江西师大附中2024届高考第三次模拟测试答案_2024年5月_01按日期_21号_2024届江西师大附中高三下学期第三次模拟考试_江西师范大学附属中学2024届高考第三次模拟测试数学试题

江西师大附中2024届高考第三次模拟测试卷 数 学 本卷满分：150分，考试时间：120分钟． 注意事项： 1．答题前、考生先在答题卡上用直径05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写 清楚，然后贴好条形码．清认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．答选择题时、选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、用橡皮擦 干净，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个逃项中，只有一项是 符合题目要求的． 1+2i  1.已知复数z= -3i，则z=( ) 1-i2025 1 3 1 3 1 3 1 3 A. - i B. + i C. - - i D. - + i 2 2 2 2 2 2 2 2 【答案】D 1+2i 1+2i 1+2i 【详解】z= -3i= -3i= 1-i2025 1-i  1+i  1-i  1+i  4 3 1 1 据的平均数为4，方差为 x2-16= x2+72 4 i 4 i i=1 i=1 -1+3i 1 3 -3i= -3i=- - i，故 2 2 2  1 3 z=- + i.故选：D. 2 2 2.(2x+3)4的展开式中，x的系数为( ) A. 96 B. 144 C. 180 D. 216 【答案】D 【解析】T =Cr(2x)4-r3r.当r=3时，T =33·21·C3·x=216x.故选D项. r+1 4 4 4 sin2α 3.若tanα=2，则 的值为( ) cos2α-sin2α 4 2 4 4 A. - B. C. D. 7 3 9 7 【答案】A sin2α 2sinαcosα 2tanα 4 4 【详解】由题意可得： = = = =- . cos2α-sin2α cos2α-2sin2α 1-2tan2α 1-8 7 故选：A. 4.已知3个数据的平均数为3，方差为4，现再加入一个数据7，则这4个数据的方差为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 1 n  1 3 3 【解析】由方差公式s2= x2-x2得4= x2-9，因此x2=39.加入数据后，新数 n i 3 i i i=1 i=1 i=1  -16=6.故选A项.   5.已知钝角△ABC的面积为3，AB=4，AC=2，则AB·AC 的值是( ) A. -6 B. -2 7 C. 2 7或-2 7 D. -6或6 【答案】C 【解析】略 6.已知函数 fx  =Asinωx+φ  A>0,ω>0,φ   <π  的部分图象如图所示，将 fx  的图 π 象向左平移 个单位长度后得到函数gx 4  的图象，若gx  在区间 0,t  上的值域为 - 3,2  ，则t的取值范围为( ) y 2 π O 2π x - 12 3 5π 2π A.   ,  12 3  π 5π B.   ,  4 6  5π 5π C.   ,  12 6  5π D.   ,π  12  【答案】C 【详解】设fx  3 2π π 3π 的最小正周期为T，由图象可知A=2, T= + = ， 4 3 12 4 所以T=π，则ω=2，故fx  =2sin2x+φ  ， 又fx  2π 的图象过点 ,2 3  2π π ，所以2× +φ= +2kπ,k∈Z， 3 2 5π 所以φ=- +2kπ,k∈Z，又 φ 6  5π 5π <π，所以φ=- ，则f(x)=2sin2x- 6 6  ， 则gx  π =fx+ 4  π =2sin 2x+ 4  5π  - 6  π =2sin2x- 3  . 当x∈0,t  π π π 时，2x- ∈ - ,2t- 3  3 3  ， π π 4π 5π 当2x- =- 或 .即x=0或x= 时，gx 3 3 3 6  =- 3， π π 5π 当2x- = ，即x= 时，gx 3 2 12  =2， 5π 5π 所以t的取值范围为  ,  12 6  .故选：C. 3 7.A、B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)= ,P A 5   B   2 7 = ,P(A+B)= ,则下 5 10 ·1· {#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}列错误的是( )   1 2 3 A. P(B)= B. P(AB)= C. P(AB)= D. P B 2 5 5   A  1 = 3 【答案】C 【解析】略 x2 y2 8.