专题1.2 集合与常用逻辑用语（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 元素与集合的关系】..................................................................................................................................1
【题型2 集合中元素的个数问题】..........................................................................................................................2
【题型3 集合间的基本关系】..................................................................................................................................4
【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】.................................................................................................5
【题型5 集合的新定义问题】..................................................................................................................................6
【题型6 充分条件与必要条件】..............................................................................................................................8
【题型7 全称量词与存在量词】..............................................................................................................................9
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 元素与集合的关系】
1．（2025·河南·一模）已知集合A = {x∣3ax−2≤0)，若1∈A且2∉A，则（ ）
A．1
3 <a< 2
3
B．a<0
C．1
3 <a≤2
3
D．a> 2
3
【答案】C
【解题思路】根据题意列出不等式组即可求出结果.
【解答过程】由题可知1∈A且2∉A ⇔{
3a−2≤0,
6a−2>0,)
解得1
3 <a≤2
3.
故选：C.
2．（2025·广东·模拟预测）若m∈{1,3,4 ,m
2}，则m 可能取值的集合为（ ）
A．{0,1,4 }
B．{0,3,4}
C．{−1,0,3,4 }
D．{0,1,3,4 }
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得.
【解答过程】由{1,3,4 ,m
2}，得m
2≠1，则m≠1，
由m∈{1,3,4 ,m
2}，得m=3，此时m
2=9，符合题意；
或m= 4，此时m
2=16，符合题意；或m=m
2，则m=0，此时m
2=0，符合题意，
所以m 可能取值的集合为{0,3,4 }.
故选：B.
3．（2025·广东河源·模拟预测）已知集合A ={x∣x>a}，B ={x ∣x
2−ax−3>0)，若1∈A且1∈∁R B
，则a的取值范围是（ ）
A．[−2,1)
B．(−2,1)
C．[−2,+∞)
D．(−∞,1)
【答案】A
【解题思路】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.
【解答过程】因为1∈A且1∈∁R B，所以{
1>a
1−a−3≤0)，解得−2≤a<1.
故选：A．
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合
P ={x) x =2k ,k ∈Z),Q ={x) x =2k +1,k ∈Z), M ={x) x = 4 k +1,k ∈Z)，且a∈P ,b∈Q，则
（ ）
A．a+b∈M
B．a+b∈Q
C．a−b∈P
D．a⋅b∈Q
【答案】B
【解题思路】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论.
【解答过程】因为a∈P，所以a=2k1,k1∈Z，因为b∈Q，所以b=2k2+1,k2∈Z
所以a+b=2k1+2k2+1=2(k1.+ k2)+1∈Q，故A 错误，B 正确；
所以a−b=2k1−2k2−1=2(k1.−k2−1)+1∈Q，故C 错误；
所以a⋅b=2k1⋅(2k2+1)=2(2k1k2+ k1)∈P，故D 错误；
故选：B．
【题型2 集合中元素的个数问题】
5．（2024·西藏拉萨·一模）集合{x∈N||x)<3))中的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【解题思路】列举法表示集合，可得解.
【解答过程】{x∈N||x)<3))= {0,1,2)，该集合中的元素有3个，
故选：B.
6．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合A ={x ∈R|a x
2−2 x +1=0))中只有一个元素，则实数a=（ ）
A．1
B．0
C．2
D．0 或1
【答案】D
【解题思路】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解.
【解答过程】当a=0时，由a x
2−2 x +1=0可得x = 1
2，满足题意；
当a≠0时，由a x
2−2 x +1=0只有一个根需满足Δ=(−2)
2−4 a=0，
解得a=1.
综上，实数a的取值为0 或1.
故选：D.
7．（25-26 高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A 中的元素，则集合A 中的元素个
数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解题思路】根据集合的互异性可得出答案.
【解答过程】根据集合的互异性，A = {h,a, p, y)，
所以集合A中的元素个数为4.
故选：B.
8．（25-26 高二上·湖南·期中）集合A ={(x , y)| x = 4−2n, y =5−n,n, x , y ∈N )的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．18
【答案】B
【解题思路】根据题意先求出n，进而求出x , y即可.
【解答过程】由题意有：{
4−2n≥0
5−n≥0 )⇒{
n≤2
n≤5)⇒n≤2，又n∈N，所以n=0,1,2，
所以{
x = 4
y =5)或{
x =2
y = 4)或{
x =0
y =3)，
所以A ={(4,5),(2,4),(0,3))，所以A中的元素个数为3 个，
故选：B.
【题型3 集合间的基本关系】
9．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合A ={1,3,a
2),B = {3,a+2)，且B⊆A，则实数a=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解题思路】根据题意可对a+2=1和a+2=a
2分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果.
