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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(7)
(函数的单调性与最值)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
2.函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
【答案】B
【解析】 ，
则由二次函数的性质知，当 时， 的单调递减区间为 ；
当 ， 的单调递减区间为 ，
故 的单调递减区间是 和 .
故选：B
3.已知函数 为自然对数的底数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】因为 .
所以 ，
又函数 在R上单调递减，
所以 ，
故选：D.
4.函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当函数 在区间 上不单调，
则有 ，即 ，
故选：B
5. （2023秋·湖南·高三部分名校联考）下列函
数 中 ， 函 数 值 域 与 函 数
的值域完全相同的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】对勾函数 ， ，当定义域为 时， 有 ；
有 ，
所以对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
时，函数有最小值2， 趋近于0时，函数值趋近于 .
函数 定义域为 ，则 ，由对勾函数的性质可得，
当 时 有最小值2，则函数 的值域为 .函数 中，有 ，由对勾函数的性质可得，
当 时 有最小值2，则函数 的值域为 .
，有 ，由对勾函数的性质可得，当 时 有最小值2，则函数
的值域为 .
，当 时， ， 的值域与函数 的值域不相同.
，当 时， ， 的值域与函数 的值域不相同.
所以 的值域与函数 的值域完全相同.
故选：B
6.已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵ ，∴ 的图像关于直线
对称，
∵ 和 都在 上是减函数，在 上是增函数，∴ 在 上为减
函数，在 上为增函数．
又 ，∴ ，即 或 ，解得 或 ．
故选：C．
7.（2023秋·江苏南通海安·高三海安市实验中学月考）已知函数 （
且 ），若 有最小值，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 有最小值
根据题意，可得其最小值为 ，
则
或
解得 或
则实数 的取值范围是
故选:C
8. 为定义在 上的偶函数，对任意的 ，都有 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对任意的 ，都有 ，则
，
令 ，则 在 上单调递增，因为 为定义在 上的偶函数，
所以 ，即 为偶函数，又
，
由 ，可得 ，即 ，所以 ，所以 的解集为
．
故选:A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．y= 在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数
C．y= 在R上为增函数 D．y=--f(x)在R上为减函数
【答案】ABC
【解析】对于A，若f(x)=x，则y= = ，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f(x)=x，则y= = ，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x，x∈R，设x<x，必有f(x)<f(x)，
1 2 1 2 1 2
对于y=—f(x)，则有y-y=[—f(x)]—[—f(x)]=f(x) —f(x)>0，
1 2 1 2 2 1
则y=—f(x)在R上为减函数，D正确.
故选：ABC
10.已知函数 ，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A. 当 时， 的定义域为
B. 一定有最小值；
C. 当 时， 的值域为 ；
D. 若 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是
【答案】AC
【解析】对A，当 时，解 有 ，故A正确；
对B，当 时， ，此时 ， ，
此时 值域为 ，故B错误；
对C，同B，故C正确；
对D， 若 在区间 上单调递增，此时 在 上单调递增，
所以对称轴 ，解得 ，但当 时， 在 处无定义，故D
错误.故选：AC
11.若函数 同时满足：（1）对于定义域内的任意 ，有 ；（2）对于定义域内的
任意 ， ，当 时，有 ，则称函数 为“理想函数”．给出下列四个函
数是“理想函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】由（1）可知， 为奇函数，由（2）可知， 在定义域内为单调递减函数，
对于A， 定义域为R，又 ，故 为偶函数，故A错误；
对于B， 定义域为R，又 ，故 为奇函数，
又 在R上单调递减，满足要求，B正确；
对于C， 分别在区间 和 上单调递减，在定义域内不是单调递减，C错误；
对于D： ， ，
所以 是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知 在 和 都是减函数，且在 处连续，
所以 在 上是减函数，所以是“理想函数”，D正确.
故选：BD
12.函数 则关于函数f(x)的说法正确的是（ ）
A．定义域为R B．值域为(－3，＋∞)
C．在R上为增函数 D．只有一个零点
【答案】ACD【解析】由 ，得 的定义域为 ，A正确；
当 时， ，由 ，得 ，
当 时， ，由 ，
所以值域为 ，B错误；
由图象知 在R上为增函数，C正确；
当 时， ，得 ， ，不满足，
当 时， ，得 ，满足，
只有一个零点，D正确．
故选:ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为_________．
【答案】
【解析】法一：在 中，设存在 ，且 ，则 ，
上单调递减，所以
∵函数在区间
，解得 ．
故答案为 ．法二：在 中， ，∵在区间 上单调递减，∴
，解得 ．
故答案为
14.（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学入学考试）设 为实数，函数 在
上单调递增，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由函数 在 上单调递增，得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
15.已知函数 的最小值为 ，则实数 ________
【答案】
【详解】因为 ，当 时， 单调递增，则
；当 时， 是开口向上的二次函数，对称轴为
，
若 ，则 在 上单调递减，所以 ，无最小值，不满足题意；
若 ，则 ，解得 或 （舍）.
综上， . 故答案为：-16
16.（2023秋·江苏南通·高三如皋中学月考改编）已知函数 ，若方程 在 上有
两个不同的根，则实数 的取值范围为_________；若 ，若对
都有 ，则实数 的取值范围_________；.【答案】
【解析】 .
方程 在 上有两个不同的根，
即 在 上有两个不相等的实数根，
需满足 ，解得 .
由题意知 ，
令 ,
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ,
∵函数 的对称轴为 ，
∴函数 在 上单调递增.
当 时， ；当 时， ；
即 ，
又∵对 都有 恒成立，
∴ ，即 ，
解得 ，又∵ ，
∴ 的取值范围是 .
故答案为：