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F-c,0 a2 b2 1  ,Fc,0 2  ，点P在 3c y轴上，且△PFF 的内心坐标为 0, 1 2 3  ，若线段PF 上靠近点P的三等分点Q恰好 1 在C上，则C的离心率为( ) A. 1+ 5 B. 2 7-2 C. 2+ 7 D. 11+4 7 【答案】C 【详解】设 PF 1  =t，则 PF 2  =t， PO  = t2-c2(O为坐标原点)，设△PFF 的内心为 1 2 3c I0, 3  3 ，所以△PFF 的内切圆的半径为r= c， 1 2 3 1 在△PFF 中，S =S +S +S = PF 1 2 △PF 1 F 2 △IF 1 F 2 △PIF 1 △PF 2 I 2 1  +PF 2  +FF 2 1    1 r= 2c+2t 2  × 3c 1 ，又S = FF 3 △PF 1 F 2 2 2 1  ⋅PO  1 = ×2c× t2-c2， 2 1 由等面积法得 2c+2t 2  3c 1 × = ×2c× t2-c2，解得t=2c， 3 2 所以△PFF 为等边三角形，其边长为2c，高为 3c，则P0, 3c 1 2  ， c 2 3c 所以Q- , 3 3  c2 4c2 ，代入C的方程得 - =1， 9a2 3b2 整理得b2c2-12a2c2=9a2b2，由b2=c2-a2， 可得c4-a2c2-12a2c2=9a2c2-9a4，两边同时除以a4，可得e4-22e2+9=0，解得e2=11 ±4 7，因为e>1，所以e2=11+4 7，即e=2+ 7.故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知数列a n  A. 数列a n 满足a =1，a =2a +1，则( ) 1 n+1 n  是等比数列 B. 数列log (a +1) 2 n  是等差数列 C. 数列a n  的前n项和为2n+1-n-2 D. a 能被3整除 20 【答案】BCD 【解析】略 10.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A，B， C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设O 表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理， a 圆O ，O 的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC(阴影部分)叫做曲面三角 b c 形，若a=b=c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封 闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O-ABC.设∠BOC=α，∠AOC=β，∠AOB= γ，则下列结论正确的是( ) 3 A. 若平面△ABC是面积为 R2的等边三角形，则a=b=c=R 4 B. 若a2+b2=c2，则α2+β2=γ2 π 2 C. 若a=b=c= R，则球面O-ABC的体积V> R3 3 12 π D. 若平面△ABC为直角三角形，且∠ACB= ，则a2+b2=c2 2 【答案】BC 3 【解析】若平面△ABC是面积为 R2的等边三角形，则AB=BC=AC=R，则α=β=γ 4 π π = ，a=b=c= R.A不正确. 3 3 若a2+b2=c2，则 αR  2+βR  2=γR  2，则α2+β2=γ2.B正确. π π 若a=b=c= R，则α=β=γ= ，AB=BC=AC=R，则平面△ABC的外接圆半径 3 3 1 R 3R 3R 为 = ，则O到平面ABC的距离h= R2- 2 π 3 3 sin 3  2 6 = R，则三棱锥O- 3 ·2· {#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}1 2 2 ABC的体积V = S ⋅h= R3，则球面O-ABC的体积V>V = R3. O-ABC 3 △ABC 12 O-ABC 12 C正确. BC2=2R2-2R2cosα,  π 由余弦定理可知AC2=2R2-2R2cosβ, 因为C= ，所以BC2+AC2=AB2，则cosα+ 2 AB2=2R2-2R2cosγ, π π π π 2π2 π2 cosβ-cosγ=1.取α=β= ，γ= ，则a=b= R，c= R，则a2+b2= R2< R2 3 2 3 2 9 4 =c2.D不正确.故选：BC 11.已知函数 fx  及其导函数 fx  ，且gx  = fx  ，若∀x∈R,fx  = f6-x  ,g4+x  =g4-x  ，则( ) A. f-2  =f8  B. g-1  +g3  =2 2025 C. g(i)=0 D. f0 i=1  +f4  =2 【答案】AC 【详解】因为fx  =f6-x  ，所以fx  的图像关于直线x=3对称.令x=-2，得f-2  = f8  ，故A项正确； 因为fx  =f6-x  .所以fx  =-f6-x  ，即gx  =-g6-x  ， 所以g4+x  =-g2-x  ，因为g4+x  =g4-x  ，所以g4-x  =-g2-x  ， 即gx+2  =-gx  ，所以gx+4  =-gx+2  =gx  ，则gx  的一个周期为4. 