文档内容
2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）
数学试题卷
（名师教研团队命制 2024.2.3）
考试须知：
1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；
2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），
答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；
3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
1. 共同富裕是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．下列关于个人收入的统计量中，最能体现共
同富裕要求的是
A．平均数小、方差大 B．平均数小、方差小
C．平均数大、方差大 D．平均数大、方差小
2. 已知复数 满足 且 ，则 可被表示为
A． 𝑧𝑧 |𝑧𝑧| = 1 𝑧𝑧̅ = i·𝑧𝑧 𝑧𝑧 B．
𝜋𝜋 3 3 𝜋𝜋
cos4+isin4𝜋𝜋 cos4𝜋𝜋+isin4
C． D．
3 3 𝜋𝜋 𝜋𝜋
3. 1949
c年os410 𝜋𝜋月+i
1
s日in，4𝜋𝜋开国大典结束后，新成立的中co央s人4+民i政sin府4在北京饭店举行了有600余位宾客参
加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉
方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉
方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为
A．240 B．480 C．384 D．1440
4. 抛物线 的焦点为 ，已知抛物线上的三个点 ， ， 满足 ，则
2
𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 𝐹𝐹 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐹𝐹����𝐴𝐴�⃗+ �𝐹𝐹���𝐵𝐵�⃗+ �𝐹𝐹���𝐶𝐶�⃗ = 0 �𝐹𝐹����𝐴𝐴�⃗�+
�A𝐹𝐹���
．
�𝐵𝐵�⃗�4+ �𝐹𝐹�� ��𝐶𝐶�⃗�=
B．5 C．6 D．7
5. 遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，
数学试题卷 第1页（共4页）
学科网（北京）股份有限公司描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以
从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产
生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率 与初次记忆经过
的时间 （小时）的大致关系： 𝑦𝑦
𝑥𝑥
0.06
若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥𝑦𝑦 =有复1−习0背.6诵𝑥𝑥记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
6. 已知数列 满足 ， 且 ，则 的
∗
最小值是 {𝑎𝑎𝑛𝑛} 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 +𝑎𝑎𝑛𝑛+2 (𝑛𝑛 ∈𝑁𝑁 ) 𝑎𝑎1𝑎𝑎2 = 4 𝑎𝑎1,𝑎𝑎2 > 0 𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+⋯+𝑎𝑎2024
A．4 B．3 C．2 D．1
7. 已知函数 图像上的一极大值点为 ，则实数 的取值
4 3 2
范围为 𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 𝑥𝑥 +4𝑥𝑥 +2(𝑚𝑚+2)𝑥𝑥 +𝑚𝑚𝑥𝑥 (−2,0) 𝑚𝑚
A． B． C． D．
8. 在正(三−2棱,+锥∞) 中，侧(−棱4,−2]与底面 所(−成∞的,−角2为] ，且 (−∞,，−则2)三棱锥 外
接球的表面 积𝑃𝑃为− 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 60° 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 3 𝑃𝑃−𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶
A． B． C． D．
8𝜋𝜋 12𝜋𝜋 16𝜋𝜋 18𝜋𝜋
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）
9. 已知 ， ， ， ，则
A． 𝑎𝑎 = s in( sin2 024°B)． 𝑏𝑏 = s in(c os2 024°C) ．𝑐𝑐 = co s(s in20 24°)D ．𝑑𝑑 = co s(cos2024°)
10. 已知𝑎𝑎长<轴𝑐𝑐长、短轴长和焦距𝑏𝑏 <分𝑑𝑑别为 、 和 𝑏𝑏 <的椭𝑎𝑎 圆 ，点 是椭𝑑𝑑圆< 𝑐𝑐与其长轴的一个交点，
点 是椭圆 与其短轴的一个交点 ，2𝑎𝑎点 2𝑏𝑏和 2为𝑐𝑐 其焦点 𝛺𝛺， 𝐴𝐴 ．点 𝛺𝛺在椭圆 上，若
𝐵𝐵， 则 𝛺𝛺 𝐹𝐹1 𝐹𝐹2 𝐴𝐴𝐵𝐵 ⊥ 𝐵𝐵𝐹𝐹1 𝑃𝑃 𝛺𝛺 𝑃𝑃𝐹𝐹1 ⊥
A𝑃𝑃𝐹𝐹．2 ， ， 成等差数列 B． ， ， 成等比数列
C．椭𝑎𝑎 圆𝑏𝑏 的𝑐𝑐 离心率 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐
D． 𝛺𝛺 的面积不 𝑒𝑒小=于 √5+1 的面积
11. 积性△函𝐴𝐴数𝐵𝐵𝐹𝐹1 指对于所有 互△质𝑃𝑃𝐹𝐹的1𝐹𝐹整2 数 和 有 的数论函数．则以下数论函数是
