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决胜 2024 年高考数学押题预测卷 05
数 学
（新高考九省联考题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，188，240，260，
288，则这组数据的百分位数为75的快递个数为（ ）
A. 290 B. 295 C. 300 D. 330
【答案】B
【解析】将数据从小到大排序为：188，240，260，284，288， 290，300，360，
，所以 分位数为 .
故选：B
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】 ，
故 ，
故 ，故 .
故选：D
3． 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 的展开通项公式为
，
则 ，故B正确．
故选：B．
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4．已知 ， ，m为实数，若 ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可知 ，
由 可得 ，解得 ，所以 ；
所以向量 在 上的投影向量为 .
故选：D
5．已知圆 ，弦 过定点 ，则弦长 不可能的取值是（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】圆 的半径 ，
因为 ，
所以点 在圆 内，
当弦 过圆心时， ，
当 时，弦 最短，
，
所以 ，
所以弦长 不可能的取值是D选项.
故选：D.
6．若 ，x， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，即 ．
当且仅当 ， ，即 ， 时等号成立，
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所以 的最小值为 ．
故选：C．
7．在 中，角 所对的边分别为 ， ，若 表示
的面积，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
所以 ，
令 ，则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
故选：D.
8．已知 ，使 恒成立的有
序数对 有（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
【答案】B
【解析】由题得函数定义域为 ，
要想 恒成立，即 恒成立，
只需 恒成立，
只需 恒成立，
设 ，
所以当 时，则 ，使 恒成立的b可取1；
所以当 ，则 ，使 恒成立的b可取1，2，3，
所以 一共有 共4种.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
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9．若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】利用复数的几何意义知在复平面内， 对应的点在 对应线段的中垂线即y轴
上，
所以 不一定是实数，所以A错误；
因为 与 关于实轴对称，且在y轴上，所以B，C正确；
取 ，则 ，所以D错误．
故选：BC.
10．如图，在正四棱台 中， 为棱 上一点，则
（ ）
A. 不存在点 ，使得直线 平面
B. 当点 与 重合时，直线 平面
C. 当 为 中点时，直线 与 所成角的余弦值为
D. 当 为 中点时，三棱锥 与三棱锥 的体积之比为
【答案】BCD
【解析】连接 交 于 ，因为正四棱台 ，
所以以 为 轴， 为 轴，垂直于平面 为 轴建立如图所示坐标系，
设点 在底面投影为 ，则 ， ，
即正四棱台 的高为 ，
则 ， ， ， ， ，
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，
所以 ， ， ，
，
因为 为棱 上一点，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 可得平面 的一个法向量为 ，
令 解得 ，故存在点 ，使得直线 平面 ，A说法
错误；
当点 与 重合时即 ， ，
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 可得平面 的一个法向量为 ，
因为 ，所以当点 与 重合时，直线 平面 ，B说法正确；
当 为 中点时，即 ， ，
所以 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ，C说法正确；
设正四棱台 的高为 ，当 为 中点时，
三棱锥 的体积 ，
三棱锥 的体积 ，
所以三棱锥 与三棱锥 的体积之比为 ，D说法正确；
故选：BCD
11．已知函数 的定义域均为 ， ， ，
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，且当 时． ，则（ ）
A.
B.
C. 函数 关于直线 对称
D. 方程 有且只在3个实根
【答案】ACD
【解析】对于A：由 ，可得 ，所以
所以 ，即
所以 ，得 ，故 为周期函数，且周期为 ，
又 ，可得 ，故 ，
令 可得 ，
令 中的 可得
所以 ，A正确；
对于B：因为当 时， ，所以 ，
由 得 ，所以
由 得 ，所以 ，又 ，
所以 ，B错误；
对于C：由 ，可得 ，
故 ，即 ， ，
由 ，可得 ，
故 ，即 ，所以
故 为奇函数，关于 对称，且周期为 ，又当 时． ，作出 的图象
如下：
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由图可知函数 关于直线 对称，C正确；
对于D：方程 ，即 ，
由图可知，函数 的图象和 的图象有 个交点，即方程 有 个实根，D正
确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务，分别从为老年人服务、社会保障服务、优
抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名，记事件 为“五名同学
所选项目各不相同”，事件 为“只有甲同学选安全防范服务”，则 _________.
【答案】
【解析】事件 ：甲同学选安全防范服务且五名同学所选项目各不相同，所以其它4名同学排列在
其它4个项目，且互不相同，为 ，事件 ：甲同学选安全防范服务，所以其它4名同学排列在其它
4个项目，可以安排在相同项目，为 ， .
故答案为： .
13.已知 ， ，则 _________.
【答案】3
【解析】方法一：因为 ，所以 ，
，因为 ，所以 ，
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.
