专题1.4 不等式与复数（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 不等式的性质及其应用】..........................................................................................................................1
【题型2 利用基本不等式求最值】..........................................................................................................................3
【题型3 基本不等式中的恒成立问题】..................................................................................................................4
【题型4 解常见的不等式】......................................................................................................................................6
【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】.....................................................................................................7
【题型6 复数的四则运算】......................................................................................................................................8
【题型7 复数的几何意义】....................................................................................................................................10
【题型8 与复数有关的最值问题】........................................................................................................................11
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 不等式的性质及其应用】
1．（2025·云南昭通·模拟预测）a,b,c∈R，b>c，下列不等式恒成立的是（ ）
A．a+b
2>a+c
2
B．a
2+c<a
2+b
C．ab>ac
D．a
2c<a
2b
【答案】B
【解题思路】利用特例法判断ACD；利用不等式的性质判断B.
【解答过程】对于A，若c<b<0，则b
2<c
2，a+b
2<a+c
2，故A 错误；
对于B，因为b>c，故a
2+b>a
2+c，故B 正确；
对于C、D，若a=0，ab=ac =0，a
2c =a
2b=0，故C、D 错误，
故选：B．
2．（2025·河北石家庄·一模）如果ab>0，那么“a>b 是
”
“1
a < 1
b 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可.
【解答过程】若ab>0，a>b，则b−a<0，
则1
a −1
b = b−a
ab <0，即1
a < 1
b，充分性成立；
若ab>0，1
a < 1
b ，则1
a −1
b = b−a
ab <0，
所以b<a，必要性成立，
所以如果ab>0，那么“a>b 是
”
“1
a < 1
b 的充要条件
”
.
故选：C.
3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知2<a≤4，−1<b≤0，则2a−b的取值范围（ ）
A．[4,9)
B．(4,9)
C．(5,8)
D．(5,8)
【答案】B
【解题思路】由不等式的同向可加性得到结果.
【解答过程】因为2<a≤4，−1<b≤0得4<2a≤8，0≤−b<1，
所以4<2a−b<9．
故选：B．
4．（2025·北京海淀·二模）设a、b、c∈R，abc≠0，且a>b>c，则（ ）
A．a
b + b
c >2
B．b
a + c
b <2
C．2a>b+c
D．a+b>c
【答案】C
【解题思路】利用特殊值法可判断ABD 选项，利用不等式的性质可判断C 选项.
【解答过程】对于A 选项，不妨取a=2，b=1，c =−1
4 ，则a
b + b
c =2−4 =−2<2，A 错；
对于B 选项，不妨设a=−1，b=−2，c =−6，则b
a + c
b =2+3=5>2，B 错；
对于C 选项，因为a>b>c，由不等式的基本性质可得2a>b+c，C 对；
对于D 选项，不妨设a=−1，b=−2，c =−2.5，则a+b=−3<−2.5=c，D 错.
故选：C.
【题型2 利用基本不等式求最值】
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）若a>0，b>0，且a+ 4 b=5，则1
a + 4
b 的最小值是（ ）
A．16
B．25
C．4
D．5
【答案】D
【解题思路】利用常数代换，结合基本不等式可得.
【解答过程】因为a>0，b>0，且a+ 4 b=5，
所以1
a + 4
b = 1
5(
1
a + 4
b)(a+ 4 b)= 1
5(1+ 4 b
a + 4 a
b +16)≥1
5(17+2❑√
4 b
a ⋅4 a
b )=5，
当且仅当{
4 b
a = 4 a
b
a+ 4 b=5)
，即a=b=1时等号成立，所以1
a + 4
b 的最小值是5.
故选：D.
6．（2025·全国·模拟预测）已知x，y 为正数，则2 x
2+3 y
2
xy
的最小值为（ ）
A．4
B．3 ❑√2
C．3
D．2❑√6
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【解答过程】由x，y 均为正数，则2 x
2+3 y
2
xy
= 2 x
y + 3 y
x ≥2❑√
2 x
y ⋅3 y
x =2❑√6，
当且仅当2 x
y = 3 y
x ，即y =
❑√6
3 x时取等号，
故2 x
2+3 y
2
xy
的最小值为2❑√6.
故选：D.
7．（2025·广东梅州·模拟预测）已知正实数x , y满足xy + x +2 y = 4，则x +2 y的最小值是（ ）
A．4 ❑√3−4
B．4
C．2❑√3−2
D．2❑√3
【答案】A
【解题思路】由题意得x =
6
y +1 −2，代入x +2 y得x +2 y =
6
y +1 +2( y +1)−4，再由均值不等式求解即
可.
【解答过程】由xy + x +2 y = 4，y >0，可得x = 4−2 y
y +1 = 4−2( y +1)+2
y +1
=
6
y +1 −2，
所以x +2 y =
6
y +1 −2+2 y =
6
y +1 +2( y +1)−4≥2❑√
6
y +1 ×2( y +1)−4 = 4 ❑√3−4，
当且仅当6
y +1 =2( y +1)，即y = ❑√3−1时，等号成立.
