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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(1)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，解得 ，所以 ，
所以， .
故选：D
2．若复数 满足 ，则 在复平面上所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】 ，
则 ，即 ，
故 在复平面上所对应的点 位于第三象限．
故选：C．
3．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形
，其中 给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A. 与 的夹角为
B.
C.
D. 在 上的投影向量为 （其中 为与 同向的单位向量）
【答案】C【解析】 ，所以 的夹角为 ，A选项错误.
由于四边形 不是平行四边形，所以 ，
是等腰直角三角形，所以 ， ，
所以 ，C选项正确.
结合图像可知 在 上的投影向量与 的方向相反，所以D选项错误.
故选：C
4．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若 ，则不等式
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，则 ，
则 ，所以 ，
则当 时， ，
当 时， ，
则 ，
则当 时，不等式 ，
为
解得 ，当 时，不等式 为 ，
解得 ，
故不等式的解集为 ，
故选：A.
5．若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式 的展
开式的常数项是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】因为n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数， ，
所以 ，
二项式 的通项公式为 ，
令 ，所以常数项为 ，
故选：A
6．已知反比例函数 （ ）的图象是双曲线，其两条渐近线为x轴和y轴，两条渐近线的夹
角为 ，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线 ，由此可求得其离心率为 .已知函数
的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线 和y轴，则该双曲线的离心率是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在第一象限内，函数 的图象位于 上方，
由于 和y轴是渐近线，所以两条渐近线之间的夹角 ，故 ，
不妨将双曲线 绕其中心旋转逆时针旋转 ,则可得到其焦点在 轴上的双曲线
，且两条渐近线之间的夹角 ，因此其中一条渐近线的倾斜角为 ，
因此 ，进而可得故选：C.
7．已知函数 ， ， ，若 的最小
值 ，且 的图象关于点 对称，则函数 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，当且仅当 或 时，等号成立，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
又 的图象关于点 对称，所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
由 ， ，
得 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以函数 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为 .
故选：C.
8．已知定义域为 的函数 的导函数为 ，若函数 和 均为偶函数，且
，则 的值为（ ）
A. 0 B. 8 C. D. 4
【答案】C【解析】∵ 为偶函数，∴ 则 两边求导得：
，
则 关于点 成中心对称，又 为偶函数，∴ ，即 关
于直线 成轴对称，
∴ 且 ， ∴ ， 即 得 ：
，
故 是周期函数，且一个周期为 4，因 ，故
，
于是 .
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂
交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）
A. 甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差
D. 甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数
【答案】ABD
【解析】对A， ，故A对；
对B， ，
，故B对；
对C，因为甲、乙平均值都为 ，所以 ，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；
对D， 为整数，故甲的60百分位数 ，
乙的60百分位数为 ，故D对.
故选：ABD
10．已知数列 中， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 15 B. 是递增数列 C. D.
【答案】ABD【解析】由 ，可得 ，则 ，
又由 ，可得 ，所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
由 ，所以A正确；
由 ，即 ，所以 是递增数列，所以B正确；
由 ，所以C错误；
由 ， ，所以 ，所以D正确.
故选：ABD.
11．已知圆 ，点 在圆 上，过 可作 的两条切线，
记切点分别为 ， ，则下列结论正确的为（ ）
A. 当 ， 时，点 可是 上任意一点
B. 当 ， 时， 可能等于
C. 若存在 使得 为等边三角形，则 的最小值为
D. 若存在 使得 的面积为 ，则 可能为
【答案】AC
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，
圆 圆心 ，半径为 ，
对于AB，当 ， 时，圆 圆心 ，半径为 ，
，所以两圆外离，故点 在圆 外，
所以 不可能等于 ，故B错误；
所以过 可作 的两条切线，即点 可是 上任意一点，故A正确；
对于C，若 为等边三角形，则 ，
所以 ，
即存在 使得 ，
又因为 ，
所以只需要 即可，即 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，故C正确；对于D，
，
因为 ，所以 ，
则 ，
当 时， ，
当且仅当点 在线段 且 时，取得最小值 ，
此时， ，则 ，
故 ，所以 ，
所以 ，
又当 取得最小值时， 最大，即 的最大值为 ，
所以 ，
即当 时， ，
所以当 的面积为 时， 不可能为 ，故D错误.
故选：AC.
12．在四棱锥 中， 平面 ， ， ，四棱锥
的外接球为球O，则（ ）
A. ⊥ B.
C. D. 点O不可能在平面 内
【答案】AC
【解析】A选项，四棱锥 的外接球为 为顶点的球，而 四点共面，故这四点必共圆，
又 ，故 为直径， ⊥ ，A正确：
B选项，由A可知， 四点共圆，
又 ， 为直径，
若四边形 为正方形，此时 ， ，B错误；
C选项，因为 平面 ，所以球心 到 两点的距离相等，
即球心 在 的垂直平分线上，
故 到平面 距离为 到平面 距离的一半，
故 ，C正确；
D选项，当四边形 为正方形时，连接 ，相交于点 ，
则 ⊥平面 ，
结合球心 在 的垂直平分线上，此时 为 中点，
点O在平面 上，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 的值为______.
【答案】-2【解析】
故答案为：-2
14.过点 作曲线 的切线，写出一条切线的方程_______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 ， ，
设切点坐标为 ，则切线斜率为 ，得方程 ，
代入点 ，得 ，即 ，解得 或 ，
当 时，切线方程为 ；当 时，切线方程为 .
故答案为： （或 ）.
15.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 ， 两点，与其准线交于点 ，
若 ，则 _______．
【答案】
【解析】 的焦点为 ，准线方程为： ，
由题，显然 ，令直线 中 ，则 ，所以 ，
设 ，联立 消 ，
得 ，方程 的判别式 ，
，
所以 ，
由 可得： ，所以 ，
因为 在 上，所以 ，解得： ，
所以 ，所以 ，
由抛物线的定义可得： .故答案为：
16．若函数 恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围是__________.
【答案】 或
【解析】
令 ，则 或
记 ，则 ，令 ，则 ，
在 上单调递增；在 上单调递减
最大值为 ，且当 时， ，而当 时， ，
故 的大致图象如下：
当 时， 只有一个零点， ，显然不合题意
要使 恰好有两个零点，则方程 只有一个实根，另一个零点为 .
所以 或 ，故 或 ，
故 的取值范围为：
故答案为：