因为fx  的图像关于直线x=3对称，所以x=3是fx  的一个极值点， 所以g3  =f3  =0，所以g-1  =g3  =0，则g-1  +g3  =0.故B项错误； 由gx+2  =-gx  ，得g1  +g3  =0,g2  +g4  =0，即g1  +g2  +g3  +g4  =0. 2025 所以g(i)=506[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+g(1)=g(1)=0，故C项正确； i=1 设hx  =fx  +c(c为常数)，定义域为R， 则hx  =fx  =gx  ,h3+x  =f3+x  +c,h3-x  =f3-x  +c， 又f3+x  =f3-x  ，所以h3+x  =h3-x  ，显然hx  =fx  +c也满足题设， 即fx  上、下平移均满足题设，显然f0  +f4  的值不确定，故D项错误.故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知函数 fx  是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx  =-x5-3x+a-1，则 f-a  的值为 . 【答案】4 【详解】由题得f0  =a-1=0，解得a=1，所以当x≥0时，fx  所以f-a =-x5-3x，  =f(-1)=-f1  =-(-1-3)=4. 13.2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春 耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去 同一个村庄，则不同的分配方法共有____种(用数字作答). 【答案】30 【解析】分两类考查：第一类，甲、丙两人去同一个村庄，共有C2A3种分配方法；第二类，甲、 3 3 丙和除乙以外的某一人去同一村庄，共有C1A3种分配方法.故共有C2A3+C1A3=30种分 2 3 3 3 2 3 配方法. 14.已知函数 fx  =ax-log x,a∈ 0,1 a  ∪ 1,+∞  ，若 fx  在其定义域上没有零点，则a 的取值范围是___． 1 【答案】ee,+∞  【解析】因为fx  在 0,+∞  上连续，又f1  =a>0，所以要使fx  无零点，需使fx  >0 在其定义域上恒成立．于是原问题转化为fx  =ax-log x>0，求a的取值范围. a ax-log x>0⟺ax>log x a a lnx ⟺ax> lna ⟺axlna>lnx ⟺axxlna>xlnx ⟺axlnax>xlnx∗  令 x ℎ  = xex x>0  ， x ℎ  = x+1  ex> 0，所以 x ℎ  单调递增，又由 ∗  式得 lnax ℎ  > lnx ℎ  lnx ，所以lnax=xlna>lnx，即lna> 恒成立． x 令φx  lnx = ，φx x  1-lnx = ，令φx x2  =0得x=e. 当00，φx  单调递增；当x>e时，φx  <0，φx  单调递减，所 以x=e是φx  的极大值点，φx  =φe max  1 1 1 = ，所以lna> ，即a>ee． e e 1 综上所述，a的取值范围为ee,+∞  ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分13分)已知函数f(x)=a(2x+a)-lnx． (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当a>0时，f(x)>9lna．(参考数据：ln2≈0.693) 【详解】(1)由题意得fx  1 =2a- ， x 当a≤0时，fx  <0在(0,+∞)上恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递减， ·3· {#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}当a>0时，令fx  1 =0，解得x= ． 2a 1 当x∈0, 2a  时，fx  1 <0，当x∈ ,+∞ 2a  ，fx  >0． 1 所以f(x)在0, 2a  1 上单调递减，在 ,+∞ 2a  上单调递增； 综合得：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减， 1 当a>0时，f(x)在0, 2a  1 上单调递减，在 ,+∞ 2a  上单调递增； 1 (2)由(1)可知，当a>0时，f(x)的最小值为f 2a  1 =aa+ a  1 -ln =a2+1+ln2a． 2a 要证f(x)>9lna成立，需a2+1+ln2a>9lna成立，即证a2-8lna+1+ln2>0． 8 2a2-8 令h(a)=a2-8lna+1+ln2(a>0)，则h(a)=2a- = ． a a 令h(a)=0，得a=2(负值舍去)． 当a∈(0,2)时，h(a)<0；当a∈(2,+∞)时，h(a)>0． 因此h(a)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)，上单调递增． 