故选：A.
8．（2025·辽宁盘锦·三模）已知正数m、n满足4 m+6n=1，则1
m + 2m
n 的最小值为（ ）
A．2+ 4 ❑√3
B．4+ 4 ❑√3
C．7+ 4 ❑√3
D．7+2❑√3
【答案】B
【解题思路】将4 m+6n=1代入所求代数式，结合基本不等式可求得其最小值.
【解答过程】因为正数m、n满足4 m+6n=1，
所以1
m + 2m
n = 4 m+6n
m
+ 2m
n = 4 + 6n
m + 2m
n ≥4+2❑√
6n
m ⋅2m
n = 4 + 4 ❑√3，
当且仅当{
6n
m = 2m
n
4 m+6n=1
m>0,n>0)
，即m=1−
❑√3
2 ，n=
❑√3
3 −1
2时等号成立，故1
m + 2m
n 的最小值为4+ 4 ❑√3．
故选：C.
【题型3 基本不等式中的恒成立问题】
9．（25-26 高一上·江苏扬州·期中）已知实数x>0，y >0，1
x + 4
y =3，且x + y ≥m恒成立，则实数m的取
值范围为（ ）
A．{m|m≤9}
B．{m)m≤3)
C．{m)m≥9)
D．{m)m≥3)
【答案】B
【解题思路】由乘1 法，求得x + y的最小值，即可求解.
【解答过程】x + y = 1
3
(x + y)(
1
x + 4
y)= 1
3(5+ y
x + 4 x
y )≥1
3(5+2❑√
y
x · 4 x
y )=3，
当且仅当y
x = 4 x
y ，即x =1, y =2时，取等号，
所以m≤3，
故选：B.
10．（25-26 高一上·辽宁大连·期中）设实数x , y满足x> 3
2 , y >3，不等式
k (2 x−3)( y −3)≤8 x
3+ y
3−12 x
2−3 y
2恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12
B．24
C．32
D．48
【答案】B
【解题思路】原不等式可转化为4 x
2
y −3 +
y
2
2 x−3 ≥k，利用均值不等式求4 x
2
y −3 +
y
2
2 x−3最小值即可.
【解答过程】由x> 3
2，y >3变形可得2 x−3>0，y −3>0，
令a=2 x−3>0，b= y −3>0，
则k (2 x−3)( y −3)≤8 x
3+ y
3−12 x
2−3 y
2转化为k ≤8 x
3+ y
3−12 x
2−3 y
2
(2 x−3)( y −3)
，即4 x
2
y −3 +
y
2
2 x−3 ≥k，
其中4 x
2
y −3 +
y
2
2 x−3 = (a+3)
2
b
+ (b+3)
2
a
≥(2❑√3a)
2
b
+ (2❑√3b)
2
a
=12(
a
b + b
a)≥24 ❑√
a
b ⋅b
a =24，
当且仅当{
a=3
b=3
b
a = a
b)
，即x =3，y =6时取等号，
所以不等式4 x
2
y −3 +
y
2
2 x−3 ≥k恒成立，只需k ≤24.
故选：B.
11．（25-26 高一上·江苏南京·期中）已知x>0，y >0，且2
x + 1
y =1，若x +2 y >m
2+2m恒成立，则实数
m的取值范围是（ ）
A．(−2,4)
B．(−4,2)
C．(−∞,−2)∪[4 ,+ ∞)
D．(−∞,−4)∪[2,+∞)
【答案】B
【解题思路】不等式x +2 y >m
2+2m恒成立，等价于x +2 y的最小值大于m
2+2m，所以先利用基本不等
式求出x +2 y的最小值，然后解关于m的不等式即可.
【解答过程】因为x>0，y >0 ，且2
x + 1
y =1，
所以x +2 y =( x +2 y)(
2
x + 1
y)=2+ x
y + 4 y
x +2≥4 +2❑√
x
y ⋅4 y
x =8，
当且仅当x
y = 4 y
x ，即x = 4 , y =2时取等号，
所以x +2 y的最小值为8，
不等式x +2 y >m
2+2m恒成立，等价于x +2 y的最小值大于m
2+2m，
所以8>m
2+2m，解得−4<m<2，
故选：B.
12．（25-26 高一上·山东·期中）已知a，b为正实数，且3a
2−2ab+ 4 =0，若不等式b−1
2 a≥m恒成立，
则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,4)
C．(−∞,2❑√2)
D．(−∞,4 ❑√2)
【答案】C
【解题思路】根据题意得b= 3
2 a+ 2
a
(a>0)，则b−1
2 a=a+ 2
a ≥2❑√2，再根据恒成立问题转化为最值即
可．
【解答过程】3a
2−2ab+ 4 =0即b= 3a
2+ 4
2a
= 3
2 a+ 2
a
(a>0)，
∴b−1
2 a=a+ 2
a ≥2❑√2（当且仅当a= 2
a = ❑√2时取等号），
又不等式b−1
2 a≥m恒成立，
所以m≤(b−1
2 a)min
=2❑√2．
故选：C．
【题型4 解常见的不等式】
13．（2025·河南·模拟预测）若集合A ={x|−2≤x ≤0))，B ={x|x
2−x −2≤0))，则A ∩B =（ ）
A．[−2,2)
B．[−1,0)
C．[−2,0)
D．[−1,2)
【答案】B
【解题思路】解不等式，得到B ={x|−1≤x ≤2))，利用交集概念求出答案.
