文档内容
第07课 幂函数与二次函数（分层精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2022·全国·高一专题练习）若函数 ，则函数
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·河南新乡·高二校考阶段练习）下列函数中，在 上单调递减的是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022春·陕西宝鸡·高一宝鸡市渭滨中学校考阶段练习）已知函数
， ，则（ ）
A．最大值为2，最小值为1
B．最大值为 ，最小值为1
C．最大值为 ，最小值为1
D．最大值为 ，最小值为
4．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）若函数 在
上是单调减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知幂函数
在 上是减函数，则 的值为（ ）A．3 B． C．1 D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数 的图象经过点 与点 ，
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知幂函数 的图象过点
．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知 ， ， ，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·江苏连云港·高一期末）已知幂函数 的图象过函数
的图象所经过的定点，则 的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数 满足 ，
则下列关于函数 的判断正确的是（ ）
A． 是周期函数 B． 是单调函数
C． 关于点 对称 D． 关于原点对称
11．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）下列函数中，在 上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021春·陕西延安·高二子长市中学校考期末）幂函数
在 为增函数，则 的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
13．（2022·全国·高三专题练习）若 则满足 的x的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数 ，则
（ ）
A． B． C．8 D．9
二、多选题
15．（2022秋·高一单元测试）在下列四个图形中，二次函数 与指数函数
的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
16．（2023·全国·高三专题练习）函数 的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
17．（2012·江苏·高考真题）已知函数 的值域为 ，
若关于x的不等式 的解集为 ，则实数c的值为 ．
18．（2020秋·广东阳江·高一阳江市第一中学校考阶段练习）如果二次函数
在区间 上是减函数，那么 的取值范围是 .
19．（2022秋·河南信阳·高一统考期中）函数 是幂函数，且在上是减函数，则实数 .
20．（2020秋·全国·高一专题练习）已知幂函数 的图象关于 轴
对称，且在区间 上为减函数，则 的值为 ．
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·全国·高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，且当
时， ，则当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一专题练习）函数 ，且 与函数
在同一坐标系内的图象不可能的是（ ）
A． B．
C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足对任意
的实数 ，且 ，都有 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数 的值域为
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·宁夏中卫·高三中宁一中校考阶段练习）“幂函数 在
上为增函数”是“函数 为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知函数 （ 且 ）的图
象恒过定点 ，点 在幂函数 的图象上，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的幂函数 （ 为实数）过点
，记 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2010·上海徐汇·统考高考模拟）下列函数中，与幂函数 有相同定义域的是
（ ）A． ； B． ； C． ； D． ．
10．（2022秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）若集合
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023·四川·校联考模拟预测）已知 与 都是定义在 上的函数，
是奇函数， 是偶函数，且 ， 都不是常数函数，现有下列三
个结论：① ；② 的图象关于直线 对称；③ 与 在 上
的单调性可能相同 其中正确结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·四川成都·高一校联考期末）幂函数 在区间
上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是减函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
二、多选题
13．（2020秋·安徽安庆·高一桐城市第八中学校考阶段练习）关于 的方程
，下列命题正确的有（ ）
A．存在实数 ，使得方程无实根
B．存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根
C．存在实数 ，使得方程恰有3个不同的实根
D．存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．函数 的单调增区间为
B．函数 为奇函数
C．幂函数 是减函数
D． 图像关于点 成中心对称
16．（2023·全国·高三专题练习）若a＞b＞0＞c，则( )
A． B． C． D．
三、填空题
17．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数 ，则关于x的不等式
的解集为 ．
18．（2022秋·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考阶段练习）若幂函数
在 上为增函数则 ．
19．（2022·河南·校联考模拟预测）已知 ， ，若对 ，， ，则实数 的取值范围是 .
20．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）直线 ： 与 ， 轴的交点分别是 ，
， 与函数 ， 的图像的交点分别为 ， ，若 ， 是线段
的三等分点，则 的值为 .
21．（2017·四川绵阳·统考一模） 是定义在 上的偶函数，且 时，
，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是 .
22．（2022·高一课时练习）已知 .若函数 在
上递减且为偶函数，则 .
【三层练能力】
一、单选题
1．（2015·陕西·高考真题）对二次函数 （ 为非零整数），四位同
学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A． 是 的零点 B．1是 的极值点
C．3是 的极值 D．点 在曲线 上
2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数 在 上单调递
增，函数 时，总存在 使得 ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．存在 时，使得
C．给定正整数 ，若 ， ，且 ，则
D．设方程 的三个实数根为 ， ， ，并且 ，则
三、填空题
4．（2023·四川成都·校考一模）已知函数 ，若存在 ，使得
，则 的取值范围是 ．
5．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式 ，解集为【一层练基础】参考答案
1．D
【分析】先利用配凑法求出 的解析式，则可求出 的解析式，从而可求出函数的最
小值
【详解】因为 ，
所以 .
