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专题07 球体小题综合
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）表面积为 的球内切于圆锥，则该圆锥
的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出圆锥内切球的半径，设圆锥顶点为 ，底面圆周上一点为 ，底面圆心
为 ，内切球球心为 ，内切球切母线 于 ，底面半径 ， ，则
，求出 ，再换元利用基本不等式求出函数的最小值得解.
【详解】设圆锥的内切球半径为 ，则 ，解得 ，
设圆锥顶点为 ，底面圆周上一点为 ，底面圆心为 ，内切球球心为 ，
轴截面如下图示，内切球切母线 于 ，底面半径 ， ，则
，
又 ，故 ，
又 ，故 ，
故该圆锥的表面积 为，
令 ，所以 ，
所以 .
（当且仅当 时等号成立）
所以该圆锥的表面积的最小值为 .
故选：B
2．（2023·浙江金华·统考模拟预测）在半径为 的实心球 中挖掉一个圆柱，再将该圆柱重新熔成一个球 ，则球 的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知求出球的半径，设圆柱的底面半径为 ，则高为 ，写
出圆柱的体积，利用基本不等式求最值，即可得到满足条件的 值,结合球的体积以及
表面积公式即可求解.
【详解】由球的半径为 ，如图，
设圆柱的底面半径为 ，则高为 ，
．
当且仅当 ，即 ， 时，上式取等号,此时圆柱的体积为 ，
（或者令 ，当
，所以 在 单调递增，在 单调递减，
故当 取最大值4，故当 时， 取最大值4）
要使熔成一个球 的表面积最大，则半径最大，则体积最大即可,
因此熔成的球 的体积也是 ，故球 的半径为 ,
所以球 的表面积为
故选：D．3．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形 沿对角线
折起，当四面体 体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当平面 平面 时，四面体 的高最大，并利用导函数讨论体
积的最大值，构造长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求
解.
【详解】不妨设菱形的边长为 ， ， ，
外接球半径为 ，内切球半径为 ，
取 中点为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
当平面 平面 时，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
此时四面体 的高最大为 ，
因为 ，所以所以 ，
，
令 解得 ，
令 解得 ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
所以当 时 最大，最大体积为 ，
此时 ，
以四面体的顶点构造长方体，长宽高为 ，
则有 解得 ，所以 ，
所以外接球的表面积为 ，
又因为 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以内切球的表面积为 ，
所以内切球和外接球表面积之比为 ，故选:C.
4．（2023·浙江·统考一模）已知体积为 的四面体 中， 平面ABC，
，其外接球半径的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】将四面体ABCD补形为长方体 ，设 ，由
已知可得 ，确定四面体ABCD的外接球的球心及半径，结合数量积的性质求
外接球半径的最小值.
【详解】将四面体补成长方体 ，
因为 ，所以四边形 为平行四边形，
设 ，则 分别为 的中点，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
取 的中点为 ，因为
所以 ，同理可得 ，
所以点 为四面体 的外接球的球心，
设 ，则 ，
因为四面体 的体积为 ， 平面ABC， ，
所以 ，故 ，
所以 ，故 ，
当 时取到最值．
故选：B.5．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）马剑馒头在我市很有名，吃起来松软有韧劲，特
别受欢迎.某马剑镇馒头商家为了将马剑馒头销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，
决定走少而精的售卖方式，争取让马剑馒头走上高端路线，定制了如图所示由底面圆
半径为 的圆柱体和球冠（球的一部分，球心与圆柱底面圆心重合）组成的单独包
装盒（包装盒总高度为5cm），请你帮忙计算包装盒的表面积（ ）（单位：平方厘
米，球冠的表面积公式为 ，其中R为球冠对应球体的半径，h为球冠的高）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出球冠的高，可得圆柱的高，根据圆柱的侧面积公式以及底面圆面积以及
球冠的面积公式即可求得答案.
