知识必备　1.集合、常用逻辑用语、不等式_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_教师用书Word版文档_知识必备

1.集合、常用逻辑用语、不等式
1.集合
(1)集合与元素
①集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
②元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示.
③常见数集的记法：
集合
自然数
集
正整数
集
整数
集
有理数
集
实数
集
符号
N
N  * 或N+
Z
Q
R
(2)集合间的基本关系
①子集：集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，记作A  ⊆  B  (或B  ⊇  A  )；
②真子集：集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，记作AB(或B A)；
③集合相等：A⊆B 且B⊆A，记作A=B；
④注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即∅⊆A，∅A(A≠∅)；任何集合都是自身
的子集，即A  ⊆  A  ；∅是指不含任何元素的集合，{∅}是指以∅为元素的集合，所以∅≠{∅}.
(3)集合的基本运算
①并集：A  ∪
  B  ={
  x  | x  ∈
  A  ，或
 
  x  ∈
  B  }  ；
②交集：A  ∩  B  ={
  x  | x  ∈
  A  ，且
 
  x  ∈
  B  }  ；
③补集：∁UA  ={
  x  | x  ∈
  U  ，且
 
  x  ∉  A  }  .
(4)集合的有关性质
①集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A  ⊆  C  ；
②集合的子集个数：若集合A 中有n 个元素，则A 的子集有2  n   个，真子集有2  n -1
   个，非空真子集有2  n -2
   个；
③等价关系：A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB；
A⊆B⇔A=∅或{
A ≠∅,
A ⊆B. 
2.全称量词命题、存在量词命题及其否定 
(1)全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定为存在量词命题：∃x∈M，綈p(x).
(2)存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定为全称量词命题：∀x∈M，綈p(x).
(3)原命题与其否定真假相反.
3.充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：若p⇒q，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p⇒q，且q
p，则p 是q 的充分不必
要条件(或q 是p 的必要不充分条件)；若p⇒q，且q⇒p，则p 是q 的充要条件.
(2)集合法：利用集合间的包含关系.例如，p：x∈A，q：x∈B，若A⊆B，则p 是q 的充分条件(q 是p 的必
要条件)；若A B，则p 是q 的充分不必要条件(q 是p 的必要不充分条件)；若A=B，则p 是q 的充要条件.
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.
4.一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断对应方程Δ 的符号)；三解(解对应的
一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：(1)二次项系数，它决定二次
函数的开口方向；(2)判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0，Δ=0，Δ<0 三种情况；(3)在有根的条件下，
要比较两根的大小.
5.一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是{
a>0,
Δ<0 .
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是{
a<0,
Δ<0 .
6.分式不等式
f ( x)
g( x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
f ( x)
g( x)≥0(≤0)⇔{
f ( x)g( x)≥0(≤0),
g( x)≠0
.
7.基本不等式
(1)基本不等式：a+b
2
≥√ab(a>0，b>0)，当且仅当a=b 时，等号成立.
基本不等式的变形：
①a2+b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a=b 时，等号成立；
②(
a+b
2 )
2
≥ab(a，b∈R)，当且仅当a=b 时，等号成立.
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”
“等”的条件.
8.单变量不等式恒(能)成立问题
(1)∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)min；
(2)∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)max；
(3)∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)max；
(4)∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)min.
1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集合的代表元素.如{x|y=lg x}——函数的定义域；{y|
y=lg x}——函数的值域；{(x，y)|y=lg x}——函数图象上的点集.
2.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.
3.空集是任何集合的子集.解题时勿漏∅的情况.
4.判断命题的真假要先明确命题的构成.由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，
将问题转化为集合间的运算.
5.解形如ax2+bx+c>0(a≠0)的一元二次不等式时，易忽视对系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，
a<0 进行讨论.
6.求解分式不等式时应正确进行同解变形，不能把f ( x)
g( x)≥0(≤0)直接转化为f(x)g(x)≥0(≤0)，而忽视
g(x)≠0.
7.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)=√x
2+2+
1
√x
2+2
的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y=x+3
x (x<0)的最值时应先转化为正数再求解.