【解答过程】B ={x|x
2−x −2≤0))={x|−1≤x ≤2))，又A ={x|−2≤x ≤0))，
所以A ∩B ={x|−2≤x ≤0))∩{x|−1≤x ≤2))={x|−1≤x ≤0))=[−1,0).
故选：B.
14．（2025·湖北黄冈·三模）已知集合A =¿，则A ∩B =（ ）
A．(−∞,1)∪(2,+ ∞)
B．(1,2)
C．(−∞,1)∪[2,+ ∞)
D．(−∞,1)∪[2,+∞)
【答案】C
【解题思路】利用分式不等式和一元二次不等式可求得集合A ,B，再利用交集运算法则可得结果.
【解答过程】对于集合A ={x∣
1
x−1 ≤1}，
1
x−1 −1≤0，进一步化简为2−x
x−1 ≤0，
所以A ={x∣x<1或x ≥2}.
对于集合B ={x∣x
2−3 x +2≥0}，因式分解得(x−1)(x−2)≥0，
所以B ={x∣x ≤1或x ≥2}.
所以A ∩B ={x∣x<1或x ≥2}=(−∞,1)∪[2,+∞).
故选：C.
15．（2025·上海杨浦·三模）不等式x +1
x−2 ≤2的解集为
．
【答案】{x| x ≥5,或x<2}.
【解题思路】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.
【解答过程】x +1
x−2 ≤2等价于−x +5
x−2 ≤0，即{
x−2≠0
( x−5)( x−2)≥0)，
解得x ≥5或x<2，即原不等式的解集为：{x| x ≥5,或x<2}.
故答案为：{x| x ≥5,或x<2}.
16．（2025·上海·模拟预测）ax +b<0 的解集为 (−∞,−1)，则 (ax−b)(x +2)<0 的解集为
．
【答案】(−2,1)
【解题思路】由不等式 ax +b<0 的解集为 (−∞,−1)，可得到b=a且a>0,代入一元二次不等式求解即
可.
【解答过程】由题干知，不等式 ax +b<0 的解集为 (−∞,−1)，
可得到{
b=a
a>0)，代入一元二次不等式得
(ax−a)( x +2)<0⇒a( x−1)( x +2)<0，
由于a>0，所以( x−1)( x +2)<0，即 −2< x<1.
故答案为：(−2,1).
【题型5 一元二次不等式恒成立、有解问题】
17．（2025·河南·模拟预测）已知命题“∃x∈R , x
2−mx +m<0 是假命题，则实数
”
m的取值范围为（ ）
A．[0,4)
B．(0,4)
C．[0,2)
D．(0,2)
【答案】A
【解题思路】已知原命题为假命题，那么它的否定“∀x∈R , x
2−mx +m≥0 为真命题
”
.对于一元二次函数
y = x
2−mx +m，要使其对于任意实数x都大于等于0，则需要考虑其判别式Δ的取值范围.
【解答过程】已知原命题为假命题，那么它的否定“∀x∈R , x
2−mx +m≥0 为真命题
”
.
对于一元二次函数y = x
2−mx +m，要使其对于任意实数x都大于等于0.
因为y = x
2−mx +m≥0恒成立，所以Δ≤0，即m
2−4 m≤0，解得0≤m≤4.
故选：A.
18．（2025·浙江·模拟预测）若不等式k x
2+(k −6) x +2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是
（ ）
A．2≤k ≤18
B．−18<k <−2
C．2<k <18
D．0<k <2
【答案】C
【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【解答过程】当k =0时，不等式k x
2+(k −6) x +2>0可化为−6 x +2>0，显然不合题意；
当k ≠0时，因为k x
2+(k −6) x +2>0的解为全体实数，
所以{
k >0
Δ=(k −6)
2−4 k ×2<0)，解得2<k <18；
综上：2<k <18.
故选：C.
19．（2025·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+ ∞)，使x
2−ax + 4<0 是假命题，则实数
”
a的取值范围为
.
【答案】(−∞,4 ]
【解题思路】将问题转化为“a≤x + 4
x 在(0,+∞)上恒成立，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得
”
解.