方法二：由 及 ，解得
，所以 ，
故答案为：3
14.抛物线 与椭圆 有相同的焦点， 分别是椭圆的上、下焦
点，P是椭圆上的任一点，I是 的内心， 交y轴于M，且 ，点
是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为 ，若 ，则
____________．
【答案】
【解析】 焦点在 轴上，故椭圆 的焦点在 轴上，
故 ，
I是 的内心，连接 ，则 平分 ，
在 中，由正弦定理得 ①，
在 ，由正弦定理得 ②，
其中 ，故 ，
又 ，
式子①与②相除得 ，故 ，
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同理可得 ，
，
由椭圆定义可知 ， ，
，即焦点坐标为 ，
所以抛物线方程为 ，
，故 在 处的切线方程为 ，
即 ，又 ，故 ，
所以 在点 的切线为： ，
令 ，又 ，即 ，
所以 是首项16，公比 的等比数列，
．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在直四棱柱 中， ， ，
．
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（1）证明： ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2） ．
【解析】（1）法一：连接 ，交 于点 ，
在梯形 中， ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，因为 ，所以 ，
则 ，即 ．
直四棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
因为 、 平面 ， ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
法二：以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，
．
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，即 ．
（2）设平面 与平面 的一个法向量分别为 与 ，
因为 ， ， ，
由 得 ，则 ，令 得 ，
所以 ．
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由 得 ，令 ，则 ， ，
所以 ．
所以 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
16．某学校计划举办趣味投篮比赛，比赛分若干局进行.每一局比赛规则如下：两人组成一个小组，每
人各投篮3次；若某选手投中次数多于未投中次数，则称该选手为“好投手”；若两人均为“好投
手”，则称该小组为本局比赛的“神投手组合”.假定每位参赛选手均参加每一局的比赛，每人每次投
篮结果互不影响.若甲､乙两位同学组成一个小组参赛，且甲､乙同学的投篮命中率分别为 .
（1）求在一局比赛中甲被称为“好投手”的概率；
（2）若以“甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为3的概率最大”作为决策依据，试推
断本次投篮比赛设置的总局数 为多少时，对该小组更有利？
【答案】（1） （2）详见解析
【解析】（1）设一局比赛中甲被称为好投手的事件为A，
则 ；
（2）设一局比赛中乙被称为好投手的事件为B，
则 ，
甲、乙同学都获得好投手的概率为： ，
比赛设置n局，甲､乙同学组成的小组获得“神投手组合”的局数为X，
则 ，且 ，
设 ，则 ，
则 ，即 ，
即 ，又 ，则 ，
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所以本次投篮比赛设置的总局数8时，对该小组更有利.
17.设函数 ，其中a为实数．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 在定义域内有两个不同的极值点 时，证明： ．
【答案】（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 （2）证明见解析
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
令 ，得 或 ，
时， ， 时， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2） ，
由 在 上有两个不同的极值点 ，
故 有两个不同的正根，则有 ，解得 ，
因为
，
设 ， ，
则 ，故 在 上单调递增，
又 ，
故 ．
18．设动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比等于 ，记点M的
轨迹为曲线C．
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（1）求曲线C的方程；
（2）设 过点 的直线与C的右支相交于A，B两点， 是 内一点，且满足
，试判断点 是否在直线 上，并说明理由．
【答案】（1） （2）点 在直线 上，理由见解析
【解析】（1）由动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比等于 ，
可得 ，化简得 ，
故所求曲线C的方程为 ．
（2）点 在直线 上．
因为 ，设点 的坐标分别是 ，
由题设得 ，
解得 ，
当 轴时， ， ，
代入有 ，所以点 在直线 上，
当AB不与 轴垂直时，设直线AB的方程是 ，
因为曲线C的渐近线的斜率为 ，且直线AB与曲线C的右支相交于两点，所以 ，
联立方程组 ，整理得 ，
此时 ，可得 ，
则 ，
同理 ．
于是 ，
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，
所以 ，所以点 在直线 上．
.
19．若无穷数列 的各项均为整数．且对于 ， ，都存在 ，使得
，则称数列 满足性质P．
（1）判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
① ， ，2，3，…；
② ， ，2，3，…．
（2）若数列 满足性质P，且 ，求证：集合 为无限集；
（3）若周期数列 满足性质P，求数列 的通项公式．
【答案】（1）数列 不满足性质P；数列 满足性质P，理由见解析
（2）证明见解析 （3） 或 ．
【解析】（1）对①，取 ，对 ，则 ，
可得 ，
显然不存在 ，使得 ，
所以数列 不满足性质P；
对②，对于 ，则 ， ，
故
，因为 ，
则 ，且 ，
所以存在 ， ，
使得 ，
故数列 满足性质P；
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（2）若数列 满足性质 ，且 ，则有：
取 ，均存在 ，使得 ，
取 ，均存在 ，使得 ，
取 ，均存在 ，使得 ，
故数列 中存在 ，使得 ，即 ，
反证：假设 为有限集，其元素由小到大依次为 ，
取 ，均存 在 ，使得 ，
取 ，均存在 ，使得 ，
取 ，均存在 ，使得 ，
即 这与假设相矛盾，故集合 为无限集.
（3）设周期数列 的周期为 ，则对 ，均有 ，
设周期数列 的最大项为 ，最小项为 ，
即对 ，均有 ，
若数列 满足性质 ：
反证：假设 时，取 ，则 ，使得
，
则 ，即 ，
这对 ，均有 矛盾，假设不成立；则对 ，均有 ；
反证：假设 时，取 ，则 ，使得
，
这与对 ，均有 矛盾，假设不成立，即对 ，均有 ；
综上所述：对 ，均有 ，
反证：假设1为数列 中的项，由（2）可得： 为数列 中的项，
∵ ，即 为数列 中的项，
这与对 ，均有 相矛盾，即对 ，均有 ，同理可证： ，
∵ ，则 ，
当 时，即数列 为常数列时，设 ，故对 ，都存在 ，
使得 ，解得 或 ，即 或 符合题意；
当 时，即数列 至少有两个不同项，则有：
①当 为数列 中的项，则 ，即 为数列 中的项，但 ，不
成立；
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②当 为数列 中的项，则 ，即 为数列 中的项，但 ，不成
立；
③当 为数列 中的项，则 ，即 为数列 中的项，但 ，不成立；
综上所述： 或 .
16