【详解】如图，由题意知包装盒总高度为 ，即球冠所在球的半径为 ，
圆柱底面圆的半径为 ，设球冠的高为 ，
则 ，即 或 （舍去），
故圆柱高为 ，
故包装盒的表面积为 ，故选：D
6．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知三棱锥 的体积为 ，
外接球面积为9π，且 ， ， ．则直线AB，AP所成角的最小正
弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面 所成角的最小正弦值，
由外接球面积公式可求出外接球的半径，再由三棱锥 的体积公式可求出三棱
锥 的高，当 时， 最小，求解即可.
【详解】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面 所成角的最小正弦值，
由 ， ， ，
由余弦定理可得： ，
故 ，则 ，
又因为外接球面积为9π，设外接球的半径为 ，
所以 ，解得： ，
设 是球心， 是 的外心， 是 在平面 的投影，
，解得： ，则 ， ，由 ，
由 ，
当 时， 最小，此时
，
则 .
故选：A.
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术･商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，
邪解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑，”阳马，是底面为长方形或正方形，有一条侧
棱垂直底面的四棱锥.在 底面 ，且底面 为正方形的阳马中，若
，则（ ）
A．直线 与直线 所成角为
B．异面直线 与直线 的距离为
C．四棱锥 的体积为1
D．直线 与底面 所成角的余弦值为
【答案】B
【分析】把阳马补形成正方体，求出异面直线夹角判断A；求出线面距离判断B；求
出四棱锥体积判断C；求出线面角的余弦判断D作答.
【详解】由 底面 ，底面 为正方形，而 ，则阳马可补形成
正方体 ，如图，对于A，由 底面 ， 底面 ，则 ，因此直线 与 所
成角为 ，A错误；
对于B，连接 ， 平面 ， 平面 ，则有 平面
，
从而异面直线 与直线 的距离等于直线 与平面 的距离，
取 的中点 ，连接 ，则 ，而 平面 ，
平面 ，于是 ，又 平面 ，
因此 平面 ，所以直线 与平面 的距离为 ，B正确；
对于C，四棱锥 的体积 ，C错误；
对于D，连接 ，则 是直线 与底面 所成的角，而 ，
因此 ，D错误.
故选：B
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中记
载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面 为正方形， 平面
，四边形 为两个全等的等腰梯形， ，且 ，
则此刍甍体积的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在 上取两点 、 ，使得 ，且 ，在 上取两点 、 ，
使得 ，且 ，将刍甍分为两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，进而
表示体积为 ，设 ， ，利用导数
分析单调性，进而求解最大值即可求解.
【详解】在 上取两点 、 ，使得 ，且 ，
在 上取两点 、 ，使得 ，且 ，
则四棱锥 和 体积相同，
取 、 中点 、 ，正方形 中心 ， 中点 ，连接 ，
根据题意可得 平面 ， ，点 是 的中点，
设 ，则 ， ， ， ，
在等腰 中， ， ，
同理 ，
则等腰梯形 的高为 ，
所以刍甍的体积为，
令 ， ，
则 ，
令 ，即 ；令 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， ，
所以 .
故选：B.
9．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为
6，下底半径为1，高为 ，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，
则可放入的铁球的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出表面积最大时的剖面图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直
角坐标系，
设圆心坐标为 ，利用圆心到腰所在直线等于半径列出方程，解出即可.
【详解】表面积最大时，沿上下底面直径所在平面作出剖面图如图所示，
显然此时圆 与等腰梯形 的上底以及两腰相切，则建立如图所示直角坐标系，由题意得 ， ，则 ，
则直线 所在直线方程为 ，即
设 ，表面积最大时球的半径为 ，
则 ，则点 到直线 的距离等于半径 ，
则有 ，
解得 或 ， ，
，此时 ，
则
故选： .