【解答过程】因为“∃x∈(0,+∞)，使x
2−ax + 4<0 是假命题，
”
所以“∀x∈(0,+∞)，x
2−ax + 4≥0 为真命题，
”
其等价于a≤x + 4
x 在(0,+ ∞)上恒成立，
又因为对勾函数f (x)= x + 4
x 在(0,2]上单调递减，在[2,+ ∞)上单调递增，
所以f (x)min= f (2)= 4，
所以a≤4，即实数a的取值范围为(−∞,4 ].
故答案为：(−∞,4 ].
20．（2025·山东·二模）已知不等式3 x
2+(a−2) x + 4≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的最小值
为
．
【答案】2−4 ❑√3
【解题思路】分离参数，利用基本不等式即可求解.
【解答过程】因为不等式3 x
2+(a−2) x + 4≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，
所以a−2≥−3 x−4
x 对任意的x∈(0,+ ∞)恒成立，
又当x∈(0,+∞)时，−3 x−4
x =−(3 x + 4
x)≤−2❑√3 x⋅4
x =−4 ❑√3，当且仅当3 x = 4
x ，即x = 2❑√3
3
时，
等号成立，
所以a−2≥−4 ❑√3，即a≥2−4 ❑√3，所以实数a 的最小值为2−4 ❑√3.
故答案为：2−4 ❑√3.
【题型6 复数的四则运算】
21．（2025·山东·三模）若复数z满足
z
1−i =2i，则|z)的值为（ ）
A．❑√3
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
【答案】D
【解题思路】先利用复数的乘法运算求得z =2+2i，然后利用复数模的运算求解即可.
【解答过程】因为
z
1−i =2i，所以z =2i(1−i)=2+2i，所以|z)=
❑√2
2+2
2=2❑√2.
故选：D.
22．（2025·河南·模拟预测）已知复数z满足z−i=
1
1−i，则z的虚部是（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．3
2
D．−3
2
【答案】D
【解题思路】利用复数四则运算法则得到z = 1
2 + 3
2 i，从而根据共轭复数和虚部的概念得到答案.
【解答过程】z =
1
1−i +i=
1+i
(1−i)(1+i) +i= 1+i
2
+i= 1
2 + 3
2 i，
故z = 1
2 −3
2 i，故虚部为−3
2.
故选：D.
23．（2025·云南·模拟预测）已知复数z =1+i，则|z)+ z
z =（ ）
A．2−i
B．2+i
C．❑√2−i
D．❑√2+i
【答案】C
【解题思路】利用复数模的运算，共轭运算，除法运算来求解即可.
【解答过程】|z)+ z
z =|1+i)+ 1−i
1+i = ❑√2+ (1−i)
2
2
= ❑√2+ −2i
2
= ❑√2−i，
故选：C.
24．（2025·浙江·模拟预测）已知i是虚数单位，复数z满足z⋅i
3+2i =1−i，则|z)=（ ）
A．❑√29
B．3 ❑√3
C．❑√26
D．5
【答案】C
【解题思路】先根据复数的四则运算求出复数z，再求模即可.
【解答过程】由z⋅i
3+2i =1−i，得z⋅i=(1−i)(3+2i)=5−i，
所以z = 5−i
i
= (5−i)i
i
2
=−1−5i，
∴|z)= ❑√26，
故选：C.
【题型7 复数的几何意义】
25．（2025·四川成都·模拟预测）已知复数z满足(1+i) z =7−i，则在复平面内复数z所对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解题思路】根据复数除法运算及复数在复平面内所对应的点即可判断.
【解答过程】由已知得z = 7−i
1+i = (7−i)(1−i)
(1+i)(1−i) = 6−8i
2
=3−4i，
则复数z所对应的点为(3,−4)，位于第四象限.
故选：D.
26．（2025·全国·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为(3,4)，则z
| z| =（ ）
A．5
3 −5
4 i
B．5
4 + 5
3 i
C．3
5 −4
5 i
D．4
5 + 3
5 i
【答案】C
【解题思路】根据复数的几何意义可得z =3+ 4i，进而得到z =3−4i，进而求解即可.
【解答过程】根据题意有z =3+ 4i，则z =3−4i，
故z
| z| = 3−4i
|3+ 4i| = 3−4i
❑√3
2+ 4
2 = 3
5 −4
5 i.
故选：C.
27．（2025·陕西西安·模拟预测）若复数z =3+mi(m∈R)在复平面内对应的点在直线x−3 y =0上，则
z (1−i)=（ ）
A．4−4i
B．2−4i
C．3−2i
D．4−2i
【答案】D
【解题思路】利用复数的几何意义得出对应点坐标，代入直线方程可得m，进而得出复数z，最后利用复数
乘法运算即可.
【解答过程】因为z =3+mi(m∈R)，
所以复数z在复平面内对应的点为(3,m)
又点(3,m)在直线x−3 y =0上，
所以3−3m=0，解得m=1，
所以复数z =3+i，
z (1−i)=(3+i)(1−i)= 4−2i，
故选：D.
28．（2025·甘肃白银·三模）已知复数z满足z
1−i =−2+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解题思路】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到z =−1+3i，结合共轭复数的概念，以及复数的
几何意义，即可求解.