从而 ，
当 时， 取得最小值，且最小值为 .
故选：D
2．D
【分析】根据函数单调性的性质可判断每个选项中函数在 的单调性.
【详解】对于A，当 时， 单调递增，故A错误；
对于B， ，故 在 和 上单调递增，故
B错误；
对于C， 在 上单调递增，故C错误；
对于D， 在 上单调递减，故D正确
故选：D.
【点睛】本题主要考查对函数单调性的判断，根据基本初等函数的复合函数单调性进行判
断即可，属于基础题.
3．B
【分析】利用 化简f(x)解析式，根据二次函数的性质即可求f(x)最值.【详解】 ，
时，sinx∈[ ，1]，
∴当sinx＝ 时，f(x)最大值为 ；当sinx＝1时，f(x)最小值为1.
故选：B.
4．A
【分析】由求导公式和法则求出 ，由导数与函数单调性的关系，列出不等式进行分离
常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范
围．
【详解】由题意得， ，
因为 在[1，+∞）上是单调减函数，
所以 ≤0在[1，+∞）上恒成立，
当 ≤0时，则 在[1，+∞）上恒成立，
即a ，设g（x） ，
因为x [1，+∞），所以 （0，1]，
∈ ∈
当 时，g（x）取到最大值是： ，
所以a ，
所以数a的取值范围是（﹣∞， ]
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，将问题转化为恒
成立问题，利用分离常数法，求函数值域，属于中档题．
5．C【分析】先根据 是幂函数，由 求得 ，再根据函
数在 上是减函数，确定 的值求解.
【详解】由函数 为幂函数知，
，解得 或 .
∵ 在 上是减函数，而当 时， ，在 是增函数，不符合
题意，
当 时， ，符合题意，
∴ ， ，
∴ .
故选：C.
6．B
【分析】设幂函数 ，依次将点 ，点 坐标代入，可得 ，结合指数函数和对数
函数性质即可得到答案.
【详解】设幂函数 ，因为点 在 的图象上，
所以 ， ，即 ，
又点 在 的图象上，所以 ，则 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
故选：B
7．D
【分析】根据幂函数的定义求出函数 解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解.
【详解】因幂函数 的图象过点 ，则 ，且 ，于是得 ， ，函数 ，函数 是R上的增函数，
而 ，则有 ，
所以 .
故选：D
8．A
【分析】根据指对幂不等式，结合指对幂函数的性质分别求参数a的范围，再取交集即可.
【详解】由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
∴当 ， ， 同时成立时，取交集得 ，
故选：A.
9．B
【分析】先根据幂函数定义得 ，再确定 的图像所经过的定点为 ，代入
解得 的值.
【详解】由于 为幂函数，则 ，解得： ，则 ；
函数 ，当 时， ，
故 的图像所经过的定点为 ，
所以 ，即 ，解得： ,
故选：B.
10．C【分析】由题意得 ，利用导数求出方程的根，进而可求出结果.
【详解】由题意得 ，即 ，故 ，
令 ，则 ，当 时， ，则 单调递减；当
时， ，则 单调递增；所以 ，因此方程
有唯一解，解为 ，因此 ，所以不是周期函数，不是
单调函数，关于点 对称，
故选：C.
11．C
【解析】对AB：直接判断其单调性；
对C：把 化为 ，判断其单调性；
对D：利用 判断 的单调性.
【详解】本题考查函数的单调性.
A项中，函数 在 上单调递减，故A错误；
B项中，二次函数 的图像开口向下，对称轴方程为 ，故该函数在
上单调递增，在 上单调递减，故B错误；
C项中，函数 ，在 和 上分别单调递增，故C正确；
D项中，函数 在 上单调递减，故D错误.
故选：C
【点睛】方法点睛：四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.
12．B
【分析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得 或 ，分别验证两种情况下在 上的单调性即可得到结果.
【详解】 为幂函数， ，解得： 或 ；
当 时， ，则 在 上为减函数，不合题意；
当 时， ，则 在 上为增函数，符合题意；
综上所述： .
故选：B.
13．B
【分析】按 或0， ， 和 四种情况，分别化简解出不等式，可得x的
取值范围．
【详解】①当 或0时， 成立；
②当 时， ，可有 ，解得 ；
③当 且 时，
若 ，则 ，解得
若 ，则 ，解得
所以
则原不等式的解为 ，
故选：B
14．C
【分析】利用诱导公式化简函数的表达式，利用三角函数和特殊幂函数的奇偶性进行分析，
可得到 ，进而计算得到答案.