【解答过程】由B⊆A可知a+2=1或a+2=a
2；
当a+2=1时，即a=−1，此时a
2=1，不能满足题意；
当a+2=a
2时，解得a=2或a=−1（舍），
a=2时，A = {1,3,4),B = {3,4)，满足题意，
故a=2.
故选：D.
10．（2025·陕西西安·一模）已知m∈R，n∈R，若集合{m, n
m ,1)={m
2,m+n,0)，则m
2025+n
2025=
（ ）
A．0
B．1
C．−1
D．1 或-1
【答案】C
【解题思路】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算
m
2025+n
2025即可.
【解答过程】因为0∈{m, n
m ,1)，m≠0，所以n
m =0，故n=0，
此时集合为{m,0,1)={m
2,m,0)，根据集合相等，必有m
2=1，解得m=1或m=−1．
当m=1时，不满足集合元素的互异性，
当m=−1时，集合为{−1,0,1}，符合条件.
所以m
2025+n
2025=(−1)
2025+0
2025=−1．
故选：C.
11．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集U =Z，集合A =¿，则（ ）
A．A ⊆B
B．B⊆A
C．A = B
D．A ∩B = A
【答案】B
【解题思路】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果.
【解答过程】因为集合A =¿，
B =¿，故B⊆A，
故选：B.
12．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合A = {1,2)，B = {1,2,3,4)，则满足条件A ⊆C ⊆B的集合C 的个
数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，列举出集合C 的可能情况即可.
【解答过程】依题意，集合C可以为：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，
所以集合C 的个数为4.
故选：D.
【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】
13．（2025·陕西西安·三模）已知集合A = {−1,0,1,2),B ={x∣0< x ≤2}，则A ∩B =（ ）
A．{0,1,2)
B．{0,1)
C．{−1,0)
D．{1,2)
【答案】D
【解题思路】由交集运算即可求解.
【解答过程】因为A = {−1,0,1,2),B ={x∣0< x ≤2}，
故A ∩B = {1,2)，
故选：D.
14．（2025·云南昆明·模拟预测）已知全集U = R，集合A ={x ||x)≤5)，B ={x|x >2))，则A ∪(∁U B)=
（ ）
A．{x|x ≤5))
B．{x|x<5))
C．{x| x ≤2,或x ≥5)
D．{x|−5≤x ≤2)
【答案】A
【解题思路】解不等式求得A，进而求得∁U B，根据集合的并集运算，即可求得答案.
【解答过程】依题意，A = {x∣−5≤x ≤5)，∁U B = {x∣x ≤2)，故A ∪(∁U B)= {x∣x ≤5).
故选：A.
15．（2025·四川成都·二模）已知集合A ={x∣−2< x<2},B ={x∣1< x<3}，则A ∪B =（ ）
A．{x∣−2< x<3}
B．{x∣1< x<2}
C．{x∣x<3}
D．{x∣x>−2}
【答案】A
【解题思路】根据并集的概念求解.
【解答过程】集合A ={x∣−2< x<2},B ={x∣1< x<3}，则A ∪B = {x∣−2< x<3}.
故选：A.
16．（2025·北京海淀·二模）已知集合A = {−1,0,1,2),B ={x∣a< x<2}．若a∈Z，且A ∩B = {1)，则a=
（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解题思路】根据交集的结果直接得出答案.
【解答过程】由题意知，A ={−1,0,1,2},B ={x)a< x<2}，
因为a∈Z , A ∩B ={1}，
所以a=0.
故选：B.
【题型5 集合的新定义问题】
17．（25-26 高一上·江西宜春·月考）设A、B是非空集合，定义A ×B ={x) x∈A ∪B且x∉A ∩B}，若
A ={x)2 x−x
2≥0)，B ={x) x>1}，则A ×B等于（ ）
A．{x|0≤x ≤1，或x>2}
B．{x∣0≤x ≤1，或x ≥2}
C．{x)0≤x ≤1)
D．{x)0≤x ≤2)
【答案】A
【解题思路】解出集合A，利用交集和并集的定义得出集合A ∪B和A ∩B，然后利用题中的定义可得出
集合A ×B.
【解答过程】解不等式2 x−x
2≥0，即x
2−2 x ≤0，解得0≤x ≤2，则集合A = {x|0≤x ≤2).
所以A ∪B = {x| x ≥0), A ∩B = {x|1< x ≤2)，根据集合的定义可得A ×B ={x|0≤x ≤1或x>2}.
故选：A.
