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吉安一中 2024 届高三“九省联考”考后适应性测试数
学试题一
本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
85 87 88 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98
则这组数据的40%分位数为（ ）
A．90 B．91 C．90.5 D．92
2．（本题5分）已知圆C： 及点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．直线 与圆C始终有两个交点
B．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为
C．若点 在圆C上，则直线PQ的斜率为
D．圆C与 轴相切
3．（本题5分）已知向量 满足 与 垂直，则 的最小
值为（ ）
A． B． C．1 D．3
4．（本题5分）高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成
前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题5分）已知数列 的前n项和分别为 ，记
，则数列 的前2021项和为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司6．（本题5分）已知球 的直径 ， ， ， 是球 球面上的三点，
是等边三角形，且 ，则三棱锥 的体积为（ ）.
A． B． C． D．
7．（本题5分）已知 ，且 ，则 可能为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题5分）已知f(x)为奇函数，当x∈[0,1]时， 当
，若关于x的不等式f(x+m)>f(x)恒成立，则实数m的取值范围
为（ ）
A．(-1,0)∪(0,+∞) B．
C． D． (2,+∞)
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（本题6分）下列选项中的两个集合相等的有（ ）.
A．
B．
C．
D．
10．（本题6分）如图，一个质点在半径为2的圆 上以点 为起始点，沿逆时针方
向运动，每 转一圈.则该质点到 轴的距离 是关于运动时间 的函数，则下列说法
正确的是（ ）
试卷第2页，共3页A．函数 的最小正周期是
B．函数 的最小正周期是
C．
D．
11．（本题6分）定义：对于定义在区间I上的函数 和正数 ，若存在
正数M，使得不等式 对任意 恒成立，则称函数
在区间I上满足 阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A．函数 在 上满足 阶李普希兹条件
B．若函数 在 上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为
C．若函数 在 上满足 的一阶李普希兹条件，且方程
在区间 上有解 ，则 是方程 在区间 上的唯一解
D．若函数 在 上满足 的一阶李普希兹条件，且 ，则对任
意函数 ， ，恒有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（本题5分）已知复数 ，则z在复平面内对应的点所在的
象限为 象限.
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司13．（本题5分）已知函数 ，若曲线 与曲线
存在公切线，则实数 的最大值为 ．
14．（本题5分）地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转
轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动
手能力，某同学制作了一个半径为4cm的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的
正三棱柱 中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图
2所示.此时平面 恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱 的外接球体积
为 .(参考数据： )
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”
的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时
间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，
首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是 .
（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的
分布列及期望.
16．（本题15分）已知函数 .
（1）若函数 在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值.
试卷第4页，共3页（2）若函数 存在两个极值点，求实数 的取值范围.
17．（本题15分）如图，在正三棱锥 中，有一半径为1的半球，其底面圆O
与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，
．
(1)用 分别表示线段BC和PD长度；
(2)当 时，求三棱锥的侧面积S的最小值．
18．（本题17分）如图，D为圆O： 上一动点，过点D分别作x轴，y轴的
垂线，垂足分别为A，B，连接 并延长至点W，使得 ，点W的轨迹记为曲线
．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点 的两条直线 ， 分别交曲线C于M，N两点，且 ，求证：直
线MN过定点；
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线 与曲线C交于不同的两点G，H，直线
SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得
？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
19．（本题17分）对于无穷数列 ，“若存在 ，必有
试卷第5页，共3页
学科网（北京）股份有限公司”，则称数列 具有 性质.
（1）若数列 满足 ，判断数列 是否具有 性质？
是否具有 性质？
（2）对于无穷数列 ，设 ，求证：若数列 具有 性质，
则 必为有限集；
（3）已知 是各项均为正整数的数列，且 既具有 性质，又具有 性质，
是否存在正整数 ， ，使得 ， ， ，…， ，…成等差数列.若存在，请
加以证明；若不存在，说明理由.
试卷第6页，共3页参考答案：
1．C
【详解】由题意， ，故这组数据的40%分位数为从小到大第6，7位数据的平均
数，即 .
故选：C
2．B
【详解】依题意，圆C： ，圆心 ，半径 ，
对于A，直线 恒过定点 ，而点 在圆C外，则过点 的直线与
圆C可能相离，A不正确；
对于B， ，点Q在圆C外，由 得： ，
B正确.
