专题2.14 函数与方程（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 函数零点所在区间的判断】......................................................................................................................1
【题型2 求函数的零点或零点个数】......................................................................................................................2
【题型3 根据函数零点的个数求参数】..................................................................................................................2
【题型4 根据零点的范围求参数】..........................................................................................................................2
【题型5 嵌套函数的零点问题】..............................................................................................................................3
【题型6 用二分法求方程的近似解】......................................................................................................................4
【题型7 多零点的大小与范围问题】......................................................................................................................4
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
C 组 真题·实战演练
【题型1 函数零点所在区间的判断】
1．（25-26 高二上·山东临沂·期末）函数f (x)= ln x + x−2的零点所在区间是（ ）
A．(
1
e ,1)
B．(1,2)
C．(2,e)
D．(e,3)
2．（25-26 高一上·河北沧州·期末）函数f (x)=2
x+ x−2的零点所在区间是（ ）
A．(−1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(1,3)
3．（25-26 高一上·河北石家庄·期末）已知函数f (x)= x
4+ ln x−17，则f (x)的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
4．（25-26 高一上·陕西咸阳·期末）函数f (x)= x + ln (x−2)的零点所在的区间为（ ）
A．(2,3)
B．(3,4)
C．(4,5)
D．(5,6)
【题型2 求函数的零点或零点个数】
5．（25-26 高二下·四川雅安·期末）函数f ( x)= x
3−4 x
2+5 x−2的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．（25-26 高一上·广东·期末）若函数f (x)=ax +b(a≠0)有一个零点是1，则函数g(x)=a x
3+bx的零点是
（ ）
A．0, 2
B．−1, 3
C．−1, 0, 4
D．−1, 0, 1
7．（2026·广东·模拟预测）函数f ( x)=e
x+ x |2 x +3|的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．（2026·湖南长沙·三模）已知函数 f (x)={
e
x，x<0，
f (x−2)，x ≥0)
，方程 f (x)=−1
8 x + 1
2
的根的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【题型3 根据函数零点的个数求参数】
9．（2026·陕西西安·一模）已知函数f ( x)={
10
x , x<0
lg x , x>0)
，g( x)= f ( x)+2 x−m，若g( x)有一个零点，则
m 的取值范围是（ ）
A．(−∞,1]
B．(−∞,1)
C．[1,+ ∞)
D．(1,+∞)
10．（2026·湖南·二模）若函数f (x)={
|log2 x),0< x<4
1
2 x
2−2 x +1, x ≥4)
与直线y =a恰有三个交点，则a 的取值范围是
（ ）
A．[1,2)
B．(1,2)
C．(1,2)
D．[1,2)
11．（2026·山东临沂·三模）已知函数f (x)={
ln x , x>0
−x
2+2ax , x ≤0)
，若函数y = f (f (x))有8 个零点，则实数a
的取值范围为（ ）
A．a>1
B．a<0
C．−1<a<0
D．a<−1
12．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数f (x)={
log2(1+ax), x<0,
f (x−1), x ≥0, )
若关于x的方程f (x)=2 x恰有两个
不同的根，则实数a的取值范围是（ ）
A．[−15,−3)
B．(−15,−3)
C．[−63,−15)
D．(−63,−15)
【题型4 根据零点的范围求参数】
13．（25-26 高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数f ( x)=mx +3的零点在(−1,2)内，则m的取值范围为