【解答过程】由复数z满足z
1−i =−2+i，则z =(1−i)(−2+i)=−1+3i，可得z =−1−3i，
故复数z的共轭复数在复平面内对应的点(−1,−3)位于第三象限.
故选：C.
【题型8 与复数有关的最值问题】
29．（2025·湖南·模拟预测）若z是复数，|z−2i)=1，则|z)的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解题思路】设z = x + y i(x , y ∈R)，由条件结合复数的几何意义确定复数z在复平面上的对应点为
Z (x , y)的轨迹，结合复数模的几何意义求结论.
【解答过程】设z = x + y i(x , y ∈R)，则复数z在复平面上的对应点为Z (x , y)，
因为|z−2i)=1，
所以❑√x
2+( y −2)
2=1，故x
2+( y −2)
2=1，
所以点Z的轨迹为以点(0,2)为圆心，1为半径的圆，
所以点Z到原点的最大距离为2+1=3，
所以|z)的最大值为3.
故选：B．
30．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数z1, z2分别满足|z1)=1，|i z2+3+ 4i)=2，则|z1−z2)的最大值为
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解题思路】先通过模长公式求出复数z2在复平面内对应点的轨迹是以B (−4,3)为圆心，2 为半径的圆，
再利用|z1−z2)的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果.
【解答过程】设z2= x + y i(x , y ∈R)，则|i z2+3+ 4i)=|3−y +(x + 4)i)=
❑√(3−y)
2+(x + 4)
2=2，
如图，复数z2在复平面内对应点的轨迹是以B (−4,3)为圆心，2 为半径的圆，
复数z1在复平面内对应点的轨迹是以原点O为圆心，1 为半径的圆，
则|z1−z2)max=|OB)+1+2=5+1+2=8．
故选：D．
31．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知复数z满足|z−1)=1，则|z−i)的最小值为
.
【答案】❑√2−1/−1+ ❑√2
【解题思路】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案
【解答过程】设z = x + y i( x , y ∈R)，
由|z−1)=1得| x−1+ y i|=1，
所以(x−1)
2+ y
2=1，
即点( x , y)是圆心为(1,0)，半径为1 的圆上的动点，
|z−i)=
❑√x
2+( y −1)
2，表示的是点( x , y)与点(0,1)的距离，
所以其最小值为点(0,1)到圆心(1,0)的距离减去半径，
即|z−i)的最小值为❑√2−1.
故答案为：❑√2−1 .
32．（2025·上海杨浦·二模）已知复数z满足| z−1+i|=1，其中i为虚数单位，则|z)的最小值为
.
【答案】❑√2−1
【解题思路】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值.
【解答过程】在复平面内，| z−1+i|=1表示复数z对应的点Z与复数1−i对应点A(1,−1)的距离为1，
因此点Z的轨迹是以A(1,−1)为圆心，1 为半径的圆，
|z)表示点Z到原点O的距离，所以|z)的最小值为|OA |−1= ❑√2−1.
故答案为：❑√2−1.
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知全集U ={x|1≤x ≤4}，集合A ={x| 2 x−5
x−3 ≤1}，则∁U A =（ ）
A．{x|1≤x ≤2或3≤x ≤4}
B．{x|1≤x<2或3< x ≤4}
C．{x|1≤x ≤2或3< x ≤4 }
D．{x|1≤x<2或3≤x ≤4}
【答案】D
【解题思路】解不等式化简集合A，再利用补集的定义求解.
【解答过程】不等式2 x−5
x−3 ≤1⇔x−2
x−3 ≤0，解得2≤x<3，
即A ={x|2≤x<3}，而U ={x|1≤x ≤4 }，
所以∁U A ={x|1≤x<2或3≤x ≤4 }.
故选：D.
2．（2025·河南·模拟预测）若复数z满足i z =2+3i，则z的虚部为（ ）
A．−2
B．3
C．−2i
D．3i
【答案】A
【解题思路】利用复数的除法运算求得z，从而求得z的虚部.
【解答过程】因为i z =2+3i，所以z = 2+3i
i
=i(2+3i)
i
2
= 2i−3
−1
=3−2i，
所以z的虚部为−2.
故选：A.
3．（2025·海南·一模）不等式x
2−x−2
x +1
>0的解集为（ ）
A．(−1,+ ∞)
B．(2,+ ∞)
C．(−1,2)
D．(−∞,−1)∪(2,+∞)
【答案】B
【解题思路】根据分式不等式的解法求解.
【解答过程】由不等式可得x +1≠0，且x
2−x−2
x +1
= ( x−2)( x +1)
x +1
= x−2>0，所以x>2.
不等式的解集为(2,+ ∞).
故选：B.
4．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知复数z =
1
1+3i ，则z对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解题思路】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念进行判断即可.
【解答过程】因为复数z =
1
1+3i =
1−3i
(1+3i)(1−3i) = 1
10 −3
10 i，
所以z = 1
10 + 3
10 i.
