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专题2.4 函数的单调性与最值-重难点题型精练
【新高考地区专用】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较
高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•辽宁期末）下列函数中，定义域为R，又是（0，+∞）上的增函数的是（ ）
A． B．y＝e﹣x
y=log (x2+1)
2
C． 1 D．y＝x2﹣x﹣6
y=x2
2．（5分）（2020秋•东城区期末）若函数f（x）是R上的减函数，a＞0，则下列不等式一定成立的是（
）
1
A．f（a2）＜f（a） B．f(a)＜f( )
a
C．f（a）＜f（2a） D．f（a2）＜f（a﹣1）
√2 1 f(x)
3．（5分）（2020秋•张掖期末）若幂函数f（x）的图象过点( ， )，则函数g(x)= 的递减区间
2 2 ex
为（ ）
A．（0，2） B．（﹣∞，0）和（2，+∞）
C．（﹣2，0） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
ax−1
4．（5分）（2021秋•阆中市校级期中）已知函数f（x）= 在（2，+∞）上单调递减，则实数a的
x−a
取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）
1
5．（5分）（2021春•雨城区校级期中）已知函数 f（x）= −√x，若a=f(log √2)，b＝f（e0.1），
x 3
ln √3 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
c=f(e 3 )A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b
π
6．（5分）（2021春•昌江区校级期末）已知函数f(x)=sin x−x2+2x的定义域为[﹣1，3]，则不等式
2
f（2﹣x）＞f（1+x）的解集为（ ）
1 3 1 1 3
A．(− ， ] B．( ，1] C．( ，2] D．[1， )
2 2 2 2 2
{4x−2x+2+m，x≤0
7．（5分）（2022•兴庆区校级三模）已知 的最小值为2，则m的取值范围为
f(x)= 1
x+ ，x＞0
x
（ ）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，5] C．[3，+∞） D．[5，+∞）
4
8．（5分）（2022•黑龙江模拟）已知函数f（x）＝|x+ −m|（x [1，4]），则f（x）的最大值g（m）的
x
∈
最小值是（ ）
1 1
A． B． C．1 D．2
3 2
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•利辛县校级月考）下列函数中，在（2，+∞）上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝|x﹣3|
1
B．f(x)=x+
x
C．f（x）＝x3+2x
D． {x+3，x＜3
f(x)=
2x−3，x≥3
10．（5分）（2022春•遵义期末）设函数 { ax−1，x＜a ，f（x）存在最小值时，实数a的值
f(x)=
x2−2ax+1，x≥a
可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
{x2+2ax+5，x＜1
11．（5分）（2022春•雨花区校级月考）已知函数 在区间（﹣∞，+∞）上
f(x)= a
− ，x≥1
x是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
12．（5 分）（2022•保定二模）已知函数 y 在（0，+∞）上先增后减，函数 y 在
=32x −23x =43x −34x
（0，+∞）上先增后减．若log （log x ）＝log （log x ）＝a＞0，log （log x ）＝log （log x ）＝b，
2 3 1 3 2 1 2 4 2 4 2 2
log （log x ）＝log （log x ）＝c＞0，则（ ）
3 4 3 4 3 3
A．a＜c B．b＜a C．c＜a D．a＜b
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
x2+3
13．（5分）（2022春•海淀区校级月考）函数f(x)= 的单调递减区间为 ．
x−1
14．（5分）（2022春•莲湖区期末）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1，[3]＝
3．若函数f（x）＝2x，g（x）＝f（x﹣[x]），则函数g（x）的最小值为 ．
15．（5分）（2022春•鹤峰县月考）已知定义域为[﹣2，2]的函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增，且f
1 1
（x）+f（﹣x）＝0，若f(−1)=− ，则不等式f(2x−1)≤ 的解集为 ．
2 2
16．（5分）（2021秋•茂名期末）对于定义在I上的函数y＝f（x），如果存在区间[m，n] I，同时满足下
列两个条件： ⊆
①f（x）在区间[m，n]上是单调递增的；
②当x [m，n]时，函数的值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y＝f（x）的一个“递增黄金区间”．
下列函∈数中存在“递增黄金区间”的是： ．（填写正确函数的序号）
①y＝x+1；
②y＝x2﹣2x+2；
③y＝2x﹣2；
④y＝lgx．
四．解答题（共6小题，满分70分）
2x
17．（10分）（2021秋•全州县期中）已知函数f（x）= ．
x−1
（1）求f（x）的定义域、值域及单调区间；
（2）判断并证明函数g（x）＝xf（x）在区间（0，1）上的单调性．1
18．（12分）（2021秋•爱民区校级期末）已知函数f(x)=x+ ，
x
（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
1
19．（12分）（2020秋•广州期末）已知函数f(x)= −x．
x
（1）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
（2）已知a＝f（0.23），b＝f（log 3），c＝f（log 5），试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由．
2 2
20．（12分）（2021秋•秦淮区校级期中）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a2﹣1，a R．
（1）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围； ∈
（2）求关于x的不等式f（x）⩽0的解集．
1
21．（12分）（2022春•凌源市月考）已知函数f(x)= −lnx．
1+x2
1 1 1
（1）求f(2)，f( )，f(e)，f( )的值；你能发现f（x）与f( )有什么关系？写出你的发现并加
2 e x
以证明；
（2）试判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．22．（12分）（2021秋•张家口期末）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切m＞0，n＞0，都
m
有f( )=f(m)−f(n)+2，当x＞1时，总有f（x）＜2．
n
（1）求f（1）的值；
（2）证明：f（x）是定义域上的减函数；
（3）若f（4）＝1，解不等式f（x﹣2）﹣f（8﹣2x）＜﹣1．