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形 中，
，取 中点 ，将 沿 翻折（如
图2），记四面体 的外接球为球 （ 为球心）. 是球 上一动点，当直线
与直线 所成角最大时，四面体 体积的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先得到球心 在 的中点，然后当 与球 相切时直线 与直线 所
成角的最大，过 作 垂足为 ，当 平面 时四面体 体积取
得最大值，即可求出答案.
【详解】由题意可知， 均为等腰直角三角形，所以四面体 的外接
球的球心 在 的中点，
因为 是球 上的动点，若直线 与直线 所成角的最大，则 与球 相切，
，此时， 最大，
因为 ， ，所以 ，
过 作 垂足为 ，则 在以 为圆心， 为半径的圆上运动.
所以当 平面 时四面体 的体积取得最大值.
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：D.
11．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知直角梯形，点 在边 上.将 沿
折成锐二面角 ，点 均在球 的表面上，当直线 和平
面 所成角的正弦值为 时，球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设知 共圆，并确定外接圆圆心 位置，由已知求得 到直线
的距离 且 面 ，进而有面 面 ，确定 的形状，
△
找到外接圆圆心，利用几何关系求外接球半径，进而求表面积.
【详解】由题设知： ，设点 到面 的距离为 ，则 ，故
，
要使 均在球 的表面上，则 共圆，
由直角梯形 ，则 ，所以 ，
所以 ，故 在绕 旋转过程中 面 ， 面 ，
所以面 面 ，即 到面 的距离为 ，即 到直线 的距离，
沿 折成锐二面角 ，过 于 ，则 ，
又 ，则 ，故 ，即 ，
综上， 、 都是以 为斜边的直角三角形，且 ，
△ △所以 ，易知： 为等边三角形，则 为 中点，故 ，
△
，
在 中， ，而 ，即 为 的中点，
△
同时 ，若 为 的中点，即 为 外接圆圆心，
△ △
连接 ，则 且 ，故 面 ，且 为等边三角
△
形，
球心 是过 并垂直于面 的直线与过 外接圆圆心垂直于面 的直线
交点， △
若球 的半径为 ，则 ，所以球的表面积 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：确定 共圆、面 面 为关键，利用几何关
系求外接球半径.
12．（2023·浙江杭州·统考一模）空间中四个点 、 、 、 满足
， ，且直线 与平面 所成的角为 ，则三棱锥
的外接球体积最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求 的外接圆的半径，过 作 平面 于 ，可得 ，
可得当 ， ， 在一直线上时，三棱锥 的外接球体积最大，求解即可．
【详解】设 是三角形 的外接圆的圆心，因为 ，所以 是
正三角形，则三棱锥 的外接球的球心 在过 且与平面 垂直的直线 上，
由题意可得 ，过 作 平面 于 ，
直线 与平面 所成的角为 ， ， ，
故 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
当球心 到 的距离最大时，三棱锥 的外接球体积最大，
所以 在 延长线上时，三棱锥 的外接球体积最大，
设 的中点为 ，连接 ，则 ， ，
又 ， ，
所以 ， ，
，
三棱锥 的外接球体积最大为 .
故选：C．
13．（2023·浙江金华·模拟预测）三棱锥 中，
，则三棱锥 的外接球表面积的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将三棱锥 画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系 ，由题目条件分析出点P的轨迹方程，再有三棱锥 的外接球的球心 满足
，找到球心 满足的条件，再求出其最值，从而找到半径的最小值，解决
问题.
【详解】
如图，将三棱锥 画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系 ，
由 ，由 面 ，可知P点在面 上，
又 ， 面 ，所以 为直角三角形，
故 ，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在 上的圆，
设点 ，则 —①，
因为 为等腰直角三角形，所以三棱锥 的外接球的球心 在直线 上，
设点 ，由 ，得 —②，
联立①②得： ，
设过点 和点 的直线斜率为 ，则 ，
由直线与圆相切，可得 ，
则 ，所以 ，所以 ．
故选：C14．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，平面四边形ABCD中， ，
为正三角形，以AC为折痕将 折起，使D点达到P点位置，且二面角
的余弦值为 ，当三棱锥 的体积取得最大值，且最大值为
时，三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点 作 平面 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，连接 ，
则 为二面角 的补角， 为 的中点，设 ，根据二面角
的余弦值可求得 ，再根据三棱锥 的体积取得最大值结合基
本不等式求出 ，再利用勾股定理求出三棱锥 外接球的半径，根据球的体积公
式即可得解.