18．（25-26 高一上·辽宁·月考）已知集合A ={(x , y)|x
2+ y
2≤1), x , y ∈Z)，
B ={(x , y)||x)≤)2,|y)≤2, x , y ∈Z) ，定义A ⊗B = {(x1 x2, y1 y2)|(x1, y1))∈A ,(x2, y2)∈B)，则
A ⊗B中的元素个数为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【答案】B
【解题思路】先求出集合A，再根据所给定义分情况讨论列出A ⊗B即可判断.
【解答过程】由A ={(x , y)∣x
2+ y
2≤1, x , y ∈Z)={(−1,0),(0,−1),(0,0),(0,1),(1,0)}，
而B ={(x , y))|x)≤2,|y)≤2, x , y ∈Z)，
在集合B中，x和y都可以取−2,−1,0,1,2，即x2和y2都可以取−2,−1,0,1,2，
当x1=−1，y1=0时，A ⊗B ={(−2,0),(−1,0),(0,0),(1,0),(2,0))；
当x1=0，y1=−1时，A ⊗B ={(0,−2),(0,−1),(0,0),(0,1),(0,2))；
当x1=0，y1=0时，A ⊗B ={(0,0))；
当x1=0，y1=1时，A ⊗B ={(0,−2),(0,−1),(0,0),(0,1),(0,2))；
当x1=1，y1=0时，A ⊗B ={(−2,0),(−1,0),(0,0),(1,0),(2,0))．
综上所述，A ⊗B ={(−2,0),(−1,0),(0,0),(1,0),(2,0),(0,−2),(0,−1),(0,1),(0,2)}，共9 个元素．
故选：B．
19．（2024·湖南怀化·二模）给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集
T ={|a−b||a,b∈S ,a≠b}，如果min(T )=1，则称集合S为一个n元规范数集．（注：min(X )表示数集
X中的最小数）．对于集合M = {−0.1,−1.1,2,2.5)、N = {−1.5,−0.5,0.5,1.5)，则（ ）
A．M是规范数集，N不是规范数集
B．M是规范数集，N是规范数集
C．M不是规范数集，N是规范数集
D．M不是规范数集，N不是规范数集
【答案】C
【解题思路】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
【解答过程】集合M = {−0.1,−1.1,2,2.5)中，2∈M ,2.5∈M，则|2−2.5|=0.5<1，
即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；
集合N = {−1.5,−0.5,0.5,1.5)，|−1.5−(−0.5)|=1,|−0.5−0.5|=1,|0.5−1.5|=1，
|−1.5−0.5|=|−0.5−1.5|=2,|−1.5−1.5|=3，
即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集.
故选：C.
20．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B={x| x∈A且x∉B}，则对于集合A={
x| x =6n+5，n∈N}，B={y | y =3m+7，m∈N}，C = x| x∈A B且x<1000}，以下说法正确的
是（ ）
A．若在横线上填入”∩”，则C 的真子集有212
1
﹣
个.
B．若在横线上填入”∪”，则C 中元素个数大于250.
C．若在横线上填入”\”，则C 的非空真子集有2153
2
﹣个.
D．若在横线上填入”∪∁N”，则∁NC 中元素个数为13.
【答案】B
【解题思路】根据各个选项确定相应的集合C，然后由集合与子集定义得结论．
【解答过程】x =6n+5=3×(2n+1)+2，y =3m+7 =3(m+2)+1，集合A ,B无公共元素，
选项A 中，集合C为空集，没有真子集，A 错；
选项B 中，由6n+5<1000得n<165 5
6，由3m+7<1000得m<331，因此C中元素个数为166+331= 497
，B 正确；
选项C 中，C中元素个数为166，非空真子集个数为2
166−2，C 错；
选项D 中，∁N C =∁N( A ∪∁N B)=∁N A ∩∁N(∁N B)=∁N A ∩B，而B⊆∁N A，因此其中元素个
数为331 个，D 错．
故选：B．
【题型6 充分条件与必要条件】
21．（2025·山东·一模）设x , y ∈R，则“x> y”是“x>|y)”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】举反例可说明不充分性，根据绝对值和不等式的性质可说明必要性.
【解答过程】若x =2, y =−4，满足x> y，但不能得到x>|y)，故充分性不成立，
若x>|y)，由于|y)≥y，故x> y，故必要性成立，
故“x> y”是“x>|y)”的必要而不充分条件，
故选：C.
22．（2025·江西·模拟预测）已知函数f (x)= x−3
x ，则“x =1”是“f (x)=−2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据函数解析式，求解x =1时f (x)的值，与f (x)=−2解方程得x的值，结合充分条件与必要
条件进行判断即可.
【解答过程】若x =1，则f (x)=−2，反之，若f (x)= x−3
x =−2，则x =1或x =−3.
故“x =1”是“f (x)=−2”的充分不必要条件.
故选：A.
