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南昌二中 2024 届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题一
本套试卷根据九省联考题型命制，题型为 8+3+3+5模式
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（ ）
A. 8.4 B. 8.5 C. 8.6 D. 8.7
x2
2. 已知双曲线C: y2 − =1(b>0)的离心率e< 2，则b的取值范围是（ ）
b2
A. (0,1) B. (1, 2) C. (1,+∞) D. ( 2,+∞)
1
3. 若数列 { a } 满足a =11，a = ，则a =（ ）
n 2 n+1 1−a 985
n
11 1 10
A. B. 11 C. − D.
10 10 11
4. 已知平面α,β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（ ）
A. 若α//β,m//β，则l//m B. 若α//β,m⊥β，则l ⊥m
C. 若l//m,α//β，则m//β D. 若l ⊥m,m//β，则α⊥β
5. 在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.7和0.5，且三人的测试
结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀
等级的概率为（ ）
15 7 5 17
A. B. C. D.
29 8 8 29
6. 在平面直角坐标系中，集合A= {( x,y ) kx− y+k =0 } ，集合B= {( x,y ) y =kx−1 } ，已知点
M∈A，点N∈B，记d表示线段MN 长度的最小值，则d的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 1 D. 2
π π
7. 已知函数 f(x)=cos2x，g(x)=sinx，则存在θ∈ , ，使得（ ）
6 4
A. 2g(θ)= f(θ)+g(θ)⋅ f(θ) B. 4g(θ)⋅ f(θ)= f(θ)+2g(θ)
C. 2f(θ)= g(θ)+g(θ)⋅ f(θ) D. f(θ)= g(θ)
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8. 已知平面上两定点A、B，则所有满足 =λ（λ>0且λ≠1）的点P的轨迹是一个圆心在AB上，
PB
λ
半径为 ⋅ AB 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正
1−λ2
方体ABCD−ABC D 表面上动点P满足 PA =2 PB ，则点P的轨迹长度为（ ）
1 1 1 1
4π 4π 3π ( )
A. 2π B. + 3π C. + D. 2+ 3 π
3 3 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 已知复数z =1−i，z = x+ yi ( x,y∈R ) ，则下列结论正确的是（ ）
0
A. 方程 z−z =2表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆
0
B. 方程 z−z + z−z =2表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆
0 0
C. 方程 z−z − z−z =1表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
0 0
1( )
D. 方程 z+ z +z = z−z 表示的z在复平面内对应点的轨迹是抛物线
2 0 0 0
10. 已知θ为锐角，则下列说法错误的是（ ）
A. 满足tanθ=cosθ+sinθ的θ值有且仅有一个
B. 满足sinθ,tanθ,cosθ成等比数列的θ值有且仅有一个
C. sinθ,cosθ,tanθ三者可以以任意顺序构成等差数列
D. 存在θ使得tanθ−sinθ,cosθ−sinθ,cosθ−tanθ成等比数列
11. 已知无穷数列 { a } ，a =1．性质s:∀m,n∈N*，a >a +a ，；性质t:∀m,n∈N*，
n 1 m+n m n
2≤ma +a ，下列说法中正确的有（ ）
m−1 n+1 m n
A. 若a =3−2n，则 { a } 具有性质s
n n
B. 若a =n2，则 { a } 具有性质t
n n
C. 若 { a } 具有性质s，则a ≥n
n n
D. 若等比数列
{
a
}
既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为
( 2,+∞)
n
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知 p:−3≤ x≤1，q:xa（a 为实数）．若 q的一个充分不必要条件是 p，则实数 a 的取值范围是
________.
13. 各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体ABCD−ABC D ，满足∠AAB=∠AAD=60°，则
1 1 1 1 1 1
AC =______；此平行六面体的体积为______．
1
14. 已知定义在R上的增函数 f(x)满足对任意的x，x ∈R都有 f(x +x )= f(x )f(x )，且
1 2 1 2 1 2
f(3)=8，函数g(x)满足g(x)+g(4−x)=4，g(6−x)= g(x)，且当x∈[ 2,3 ] 时g(x)= f(x−1)．若
g(x)在 [ 0,100 ] 上取得最大值的x值依次为x，x，…，x ，取得最小值的x值依次为x′，x′，…，
1 2 k 1 2
k n
x′，则∑
x +g ( x )
+∑
x′+g ( x′)
=______．
n i i i i
i=1 i=1
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a
15. 已知函数 f ( x )=lnx+ x2 −( a+1 ) x，g ( x ) = −ax2 +( a+1 ) x.
2
( )
（1）讨论函数 f x 的单调性；
（2）若 f
(
x
)+g (
x
)≤0恒成立，求a的取值范围.
16. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按照如下
规则摸球．从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白．
（1）你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；
（2）如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X，求
X的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．
17. 如图1，已知正三角形ABC边长为4，其中AD=3DB,AE =3EC，现沿着DE翻折，将点A翻折
到点A′处，使得平面A′BC ⊥平面DBC,M 为A′C中点，如图2.
（1）求异面直线A′D与EM 所成角的余弦值；
（2）求平面A′BC与平面DEM 夹角的余弦值.
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4
18. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2 =2px(p>0)和点R(4,5).点P在C上，且OP = OR.
5
（1）求C的方程；
（2）若过点R作两条直线l 与l ，l 与C相交于A，B两点，l 与C相交于E，D两点，线段AB和
1 2 1 2
ED中点的连线的斜率为k，直线AB，ED，AD，BE 的斜率分别为k ，k ，k ，k ，证明：
1 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1
+ = + ，且 + − 为定值.
k k k k k k k
1 2 3 4 3 4
19. 若存在x ∈D使得 f ( x )≤ f ( x ) 对任意x∈D恒成立，则称x 为函数 f ( x ) 在D上的最大值点，记函
0 0 0
( )
数 f x 在D上的所有最大值点所构成的集合为M
（1）若 f ( x )=−x2 +2x+1,D=R，求集合M ；
( )
2x −x x
（2）若 f ( x )= ,D=R ，求集合M ；
4x
（3）设a为大于1的常数，若 f
(
x
)= x+asinx,D=[
0,b
]
，证明，若集合M 中有且仅有两个元素，则
所有满足条件的b从小到大排列构成一个等差数列．
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