【详解】由 ，有 ，可得 .故选：C
15．ABD
【分析】根据 的关系与各图形一个个检验即可判断．
【详解】当 时，A正确；当 时，B正确；
当 时，D正确；当 时，无此选项．
故选：ABD．
16．ABD
【分析】先根据当 时， ， 时， ，排除C，再举出适当的
的值，分别得到ABD三个图象.
【详解】由题意知 ，则 ，当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
所以 的大致图象不可能为C，
而当 为其他值时，A，B，D均有可能出现，
不妨设 ，定义域为 ，此时A选项符合要求；
当 时，定义域为 ，且 ，
故函数 为奇函数，所以B选项符合要求，
当 时，定义域为 ，且 ，
故函数 为偶函数，所以D选项符合要求.
故选：ABD
17．9．
【详解】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，
∴b－ ＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋ a2＝ 2.又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，
∴m，m＋6是方程x2＋ax＋ －c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得
解得c＝9.
18．
【详解】 在区间 上是减函数，则
，所以 .
19．2
【分析】根据函数为幂函数求参数m，讨论所求得的m判断函数是否在 上是减
函数，即可确定m值.
【详解】由题设， ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，此时函数在 上递增，不合题意；
当 时， ，此时函数在 上递减，符合题设.
综上， .
故答案为：2
20．2
【分析】由幂指数为偶数且小于可得.
【详解】 为偶数，且小于0，即 ，解得 ，验证得 ．
【点睛】幂函数 中，当 为奇数时，函数为奇函数，当 为偶数时，函数为偶函
数；当 时，在第一象限内函数为增函数，当 时，在第一象限内函数为减函数.【二层练综合】参考答案
1．D
【分析】求出函数 在 时值的集合， 函数 在 时值的集合，
再由已知并借助集合包含关系即可作答.
【详解】当 时， 在 上单调递增， ， ，
则 在 上值的集合是 ，
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在
上单调递增，
， ，则 在 上值的集合为 ，
因函数 的值域为 ，于是得 ，则 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
2．A
【分析】求出函数 在 上的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数
在 上的最小值.
【详解】当 时， ，
由题意可得 ，所以，当 时， .
故选：A.
3．D
【分析】利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得.
【详解】对于A，由对数函数图象可知 ，又函数 ，对称轴为 <1，
对应方程的两个根为0， ，由图知 ，从而 ，选项A可能；
对于B，由对数函数图象可知 ，又函数 ，对称轴为 <1，对应方程
的两个根为0， ，由图知 ，从而 ，选项B可能；
对于C，由对数函数图象可知 ，又函数 ，对称轴为 >1，对应方
程的两个根为0， ，由图知 ，从而 ，选项B可能；
对于D，由对数函数图象可知 ，又函数 ，对称轴为 <1，对应
方程的两个根为0， ，由图知 ，从而 ，选项D不可能.
故选：D.
4．D
【分析】根据题意，令 ， ，进而将问题转化为函数 在 上
单调递增，且函数 为减函数，进而得 ，再解不等式组即可得答案.
【详解】解：因为对任意的实数 ，且 ，都有 成立，
所以，对任意的实数 ，且 ， ，即函数 是 上的减函数．
因为 ，
令 ， ，要使 在 上单调递减，
所以， 在 上单调递增．
另一方面，函数 为减函数，
所以， ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 ．
故选：D．
5．B
【分析】由二次函数的值域可得出 ，可得出 ，则有 ，利用
基本不等式可求得结果.
【详解】若 ，则函数 的值域为 ，不合乎题意，
因为二次函数 的值域为 ，则 ，
且 ，所以， ，可得 ，则 ，所以， ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：B.
6．A
【分析】要使函数 是幂函数，且在 上为增函数，求出 ，
可得函数 为奇函数，即充分性成立；函数 为奇函数，求出 ，
故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数 是幂函数，且在 上为增函数，
则 ，解得： ，当 时， ， ，
则 ，所以函数 为奇函数，即充分性成立；
“函数 为奇函数”，
则 ，即 ，
解得： ，故必要性不成立，
故选：A．
7．B
【分析】令对数的真数等于0，求得x、y的值，可得图象经过的定点坐标．再根据在幂函
数y＝f（x）的图象上，求出函数f（x）的解析式，从而求出 的值．
【详解】∵已知a＞0且a≠1，对于函数 ，令x﹣1＝1，求得x＝2，y
，
可得它的图象恒过定点P（2，4），
∵点P在幂函数y＝f（x）＝xn 的图象上，∴2n ，∴n ，∴f（x）则f（2） ,故
故选B．
【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，求函数值，属于基础题．
8．A
【分析】首先求出 ，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到
，即得解.