（ ）
A．(−∞,−3
2)∪(3,+ ∞)
B．(−∞, 3
2)∪[3,+∞)
C．(−3
2 ,3)
D．[−3
2 ,3)
14．（25-26 高一上·广东东莞·阶段检测）函数f (x)=ln x +2 x−8零点所在的大致区间为
(n,n+1)(n∈N
*)，则n为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
15．（25-26 高一上·河北张家口·期末）已知函数f (x)= x−a+2
x在区间[1,3)上存在零点，则实数a的取值
范围是（ ）
A．[2,4)
B．[3,4)
C．[3,6)
D．[3,11)
16．（25-26 高一上·全国·课后作业）函数f (x)= ❑√x + x
2+m在区间(2,4)上存在零点，则实数m的取值范围
是（ ）
A．(−∞,−18)
B．(4+ ❑√2,+∞)
C．(4+ ❑√2,18)
D．(−18,−4−❑√2)
【题型5 嵌套函数的零点问题】
17．（2026·贵州毕节·一模）已知函数f ( x)={
−x
2−2 x +3, x ≤0
|ln x), x>0
)
，则函数y =[f ( x))
2−5 f ( x)+6的零点
个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
18．（2026·安徽池州·二模）已知函数f (x)={
e
x+2, x ≤0
x + 1
x , x>0)
，若f
2(x)−(a+2)f (x)+2a=0有4 个互不相同
的根，则a的取值范围为（ ）
A．(2,3)
B．(2,3)
C．(3,+∞)
D．[3,+∞)
19．（25-26 高一下·浙江衢州·期末）已知函数f (x)={
ln x , x ≤e
e
x , x>e )
，若函数g(x)=[f (x))
2+af (x)−2a
2恰
有3 个不同的零点，则实数a的取值范围（ ）
A．(−1
2 ,0)
B．(0,1)
C．(−1
2 ,0)∪(0,1)
D．(−1
2 ,1)
20．（25-26 高三上·山东聊城·期末）已知函数f (x)={
−x
2−4 x−3, x ≤0,
|ln x), x>0,
)
，若函数
h(x)=6[f (x))
2−(2m+3)f (x)+m有6 个不同的零点，则实数m的范围是（ ）
A．[−9,0)∪(3,+∞)
B．(−6,0)∪(3,+ ∞)
C．[−9,0)∪[2,+ ∞)
D．(−3,0)∪[1,+ ∞)
【题型6 用二分法求方程的近似解】
21．（25-26 高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得f (x)= x
3+2 x−9的部分函数值数
据如表所示：
x
1
1.5
1.75
1.8125
1.875
2
f (x)
−6
−2.625
−0.14
0.5796
1.342
3
则当精确度为0.1 时，方程x
3+2 x−9=0的近似解可取（ ）
A．1.6
B．1.7
C．1.8
D．1.9
22．（25-26 高一上·广东深圳·期末）已知f (x)= 1
x −ln x在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的
近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
23．（25-26 高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得f (x)= x
3+2 x−9的部分函数值数据
如表所示：
x
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.8125
f (x)
−6
3
−2.625
−1.459
−0.14
1.3418
0.5793
则当精确度为0.1 时，方程x
3+2 x−9=0的近似解可取为（ ）
A．1.6
B．1.7
C．1.8
D．1.85
24．（25-26 高一上·上海青浦·阶段检测）若函数f ( x)= x
3+ x
2−2 x−2一个正数零点附近的函数值用二分
法计算，其参考数据如下：
f (1)=−2
f (1.5)=0.625
f (1.25)=−0.984
f (1.375)=−0.260
f (1.415)=0.0054
f (1.406)=−0.056
那么方程x
3+ x
2−2 x−2=0的一个近似根（精确度为0.01）可以是（ ）
A．1.25
B．1.375
C．1.41
D．1.5
【题型7 多零点的大小与范围问题】
25．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数f ( x)=2 x +3
x，g( x)=2 x + log3 x，h( x)=2 x + x
3的零点分别
为a,b,c，则（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．b<c<a
D．c<b<a
26．（2026·湖南湘西·三模）已知a,b,c分别为函数
f (x)=(x−1)2
x−1, g(x)=(x−1)lg x−1,h(x)=(x−1)log2 x−1的零点，且a,b,c∈(1,+∞)，则
（ ）
A．a<c<b
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
27．（2026·陕西西安·二模）已知函数f ( x)={
x
2+2 x−1, x ≤0
−2+|ln x), x>0)
，若函数g( x)= f ( x)−m的四个零点从
小到大排列依次为x1, x2, x3, x4，则x1+ x2+ x3+ x4的取值范围为（ ）
A．(−2,+∞)
B．(−2,1]
C．(−2,e+ 1
e)
D．(0,−2+e+ 1
e)
28．（2026·四川·模拟预测）已知函数f (x)={
x
1−x , x<1,
log3(x−1), x>1,)