23．（2025·河南·模拟预测）已知集合A = {x|3ax−2≤0)，则使得“1∈A且2∉A”成立的一个充分不
必要条件是（ ）
A．1
3 <a< 2
3
B．a<0
C．1
3 <a≤2
3
D．a> 1
3
【答案】A
【解题思路】当1∈A且2∉A时求出a的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.
【解答过程】由题可知1∈A且2∉A ⇔{
3a−2≤0
6a−2>0)，解得1
3 <a≤2
3，
所以使得“1∈A且2∉A”成立的一个充分不必要条件是集合{a|
1
3 <a≤2
3))的一个真子集，
因为只有选项A 中的{a|
1
3 <a< 2
3))是{a|
1
3 <a≤2
3))的真子集，
故选：A.
24．（2025·重庆·模拟预测）若A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，C 是D 的必要不充分条
件，则A 是D 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可.
【解答过程】若A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，C 是D 的必要不充分条件，
则A ⇒B⇔C ⇐D，
则A 是D 的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【题型7 全称量词与存在量词】
25．（2025·云南昆明·模拟预测）已知命题p:∀x∈(0,+∞)，x
2> x，则命题p的否定是（ ）
A．∃x∈(−∞,0)，x
2> x
B．∃x∈(0,+∞)，x
2≤x
C．∃x∈(0,+ ∞)，x
2> x
D．∀x∈(0,+ ∞)，x
2≤x
【答案】B
【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.
【解答过程】“∀x∈(0,+∞)，x
2> x”的否定是“∃x∈(0,+∞)，x
2≤x”.
故选：B.
26．（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题p:∀x∈R ,|x +1)>1；命题q:∃x>0, x
3= x，则以下为真命
题的是（ ）
A．p和q
B．¬ p和q
C．p和¬q
D．¬ p和¬q
【答案】B
【解题思路】根据不等式的解法，可判定命题p为假命题，再由方程的解，可判定命题q为真命题，结合选
项，即可求解.
【解答过程】由不等式|x +1)>1，可得x +1<−1或x +1>1，解得x<−2或x>0，
所以命题p为假命题，则¬ p为真命题，
又由x
3= x，解得x =0或x =1或x =−1，所以命题q为真命题，则¬q为假命题，
故选：B.
27．（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在R上的函数f (x)，则命题“∃M >0，∀x∈R，f (x)≤M”的
否定为（ ）
A．∃M >0，∃x∈R，f (x)> M
B．∀M >0，∀x∈R，f (x)≤M
C．∃M >0，∀x∈R，f (x)> M
D．∀M >0，∃x∈R，f (x)> M
【答案】D
【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【解答过程】命题“∃M >0，∀x∈R，f (x)≤M”为存在量词命题，
则其否定为：∀M >0，∃x∈R，f (x)> M.
故选：D.
28．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“∃x∈(0,+ ∞)，2 x
2−ax +1<0”为假命题，则实数a的取值
范围是（ ）
A．(−∞,2❑√2)
B．(−∞,2)
C．(−∞,1)
D．(−∞, 1
2)
【答案】A
【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基
本不等式求解实数a的取值范围.
【解答过程】已知命题“∃x ∈(0,+ ∞),2 x
2−ax +1<0”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，
可知其否定“∀x ∈(0,+ ∞),2 x
2−ax +1≥0”为真命题.
由2 x
2−ax +1≥0，x∈(0,+ ∞)，移项可得ax≤2 x
2+1，
因为x>0，两边同时除以x，得到a≤2 x + 1
x 在(0,+∞)上恒成立.
在2 x + 1
x 中，因为x>0，所以2x 和1
x 都是正实数，则2 x + 1
x ≥2❑√2 x⋅1
x =2❑√2，
当且仅当2 x = 1
x ，即x =
❑√2
2 时等号成立.
因为a≤2 x + 1
x 在(0,+ ∞)上恒成立，所以a要小于等于2 x + 1
x 的最小值2❑√2，
即a≤2❑√2，
所以实数a的取值范围是(−∞,2❑√2].
故选：A.
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合A ={x ∈N ||x −1)<2)，则集合A =（ ）
A．{1,2)
B．{0,1,2)
C．{0,1,2,3)
D．{−1,0,1,2,3)
【答案】B
【解题思路】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可.
【解答过程】集合A ={x ∈N ||x −1)<2)= {x ∈N |−1< x <3)= {0,1,2).
故选：B.
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若命题P：“∀x∈(0,2)，都有x + 4
x ≥4”，则命题P的否定为（ ）
A．∀x∈(0,2)，都有x + 4
x <4
B．∀x∉(0,2)，都有x + 4
x <4
C．∃x∈(0,2)，使得x + 4
x <4
D．∃x∉(0,2)，使得x + 4
x <4
【答案】C
【解题思路】根据存全称词命题的否定是存在量词命题分析判断.