【详解】过点 作 平面 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
则 为二面角 的补角，故 ，
因为 ，所以 为 的中点，
设 ，则 ，
在 中， ，则 ， ，由 ，
得当 取得最大值时，三棱锥 的体积取得最大值，
，
当且仅当 时，取等号，
所以 ，解得 ，
则 ，
设三棱锥 外接球的球心为 ，则 平面 ，
设 ，
由 得 ，解得 ，
则三棱锥 外接球的半径 ，
所以三棱锥 外接球的体积为 .
故选：D.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原
到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求
解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离
相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.
15．（2023·浙江·统考二模）已知等腰直角 的斜边 分别为
上的动点，将 沿 折起，使点 到达点 的位置，且平面 平面
.若点 均在球 的球面上，则球 表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设 共圆（ 不与 重合），进而确定 ，找到△
，四边形 外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，
设 且 ，求外接球半径最小值，即可得结果.
【详解】由点 均在球 的球面上，且 共圆（ 不与 重合），
所以 （ 不与 重合），
又 为等腰直角三角形， 为斜边，即有 ，
如上图，△ 、△ 、△ 都为直角三角形，且 ，
由平面图到立体图知： ， ，
又面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 面 ，同理可得 面 ，
将 翻折后， 的中点 分别为△ ，四边形 外接圆圆心，
过 作 面 ，过 作 面 ，它们交于 ，即为 外接球
球心，如下图示，
再过 作 面 ，交 于 ，连接 ，则 为矩形，
综上， ， ，则 为 中点，所以 ，而 ， ，
令 且 ，则 ，故 ， ，
所以球 半径 ，
当 时， ，故球 表面积的最小值为 .
故选：D
16．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在 中， ， ， ， 为
中点，若将 沿着直线 翻折至 ，使得四面体 的外接球半径
为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定 为等边三角形，利用正弦定理可
确定 外接圆半径，由此可知 外接圆圆心 即为四面体 外接球
球心，由球的性质可知 平面 ，利用 可求得点 到平面
的距离，由此可求得线面角的正弦值.
【详解】 ， ， ， ，又 为 中点，
，则 ，即 为等边三角形，
设 的外接圆圆心为 ， 的外接圆圆心为 ，取 中点 ，连接
，， ， ，即 外接圆半径为 ，
又四面体 的外接球半径为 ， 为四面体 外接球的球心，
由球的性质可知： 平面 ，又 平面 ， ，
， ， ；
设点 到平面 的距离为 ，
由 得： ，
又 与 均为边长为 的等边三角形， ，
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面
角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程
求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.
17．（2023·浙江·校联考二模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面
垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．现有鳖臑
，其中 平面ABC， ，过A作 ， ，记四面体
，四棱锥 ，鳖臑 的外接球体积分别为 ， ，V，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】记四面体 ，四棱锥 ，鳖臑 的外接球半径分别为 ，， ，记 ， ， ，先证明 面 ，从而得到 ，
， ，再根据 ，从而得到 ，再构造函数
，其中 ，再利用导函数分析函数的单调性，进而即可求得其
值域．
【详解】记四面体 ，四棱锥 ，鳖臑 的外接球半径分别为 ，
， ，
记 ， ， ，
在鳖臑 中，有 ， ，
又 ， 平面 ，则 面 ，
又 面 ，则 ，
又 ，且 ， 面 ，所以 面 ，
所以 ， ， ，
又 ，即 ，
所以 ，令 ，其中 ，则 ，
所以当 时， ，此时 单调递减；当 时， ，此时
单调递增，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ；根据对称性，当 ，即 时，
，
所以 ，即 ．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：先根据题意得到 ，再构造函数
，其中 ，利用导函数分析函数的单调性，进而求得其值域是
解答本题的关键．
18．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢
山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建
的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，
中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，
最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型
中九个球的表面积和为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关
系得到另外两个球的半径，得到答案.