对于C，点 在圆C上，则 ，解得 ，而点 ，
则直线PQ的斜率为 ，C不正确；
对于D，点 到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与 轴相离，即圆C与x轴不
相切，D不正确；
故选：B
3．C
【详解】由 与 垂直，得 ，则 ，
所以 1，
所以当 时， 的最小值为
故选：C
4．D
【详解】 名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有 种站法，将8名同学分为4组，
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司每组2人，则有 种分法，4组人有 种站法，故所求概率
.
故选：D.
5．C
【详解】当 时， ，
当 时，
，
所以
.
故选：C
6．A
【详解】设球心为 ，等边三角形 截面小圆的圆心为 （也是等边三角形 的中
心）.
由于 是等边三角形， ，
所以 平面 ， 在面 的投影即 ，也即等边三角形 的中心，且 平
面 ，则 .
因为 是直径，所以 .
所以 ， .
由于 是等边三角形 的中心，所以 ，
答案第2页，共2页所以等边三角形 的高 ， .
所以三棱锥 的体积为 .
故选：A
7．B
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
整理得 ，
，
所以 或 ，
所以 或 ，
①当 时， ， ，
因为 ，所以 ，
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，所以 ，
②当 时， ，
因为 ，所以 ，
由于 ，所以解得 ，
③当 时， ，
因为 ，所以 ，
由于 ，所以解得 ，
综上， ，或 ，或 ，
故选：B
8．B
【详解】若 ， ，则 ， ，
则 ，
是奇函数，
，
则 ， ， ，
若 ， ，则 ， ，
答案第4页，共2页则 ，
则 ， ， ，
作出函数 的图象如图：
当 时， 的图象向左平移，如图，
当 的图象与 在 相切时， ，此时对应直线斜率 ，
由 ，即 ，得 ．
此时 ，
又切点在直线 上，
所以切点坐标为 ，
即 ，
解得 ，
所以当 时，不等式 恒成立.
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司当 时， 的图象向右平移，如图，
显然不等式 不恒成立.
综上 的取值范围是 ，
故选： ．
9．AC
【详解】解：对于A：集合 表示偶数集，集合
也表示偶数集，所以 ，故A正确；
对于B： ，
，所以 ，故B错误；
对于C： ，又 ，
所以 ，即 ，所以 ，故C正
确；
对于D：集合 为数集，集合 为点集，所以 ，
故D错误；
故选：AC
10．AD
答案第6页，共2页【详解】由题可知，该质点的角速度为 ，
由于起始位置为点 ，沿逆时针方向运动，
设经过时间 s之后所成的角为 ，则 ，
根据三角函数定义可知点 的纵坐标为 ，
所以该质点到 轴的距离 ，可得D正确，C错误；
由解析式 可知其最小正周期为 ，即A正确，B错误；
故选：AD
11．ACD
【详解】A选项：不妨设 ， ，即
，故 ，对 ，均有
，A选项正确；
B选项：不妨设 ， 在 单调递增， ，
，即 ，即
对 ， 恒成立，即 在 上单调递减， 对
恒成立，所以 对 恒成立，即 ，即 的最小值为 ，B
选项错误；
C选项：假设方程 在区间 上有两个解 ， ，则
答案第7页，共2页
学科网（北京）股份有限公司，这与 矛盾，故只有唯一解，C选项正
确；
D选项：不妨设 ，当 时， ，当 时，
，故对 ， ，故D选项正确；
故选：ACD
12．第二
【详解】由 ，可知 ， ，
故z在复平面内对应的点所在的象限为第二象限.
故答案为：第二.
13．
【详解】 ，
假设两曲线在同一点 处相切，
则 ，可得 ，即 ，
因为函数 单调递增，且 时 ，
所以 ，则 ，此时两曲线在 处相切，
根据曲线的变化趋势，若 ，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，
答案第8页，共2页所以 的最大值为 .
故答案为： .