【解答过程】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题P的否定为“∃x∈(0,2)，使得x + 4
x <4”.
故选：C.
3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组{
x + y =1
x−y =−3)的解集是（ ）
A．{(x , y)∣x =−1，或y =2}
B．{(1,−2))
C．{(x , y)|{
x =1
y =−2))
D．{(x , y)|{
x−2 y =−5
x + y =1 ))
【答案】D
【解题思路】解方程组，用集合表示即可判断.
【解答过程】由方程组{
x + y =1
x−y =−3)，解得{
x =−1
y =2 )，所以该方程组的解集为{(−1,2))，
而{(x , y)|
x−2 y =−5
x + y =1 ))={
(x , y)|{
x =−1
y =2 )={(−1,2)))).
故选：D.
4．（2025·广东江门·模拟预测）设a,b∈R , P = {1,−a),Q = {−1,b)，若P =Q，则a+b=（ ）
A．−2
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解题思路】根据已知集合及相等关系确定参数值，即可得.
【解答过程】由题设，P =Q⇒ {
−a=−1
b=1 )⇒a=b=1，则a+b=2.
故选：D.
5．（2025·辽宁·三模）已知集合M ={( x , y)|y = 1
2 −x)), N ={( x , y)|x
2=−2 y))，则M ∩N的子集个数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合M ∩N中的元素个数，进而的集合M ∩N的子集的个数，
得到答案.
【解答过程】根据题意，联立方程组{
y = 1
2 −x
x
2=−2 y)
，可得x
2−2 x +1=0，
所以( x −1)
2=0，解得x =1, y =−1
2，即集合M ∩N ={(1,−1
2))，
所以集合M ∩N的子集个数为2 个．
故选：C．
6．（2025·云南昭通·模拟预测）“❑√x<3”是“
x
9−x ≥0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】利用两集合相等可得充要条件.
【解答过程】解不等式❑√x<3得解集为[0,9)，解不等式
x
9−x ≥0得解集也为[0,9)，
所以“❑√x<3”是“
x
9−x ≥0”的充要条件，
故选：C．
7．（2025·四川成都·三模）已知集合A ={x|−1< x<1)),B ={x|0≤x<2))，则A ∩B =（ ）
A．{x|−1< x <2))B．{x|0≤x <2))
C．{x|0≤x <1))
D．{x|−1< x <1))
【答案】C
【解题思路】借助交集定义计算即可得.
【解答过程】由A ={x|−1< x <1)),B ={x|0≤x <2))，则A ∩B ={x|0≤x <1)).
故选：C.
8．（2025·云南·模拟预测）已知全集U = {1, 2, 3, 4 , 5, 6)，集合A = {3, 5), B = {2, 3, 4)，则
∁U ( A ∪B)=（ ）
A．{1, 6)
B．{3)
C．{3, 5)
D．{2, 3, 4 , 5)
【答案】A
【解题思路】利用集合并集和补集的定义求解即可.
【解答过程】由题可得：A ∪B = {2,3,4,5)，所以∁U ( A ∪B)= {1,6).
故选：A.
9．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知a，b 为实数，“a≠0”是“ab≠0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用充分，必要条件的定义判断即可得结论.
【解答过程】由ab≠0，可得a≠0且b≠0，
则由“ab≠0”可得“a≠0”，
但是不能由“a≠0”得到“ab≠0”，因为b 可能为0，
则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件．
故选：B.
10．（2025·湖南·模拟预测）设集合A ={x∣−3≤x ≤1},B ={x∣−2≤x ≤2}，则集合A ∩B中所含整数的
个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解题思路】根据集合的交集，即可求解.
【解答过程】A ∩B ={x∣−2≤x ≤1}，其中所含的整数有−2，−1，0，1，共4个.
故选：C.
11．（2025·河北唐山·一模）已知命题p:∀x∈R , x
2>0；命题q:∃x>0,ln x<0．则（ ）
A．p和q都是真命题
B．p是假命题，q是真命题
C．p是真命题，q是假命题
D．p和q都是假命题
【答案】B
【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明.
【解答过程】对于命题p:∀x∈R , x
2>0，因为当x =0时，x
2=0，故命题p是假命题；
对于命题q:∃x>0,ln x<0，当x = 1
e 时，ln 1
e =−1<0，故命题q是真命题.
故选：B.
12．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合A、B、C是全集U的三个真子集，A、B、C的关系如Venn 图所
示，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．A ∩B∩C
B．A ∩C + B∩C
C．( A ∩C + B∩C)−A ∩B∩C
D．A ∩(∁U C ∪B)
【答案】B
【解题思路】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解.
