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2024 届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(21)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（ ）
A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 中位数
【答案】D
【解析】由题意得众数为 ，极差 ，均值 ，中位数 ，故D
正确.
故选：D.
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ， ，则 ．
故选：B.
3．椭圆 经过点 ，则其离心率 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将 代入 可得 ，
化简可得 ，解得 或 （舍去），
故椭圆方程为 ，
所以 ，故 ，
故 ，
故选：A
4．已知正项数列 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意， ，则数列 是以 为公比的等比数列，因此 ，
所以 .
故选：B
5．某台小型晚会由5个节目组成，演出顺序有如下要求，节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
【答案】B
【解析】甲在第一位有 个结果，甲在第二位有 个结果， ，
故选：B
6．已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】由图可知 ，即 ，又 ，所以 ，
又 关于 对称，且 ，
因为 且 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故选：A
7．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，且 为边 上的
高， 为边 上的中线，则 的值为（ ）
A. 2 B. －2 C. 6 D. －6
【答案】D
【解析】
因为 为边 上的中线，所以 ，
又BE为边AC上的高，所以 ，且在 中， ，
所以
.
故选：D.
8． “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设 ，则
两点间的曼哈顿距离 ，已知 ，点 在圆
上运动，若点 满足 ，则 的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，由圆 ，可得 ，
则圆心 ，半径 ，
设 ，则 ，可得点 的轨迹为如下所示的正方形，
其中 ，则 ，
则 ，所以 的最大值为 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知等差数列 的前 项和为 ，则（ ）
A. 的最小值为1 B. 的最小值为1
C. 递增数列 D. 为递减数列
为
【答案】ABC【解析】假设 的公差为 ，由 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ．
选项A： ，故 时 最小值为1，A正确；
的
选项 B： ，令 ，所以 ，可知 在区间
单调递增，
所以 时 取得最小值1，B正确；
选项C： ，故 为递增数列，C正确；
选项D： ，因为 ，所以 不是递减数列，D错误．
故选：ABC
10．2023年旅游市场强劲复苏，7，8月 的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划
2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件 M
为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件 与 互斥 B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生，即事件 与 会同时发生，不互斥，A
错误；
对于B，由题意知共有事件个数 ，事件 与 的个数均为 个，
故 ， ,
则 ， ，即 ，B正确，
对于C， ，C正确；
对于D， ，D错误，
故选：BC
11．如图，八面体 的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点 在同一个平面内．若点
在四边形 内（包含边界）运动， 为 的中点，则（ ）A. 当 为 的中点时，异面直线 与 所成角为
B. 当 ∥平面 时，点 的轨迹长度为
C. 当 时，点 到 的距离可能为
D. 存在一个体积为 的圆柱体可整体放入 内
【答案】ACD
【解析】
因为 为正方形，连接 与 ，相交于点 ，连接 ，则 ， ， 两两垂直，
故以 为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ，
为 的中点，则 .
当 为 的中点时， ， ， ，
设异面直线 与 所成角为 ， ，
，故 ，A正确；
设 为 的中点， 为 的中点，则 ∥ ， 平面 ， 平面 ，
则 ∥平面 ， 又 ∥平面 ，又 ，设 ，
故平面 ∥平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，则 ∥ ，则 为 的中点，
点 在四边形 内（包含边界）运动，则 ，
点 的轨迹是过点 与 平行的线段 ，长度为4，B不正确；当 时，设 ， ， ，
，得 ，即 ，
即点 的轨迹以 中点 为圆心，半径为 的圆在四边 内（包含边界）的一段弧（如下
图），
到 的距离为 ，弧上的点到 的距离最小值为 ，
因为 ，所以存在点 到 的距离为 ，C正确；
由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥 内接最大圆柱的体积，
设圆柱底面半径为 ，高为 ， 为 的中点， 为 的中点, ， ，
根据 相似 ，得 ，即 ， ，
则圆柱体积 ，
设 ，求导得 ，
令 得， 或 ，因为 ，所以 舍去，即 ，
当 时， ，当 时， ，即 时 有极大值也是最大值， 有最大值 ，
，故
所以存在一个体积为 的圆柱体可整体放入 内，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知单位圆 上一点 ，现将点 绕圆心逆时针旋转 到点 ，则点 的横
坐标为_________.
【答案】
【解析】令坐标原点为 ，以射线 为终边的角为 ，则以射线 为终边的角为 ，
则 ， ，
所以点 横坐标为 .
的
故答案为：
13.已知定义在 上 的偶函数 满足 ，且当 时， ．若
，则 在点 处的切线方程为______．（结果用含 的表达式表
示）
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
令 ，有 ，令 ，有 ，所以 ，
，因为 为偶函数，所以 ，
由 ，令 得 ，所以 ，
令 得 ，所以 ，
因为 为偶函数，所以 ，所以 在点 处的切线方程为 ，
即 .
故答案为：
14.已知双曲线 ，设 是 的左焦点， ，连接
交双曲线 于 .若 ，则 的离心率的值为______．
【答案】
【解析】如下图所示：
设 ，由题意可得 ， ，
则 ，且 ，所以， ，
因为 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
所以， ，由双曲线的定义可得 ，
即 ，故该双曲线的离心率为 .
故答案为：