所以z对应的点位于第一象限.
故选：A.
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．若a>b，则ac>bc
B．若a>b，则c−a>c−b
C．若b<a<0，则1
a < 1
b
D．若a>b，c≠0，则a
c
2 < b
c
2
【答案】C
【解题思路】结合不等式的性质逐项分析即可.
【解答过程】对于A，若c =0，则ac =bc =0，故A 错误；
对于B，由题设−a<−b，所以c−a<c−b，故B 错误；
对于C，由b<a<0，则1
a < 1
b ，故C 正确；
对于D，因为c≠0，a>b，所以a
c
2 > b
c
2，故D 错误.
故选：C.
6．（2025·河南信阳·模拟预测）已知a+b=1(ab>0)，则1
a + 1
b 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．9
4
【答案】C
【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可.
【解答过程】因为a+b=1(ab>0),
所以(
1
a + 1
b)(a+b)=2+ b
a + a
b ≥2+2❑√
b
a ⋅a
b = 4.其中b
a , a
b 均正数.
当且仅当b
a = a
b，即a=b= 1
2时取等号.
故选：C.
7．（2025·四川成都·一模）已知复数z =(3+i)(2−ai)，a∈R，i为虚数单位，若z为纯虚数，则|z)=
（ ）
A．10
B．20
C．9
D．18
【答案】B
【解题思路】化简得到z =(6+a)+(2−3a)i，根据纯虚数得到方程和不等式，求出a=−6，z =20i，求
出模长.
【解答过程】由题意得z =(3+i)(2−ai)=(6+a)+(2−3a)i，
∵a∈R且z为纯虚数，∴{
6+a=0
2−3a≠0)，∴a=−6，
∴z =20i，∴|z)=|z)=20.
故选：B.
8．（2025·湖北·模拟预测）已知实数a，b满足(
1
a −2)(
1
b −3)=6，则ab的最大值为（ ）
A．1
25
B．1
24
C．1
12
D．1
4
【答案】B
【解题思路】由题设可得2a+3b=1，再应用基本不等式求目标式的最大值.
【解答过程】因为(
1
a −2)(
1
b −3)=6，所以2a+3b=1，
因为ab= 1
6 ×2a×3b≤1
6(
2a+3b
2 )
2
= 1
24 ，
当且仅当2a=3b= 1
2，即a= 1
4 ,b= 1
6时等号成立，故ab的最大值为1
24 .
故选：B.
二、填空题
9．（2025·上海静安·一模）已知复数z满足(3−i) z =3+i（其中i为虚数单位），则复数z = ．
【答案】4
5 + 3
5 i
【解题思路】由已知得出z = 3+i
3−i，结合复数的除法化简可得复数z.
【解答过程】因为(3−i) z =3+i，所以z = 3+i
3−i =
(3+i)
2
(3−i)(3+i) = 8+6i
10
= 4
5 + 3
5 i.
故答案为：4
5 + 3
5 i.
10．（2025·上海杨浦·一模）不等式x−2
x +3 <0的解集为
.
【答案】(−3,2)
【解题思路】根据题意，转化为(x−2)(x +3)<0，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【解答过程】由不等式x−2
x +3 <0，可得(x−2)(x +3)<0，解得−3< x<2，
所以不等式x−2
x +3 <0的解集为(−3,2).
故答案为：(−3,2).
11．（2025·云南昆明·模拟预测）若复数z满足|z)+8i= z + 4，则在复平面内，复数z所对应的点位于第
象限.（填一、二、三、四中的一个）
“
”
【答案】一
【解题思路】先设z =a+bi(a,b∈R)，再根据复数相等列方程，解得a,b，最后根据复数几何意义得到
答案.
【解答过程】设z =a+bi(a,b∈R)，故❑√a
2+b
2−4 +8i=a+bi，则{
❑√a
2+b
2−4 =a,
b=8,
)
解得a=6，b=8，故在复平面内，复数z所对应的点为(6,8)，位于第一象限.
故答案为：一.
12．（2025·四川眉山·模拟预测）已知a,b∈R
+，4 a+b=1，则a+b
ab 的最小值是
.
【答案】9
【解题思路】先求出1
a + 1
b 的最小值，再将a+b
ab 化为1
a + 1
b ，即可求得答案.