【解答过程】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为( A ∩C)∪(B∩C)，
即阴影部分表示集合为A ∩C + B∩C.
故选：B.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·广西·模拟预测）已知集合A = {x∈Z | x =3k +2,k ∈Z),B = {x∈Z | x =6 k −1,k ∈Z)，则
（ ）
A．A = B
B．A ⊆B
C．B⊆A
D．A ∩B =∅
【答案】C
【解题思路】先证明对任意x0∈B，则x0∈A，再证明2∈A，但2∉B，由此可得结论.
【解答过程】对任意x0∈B，存在k0∈Z，使得x0=6 k0−1，
由于x0=6k0−1=3(2k0−1)+2，令k
′ =2k0−1，则k
′∈Z，所以x0=3k
′ +2∈A，故B⊆A，
又2∈A（当k =0时），但2∉B（由6k −1=2解得k = 1
2 ∉Z），所以B是A的真子集，
故选：C.
2．（2025·湖北恩施·模拟预测）已知全集U ={x∈N|x ≤3))，A = {1,2)，B = {1,3)，则集合∁U ( A ∩B)的
真子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】C
【解题思路】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数.
【解答过程】U = {0,1,2,3)，A ∩B = {1)，∁U ( A ∩B)= {0,2,3)，
则集合∁U ( A ∩B)的真子集个数为7 个.
故选：C.
3．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知命题p：“a>2是a
2−a>0的充分不必要条件”；命题q：“
∃x>0, x
2=3 x
3”．则下列正确的是（ ）
A．p和q都是假命题
B．¬ p和q都是假命题
C．p和¬q都是假命题
D．¬ p和¬q都是假命题
【答案】D
【解题思路】先判断每个命题的正误，再判断命题的否定的正误即可.
【解答过程】令a
2−a>0，解得a<0或a>1，
则a>2可以推出a
2−a>0，充分性成立，
a
2−a>0推不出a>2，必要性不成立，
得到a>2是a
2−a>0的充分不必要条件，
故p是真命题，则¬ p是假命题，
令x
2=3 x
3，得到3 x
3−x
2=0，化简得x
2(3 x−1)=0，
解得x =0或x = 1
3，则∃x>0, x
2=3 x
3，
故q是真命题，则¬q是假命题，
即¬ p和¬q都是假命题，故D 正确.
故选：D.
4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知全集为R，集合A ={x)1< x<2)，B ={x) x>4)，则（ ）
A．A ∩B = A
B．A ∪B = R
C．B∩(∁R A)= B
D．A ∪(∁R B)= A
【答案】C
【解题思路】根据交集的运算判断A，根据并集的运算举反例判断B，根据补集和交集的运算判断C，根
据补集和并集的运算判断D.
【解答过程】对于A 选项，因为A ={x)1< x <2)，B ={x) x >4)，所以A ∩B =∅≠A，故A 不正确；
对于B 选项，因为3∈R，但3∉A ∪B，得A ∪B≠R，故B 不正确；
对于C 选项，由B ={x) x >4)，A ={x)1< x <2)，则∁R A ={x) x ≤1)或x ≥2)，
所以B∩(∁R A)= B，故C 正确；
对于D 选项，由B ={x) x >4)，得∁R B ={x) x ≤4)，
又A ={x)1< x <2)，所以A ∪(∁R B)={x) x ≤4)≠A，故D 不正确.
故选：C.
5．（2025·北京丰台·二模）已知关于x的方程x
2+bx +c =0(b,c∈R)的两实根为x1, x2，则“|x1)=|x2)”
是“关于x的不等式x
2+bx +c<0的解集为∅”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合二次方程的根的情况与二次函数图象、二次不等式的
解集之间的联系，推导证明可得出结论.
【解答过程】充分性的判断：
若|x1)=|x2)，则x1= x2或x1=−x2，
当x1= x2时，关于x的方程x
2+bx +c =0有两个相等的实数根，则Δ=b
2−4 c =0，
因为二次函数y = x
2+bx +c开口向上，所以关于x的不等式x
2+bx +c<0的解集为∅；
当x1=−x2时，关于x的方程x
2+bx +c =0有两个不相等的实数根，不妨设x1< x2，
因为二次函数y = x
2+bx +c开口向上，所以关于x的不等式x
2+bx +c<0的解集为(x1, x2).
所以，由“|x1)=|x2)”不能推出“关于x的不等式x
2+bx +c<0的解集为∅”，充分性不成立.
必要性的判断：
若关于x的不等式x
2+bx +c<0的解集为∅，因为二次函数y = x
2+bx +c开口向上，所以Δ=b
2−4 c≤0，
又因为关于x的方程x
2+bx +c =0有两个实数根x1, x2，则x1= x2，则|x1)=|x2)，必要性成立.