14．
【详解】由题设可知平面 与面 的夹角为 ，取 中点M， 中点N，连
接MN
由二面角的定义可知 为平面 与面 的夹角，即
设正三棱柱的底面边长为 ，高为h，则
所以 ，则
又地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，即地球仪的最大圆与底面正三角形内切，
所以内切圆的半径 ，解得
所以三棱柱的高 ，底面边长为
设三棱柱 上、下底面中心 ，连线的中点O为球心，
在直角 ， ，
所以三棱柱外接球的半径
所以体积
故答案为：
答案第9页，共2页
学科网（北京）股份有限公司15．（1） ；（2）分布列答案见解析，数学期望： .
【详解】解：（1）比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为
，
恰好打了6局，乙获胜的概率为 ，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为 .
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
.
所以X的分布列如下：
2 3 4 5
答案第10页，共2页故 .
16．（1） ；（2） .
【详解】（1） ，
，
则 ，解得 .
（2） ，
由题设可知 有两个不同的零点，且 在零点的附近 的符号发生变化.
令 ，则 ，
若 ，则 ，则 为 上为增函数，
在 上至多有一个零点.
当 时，若 ，则 ，故 在 上为增函数，
若 ，则 ，故 在 上为减函数，
故 ，故 .
又 且 ，故 在 上存在一个零点；
下证当 时，总有 .
令 ，则 ，
当 时， ，故 为 上的减函数，
答案第11页，共2页
学科网（北京）股份有限公司故 ，故 成立.
令 ，则 ，
故当 时，有 ，
取 ，则当 时，
有 ，
故 ，故在 上，存在实数 ，使得 ，
由零点存在定理及 的单调性可知可得 在 上存在一个零点.
综上可知，实数 的取值范围是 .
17．(1) ；
(2)
【详解】（1）连接OP，由题意O为 的中心，
且 面ABC，又 面ABC，所以 ，所以 为直角三角形．
设半球与面PBC的切点为E，则 且 ．
答案第12页，共2页在 中， ，所以 ．
在 中， ．
（2）由题知， ，
化简得 ， ，
令 ，则上述函数变形为 ， ，
所以 ，令 ，得 ．当 时，
， 单调递减，当 时，
， 单调递增，所以当 时，
三棱锥的侧面积S的最小值为 ．
18．(1)
(2)证明见解析，
(3)存在，
【详解】（1）设 ， ，则 ，
答案第13页，共2页
学科网（北京）股份有限公司由题意知 ，所以 ，得( ，所以 ，
因为 ，得 ，故曲线C的方程为 ．
（2）由题意可知，直线 不平行坐标轴，
则可设 的方程为： ，此时直线 的方程为 ．
由 ，消去 得： ，
解得： 或 (舍去)，所以 ，
所以 ，同理可得： ．
当 时，直线 的斜率存在，
，
则直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 ．
当 时，直线 斜率不存在，此时直线 方程为： ，也过定点 ，
综上所述：直线 过定点 ．
（3）假设存在点R使得 ，设 ，
因为 ，所以 ，即 ，
答案第14页，共2页所以 ，所以 ，
直线 与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于 轴对称，
设 ，
易知点 ，直线 方程是 ，
令 得点P横坐标 ，
直线 方程是 ，令 得点Q横坐标 ，
由 ，得 ，又 在椭圆上，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以存在点 ，使得 成立．
19．（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析.
可证得存在整数 ，使得 是等差数列.
【详解】（1）因为 ，
，但 ，所以数列 不具有性质 ，
答案第15页，共2页
学科网（北京）股份有限公司同理可得数列 具有性质 ；
（2）因为数列 具有性质 ，
所以一定存在一组最小的且 ，满足 ，即 ，
由性质 的含义可得 ， ， ， ，
所以数列 中，从第 项开始的各项呈现周期性规律：
为一个周期中的各项，
所以数列 中最多有 个不同的项，
所以 最多有 个元素，即 为有限集；
（3）因为数列 具有 性质，又具有 性质，
所以存在 ，使得 ，
其中 分别是满足上述关系式的最小的正整数，
由性质 的含义可得 ，
若 ，则取 ，可得 ，
若 ，则取 ，可得 ，
记 ，则对于 ，
有 ，显然 ，
由性质 的含义可得： ，
所以
，
答案第16页，共2页所以 ，
又 满足 的最小的正整数，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
取 ，所以，若 是偶数，则 ，
若 是奇数，
则 ，
所以， ，
所以 是公差为1的等差数列.
答案第17页，共2页
学科网（北京）股份有限公司