【解答过程】因为a,b∈R
+，4 a+b=1，
故1
a + 1
b =(
1
a + 1
b)(4 a+b)=5+ b
a + 4 a
b ≥5+2❑√
b
a ⋅4 a
b =9，
当且仅当b
a = 4 a
b ，结合4 a+b=1，即a= 1
6 ,b= 1
3时等号成立，
所以a+b
ab = 1
a + 1
b ≥9.，即ab
a+b 的最小值为9，
故答案为：9.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·上海杨浦·一模）已知实数a，b，c，d 满足：a>b>c>d，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．a−c>b−d
B．a+c>b+d
C．ab>cd
D．ac>bd
【答案】B
【解题思路】举出反例可判断ACD，根据不等式的基本性质，可判断B，进而得到答案．
【解答过程】对于A，令a= 4 ,b=3,c =2,d =1，满足a>b>c>d，
此时a−c =2,b−d =2，a−c =b−d，故A 错误；
对于B，由a>b,c>d，两式相加得a+c>b+d，故B 正确；
对于C，令a=1,b=0,c =−1,d =−2，满足a>b>c>d，
此时ab=0,cd =2，ab<cd，故C 错误；
对于D，令a=1,b=−1,c =−2,d =−3，满足a>b>c>d，
此时ac =−2,bd =3，ac<bd，故D 错误.
故选：B.
2．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知a>0,b>0，且a+b= 1
a + 9
b + 4，则a+b的最小值为（ ）
A．2❑√5−2
B．2❑√5−1
C．1+2❑√5
D．2+2❑√5
【答案】D
【解题思路】利用基本不等式可得到(
1
a + 9
b)(a+b)=10+ b
a + 9a
b ≥16，再代换，令s=a+b，解一元二次
不等式可得答案.
【解答过程】因为a>0,b>0，
所以(
1
a + 9
b)(a+b)=10+ b
a + 9a
b ≥10+2❑√
b
a ⋅9a
b =16，
当且仅当b
a = 9a
b 时，取等号.
令s=a+b得：(
1
a + 9
b)s≥16，
由a+b= 1
a + 9
b + 4得：1
a + 9
b = s−4，
所以：(s−4)s≥16，即s
2−4 s−16≥0，
解得：s≤2−2❑√5或s≥2+2❑√5，
又因为a>0,b>0，所以s=a+b>0，
故s=a+b≥2+2❑√5，当且仅当{
b
a = 9a
b
a+b= 1
a + 9
b + 4)
，即b=3a= 3+3 ❑√5
2
时，取等号.
故选：D.
3．（2025·吉林松原·模拟预测）已知O为原点，复数z1, z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2，则“
|z1+ z2)=|z1−z2) 是
”
“⃗O Z1⋅⃗O Z2=0 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】由复数的运算、模的计算、复数的几何意义、数量积的坐标公式以及充分条件和必要条件的
概念依次判断即可得到结果.
【解答过程】设z1=a+bi, z2=c +d i(a,b,c ,d ∈R)，则⃗O Z1=(a,b),⃗O Z2=(c ,d)，
若|z1+ z2)=|z1−z2)，则|a+c +(b+d)i)=|a−c +(b−d)i)，
即❑√(a+c)
2+(b+d)
2=
❑√(a−c)
2+(b−d)
2，
所以ac+bd =0，⃗O Z1⋅⃗O Z2=ac +bd =0，充分性成立；
若⃗O Z1⋅⃗O Z2=0，则ac+bd =0，又(a+c)
2+(b+d)
2−[(a−c)
2+(b−d)
2)= 4 (ac +bd)=0，
所以❑√(a+c)
2+(b+d)
2= ❑√(a−c)
2+(b−d)
2，
即|z1+ z2)=|z1−z2)，必要性成立．
综上所述，“|z1+ z2)=|z1−z2) 是
”
“⃗O Z1⋅⃗O Z2=0 的充要条件．
”
故选：C．
4．（2025·山东济宁·模拟预测）已知x>0，y >0，且xy +2 y
2−36=0，则x y
2的最大值（ ）
A．12
B．6 ❑√6
C．36
D．24 ❑√6
【答案】D
【解题思路】由条件xy +2 y
2−36=0得x = 36
y −2 y，代入x y
2再运用均值不等式即可求出x y
2的最大值.
【解答过程】由xy +2 y
2−36=0，得y (x +2 y)=36，则x = 36
y −2 y，
因为x>0，y >0，所以x y
2= y
2(
36
y −2 y)= y (36−2 y
2)=
❑√y
2(36−2 y
2)(36−2 y
2)
= ❑√
1
4 ×4 y
2(36−2 y
2)(36−2 y
2)≤1
2 ×
❑√(
4 y
2+(36−2 y
2)+(36−2 y
2)
3
)
3
=24 ❑√6
当且仅当y = ❑√6，x = 4 ❑√6时等号成立，
所以x y
2的最大值为24 ❑√6，
故选：D.
5．（2025·四川·模拟预测）已知一元二次函数f (x)的定义域为R，若f (−2−x)= f (x)，f (−2)<f (−1)，
且该二次函数的图象经过P(2,m
2+ 4)、Q (n,4 m)不同两点，则n的取值范围是（ ）
A．(−∞,−4)
B．(−∞,−4)∪(2,+ ∞)
C．(2,+∞)
D．(−∞,−4)∪(2,+ ∞)
【答案】D
【解题思路】分析可知f (x)的图象关于直线x =−1对称，设f (x)=a(x +1)
2+c，其中a≠0，结合已知条件
得出a<0，n≠2，由题意得出{
f (2)=9a+c =m
2+ 4
f (n)=(n+1)
2a+c = 4 m)，将两个等式作差可得出关于n的不等式，即可求
出实数n的取值范围.