积性函数的 𝑓𝑓(有𝑥𝑥) 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑏𝑏)= 𝑓𝑓(𝑎𝑎)𝑓𝑓(𝑏𝑏)
A．高斯函数 表示不大于实数 的最大整数
[𝑛𝑛] 𝑛𝑛
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学科网（北京）股份有限公司B．最大公约数函数 表示正整数 与 的最大公约数（ 是常数）
C．幂次函数 表 gc示d(正𝑛𝑛,整𝑘𝑘)数 质因数分 𝑛𝑛解 后 𝑘𝑘含 的幂次数（𝑘𝑘 是常数）
D．欧拉函数 𝑉𝑉𝑚𝑚(𝑛𝑛)表 示小于正整 𝑛𝑛数 的正整数中满 𝑚𝑚足 与 互质的𝑚𝑚数 的数目
𝜑𝜑(𝑛𝑛) 𝑛𝑛 𝑛𝑛
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知函数 的图像经过四个象限，则实数 的取值范围是
2
_________ 𝑓𝑓__(𝑥𝑥__)_=．( 𝑥𝑥 −𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑎𝑎)ln(𝑥𝑥+1) ,𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅 𝑎𝑎
13. 已知等差数列 和等比数列 满足 ， ，则数列
在 _{𝑎𝑎__𝑛𝑛_} __________时 {𝑏𝑏取𝑛𝑛}到 最小 𝑎𝑎值1+．𝑎𝑎 2 =𝑏𝑏1+𝑏𝑏2 = 30 𝑎𝑎3+𝑎𝑎4 = 𝑏𝑏3+𝑏𝑏4 = 10
14. 抛 {𝑎𝑎物𝑛𝑛𝑏𝑏线𝑛𝑛}有 一 𝑛𝑛条=重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线
的轴.过抛物线 上的点 （不为原点）作 的切线 ，过坐标原点 作 ，垂足为
2
，直线 （ 𝐶𝐶:𝑥𝑥为=抛4物𝑦𝑦 线的焦 𝑃𝑃点）与直线 交 𝐶𝐶于 点 ， 𝑙𝑙 点 ，则 𝑂𝑂 𝑂𝑂𝑂𝑂的⊥取𝑙𝑙 值范围是
_ 𝑂𝑂_ _______ _𝑃𝑃_𝐹𝐹___．𝐹𝐹 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑇𝑇 𝐴𝐴(2,0) |𝑇𝑇𝐴𝐴|
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.（13分）
第一象限的点 在抛物线 上，过点 作 轴于点 ，点 为 中点．
2
（1）求 的运 𝐴𝐴动 轨迹为曲 𝛤𝛤线1:𝑦𝑦 的=方2𝑥𝑥程 ； 𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐵𝐵 ⊥ 𝑦𝑦 𝐵𝐵 𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐵𝐵
（2）记 𝑃𝑃 的焦点分别为 𝛤𝛤2 ，则四边形 的面积是否有最值？
𝛤𝛤1,𝛤𝛤2 𝐹𝐹1,𝐹𝐹2 𝐴𝐴𝑃𝑃𝐹𝐹1𝐹𝐹2
16.（15分）
如图，已知四棱锥 的底面 是矩形且棱 垂直于其底面． 为棱 上一点，
． 𝑃𝑃−𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑂𝑂 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴 =
𝐴𝐴𝐵𝐵 （1）若 为 中点，证明： 平面 ；
（2）若 𝑂𝑂 为 𝑃𝑃𝐴𝐴 的高， 𝑃𝑃𝐵𝐵 ⊥ ， 𝐴𝐴求𝐶𝐶𝑂𝑂二 面角 的正弦值．
𝐴𝐴𝑂𝑂 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴 =√2𝐴𝐴𝑃𝑃 𝑃𝑃−𝐴𝐴𝐶𝐶−𝑂𝑂
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学科网（北京）股份有限公司17.（15分）
从集合 中随机抽取若干个数（大于等于一个）．
∗
（1）求 {这𝑥𝑥 ∈些𝑁𝑁数排|1序≤后𝑥𝑥 能≤成9}等 比数列的概率；
（2）求这些数排序后能成等差数列的概率．
18.（17分）
已知函数 ．
（1）若 𝑓𝑓(𝑥𝑥)的=零𝑎𝑎点𝑥𝑥−也(是𝑥𝑥其+的2)极ln值(𝑥𝑥点+，1)求 ；
（2）若 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 的图像经过四个象限，求 的𝑎𝑎 取值范围．
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑎𝑎
19.（17分）
对于非空集合 ，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群” ，简记为
． 𝐺𝐺 (𝐺𝐺,×)
×
𝐺𝐺 而判断 是否为一个群，需验证以下三点：
×
1.（封闭 𝐺𝐺性 ）对于规定的“×”运算，对任意 ，都须满足 ；
2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意 𝑎𝑎,𝑏𝑏 ∈ 𝐺𝐺 ，都须满足 𝑎𝑎×𝑏𝑏 ∈𝐺𝐺 ；
3.（恒等元）存在 ，使得对任意 ， 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 ∈ 𝐺𝐺 ； 𝑎𝑎×(𝑏𝑏×𝑐𝑐)= (𝑎𝑎×𝑏𝑏)×𝑐𝑐
4.（逆的存在性）对 𝑒𝑒 任∈𝐺𝐺意 ，都存 在𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 𝑒𝑒，×使𝑎𝑎得= 𝑎𝑎 ．
记群 所含的元素个数为 𝑎𝑎 ∈𝐺𝐺， 则群 也 𝑏𝑏称∈作𝐺𝐺 “ 阶群 𝑎𝑎”×．𝑏𝑏若=群𝑏𝑏×𝑎𝑎的=“𝑒𝑒 ×”运算满足交换律，即
× × ×
对任意 𝐺𝐺 ， ，𝑛𝑛 我们称 𝐺𝐺 为一个阿 贝𝑛𝑛 尔群（或交换 𝐺𝐺群 ）．
×
（1 𝑎𝑎）,𝑏𝑏证∈明𝐺𝐺： 所𝑎𝑎有×实𝑏𝑏 =数𝑏𝑏在×普𝑎𝑎通加法运算 𝐺𝐺下 构成群 ；
+
（2）记 为所有模长为1的复数构成的集合，请 𝑅𝑅找 出一个合适的“×”运算使得 在该运算下构
成一个群 𝐶𝐶， 并说明理由； 𝐶𝐶
×
（3） 𝐶𝐶所 有阶数小于等于四的群 是否都是阿贝尔群？请说明理由．
×
𝐺𝐺
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