综上，“|x1)=|x2)”是“关于x的不等式x
2+bx +c<0的解集为∅”的必要不充分条件.
故选：B.
6．（24-25 高一上·北京·月考）设C (M )表示非空集合M中元素的个数，已知非空集合A ,B.定义
A ⊗B ={
C( A )−C(B),C( A )≥C(B)
C(B)−C( A ),C( A )<C(B))，若A = {1,2)，B ={x|(x
2+ax)(x
2+ax +2)=0))且A ⊗B =1，
则实数a的所有取值为（ ）
A．0
B．0，−2❑√2
C．0，2❑√2
D．−2❑√2，0，2❑√2
【答案】D
【解题思路】由题意可得集合B中的元素个数为1 个或3 个，分集合B中的元素个数为1 和集合B中的元素
个数为3 两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可.
【解答过程】解：由(x
2+ax)(x
2+ax +2)=0可得x
2+ax =0或x
2+ax +2=0，
又因为A = {1,2)，A ⊗B =1，
所以集合B中的元素个数为1 个或3 个，
当集合B中的元素个数为1 时，则x
2+ax =0有两相等的实数根，且x
2+ax +2=0无解，
所以{
a
2=0
a
2−8<0)，解得a=0；
当集合B中的元素个数为3 时，则x
2+ax =0有两不相等的实数根，且x
2+ax +2=0有两个相等且异于方程
x
2+ax =0的根的解，
所以{
a≠0
Δ=a
2−8=0)，解得a=2❑√2或a=−2❑√2，
综上所述，a=0或a=2❑√2或a=−2❑√2.
故选：D.
二、解答题
7．（2025·湖北·模拟预测）已知集合M = {1,2,⋯,n)，n∈N
∗，A、B是M的非空子集.记集合
A + B ={(x + y))除以n的余数|x ∈A , y ∈B)).若正整数n满足：存在非空集合A、B，使得A + B两两的交
集为空集，且A ∪B∪( A + B)= {0,1,2,⋯,n−1)，则称n为“好的”.
(1)设A = {1)，B = {2,4)，当n=5时，求A + B，并直接判断n=5是否为“好的”；
(2)证明：n=8是“好的”，n=16是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
【答案】(1)A + B = {0,3)，n=5是“好的”
(2)证明见解析
(3)除1、2、4外的正整数
【解题思路】（1）根据题中定义可求出集合A + B，并由此作出判断；
（2）当n=8时，取集合A = {1,2)，B = {3,6)；当n=16时，取集合A = {1,2,9,10)，B = {3,6,11,14)，结合
题中定义验证可得出结论；
（3）先证明出：若正整数n是“好的”，则2n也是“好的”，再证：n≥3为奇数是“好的”，n= 4不是
“好的”，同理易知n=1，2不是“好的”，由此可得出结论.
【解答过程】（1）当n=5时，由题中定义可得A + B = {0,3)，且A ∪B∪( A + B)= {0,1,2,3,4)，故n=5
是“好的”.
（2）n=8时，取A = {1,2)，B = {3,6)，则x + y的值为4、7、5、8，除以8 的余数为4，7，5，0.
所以A + B = {4,5,7,0)，此时A ∪B∪( A + B)= {0,1,2,3,4,5,6,7)，合乎题意；
n=16时，取A = {1,2,9,10)，B = {3,6,11,14)，
x + y的值分别为4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16 的余数为4，7，12，15，5，
8，13，0.
所以A + B = {4,5,7,8,12,13,15,0)，则A ∪B∪( A + B)= {0,1,2,3,4 ,⋯,15)，满足条件.
故n=8是“好的”，n=16是“好的”.
（3）①首先证明：若正整数n是“好的”，则2n也是“好的”.（*）
事实上，若正整数n是“好的”，
设A ={a1,a2,⋯,as)，B ={b1,b2,⋯,bt)，A + B ={c1,c2,⋯,cr)，此时集合A、B满足n时条件.
2n时，考虑C ={a1,a2,⋯,as,a1+n,a2+n,⋯,as+n)，D ={b1,b2,⋯,bt ,b1+n,b2+n,⋯,bt +n)，
则C + D ={c1,c2,⋯,cr ,c1+n,c2+n,⋯,cr+n)也满足条件，（*）得证.
②再证：n≥3为奇数是“好的”.（**）
事实上，取A = {1)，B = {2,4,6,⋯,n−1)，则A + B = {3,5,7 ,⋯,n−2,0)满足条件，（**）得证.
由（*）（**）及（2）知除1，2，4 外的正整数均为“好的”.
③再证：n= 4不是“好的”.