【解答过程】因为一元二次函数f (x)的定义域为R，且f (−2−x)= f (x)，
所以函数f (x)的图象关于直线x =−1对称，设f (x)=a(x +1)
2+c，其中a≠0，
由f (−2)<f (−1)可得a+c<c，故a<0，根据题意得出
因为函数f (x)的图象经过P(2,m
2+ 4)、Q (n,4 m)不同两点，
则{
f (2)=9a+c =m
2+ 4
f (n)=(n+1)
2a+c = 4 m)，且有n≠2，
上述两个等式作差得[9−(n+1)
2)a=m
2−4 m+ 4 =(m−2)
2≥0，
因为a<0，故9−(n+1)
2≤0，即(n+1)
2≥9，
可得n+1≤−3或n+1≥3，解得n≤−4或n≥2，
综上所述，实数n的取值范围是(−∞,−4)∪(2,+∞).
故选：D.
6．（2025·甘肃庆阳·三模）已知i为虚数单位，则下列命题为真命题的是（ ）
A．(1+i)
2是实数
B．对任意的复数z，(z−1)(z−1)为实数
C．对于任意的复数z，z
2=|z)
2
D．cosα +isin α
cos β +isin β =cos(α + β)+isin (α −β)
【答案】B
【解题思路】根据复数的乘法运算化简复数结合复数的概念即可判断A；设z =a+bi,a,b∈R，结合共
轭复数的概念与复数的运算法则计算化简即可判断B；设z =a+bi,a,b∈R，分别计算z
2和|z)
2即可判断
C；根据复数的除法运算结合三角恒等变换化简cosα +isin α
cos β +isin β 即可判断D.
【解答过程】对于选项A，(1+i)
2=1+2i−1=2i是纯虚数，故选项A 错误；
对于选项B，设z =a+bi,a,b∈R，则z =a−bi，则
(z−1)(z−1)=(a−1+bi)(a−1−bi)=(a−1)
2+b
2为实数，故选项B 正确；
对于选项C，设复数z =a+bi,a,b∈R，则z
2=(a+bi)
2=a
2−b
2+2abi，|z)
2=(❑√a
2+b
2)
2=a
2+b
2，故
z
2和|z)
2不一定相等，故选项C 错误；
对于选项D，
cosα +isin α
cos β +isin β = (cosα +isin α )(cos β −isin β)
(cos β +isin β)(cos β −isin β) = cosα cos β +sin α sin β +i(sin α cos β −cosα sin β)
cos
2 β +sin
2 β
=cos(α −β)+
，故选项D 错误.
故选：B.
二、填空题
7．（2025·上海·三模）在复平面内，复数z0= a+2i
1+i （i是虚数单位，a∈R）是纯虚数，其对应的点为Z0
，Z为曲线|z)=1上的动点，则Z0与Z之间的最小距离为
．
【答案】1
【解题思路】利用复数的运算法则得z0= a+2
2
+ 2−a
2
i，结合条件得a=−2，再利用复数和圆的几何意
义，即可求解.
【解答过程】复数z0= a+2i
1+i = (a+2i)(1−i)
(1+i)(1−i) = a+2+(2−a)i
2
= a+2
2
+ 2−a
2
i是纯虚数，
∴a+2
2
=0，2−a
2
≠0，解得a=−2，
∴z0=2i，其对应的点为Z0(0,2)，
Z为曲线|z)=1上的动点，则点Z在以原点为圆心，半径r =1的圆上，
所以Z0与Z之间的最小距离=|O Z0)−r =2−1=1.
故答案为：1.
8．（2025·四川泸州·模拟预测）已知随机变量ξ满足ξ ~ N (2,σ
2)，P(ξ ≤0)=0.2，P(ξ ≥a)=0.2，正实数
x、y满足x + y =a，则1
x + 4
y 的最小值为
.
【答案】9
4
【解题思路】由正态分布的对称性可得出a= 4，则x + y = 4，将代数式1
x + 4
y 与1
4
(x + y)相乘，展开后利用
基本不等式可求得1
x + 4
y 的最小值.
【解答过程】因为随机变量ξ满足ξ ~ N (2,σ
2)，P(ξ ≤0)=0.2，P(ξ ≥a)=0.2，
由正态分布的对称性可得a+0=2×2= 4，
所以正实数x、y满足x + y = 4，
故1
x + 4
y = 1
4
(x + y)(
1
x + 4
y)= 1
4(5+ 4 x
y + y
x)≥1
4(5+2❑√
4 x
y ⋅y
x)= 9
4 ，
当且仅当{
x + y = 4
4 x
y = y
x
x>0, y >0)
时，即当{
x = 4
3
y = 8
3)
时，等号成立，
故1
x + 4
y 的最小值为9
4 .
故答案为：9
4 .
