数的图象】
【例1】（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象：
(1)y = x−| x−1|；
(2)y = x
2−2| x|−1.
【变式1-1】（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．
(1)y =|x
2−4 x −5)；
(2)y =(
1
2)
| x−1|
−1．
【变式1-2】（25-26 高一上·重庆·期末）已知函数f (x)={
1−x
2,
x>0
2,
x =0
2 x−1,
x<0)
.
(1)求f (f (2))的值；
(2)画出函数f (x)的图象，并写出函数f (x)的单调递增区间.
【变式1-3】（25-26 高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1)y = 2 x−1
x−1
；
(2)y = x
2−2|x)−3；
(3)y =(
1
2)
|x−1)
−1．
【题型2 函数图象的识别】
【例2】（2026·江西上饶·二模）函数f (x)=
x
2
x+2
−x 的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2026·安徽合肥·三模）当a<0时，函数f (x)=e
x
x
2−ax
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数y =
x
2
e
| x|−2
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2026·陕西渭南·三模）函数f (x)= 3 x−x
3
2+cos x
的部分图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3 根据函数图象选择解析式】
【例3】（2026·天津·二模）已知函数y = f (x)的部分图象如图，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=
x
e
x+e
−x
B．f (x)=
❑√x
e
x+e
−x
C．f (x)=
x
2
e
x+e
−x
D．f (x)=−
x
e
x+e
−x
【变式3-1】（2026·四川成都·二模）已知函数y = f ( x)( x>0)的图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A．y =2 x−2
B．y =2−x
−1
C．y = log2(2 x)
D．y =3−2
2−x
【变式3-2】（2026·辽宁·模拟预测）若函数f (x)的部分图象如图所示，则函数f (x)可能为（ ）
A．f (x)=|tan x)⋅ln|x)
B．f (x)= tan x⋅ln|x)
C．f (x)=−|tan x)⋅ln|x)
D．f (x)=−tan x⋅ln|x)
【变式3-3】（2026·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−8,8)上的大致图象，
则该函数可能是（ ）
A．f (x)= x
4sin x
e
x+e
−x
B．f (x)= x
4(sin x−x)
e
x+e
−x
C．f (x)= x
4cos x
e
x+e
−x
D．f (x)= x
4(cos x−x)
e
x+e
−x
【题型4 函数图象的变换】
【例4】（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数y =log2(4 x)−1的图象，只需要把y =log2 x图象上所
有的点（ ）
A．横坐标变为原来的1
2
（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．向右平移1 个单位（纵坐标不变）
D．向上平移2 个单位（横坐标不变）
【变式4-1】（25-26 高一上·甘肃武威·开学考试）将函数y =|−x
2+1)+2向左、向下分别平移2 个、3 个单
位长度，所得图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】（2026 高一·全国·专题练习）若定义在[−2,2)上的函数y = f (x)的图象如图所示，则函数
y = f (2−x)的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2026·河北沧州·一模）将函数g(x)=
2|x +2)
2 x
2+8 x +9
的图象向右平移2 个单位长度得到函数
f (x)的图象，则f (x)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型5 根据实际问题作函数图象】
【例5】（25-26 高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快
车的速度为100 千米/小时，特快车的速度为150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000 千米，两车同时
出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2026·山东·二模）如图所示，动点P在边长为1 的正方形ABCD的边上沿A →B→C →D
运动，x表示动点P由A 点出发所经过的路程，y表示△APD的面积，则函数y = f (x)的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2026·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半
圆）上匀速跑步，他从点A处出发，沿箭头方向经过点B、C、D返回到点A，共用时80秒，他的同桌小
陈在固定点O位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为t（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为y
（单位：米），若y = f (t )，则f (t )的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（25-26 高一上·广东梅州·期末）寓言故事
龟兔赛跑
说的是：兔子和乌龟比赛跑步
“
”
.刚开
始，兔子在前面飞快地跑着，乌龟拼命地爬着.不一会儿，兔子就拉开了乌龟好大一段距离.兔子认为比赛
太轻松了，就决定先睡一会.而乌龟呢，它一刻不停地爬行.当乌龟快到达终点的时候，兔子才醒来，于是
它赶紧去追，但结果还是乌龟赢了.下图
路程
“
s一时间t
的图像中，与
龟兔赛跑
的情节相吻合的是
”
“
”
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6 函数图象的应用】
【例6】（2026·广东深圳·模拟预测）函数y =
1
1−x
的图像与函数y =2sinπ( x +2026)（−2≤x ≤4）的
图像所有交点的横坐标记作xi
，则∑
i=1
n
xi=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式6-1】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数f (x)={
x