所以当a=2时，h(a)取得最小值，h(2)=4-8ln2+1+ln2=5-7ln2>5-7×0.7=0.1 >0，故当a>0时，f(x)>9lna． 16.(本题满分15分)某商场举办购物有奖活动，若购物金额超过100元，则可以抽奖一次， 奖池中有8张数字卡片，其中两张卡片数字为1，两张卡片数字为2，两张卡片数字为3，两 张卡片数字为4，每次抽奖者从中随机抽取两张卡片，取出两张卡片之后记下数字再一起放 回奖池供下一位购物者抽取，如果抽到一张数字为1的卡片，则可获得10元的奖励，抽到两 张数字为1的卡片，则可获得20元的奖励，抽到其他卡片没有奖.小华购物金额为120元， 有一次抽奖机会。 (1)求小华抽到两张数字不同的卡片的概率； (2)记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望EX  17．(本题满分15分)如图，在三棱锥P-ABC中，A ，B ，C 分别是侧棱PA，PB，PC的 1 1 1 中点，AB⊥BC，A C⊥平面BB C C. 1 1 1 (1)求证：平面A B C⊥平面A B C ； 1 1 1 1 1 (2)如果A C=B C，AB=BC=4，求二面角A -BB -C的余弦值. 1 1 1 1 【详解】(1)因为A ，B ，C 分别是侧棱PA，PB，PC的中点， 1 1 1 所以A B ⎳AB,B C ⎳BC， 1 1 1 1 因为AB⊥BC，所以A B ⊥B C ， 1 1 1 1 因为A C⊥平面BB C C，B C ⊂平面BB C C， 1 1 1 1 1 1 1 所以A C⊥B C ， 1 1 1 又A C∩A B =A ,A C,A B ⊂平面A B C， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以B C ⊥平面A B C， 1 1 1 1 又因为B C ⊂平面A B C ， 1 1 1 1 1 所以平面A B C⊥平面A B C ； 1 1 1 1 1 (2)因为A C⊥平面BB C C，BC,B C⊂平面BB C C，所以A C⊥B C,A C⊥BC， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 因为AB=BC=4，所以A B =B C =2，所以A C=B C= 2， 1 1 1 1 1 1 因为B C ⊥平面A B C，B C ⎳BC，所以BC⊥平面A B C， 1 1 1 1 1 1 1 1 。 又B C⊂平面A B C，所以BC⊥B C，所以CA ,CB,CB 两两垂直， 1 1 1 1 1 1 【详解】(1)由题可得：小华抽到两张数字不同的卡片的概率为： C 4 2C 2 1C 2 1 = 6 . 如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系， C2 7 8 则B4,0,0 (2)由题可知X的取值为：0，10，20， C2 15 C1C1 3 C2 1 P(X=0)= 6 = ，P(X=10)= 2 6 = ，P(X=20)= 2 = ， C2 28 C2 7 C2 28 8 8 8 故X的分布列为： X 0 10 20 15 3 1 P 28 7 28 15 3 1 E(X)=0× +10× +20× =5，故E(X)=5. 28 7 28  ,C0,0,0  ,A 0,0, 2 1  ,B 0, 2,0 1  ，  故A B =0, 2,- 2 1 1   ,A B=4,0,- 2 1  ，  设平面A BB 的法向量为n=x,y,z 1 1  ，   n⋅A B = 2y- 2z=0  则有  1 1 ，可取n=1,2 2,2 2 n⋅A B=4x- 2z=0 1  ，  因为A C⊥平面BB C C，所以CA =0,0, 2 1 1 1 1  即为平面BB C C的一条法向量， 1 1     n⋅CA 故cosn,CA = 1 1  n   CA 1  4 2 34 2 34 = = ，所以二面角A -BB -C的余弦值 . 17× 2 17 1 1 17 ·4· {#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}18．(本题满分17分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线与圆O：x2+y2=1相切． (1)求C的方程； (2)设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是△PAB的内切 圆． ①若 AB  =2 5，求点P的横坐标； ②求△PAB面积的最小值． 