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专题11 函数与导数小题综合
一、单选题
1．（2023·浙江·校联考三模）已知 ，且满足 ，则下列判断
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过取特殊值，可判断ABC错误，根据导数可判断D正确.
【详解】因为 ，且满足 ，
不妨取 ，则 ，显然 ，所以有 ，又 ，
所以 ，故可排除BC，再取 ，则 ，
显然有 ，所以 ，故选项A也可排除.
对于D， ，
当 时，设 ，则 ，
故 在 上为增函数，故 ，
故 即 ，
同理可证： 时， 也成立，故 ，故D成立.
故选：D.
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）在函数 ， ，， 中，既是奇函数又是周期函数的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设 ， ，首先判断出 的奇偶性与周期性，再分别判断
的奇偶性与周期性即可．
【详解】设 ， ，
因为 ，
所以 是 上的奇函数，显然 不是周期函数；
对于 ， ，
因为 ，
所以 为奇函数，
又因为 ，
所以 是周期函数；
对于 ， ，
因为 ，
所以 为偶函数，
又因为 ，
所以 是周期函数；
对于 ， ，
因为 ，所以 在定义域内为奇函数，
又因为 ，
所以 是周期函数；
综上所述， ， 既是奇函数又是周期函数，
故选：C．
3．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数 同时满足性质:① ;②当
时, ,则函数 可能为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】① 说明 为偶函数，② ,说明
函数在 上单调递减,再逐项分析即可.
【详解】① 说明 为偶函数，② ,说明
函数在 上单调递减.
A不满足②，B不满足①，
C不满足②,因为 在 单调递减，在 单调递增.
对于D,满足①,当 ,单调递减,也满足②.
故选：D.4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】B
【分析】方法一：可得 ，即可得到函数 关于 对称，从而得到
为偶函数；
方法二：求出 的解析式，即可判断.
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
所以函数 关于 对称，将 的函数图象向左平移 个单位，关于 轴对称，
即 为偶函数.
方法二：因为 ， ，
则 ，所以 为偶函数；
又 ，故 ， ，
所以 ， ，故 为非奇非偶函数；
又 ，故 ， ，
所以 ， ，故 为非奇非偶函数；
又 ，故 ， ，所以 ， ，故 为非奇非偶函数.
故选：B
5．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数 的导函数 的图象，
若 ，则 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导函数的图象在区间 内的函数的范围，判断出函数 区间
上各点处切线的斜率的范围，根据导函数的图象得导函数函数值的符号，得函数
的单调性，再结合四个选项可得答案.
【详解】由 的图象可知，当 时， ，则在区间 上，函
数 上各点处切线的斜率在区间 内，
对于A，在区间 上，函数 上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；
对于B，在区间 上，函数 上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；
对于C，在区间 上，函数 上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C
不正确；
对于D，由 的图象可知，当 时， ，当 时，
，当 时， ，
所以函数 上各点处切线的斜率在区间 内，在 上单调递增，在 上
单调递减，在 上单调递增，
而函数 的图象均符合这些性质，故D正确.
故选：D
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数 ，其中 ，
则满足 的 取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数分析可知函数 在 上为减函数，令 ，可
知 在 上为减函数，由 可得出 ，即可得出原不等
式的解集.
【详解】因为 ，当 时， ，
则 ，
所以，函数 在 上单调递减，故 ，当 时， ，显然函数 在 上为减函数，
此时， .
因为 ，
令 ，其中 ，
则 ，
所以，函数 在 上单调递减，故 ，
综上可知，函数 在 上为减函数，
令 ，则函数 在 上单调递减，
又因为 ，所以， 等价于 ，
结合函数 的单调性可得 ，故原不等式的解集为 .
故选：A.
7．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有
在定义域内恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数研究 单调性，得极小值 ，将问题转
化为 在 上恒成立，再应用导数研究左侧的最小值，即可求解.
【详解】由题设 且 ，令 ，则 ，
所以 在 上递增，显然 趋向0时 趋向 ， ，故 使 ，即 ，则 ，
所以，在 上 ， 递减；在 上 ， 递增；
故 ，
要 在 上恒成立，则 ，即 恒成立，
令 且 ，则 ，故 时 ， 时 ，
所以 上 递减， 上 递增，则 ，
且当 时， ,
综上， ，可得 .
故选：C
8．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设 ， ，已知函数
， 有且只有一个零点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设函数 的零点为 ，可得 ，由此可得点 在直线
上，由此可得 ，再利用导数求其最小值.
【详解】函数 的零点为 ，
则 ，且 ，即 ，
所以点 在直线 上，又 表示点 到原点的距离的平方，
故 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
故 ，
设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以当 时， ，
故当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 .
所以当 ， 时， 取最小值，最小值为 .
所以当 时， 的最小值为 .
故选：B.
【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，
两点之间的距离，利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想.