2+ 4 x +3, x ≤0
1+log 1
3
x , x>0)
，若函数g(x)= f (x)−a恰有3
个零点，则a的取值范围为（ ）
A．(−1,3)
B．[0,3)
C．(−1,0)
D．(3,+∞)∪{−1)
【变式6-2】（2026·山西临汾·二模）已知函数f (x)={
|2
x−1), x ≤2,
3
x−1 , x>2, )
若方程[f (x))
2−(a+5)f (x)+5a=0
有三个不同的实数根，则a的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(0,2)
C．(0,3)
D．(1,3)
【变式6-3】（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数f (x)={
|2
x−2), x ≥0
−2 x−2, x<0)
，若存在实数x1< x2< x3
，使
得f (x1)= f (x2)= f (x3)，则x1f (x1)
x3−x2
的取值范围为（ ）
A．[−2log32,0)
B．[−3
2 log32,0)
C．[−3
4 log32,0)
D．[
1
2 log32,+∞)
一、单选题
1．（2026·山东枣庄·三模）函数f (x)= x(e
−x−e
x)
x
2−1
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·天津北辰·三模）函数f ( x)= x cos2 x
ln( x
2+1)的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A．y = sin2 x
x
2+1
B．y =
x
x
2+1
C．y = cos x
x
2+1
D．y =e
x+e
−x
2(e
x−e
−x)
4．（2026 高二上·山东枣庄·学业考试）某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，
发现时间紧张，加快速度跑步前进.图中d轴表示该学生离家的距离，t轴表示所用的时间，下列图象与该同
学走法相吻合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·云南曲靖·期末）已知函数f (x)的定义域是(0,3)，其图象如图所示，则不等式
(2
x−4)f (x)<0的解集是（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．(1,3)
6．（2026·北京顺义·二模）把函数f (x)=a
x(a>0,a≠1)的图象C1向右平移2 个单位长度，再把所得图象
上所有点的纵坐标变为原来的1
4
倍，得到图象C2，若此时图象C1恰与C2重合，则a的值为（ ）
A．4
B．2
C．1
2
D．1
4
7．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（ ）
A．y =(e
x+e
−x)sin x
B．y =(e
x−e
−x)sin x
C．y =(e
x+e
−x)cos x
D．y =(e
x−e
−x)cos x
8．（2026·山东·模拟预测）若函数f (x)= x
e
x −a
x
有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．(
4
e
2 ,+∞)
B．(
4
e
2 ,+∞)∪{0)
C．(−∞,0)∪(
4
e
2 ,+∞)
D．(−∞,0)∪(
4
e
2 ,+ ∞)
二、多选题
9．（2026·山西临汾·二模）函数f (x)=ae
x−ln x的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·广西·模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在x∈(−∞,0)内单调递减，则
函数y = f (|x +1))+1的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正三角形ABC 沿着x 轴连续滚动(滚
动时无滑动)，若顶点A 在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点B (x , y)满足函数关系式y = f (x)，则下列判断
正确的有（ ）
A．f (1)= ❑√3
B．函数y = f (x)图象的对称轴方程为x =1+6 k ,k ∈Z
C．不等式f (x)≥❑√3的解集为[−1+6k ,3+6k ),k ∈Z
D．直线y =
❑√2
7 x与函数y = f (x)的图象恰有3 个交点
三、填空题
12．（25-26 高二下·河北张家口·阶段检测）已知直线y =a与函数y =ln x
x
的图象有两个交点，则实数a的
取值范围为___________．
13．（2026·海南·模拟预测）已知f ( x)= g( x +3)为奇函数，若y = g( x)与y =
1
x−3
的图象有10 个交点，
设交点的横坐标从小到大依次为x1, x2,⋯, x10，则x1+ x2+⋯+ x10=___________.
14．（2026·上海闵行·一模）已知函数f (x)={
|x−2), x ≥0
2
x +1, x<0 )
，若函数g( x)= f (x)−a有三个零点x1, x2, x3
，且x1< x2< x3
，则x2⋅f (x1)
x3( x2+ x3)
的取值范围是________.
四、解答题
15．（25-26 高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象：
(1)y =|x
2−4 x−5)；
(2)y =|log2(x +1))．
16．（25-26 高一上·宁夏银川·期末）若y = f (x)是定义在R上的偶函数，当x ≥0时，f (x)= x
2−2 x．
(1)画出函数f (x)的图象并求出函数f (x)的解析式；
(2)若关于x的方程f (x)=m有2 个不同的实数解，求实数m的取值范围．
17．（25-26 高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数f (x)的解析式为f (x)={
x +2, x ≤−1
x
2,−1< x ≤2
−x +6, x>2)
.
(1)画出函数f (x)的图象，写出函数f (x)的单调减区间并求函数f (x)的最大值；
(2)解关于x的不等式f (x)<2.
18．（25-26 高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数f (x)={
x +2, x ≤0
loga x , x>0)
，且点(4,2)在函数f (x)的图象上.
(1)求函数f (x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f (x)的图象；
(2)结合图像简单说明，求不等式f (x)>1的解集；
19．（25-26 高二·全国·暑假作业）函数f (x)=2
x( x>0)和g(x)= x
2( x>0)的图象如图所示.设两函数的图象
交于点A(x1, y1)，B(x2, y2)，且x1< x2
.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)求点A，B的坐标；
(3)结合函数图象，判断f (3)，g(3)，f (2024)，g(2024)的大小.