若关于x的方程|f (x))=m（m为实常
数）有四个不同的解x1, x2, x3, x4
，且x1< x2< x3< x4
，则(
1
x1
+ 1
x2)(x3+ x4)的取值范围为（ ）
A．(8, 32
3 )
B．(8,16)
C．(8,+∞)
D．(−∞,−8)
一、单选题
1．（2026·河北沧州·二模）函数f (x)=2
x+ ln x−1的零点所在的区间为（ ）
A．(0, 1
2)
B．(
1
2 ,1)
C．(1, 3
2)
D．(
3
2 ,2)
2．（25-26 高三上·海南海口·阶段检测）已知函数f (x)=log2(x +1)−1
2 x +m在区间(1,3)上有零点，则m
的取值范围为（ ）
A．(−11
6 ,−1
2)
B．[−11
6 ,−1
2)
C．(−∞,−11
6 )∪(−1
2 ,+∞)
D．(−∞,−11
6 )∪(−1
2 ,+ ∞)
3．（25-26 高一·全国·课后作业）用二分法求方程ln (2 x +6)+2=3
x的根的近似值时，令
f (x)= ln (2 x +6)+2−3
x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f ( x)
1.0794
0.1918
-0.3604
-0.9989
则由表中的数据，可得方程ln (2 x +6)+2=3
x的一个近似解（误差不超过0.1）为（ ）
A．1.125
B．1.3125
C．1.4375
D．1.46875
4．（2026 高一上·江苏·专题练习）已知函数f (x)=2
x+ x−2，g(x)= log2 x + x−2，h(x)= x
3+ x−2的零
点分别为a,b,c，则a+b+c =（ ）
A．0
B．3
C．4
D．6
5．（25-26 高一上·广东·阶段检测）已知函数f (x)=5
x+5 x , g(x)=log5 x +5 x ,h(x)= x
3+5 x的零点分别
为a,b,c，则a,b,c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．b>a>c
6．（2026·山东·模拟预测）函数f (x)=e
x与函数g(x)= x +1
x−1
的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．−ln2
B．ln2
C．0
D．1
7．（25-26 高二下·天津和平·期末）已知函数f (x)= x
2−1(x>0),g(x)=(
1
3)
x
−x ,h(x)=log 1
9
x−x的零点
分别是a,b,c，则（ ）
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．a>c>b
8．（2026·河北·模拟预测）已知f (x)为定义在R上的偶函数，当x ≥0时，f (x)=|x−1)，若方程
f (f (x))=m恰有6 个不同的根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≤0
B．0<m<1
C．0<m≤1
D．m≥1
9．（2026·广西柳州·模拟预测）已知函数f ( x)={
x
2+2 x−3, x ≤0
−2+ ln x , x>0 )
，若方程f ( x)=k的实数解恰有两个，
则实数k的取值范围是（ ）
A．k ≤−4
B．−4<k <−3
C．k =−4或k >−3
D．k =−4或k ≥−3
二、填空题
10．（25-26 高三上·江苏盐城·阶段检测）函数f (x)=ln(2 x)−1
x
的零点在区间(k ,k +1)内，则正整数k =
__________.
11．（25-26 高一上·云南昆明·期末）已知函数f (x)= x
3+ x
2−2 x−2在区间(1,2)内存在一个零点，用二分
法计算这个零点的近似值时，给定精确度为0.1，其参考数据如下：
f (1.5)=0.6250
f (1.25)=−0.9844
f (1.375)=−0.2598
f (1.4375)=0.1619
则这个零点的近似值为___________．（精确到0.1）
12．（2026·北京海淀·三模）已知函数f (x)=¿，若函数g(x)= f (x)−mx有三个零点，则实数m 的取值范
围为___________．
一、单选题
1．（2026·浙江·二模）定义在(0,+ ∞)上的函数f (x)满足f(
1
x)=−f (x),f(
2
x)=−f (2 x)，当x∈[1,2)
时，f (x)=(x−1)(x−2)，则函数y = f (x)+ 1
4
在区间[1,100)内的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（25-26 高一下·浙江衢州·期中）已知函数f (x)={
|x−4
x),
x ≤−1
|log2(x +1)),
x>−1)
，若方程f (x)=a(a∈R)有
四个不同的解x1, x2, x3, x4，且x1< x2< x3< x4，则x1 x2+ x3+ x4的取值范围是（ ）
A．(
11
2 , 29
4 )
B．(
11
2 ,+∞)
C．(4 , 81
8 )
D．(4 ,+∞)
3．（25-26 高一上·湖北武汉·期末）已知函数f (x)={
x
2+ x + 1
4 , x ≤0
|ln x−1), x>0)
，若关于x 的方程f ( x)=k(k ∈R)
有四个不同的根，它们从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，则下列选项正确的是（ ）
A．0<k < 1
4
B．0< x1 x2 x3 x4<e
2
4
C．e
3
4 ≤x3<e
D．函数g( x)= f (f ( x))−1
4
有6 个零点
二、填空题
4．（2026·上海闵行·一模）已知函数f (x)={
|x−2), x ≥0
2
x +1, x<0 )
，若函数g( x)= f (x)−a有三个零点x1, x2, x3
，
且x1< x2< x3，则x2⋅f (x1)
x3( x2+ x3)
的取值范围是________.