【详解】由题得 .
函数 是 上的增函数.
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
【点睛】方法点睛：比较对数式的大小，一般先利用对数函数的图象和性质比较每个式子
和零的大小分成正负两个集合，再利用对数函数的图象和性质比较同类数的大小.
9．A
【分析】由题知幂函数 ，定义域为 ，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：幂函数 ，定义域为 ，
对于A选项， 定义域为 ，故正确；
对于B选项， 定义域为 ，故错误；
对于C选项， 定义域为 ，故错误；对于D选项， 定义域为 ，故错误；
故选：A
10．A
【分析】先解出集合A、B,再求 .
【详解】因为 ， ，所以
.
故选：A．
11．D
【分析】根据奇函数的性质及赋值法得到 ，从而判断①正确；根据偶函数的
性质得到 ，从而判断②正确；取 ，判断
两者的单调性，从而判断③正确.
【详解】对于①：由 是奇函数，即 ，取 得 ，
则 ，正确；
对于②：由 是偶函数，得 ，则 的图象关于直线 对称，
正确；
对于③：取 ，则 与 在 上都单调递增，正确
故选：D.
12．C
【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD.
【详解】函数 为幂函数，则 ，解得 或 .当 时， 在区间 上单调递增，不满足条件，排除A；
当 时， 在区间 上单调递减，满足题意.
函数 在 和 上单调递减，但不是减函数，排除B；
因为函数定义域关于原点对称，且 ，
所以函数 是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
13．AB
【解析】通过换元法，设 ，方程化为关于 的二次方程 的根的情况
进行分类讨论.
【详解】设 ，方程化为关于 的二次方程 .
当 时，方程 无实根，故原方程无实根.
当 时，可得 ，则 ，原方程有两个相等的实根 .
当 时，方程 有两个实根 ，由 可知， ， .
因为 ，所以 无实根， 有两个不同的实根.
综上可知：A，B项正确，C，D项错误.
故选：AB
【点睛】此题考查方程的根的问题，利用换元法讨论二次方程的根的分布，涉及分类讨论
思想.
14．ABC
【分析】令 ，先分析函数 的奇偶性，再分情况讨论 的奇偶性，
然后逐项分析四个选项即可求解.
【详解】令 ，则 ，故 为偶函数.
当 时，函数 为偶函数，且其图象过点 ，显然四个选项都不满足.当 为偶数且 时，易知函数 为偶函数，
所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，则选项 ， 符合；
若 为正偶数，因为 ，
则 ，当 时， ，所以函数 在
上单调递增，又因为函数 为偶函数，所以函数 在 上
单调递减，选项 符合；若 为负偶数，易知函数 的定
义域为 ，排除选项 .
当 为奇数时，易知函数 为奇函数，
所以函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则选项 符合，
若 为正奇数，因为 ，
则 ，当 时， ，所以函数 在
上单调递增，又因为函数 为奇函数，所以函数 在 上
单调递增，选项 符合；
若 为负奇数，函数 的定义域为 ，
不妨取 ，则 ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；当 趋向于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幂函数的快，所以 趋向于正无穷；
所以 内 先减后增，故选项 符合.
故选： .
15．ABD
【分析】利用函数性质相关的定义以及复合函数的同增异减性质逐项分析.
【详解】对于A， ， 是减函数， 在 是减函
数，
在 是增函数，根据复合函数同增异减的性质，在 时是增函数，正
确；
对于B， ，是奇函数，正确；
对于C， ，当 时， 并且是减函数，
所以 是增函数，错误；
对于D， ，相当于函数 先向左平移2个单位，再向上平
移2个单位，
而 是关于原点对称的，所以 是关于 对称的，正确；
故选：ABD.
16．ABD
【分析】利用作差法可判断AB，根据幂函数单调性可判断C，根据基本不等式可判断D.
【详解】A： ，
∵ ， ，
， ，故A正确；B： ，
∵ ，∴ ，
，故B正确；
C： 时， 在 单调递减，∵ ，故C错误；
D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴ ，∵a≠b，故等号取不到，
故 ，故D正确.
故选：ABD.
17．
【分析】分析函数 的性质，借助函数单调性和代入求解不等式作答.
【详解】当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 是增函数，且 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，而 ，
则当 ，即 时，恒有 成立，则 ，
当 时， ，不等式化为 ，解得 ，
则 ，
所以不等式 的解集为 .