9．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数 ， ，若存在 ，使得 成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设知 ，研究 的单调性及最值，画出函数图象，数形
结合确定 、 的交点个数得 ，进而将目标式化为
且 ，构造函数研究最小值即可.
【详解】由题设 ，即 ，
由 ，则 上 ， 递减； 上 ， 递增；
，且 ， 图象如下：
由图知： 时， ，即 且 ，所以 ，
令 且 ，则 ，
时， ， 递减； 时， ， 递增；
所以 ，即 的最小值为 .
故选：A
【点睛】关键点睛：利用同构得到 ，导数研究 的性质，结合
得到 为关键.
10．（2023·浙江·高三专题练习）已知 在 上恒成立，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】先将条件转化为 在 上恒成立，再构造函数
， ，分 ， 两种情况讨论，再结合导函数分析
函数的单调性，进而即可求解．
【详解】 在 上恒成立，等价于 在 上
恒成立，
等价于 在 上恒成立，
令 ， ，
当 时，则 在 上单调递增，则若 时， ，不符合题意；
当 时，则 ，
若 时， ，此时 单调递增；
若 时， ，此时 单调递减，所以
，
则 ，即 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 的最小值是 ．故选：D．
11．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知正数 满足 为自然对数的底数，
则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题设 且 ，构造 、 ，利
用导数、零点存在性定理判断在 上的函数值符号，即可得答案.
【详解】由题设 ，则 ，且 ，则 ，
令 且 ，故 ，
令 ，则 在 上递增，故 ，
所以 在 上递增，故 ，
所以 在 上递增，故 ，
即 在 上恒成立，故 ，A错，B对；
对于 的大小关系，令 且 ，而 ， ，
显然 在 上函数符号有正有负，故 的大小在 上不确定，
即 的大小在 上不确定，所以C、D错.
故选：B
12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知 ，且满足
，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】变形给定的等式，构造函数 ，利用导数探讨单调性，借助
单调性比较大小作答.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
令函数 ，显然 ，求导得
，
当 时， ， 单调递减，当 时， 单调递增，
于是 ，即有 ，而 ，
所以 .
故选：B
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘
问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到
化难为易、化繁为简的作用.
13．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）设 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据 ， ，得到 ，再构造函数，比较出
，得到结论.
【详解】 ，， ，
下证 时， ，
设 ，射线 与单位圆 相交于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点D，
单位圆与 轴正半轴交于点 ，过点 作 ⊥ 轴，交射线 于点 ，连接 ，
则 ，
设扇形 的面积为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
故 ，所以 ， ，
所以 ，
因为 ，令 ， ，
则 ，其中 ，
令 ，则 ， ，
令 ，则 在 上恒成立，则 在 上单调递增，又 ，
故 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，又 ，
故 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以 ，即 ，
则
因为 ，
令 ， ，
则 ，令 ，
则 ，令 ，
则 ，令 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 单调递减，
又 ，故 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，
又 ，故 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，
又 ，故 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
又 ，故 ，即 ，
故 ，
其中 ，
则 ，D正确.
故选：D
【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
， ，
，
，
，
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，则
下列错误的是（ ）A．若 关于 中心对称，则 关于 对称
B．若 关于 对称，则 有对称中心
C．若 有1个对称中心和1条与 轴垂直的不过对称中心的对称轴，则 为周
期函数
D．若 有两个不同的对称中心，则 为周期函数
【答案】D
【分析】根据函数性质结合导数运算逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若 关于 中心对称，则 ，
可得 ，
令 ，则 ，即 ，
则 ，所以 关于 对称，故A正确；
对于选项B：若 关于 对称，则 ，
可得 ，即 ，
令 ，则 ，
即 ，则 关于 对称，故B正确；
对于选项C：若 有1个对称中心和1条与 轴垂直的不过对称中心的对称轴，
设对称中心为 ，对称轴为 ，
则 ，可得 ，
则 ，可得 ，
可得 ，且 ，即 ，
所以 的周期为 ，故C正确；对于选项D：若 有两个不同的对称中心，则 不一定为周期函数，
例如： ，对任意 ，
则有：
，
故 的对称中心为 ，满足题意，
但 ，则 ，
令 ，
则
，
故 为偶函数，
假设 为周期函数，周期为 ，则 ，
则 ，
即
，
整理得 ，
令 ，得 ，
因为 ，则 ，
令 ，得 ，
因为 ，则 ，
可得 ，因为 ，则 ，可得 ，
所以 ，且 .
当 为偶数，则
，
可得对任意 ， 或 ，
且 ，则 ，
可得 或 ，显然对任意 ，均不成立；
当 为奇数，则
，
可得对任意 ， 或 ，
且 ，则 ，
可得 或 ，显然对任意 ，均不成立；
综上所述：不存在实数 ，使得 .
所以 不是周期函数，故D错误；
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象
的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推
证函数的性质，根据函数的性质解决问题．15．（2023·浙江·高三专题练习）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 进行构造函数 ，利用导数判
断单调性，推出a与1的大小关系，同理判断b与1的关系，判断 的大小范围时采
用分析的方法，结合 的特点，构造函数，利用导数判断单调性，即可判断其范围.
