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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(46)
(直线与方程)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023·全国·高三专题练习）已知直线 的倾斜角为 ，且 在 轴上的截距为 ，则直线 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ，
又直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 的方程为 ；
故选：C
2.（2023秋·江苏启东·高三期中质量检测）已知直线 ， ，则
“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由 可知 ，解得 或 ，
当 时， ， ， 成立，
当 时， ， 即 ， 与 重合，
所以若 则 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，
故选：C.
3.（2022·江苏·高三校考）已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是
60°，则k的值为（ ）
A． 或0 B． 或0 C． D．
【答案】A【解析】直线 的斜率为 ，所以倾斜角为120°.要使直线 与直线 的夹角是60°，
只需直线 的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或 .
故选：A
4.（2022·湖南·高三湖南师大附中校考）已知直线l： 在x轴上的截距的取值
范围是（ ，3），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】已知直线l：(2+a)x+(a−1)y−3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0
，所以直线 过点 ，
由题知，在 轴上的截距取值范围是 ，
所以直线端点的斜率分别为： ，如图：
或 .
故选：D.
5.（2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线 在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之
和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线 可变为 ，所以过定点 ，又因为直线 在
两坐标轴上的截距都是正值，可知 ，
令 ，所以直线与 轴的交点为 ，
令 ，所以直线与 轴的交点为 ，所以 ，
当且仅当 即 时取等，所以此时直线为： .
故选：C.
6.（2022·河北·高三校考）已知直线 ，直线 与 关于直线 对
称，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立 ，解得 ，
所以直线 与直线 的交点为 ，
所以点 在直线 上，
所以可设直线 即 ，
在直线 上取一点 ，则该点到直线 与 的距离相等，
所以 ，解得 或 （舍去）.
所以直线 的斜率为 .
故选：D.
7.已知直线l：3x﹣y﹣1＝0，l：x＋2y﹣5＝0，l：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可
1 2 3
能为（ ）
A. 1 B. C. ﹣2 D. ﹣1
【答案】A
【解析】因为直线l的斜率为3，直线l的斜率为 ，所以直线 一定相交，交点坐标是方程组
1 2
的解，解得交点坐标为： .当 时，直线 与横轴垂直，方程为： 不经过点 ，所以三条直线能构成三角形；
当 时，直线 的斜率为： .
当直线l与直线l的斜率相等时，即 ，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
1 3
当直线l与直线l的斜率相等时，即 ，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角
2 3
形；
当直线l过直线 交点 时，三条直线不能构成三角形，即有 ,
3
故选:A
8.设两条直线的方程分别为 ， ，已知a，b是方程 的两个实根，且
，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（ ）
A．1， B． ， C． ， D．1，
【答案】C
【解析】因为a，b是方程 的两个实根，
所以 ， ，
所以 ．
又 ，所以 ，所以 ．
由于直线 与直线 平行，
所以它们之间的距离 ，
所以 ，即所求距离的最大值和最小值分别为 ， ．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2023·全国·高三专题练习）下列说法是错误的为（ ）
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等
D．经过任意两个不同的点 的直线都可以用方程 表示．
【答案】ABC
【解析】当直线的倾斜角为直角时，该直线不存在斜率，故选项A不正确；当直线的斜率为 ，倾斜角为 ，故选项B不正确；
当两条直线的斜率相等，显然这两条直线的倾斜角相等，故选项选项C不正确；
根据直线的两点式方程可知选项D正确，
故选：ABC
10.（2022·广东·高三校考）已知直线 ： .直线 ： ，则
下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．直线 过定点 D．直线 过定点
【答案】BCD
【解析】A. 若 ，则 或 ，经检验此时两直
线平行，所以该选项错误；
B. 若 ，则 ，所以该选项正确；
C. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以此时直线 过定点
，所以该选项正确；
D. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以直线 过定点 ，所以
该选项正确.
故选：BCD
11.（2023·全国·高三专题练习）若直线过点 ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 方程
可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】当直线经过原点时，斜率为 ，所求的直线方程为y=2x，即 ；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，
求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为 ，或 ；
综上知，所求的直线方程为 、 ，或 ．
故选：ABC．
12.已知直线 ，以下结论正确的是（ ）无论 为何值， 与 都互相垂直
当 变化时， 与 分别经过定点 和
无论 为何值， 与 都关于直线 对称
若 与 交于点 ，则 的最大值是
【答案】ABD
【解析】对于 ， 故 与 相互垂直恒成立，故 正确；对于 ，直线
，当 变化， 时， 恒成立，所以 恒过定点 ； 当
变化， 时， 恒成立，所以 恒过定点 ，故 正确；对于 ，在 上任取一点
，关于直线 对称的点的坐标为 ，代入 ，得 ，不
满足无论 为何值， 成立，故 不正确；对于 ，联立解得 即
，所以 ，所以 的最大值是
，故 正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2023·江苏·高三淮阴中学、姜堰中学等三校12月联考）已知直线 满足：原点到它的距离为
，点 到它的距离为 ，请写出满足条件的直线 的一个方程：______________.
【答案】 （答案不唯一， ）
【解析】当直线 的斜率不存在时，设 的方程为 ，于是 ，且 ，显然无解，
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，于是 ，整理得 ，消去常数项得 ，
即有 或 ，由 解得 或 ，
而方程组 无解，因此 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
故答案为：
14.（2023·广东佛山·2024届高三上学期教育教学质量检测）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重
新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性
最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日
登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之
后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将
军的出发点是 ，军营所在位置为 ，河岸线所在直线的方程为 ，若将军从出发
点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为
__________．
【答案】
【解析】
由题可知 在 的同侧，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 即 ．将军从出发点到河边的路线所在直线即为 ，又 ，
所以直线 的方程为 ，
设将军在河边饮马的地点为 ，
则 即为 与 的交点，
，解得 ，
所以 ．
故答案为：
15.（2023·全国·高三专题练习）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线
相交于点 不重合），则 面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】由题意直线 过定点 ，
直线 可变为 ，所以该直线过定点 ，
所以 ，
又 ，
所以直线 与直线 互相垂直，
所以 ，
所以 即 ，
当且仅当 时取等号,
所以， ，即 面积的最大值是 .
故答案为：
16.已知实数a，b，c，d满足 ，则 的最小值为____________【答案】
【解析】∵实数a，b，c，d满足 ，
∴ ， ，
∴点 在直线 上，点 在直线 上，
∴ 的几何意义就是直线 上的点到直线 上点的距离的平方，
故所求最小值为 .
故答案为：