故答案为：
18．3
【解析】利用幂函数的定义与性质求得 ，将 代入，利用对数的运算法则化简得解.
【详解】 在 上为增函数，
，解得 (舍去），
故答案为：3.
【点睛】正确理解幂函数的定义求得 的值和熟练运用对数恒等式是关键.
19．
【分析】根据 ， ， ，由 求解.
【详解】因为对 ， ， ，
所以只需 即可，
因为 ， ，
所以 ， ，
由 ，
解得
故答案为： .
【点睛】本题主要考查不等式恒能成立问题以及函数的最值的求法，属于中档题.
20．
【分析】求出点 、 的坐标，代入相应的幂函数解析式，求出 、 的值，即可得解.
【详解】直线 与 、 轴的交点分别是 、 ，
因为 ， 是线段 的三等分点，可得 ， ，且 与函数 、 的图像交点分别是 、 ，其中 ，
所以 ，解得 ，所以， .
故答案为： .
21．
【分析】根据题意求得 ，把不等式转化为 ，即 ，结合
题意，分 、 和 ，三种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，当 时，则 ，
因为函数 为偶函数，可得 ，
因为 时， ，所以 ，
又由 ，即 ，即 ，即 ，
因为 时，不等式 恒成立，
当 时， ,满足条件；
当 时，不等式解得 或 ，则满足 或 ，解得 ；
当 时，不等式解得 或 ，则满足 或 ，解得 ，
综上可得 或 或 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
22．
【解析】根据题意，由幂函数的单调性分析可得 、 或 ，据此验证函数 的
奇偶性，即可得答案．【详解】解：根据题意，函数 为幂函数，
若函数 在 上递减，必有 ，则 、 或 ，
当 时， ，为偶函数，符合题意，
当 时， ，为奇函数，不符合题意，
当 时， ，为非奇非偶函数，不符合题意；
则 ；
故答案为： .
【点睛】本题考查幂函数的性质，注意幂函数的单调性以及奇偶性的分析，属于基础题．
【三层练能力】参考答案
1．A
【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确， ，因为 是 的极值点，
是 的极值，所以 ，即 ，解得： ，因为点 在曲线
上，所以 ，即 ，解得： ，所以
， ，所以 ，因为 ，所
以 不是 的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．
2．D
【详解】试题分析：由已知 ，得 或 ．当 时， ，当时， ．又 在 单调递增，∴ ．∴ 在 上的值域为 ，
在 上的值域为 ，∴ ，∴ ，即 ．故选D.
考点：1、幂函数的定义和性质；2、函数的单调性及值域.
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，函数的单调性及函数的值域的求法，属
于难题.求函数值域的常见方法有 ①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函
数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常
用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：
借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件
“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区
间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最
低点求最值，本题主要是利用方法④求出两函数值域后再根据题意解答的.
3．ACD
【分析】利用两角和的余弦公式及二倍角公式展开化简 即可判断选项A；令 ，
则 ，根据三角函数的有界性得到 ，进而判断B选项；令
，其中 ， ，问题转化为 ，根据二次函数的最值证明上式
成立即可；求解方程 得到 或 或 ，比较大小得到
， ， ，再验证 是否成立即可.
【详解】
，A对令 ，则 ， ，则 ，B错；
令 ，其中 ，
，即
∴
由 可得
，即 ，∴
∴ ，C对；
令 ， ，
，即
即
∵ ，∴ 或 或
令 ， ， ， ，
∴ 的根都在 ，∴ ， ，
，D对
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查学生三角函数，二次函数的相关性质的问题，主要考查学生分析问
题解决问题的能力，对学生的要求比较高，属于难题，在做此类目时不要慌张，静下心来，慢慢分析就可以找到题目的突破口.
4．
【分析】由分段函数解析式，可分 、 、 三种情况分别写出
与 ，结合 ，可得 关于 的表达式，再由函数的单调性求
解 的取值范围．
【详解】当 时，则 ，
可得 ，即 ，求得 ，
则 ，
函数 在 上递增， ；
当 时， ，
，可知不存在 ，使得 ；
当 时，则 ，
由 ，得 ，
令 ， ，则 ，
， ，
，则 ，即 ，函数 在 上单调递增，可得 ，
即 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点睛：本题的关键通过分 、 以及 进行讨论，
通过构造函数利用其单调性得到范围.
5．
【分析】利用 的单调性，讨论 的大小关系，判断原不等式是否成立，即可
得解集.
【详解】由题设， ，而 在R上递增，
当 即 时， ，原不等式不成立；
当 即 时， ，原不等式恒成立.
综上，解集为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：注意构造 ，根据幂函数的单调性，讨论 大
小关系求解集.