对集合A，记|A)为A中元素个数，由条件，|A)+|B)+|A + B)=n.
若|A)=|B)=1，则|A + B)=1，矛盾.
若|A)≥2或|B)≥2，则|A + B)≥2，则|A)+|B)+|A + B)≥5，矛盾.
于是n= 4不是“好的”.
同理易知n=1，2 不是“好的”.
所以，所求为除1，2，4 外的正整数.
8．（2025·北京海淀·二模）记|M )表示有穷集合M的元素个数．已知m,n是正整数，集合S = {1,2,⋯,n)
．若集合序列Q: A1, A2,⋯, Am满足下列三个性质，则称Q是“平衡序列”：
①|Ak)≥2，其中k =1,2,⋯,m；
②Ak⫋S，其中k =1,2,⋯,m；
③对于S中的任意两个不同元素i, j，都存在唯一的k ∈{1,2,⋯,m)，使得{i, j)⊆Ak．
(1)设m=n=5，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
Q1:{1,2),(1,3,4,5),{2,3),{2,4),{2,5)
Q2:{1,2,3),{1,4,5),{2,4),{3,4),{3,5)
(2)已知n≥3且集合序列Q: A1, A2,⋯, Am是“平衡序列”，对于i=1,2,⋯,n，定义：
Bi={k ∣i∈Ak ,k =1,2,⋯,m).证明：
（i）当1∉A1时，|B1)≥|A1)；
（ii）m≥n．
【答案】(1)Q1是平衡的，Q2不是平衡的；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解题思路】（1）根据平衡的三个条件逐个分析即可判断Q1，找到反例{2,5)，即可判断Q2；
（2）（i）考虑Q2，根据性质③知若j≠j
′，则会得到矛盾点，即可证明；
（ii）设|B1),|B2),…,|Bn)中最小的（之一）为|Bn)，且Bn={1,2,…,t }，设s∈As(s=1,2,…,t )，根据
（i）的证明方法知当i∉Ak时，|Bi)≥|Ak)，则|Ai+1),|At +2),…,|Am)都不大于|Bn)，最后相加即可证明.
【解答过程】（1）Q1是平衡的，Q2不是平衡的．
理由：S = {1,2,⋯,5)，
Q1:{1,2),(1,3,4,5),{2,3),{2,4),{2,5)，|A1)=2，|A2)= 4，|A3)=2，|A4)=2，|A5)=2，满足|Ak)≥2
，
显然Ak⫋S，且对于S中的任意两个不同元素i, j，
{1,2)，{1,3)，{1,4)，{1,5)，{2,3)，{2,4)，{2,5)，{3,4)，{3,5)，{4,5)，
都存在唯一的k ∈{1,2,⋯,m)，使得{i, j)⊆Ak．
故Q1是平衡的，
Q2:{1,2,3),{1,4,5),{2,4),{3,4),{3,5)，
{2,5)并不是Ak的子集，故Q2不是平衡的．
（2）（i）当1∉A1时，对于A1中的每个元素j，考虑{1, j}．
由③知存在唯一的k j≠1，满足{1, j)⊆Ak j，则k j∈B1．
将每一个j∈A1对应到k j∈B1，
若j≠j
′，就有k j≠k j，否则{ j , j
′)⊆A1且{ j , j
′)⊆Ak j与③矛盾．
所以|A1)≤|B1)．
（ii）对A1, A2,…, Am中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次），
一方面总个数就是|A1)+|A2)+⋯+|Am)，
另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是|B1)+|B2)+⋯+|Bn)，
所以|A1)+|A2)+⋯+|Am)=|B1)+|B2)+⋯+|Bn)．（＊）
不妨设|B1),|B2),…,|Bn)中最小的（之一）为|Bn)，
且Bn={1,2,…,t }，由②③知1<t <n．
再不妨设s∈As(s=1,2,…,t )．
由（i）的证明方法可证：当i∉Ak时，|Bi)≥|Ak)，
由③知s∉As+1(s=1,2,…,t −1),t ∉A1，
所以|As+1)≤|Bs)(s=1,2,…,t −1),|At)≤|Bt)，
又因为n∉Ai+1, Ai+2,…, Am，所以|Ai+1),|At +2),…,|Am)都不大于|Bn)，
全部相加得|A1)+|A2)+⋯+|Am)≤B1|+|B2)+⋯+|Bt)+(m−t ))Bn∣，
由|Bn)的最小性知|B1)+|B2)+⋯+|Bn)≥|B1)+|B2)+⋯+|B1)+(n−t )|Bn)，
结合（＊）可得
|B1)+|B2)+⋯+|B1)+(m−t )|Bn)≥|B1)+|B2)+⋯+|B1)+(n−t )|Bn)，
所以m≥n．