【详解】如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 ，
，
过点 作 ⊥底面 ，垂足在 上，且 ，
所以 ，故 ，
点 为最大球的球心，连接 并延长，交 于点 ，则 ⊥ ，
设最大球的半径为 ，则 ，
因为 ∽ ，所以 ，即 ，解得 ，
即 ，则 ，故
设最小球的球心为 ，中间球的球心为 ，则两球均与直线 相切，设切点分别为
，
连接 ，则 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为 ，
则 ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ，
又 ，故 ，解得 ，
所以 ，
模型中九个球的表面积和为 .故选：B
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于
外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问
题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小
圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径
19．（2023·浙江·校联考三模）已知半径为4的球 ，被两个平面截得圆 ，记两
圆的公共弦为 ，且 ，若二面角 的大小为 ，则四面体
的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的性质及球的截面的性质，利用正弦定理、余弦定理，均值不等式及
三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】设弦 的中点为 ，连接 ，依题意，可得如下图形，由圆的性质可知 ，则 即为二面角的平面角，
故 ，
四面体 的体积为
，
其中
，当且仅当 时取等号，
由球的截面性质， ， ，
所以 四点共圆，则有外接圆直径 ，
从而 ，
.
故选：C
二、填空题
20．（2023秋·浙江·高三校联考期末）将边长为2的正方形纸片折成一个三棱锥，使
三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则
该球的体积为________．
【答案】
【分析】先考虑如何将正方形折成三棱锥，求出底面三角形的外心，过外心作底面的
垂线，则球心必定在该垂线上，再利用几何关系求出外接球的半径.
【详解】如图1，分别取AD和AB的中点E，F，连接CE，CF，将正方形ABCD沿CE和CF折起，使
得A，B，D重合，构成三棱锥P-CEF，如图2，
由于PE，PF，PC两两垂直，可以补成如图3所示的长方体：
由图1的折法可知： ，长方体的外接球就是三棱锥P-CEF的外接
球，
长方体的对角线长= ，外接球的半径r= ，外接球的体积
；
故答案为： .
21．（2023·浙江·二模）若圆台 的上底面面积为下底面面积的一半，体积为 ，表面
积为 ，则 的最大值是______.
【答案】【分析】设圆台的上底面半径为 ，母线长为 ，求出 和 ，再求出 关于 的
解析式，构造函数利用导数求出最值可得结果.
【详解】依题意设圆台的上底面半径为 ，母线长为 ，则下底面半径为 ，
圆台的高 ， ，
，
所以 ,
由 ，得 ， ，
设 ， ，
，
令 ，得 ，解得 或
(舍)，
当 时， ，当 时， ，
所有 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以当 时， 取得最大值
，所以 的最大值为 .
故答案为： .
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）在长方体 中，
，过 且与直线 平行的平面 将长方体分成两部分，现
同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 变化的过程中，当两个球的半
径之和达到最大时，此时较小球的表面积为________．
【答案】 /
【分析】用 的三角函数将两圆的半径分别表示出来，构造新函数，通过函数单
调性求得问题的最值，即可求出取得最值时 的值，进而求出 ，再由球的表面积公
式求解即可.