【详解】(1)因为圆O：x2+y2=1的圆心为O0,0  ，半径r=1， p 由题意可知：抛物线C的准线为x=- =-1，可得p=2， 2 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)设Px ,y 0 0  ,x >1,A-1,m 0  ,B-1,n  ， y -m 可知直线PA:y-m= 0 x+1 x +1 0  ，即 y -m 0  x-x +1 0  y+mx +1 0  +y -m 0  =0， mx +1 因为直线PA与圆O相切，则 0  +y -m 0    x +1 0  2+y -m 0  =1， 2 整理得 y -m 0  2+x +1 0  2=y -m 0  2+2mx +1 0  y -m 0  +m2 x +1 0  ， 且x >1，化简可得： x -1 0 0  m2+2y m-x +1 0 0  =0， 同理可得： x -1 0  n2+2y n-x +1 0 0  =0， 同构可知：m,n是关于x的方程 x -1 0  x2+2y x-x +1 0 0  2y x +1 则m+n=- 0 ,mn=- 0 ， x -1 x -1 0 0 可得 AB =0的两根，  =m-n  2y = - 0 x -1 0  2 4x +1 + 0  4y2 = 0 x 0 -1 x 0 -1  4x +1 + 0 2  ， x -1 0 注意到点Px ,y 0 0  在抛物线C：y2=4x上，则y2=4x ， 0 0 则 AB  16x = 0 x -1 0  4x +1 + 0 2  x2+4x -1 =2 0 0 x 0 -1 x 0 -1  . 2 ①若 AB  x2+4x -1 =2 0 0 x -1 0  =2 5，整理得2x2-7x +3=0， 2 0 0 1 解得x =3或x = (舍去)，即点P的横坐标为3； 0 0 2 ②因为点Px ,y 0 0  到准线x=-1的距离d=x +1， 0 1 则△PAB面积S = dAB △PAB 2  1 = x +1 2 0  x2+4x -1 ×2 0 0 x -1 0  x +1 = 0 2  2 x2+4x -1 0 0  x -1 0  ， 2 设t=x -1>0，则x =t+1， 0 0 t2+4t+4 可得S = △PAB  t2+6t+4  16 = t2+ t2 t2  4 +10t+ t  +32， 16 16 4 4 且t2+ ≥2 t2⋅ =8,t+ ≥2 t⋅ =4，当且仅当t=2,x =3时，等号成立， t2 t2 t t 0 16 所以S = t2+ △PAB t2  4 +10t+ t  +32≥ 8+40+32=4 5， 所以△PAB面积的最小值为4 5. 19．(本题满分17分)已知有穷数列A :a ，a ，⋯，a (n∈N*，n≥2)满足a =a =0，且2 n 1 2 n 1 n ≤k≤n(k∈N*)时，(a -a )2=1，令S(A )=a +a +⋯+a ． k k-1 n 1 2 n (1)写出S(A )所有可能的值； 5 (2)求证：n一定为奇数； (n-3)2 (3)是否存在数列A ，使得S(A )= ？若存在，求出数列A ；若不存在，说明理由．． n n 4 n 【详解】(1)由题意，满足条件的数列A 的所有可能情况有： 5 0，1，2，1，0，此时S(A )=4； 5 0，1，0，1，0，此时S(A )=2； 5 0，1，0，-1，0，此时S(A )=0； 5 0，-1，-2，-1，0，此时S(A )=-4； 5 0，-1，0，1，0，此时S(A )=0； 5 0，-1，0，-1，0，此时S(A )=-2． 5 综上所述，S(A )的所有可能取值为4，2，0，-2，-4； 5 ·5· {#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}(2)由(a -a )2=1，可设a -a =c ，则c =1或c =-1(2≤k≤n,k∈N*)， k k-1 k k-1 k-1 k-1 k-1 所以a =a +c =a +c +c =⋅⋅⋅=a +c +c +⋅⋅⋅+c +c ， n n-1 n-1 n-2 n-2 n-1 1 1 2 n-2 n-1 因为a =a =0，所以c +c +⋅⋅⋅+c +c =0， 1 n 1 2 n-2 n-1 设c 中有m个1，n-1-m个-1，则m-(n-1-m)=0， k 故n=2m+1为奇数； n-1 n-1 (3)n为奇数，c ，c ，⋅⋅⋅，c ，c 是由 个1和 个-1构成的数列， 1 2 n-2 n-1 2 2 S(A )=c +(c +c )+⋅⋅⋅+(c +c +⋅⋅⋅+c +c )=(n-1)c +(n-2)c +⋅⋅⋅+2c + n 1 1 2 1 2 n-2 n-1 1 2 n-2 c ， n-1 n-1 n-1 则当c ，c ，⋅⋅⋅，c ，c 的前 项取1，后 项取-1时，S(A )最大， 1 2 n-2 n-1 2 2 n n+1 n-1 此时S(A )=(n-1)+(n-2)+⋅⋅⋅+ - +⋅⋅⋅+2+1 n 2 2  (n-1)2 = ，不符合题意； 4 n-1 如果c ，c ，⋅⋅⋅，c ，c 的前 项中恰有t项c ，c ，⋅⋅⋅，c 取-1， 1 2 n-2 n-1 2 m1 m2 mt n-1 后 项中恰有t项c ，c ，⋅⋅⋅，c 取1， 2 n1 n2 nt (n-1)2 t 则S(A )= -2(n -m)， n 4 i i i=1 (n-3)2 t 若S(A )= ，则n-2=2(n -m)， n 4 i i i=1 t 因为n是奇数，所以n-2是奇数，而2(n -m)是偶数， i i i=1 (n-3)2 因此不存在数列A ，使得S(A )= ． n n 4 ·6· {#{QQABKYIUggigAoAAARgCEwXwCkMQkACCCCoOAAAIoAAAiAFABAA=}#}