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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(44)
(立体几何中的角与距离)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知点 ， ， ，则点A到直线BC的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以点A到直线BC的距离是 .
故选：B
2.（2018•新课标Ⅱ，理9）在长方体 中， ， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 在长方体
中， ， ， ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，
1， ，∴ ，0， ， ，1， ，设异面直线 与 所成角为 ，则
， 异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
故选．C
．3.（2022·河北廊坊）如图所示，在长方体 中， ，点E是棱 的中
点，则点E到平面 的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】设点E到平面 的距离为h，
因为点E是棱 的中点，
所以点E到平面 的距离等于点B到平面 的距离的一半，
又平面 过 的中点，
所以点B到平面 的距离等于点D到平面 的距离，
由等体积法 ，
所以 ，
， ，
在 中， ，
所以 ，
则 解得 ，
即点E到平面 的距离为 .
故选：B.
4.已知正方体 的棱长为1，点P在线段 上，且 ，则AP与平面ABCD所成角
的正切值为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接 ，
因为 在平面ABCD上的投影为 ，故作 于 ，且 平面 ，
连接 ，则AP与平面ABCD所成角为 .
因为 ，故 ，且 ，故 .
所以AP与平面ABCD所成角的正切值为
5.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体 的棱长为2，E，F分别为 ， 的
中点，点P是正方体表面上的动点，若 平面 ，则 点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 的中点G， 的中点H，连结 .
正方体 的棱长为2. 为中点，所以 ,所以 且
.
因为 为分别为 的中点，所以 ,且 ，所以四边形 为平行四边形，所以
.
因为 面 ， 面 ，所以 面 .
同理可证： 面 .
又 , 面 , 面 ,
所以面 面 .
所以 点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形 .
因为正方体 的棱长为2，所以 ,
所以三角形 的周长为 .
故选：B
6.（2022·全国·高三专题练习）在长方体 中， ， ， ，则异面直线
与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】如图所示，以 为原点， 所在直线为 轴如图建立空间直角坐标系
则
设直线 与 的公垂线的方向向量为 则
不妨令 又
则异面直线 与 之间的距离
故选：D
7.如图，在三棱锥S－ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2 ，则异面直线SB与AC所成角的余弦值
是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分别取 、 、 的中点 、 、 ，连接 、 、 、 、 ，如图：
由SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4可得 ，
所以 ， ，
由中位线的性质可得 且 ， 且 ，
所以 或其补角即为异面直线SB与AC所成角，
在 中， ，所以异面直线SB与AC所成角的余弦值为 .
故选：A.
8.（2023秋·广东佛山·高三统测）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只
由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立
体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体
的棱长为2， ， 分别为棱 ， 的中点，则直线 和 夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示：
由题意，可得 ， ，
又由正八面体 的棱长都是2，且各个面都是等边三角形，
在 中，由 ，可得 ，所以 ，所以；
；
；
所以 ，
即直线 和 夹角的余弦值为 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2022·湖南·长郡中学模拟预测）（多选）已知正方体 的边长为2，M为 的中点，P
为侧面 上的动点，且满足 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 平面
C． 与 所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为
【答案】BCD
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则 ，
所以 ，
由 平面 ，得 ，即 ，
化简可得： ，
所以动点P在直线 上，
对于选项A： ，所以 与 不
垂直，所以A选项错误；
对于选项B： 平面 平面 ，所以 平面 ，B选项正确；
对于选项C： ，C选项正确；
对于选项D：动点P在直线 上，且P为侧面 上的动点，则P在线段 上， ，
所以 ，D选项正确；
故选：BCD.
10.（2023秋·广东汕头·高三期中统测）如图，在长方体 中，
分别为棱 的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 平面
B. ⊥平面
C. 异面直线CN和AB所成角的余弦值为
D. 若P为线段 上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值
【答案】AD
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则
，
对于 A，因为
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故 A 正确；
对于B： ，设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 所以平面 的一个法向量为 因为 与
不平行，所以 ⊥平面 不成立，故 B错误；
对于C：
设异面直线CN和AB 所成的角为 ，则 ，
故C错误；
对于 D，设 ，
所以 ，
又平面 的一个法向量为 所以点 P到平面 的距离 不是
定值.故 D正确.