三、解答题
5．（25-26 高二下·福建福州·阶段检测）已知函数f (x)=log2(2
x+t)−x．
(1)若f (2)<0，求t的取值范围；
(2)若f (x)= x有两个不相等的实根，求t的取值范围．
6．（2026·江苏南通·模拟预测）已知f (x)= xe
x．
(1)求f (x)的最小值；
(2)若方程f (x)=a x
2有两个不等的实根，求a的取值范围．
7．（25-26 高一下·广东揭阳·阶段检测）已知a∈R，函数f (x)= x
2+ 2
x −a(x>0)．
(1)判断f (x)的单调性，说明理由;
(2)若f (x)有两个零点x1, x2(x1< x2)，
求实数
①
a的取值范围；
证明：
②
2< x1+ x2<a−1．
8．（2026·福建泉州·模拟预测）设a，b 为实数，且a>1，函数f (x)=a
x−bx +e
2(x∈R)．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若对任意b>2e
2，函数f (x)有两个不同的零点，求a的取值范围；
(3)当a=e时，证明：对任意b>e
4，函数f (x)有两个不同的零点x1, x2 (x2> x1)，满足x2> b ln b
2e
2 x1+e
2
b ．
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题）函数f ( x)=0.3
x−❑√x的零点所在区间是（ ）
A．(0,0.3)
B．(0.3,0.5)
C．(0.5,1)
D．(1,2)
2．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）设函数f ( x)=a( x +1)
2−1，g( x)=cos x +2ax，当x∈(−1,1)时，
曲线y = f ( x)与y = g( x)恰有一个交点，则a=（ ）
A．−1
B．1
2
C．1
D．2
二、填空题
3．（2026·全国二卷·高考真题）若函数f (x)=2
x+2
2−x−m有两个零点，则m的取值范围是__________．
4．（2026·北京·高考真题）已知f ( x)=|x
2−cos x−c
2)，给出下列四个结论：
①f ( x)在(−1,1]上有最小值和最大值；
②c =1，x∈(−1,2]时，f ( x)有最大值；
③c =0，f ( x)=1有3 个解；
④c>0，f ( x)与y =c有4 个交点.
其中正确结论的序号是________．
5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线y = x
3−3 x
与y =−(x −1)
2+a
在(0,+∞)上有两个不同的交点，则a的
取值范围为__________．
6．（2024·天津·高考真题）设a∈R，函数f (x)=2
❑√x
2−ax−|ax−2)+1
.若f (x)恰有一个零点，则a的取
值范围为__________．
三、解答题
7．（2025·上海·高考真题）已知函数y = f ( x)的定义域为R．对于正实数a，定义集合
M a={x∣f ( x +a)= f ( x)}．
(1)若f ( x)=sin x，判断π
3
是否是M π中的元素，请说明理由；
(2)若f ( x)=¿，求a 的取值范围；
(3)若y = f ( x)是偶函数，当x∈(0,1]时，f ( x)=1−x，且对任意a∈(0,2)，均有M a⊆M 2．写出
y = f ( x)，x∈(1,2)解析式，并证明：对任意实数c，函数y = f ( x)−c在[−3,3]上至多有9 个零点．