【详解】如图所示：平面 将长方体分成两部分， 有可能在平面 上或
平面 上，根据对称性知，两球半径和的最大值是相同的，故仅考虑在平面
上的情况，延长 与 交于点 ，作 于 点，
设 ，圆 对应的半径为 ，根据三角形内切圆的性质，
在 中， ， ， ，则 ，又当 与 重合时， 取得最大值，
由内切圆等面积法求得 ，则
设圆 对应的半径为 ，同理可得 ，
又 ，解得 .
故 ， ，
设 ，则 ， ，
由对勾函数性质易知 ，函数 单减，
所以当 时， 取得最大值，即两个球的半径之和达到最大，
此时 ，则 ，则 ，
，且 ，则小球的表面积为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：借助三角函数表示边长，从而把问题转化为函数问题，借助单调
性解决最值问题，从而求出较小球的表面积.
23．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，
， 是边长为 的正三角形，三棱锥 的体积为 ， 为
的中点，则过点 的平面截球 所得截面面积的最小值是______.
【答案】
【分析】先根据条件可证明 ， ， ，故三棱锥 放入
正方体中，正方体的外接球即是三棱锥 的外接球，从而即可求出球 的半径，过点 的平面截球 所得截面面积的最小时，截面与 垂直，求得截面圆半径 即可．
【详解】设 在底面 上的射影为 ，如图，
因为 ，由 全等得 为 的中心，
由题可知， ，由 ，解得
在正 中，可得 .
从而直角三角形 中解得 .
同理 ，又 是边长为 的正三角形，
所以 ，则 ，同理 ， ，
因此正三棱锥 可看作正方体的一角，
正方体的外接球与三棱锥 的外接球相同，正方体对角线的中点为球心 .
记外接球半径为 ，则 ，
过点 的平面截球 所得截面面积的最小时，截面与 垂直，此时截面圆半径 满足
，
由 得 ，所以 ，所以截面面积的最小值为 .
故答案为：
24．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）正方体 的棱长为 分别为
上的点， ， 分别为 上的动点.若点 在同一球面上，当 平面 时，该球的表面积为__________.
【答案】
【分析】建立适当的空间直角坐标，求出平面 的法向量 ，根据 平面 ，
可得 ,进而求出 的坐标，再跟据外接球球心O在过 的外心且垂直面
ABP的垂线MN上，结合球心到球面上任何一点的距离都相等，即可求出半径以及球
的表面积.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则
,
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，令 ，解得 ，所以 ，
又 平面 ，所以 ,所以 ，
解得： ，
再根据下图：作 的平行线 , 分别为 的中点，连接 ,
因为 为直角三角形，故 的外接球球心 在过 的外心且垂直面
的垂线 上，
连接GO,根据球心到球面上任何一点的距离都相等，
故 ,故 ,由题可设 ， ,所以 ，又 ,
所以 ,解得： ，所以
所以 ,
所以球的表面积为 ,
故答案为：
【点睛】关键点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.
对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的
问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆
的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.
25．（2023·浙江·高三专题练习）正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足
，记四面体ABCD的内切球为球 ，四面体PBCD的外接球为球 ，则
_________．
【答案】
【分析】设点 为 的中心，连接 ，并延长 交 于点 ，则 平面
，点 为 的中点， ，四面体ABCD的内切球的球心 在 上，且四面体PBCD的外接球的球心 在 上，利用等体积法求出四面体ABCD的内
切球的半径为 ，即 ，记 的中点为 ，根据 求出
，即可得出 ，即可得解.
【详解】如图，设点 为 的中心，则 平面 ，连接 ，并延长
交 于点 ，则点 为 的中点， ，
则四面体ABCD的内切球的球心 在 上， 且四面体PBCD的外接球的球心 在
上，
设四面体ABCD的内切球的半径为 ，
，
则 ，
又 ，
则 ，解得 ，即 ，
由四面体PBCD的外接球的球心 在 上，得 ，
记 的中点为 ，则 ， ，
，所以 ，
则 ，所以 .
故答案为： .【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切
点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．
(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB
＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2
求解．
(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观
图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