故选 ：AD
11.（2023秋·湖北·高三湖北省十一校联考）如图，已知二面角 的棱 上有 ， 两点， ，
， ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当二面角 的大小为 时， 与平面 所成的角为
C. 若 ，则四面体 的体积为D. 若 ，则二面角 的余弦值为
【答案】AD
【解析】A： ，故A正确；
B：如图，过 作 ，且 ，连接 ， ，则 为正方形，
则 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，则 为二面角 的平面角，
当 时，易得 为正三角形，过 作 ，
则 平面 ，故 即为 与平面 所成的角.
且 ， ，
在 中， ，故B错误；
C： 时，则 ，且 ，
则 ，所以 ，则 ，又 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
则 到面 的距离为1，所以四面体 的体积为 ，
所以C错误；D：由 可得 ，则 ，即
为等边三角形，所以 ，即二面角 的大小为 ，
取 中点 ，连接 ， ，则 ，所以 ，
由选项B可知， 平面 ，且 平面 ，所以 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，则 ，
所以 为二面角 的平面角，
又 ，所以 ，
则 ，故D正确；
故选：AD
12.（2023·江苏连云港灌云·高三灌云高级中学12月月考）在棱长为2的正方体 中，
， 分别为 ， 的中点，则（ ）
A. 异面直线 与 所成角的余弦值为
B. 点 为正方形 内一点，当 平面 时， 的最小值为
C. 过点 ， ， 的平面截正方体 所得的截面周长为
D. 当三棱锥 的所有顶点都在球 的表面上时，球 的表面积为
【答案】BCD
【解析】对于A选项， ，在 中 即为异面直线 与 所成的角，
，
异面直线 与 所成的角的余弦值为 ．故A错误；
对于B选项，取 的中点 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，
，
同理可得 ，
又 面 ， 面 ， 面 ， 面 ，
面 ， 面 ，
又 ， 面 ，
面 面 ，
又 面 ， 面 ，
轨迹为线段 ，
在 中，过 作 ，此时 取得最小值，在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，
在 中， ， ， ，
如图，在 中， ．故B项正确；
对于C选项，过点 的平面截正方体 ，
平面 平面 ，则过点 的平面必与 与 交于两点，
设过点 的平面必与 与 分别交于 、 ，
过点 的平面与平面 和平面 分别交于 与 ， ，同理可得
，
如图过点 的平面截正方体 所得的截面图形为五边形 ，
如图以 为原点，分别以 方向为 轴､ 轴､ 轴正方向建立空间直角坐标系 ，
设 ， ，
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，， ，
，解得 ，
， ，
， ，
在 中， ， ， ，同理： ，
在 中， ， ， ，同理：
在 中， ， ，
，
即过点 的平面截正方体 所得的截面周长为 ．故C正确；
对于D选项，如图所示，取 的中点 ，则 ，过 作 ，
且使得 ，则 为三棱锥 的外接球的球心，
所以 为外接球的半径，
在 中， ，．故D项正确，
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2022·山东）点 是直线 上一点， 是直线 的一个方向向量，则点 到直线 的
距离是______．
【答案】
【解析】由题意，点 和 ，可得 ，且 ，
所以点 到直线 的距离是 .
故答案为： .
14.（2023秋·辽宁·高三名校12月联考）如图，在棱长为4的正方体 中， E为棱BC的
中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且 ，则线段 的长度的取值范围是______．
【答案】
【解析】以D为原点，以DA，DC， 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ， ，
设 ，则 ，
，又 ，所以 ，
即 ，则 ．
当 时， ，设 ，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF，所以 ， ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以线段 的长度的取值范围是 ．
故答案为：
15.（2023秋·湖南衡阳市·高三衡阳第八中学等学校11月联考改编）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致
呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为 ，峰底A到峰顶 的距离为 ，B是山坡 的中点.为了发展当
地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为
【答案】【解析】 为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.
则从点A到点B的最短路径为线段 ， ，所以 .
过S作 ，则公路距山顶的最近距离为 ，
因为 ，所以 ，
故答案为：
16.（2023·全国·高三专题练习）如图， 为圆柱下底面圆 的直径， 是下底面圆周上一点，已知
，圆柱的高为5．若点 在圆柱表面上运动，且满足 ，则点 的轨迹所围成图
形的面积为 ．
【答案】10
【解析】因为 是圆柱下底面圆 的直径，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
设过 的母线与上底面的交点为 ，过 的母线与上底面的交点为 ，连 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点 在平面 内，又点 在圆柱的表面，所以点 的轨迹是矩形 ，
依题意得 ， ， ，所以 ，
所以矩形 的面积为 .
故点 的轨迹所围成图形的面积为 .
故答案为：10.