【详解】设函数 ,求导得： ,
∴ 在 上单调递减，所以 ，A错误；
设函数 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
故 ，仅当 时取等号，
即 ，则 时， ，即 ，
所以 ，D错误；
由 ，
下面证明 ，
，即证 ,
令 ，即证： ，即 ，
构造函数 ，即证 ，
由 ，所以 在 上单调递减，则 ，
即证 ，令 ， ，
即 在 上单调递减，故 ，即 成立，
故 成立，所以 ，
故选：B
【点睛】难点点睛：本题比较大小，要明确数的结构特点，确定其中的变量，进而构
造相应的函数，利用单调性进行大小比较，难点是本题解答时要选择恰当的变量，连
续构造相应的函数，进行解答.
二、多选题
16．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知定义域为 的
函数 在 上单调递增， ，且图像关于 对称，则
（ ）
A． B．周期
C．在 单调递减 D．满足
【答案】AC
【分析】根据题意化简得到 ，得到 的周期为 ,结合
，求得 ，得到A正确，B错误；再由 的对称性和单调
性，得出 在 单调递减，可判定C正确；根据 的周期求得
， ， ，结合特殊函数 的值，可判
定D不正确.
【详解】由 ，可得 的对称轴为 ，所以
又由 知： ，
因为函数 图像关于 对称，即 ，故 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 的周期为 ,所以 ，所以 ，
故A正确，B错误；
因为 在 上单调递增，且 ，所以 在 上单调递增，
又图像关于 对称，所以 在 上单调递增，
因为关于 对称，所以 在 上单调递减，
又因为关于 对称，可得函数 在 单调递减，故C正确；
根据 的周期为 ，可得 ，
因为关于 对称，所以 且 ，
即 ，
由函数 在 上单调递减，且关于 对称，可得 在 上单调递增，
确定的单调区间内均不包含 ，若 ，
所以 不正确.
故选：AC.
【点睛】规律探求：对于函数的基本性质综合应用问题解答时，涉及到函数的周期性
有时需要通过函数的对称性得到，函数的对称性体现的是一种对称关系，而函数的单
调性体现的时函数值随自变量变化而变化的规律，因此在解题时，往往西药借助函数
的对称性、奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用
单调性解决相关问题.
17．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数 （ ）是奇函数，
且 ， 是 的导函数，则（ ）
A． B． 的一个周期是4 C． 是偶函数 D．
【答案】BC
【分析】根据函数奇偶性与 可得 ，根据导数的运算可
得 从而可判断B项，根据周期性与奇偶性可判断A项，根据奇偶性与
导数运算可得 ，从而可判断C项，在 中，令 代
入计算可判断D项.
【详解】因为函数 是奇函数， ，
所以 ，
所以 ，即： ，故 的周期为4，
所以 ，故 的一个周期为4，故B项正确；
，故A项错误；
因为函数 是奇函数，
所以 ，
所以 ，即： ，
所以 为偶函数，故C项正确；
因为 ，
所以 ，
令 ，可得 ，解得： ，故D项错误.
故选：BC.
18．（2023·校考模拟预测）已知函数 ，则下列结论中正确的是
（ ）
A．导函数 的单调递减区间为B． 的图象关于点 中心对称
C．过原点 只能作一条直线与 的图象相切
D． 恰有两个零点
【答案】BC
【分析】先求出 ，利用二次函数知识求出函数的单调区间，
可判断A，根据 得到函数的中心对称，可判断B，利用导数的几何
意义建立切点横坐标方程，根据根的个数判断C，再由函数单调性、极值点结合图象
对选项D作出判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则导函数 为对称轴是 ，且开口向上的抛物线，
故其单调减区间为 ，A错误；
因为 ，
所以 的图象关于点 中心对称，B正确；
设过原点 的直线与 相切于点 ，
则 ，整理得 ，
令 ， ，
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
故 有极大值 ，极小值 ，
由三次函数性质得 只有一个解，则过原点 只能作一条直线与 的图象相切，C正确；
令 ，得 或 ，令 ，得 ，
所以函数 有极大值 ，极小值 ，
由三次函数性质得 有三个解，即 有三个零点，
故D错误.
故选：BC
19．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数 与 及其导函数 与 的定义
域均为 ， 是偶函数， 的图象关于点 对称，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】先证明定理1：若函数 连续且可导，则 图象关于直线 对称导函数 图象关于点 对称．定理2：若函数 连续且可导，则 图象关
于点 对称 导函数 图象关于直线 对称．令 ，即可判断A，
D；令 ，即可判断B，C．
【详解】定理1：若函数 连续且可导，则 图象关于直线 对称 导函数
图象关于点 对称．
定理2：若函数 连续且可导，则 图象关于点 对称 导函数
图象关于直线 对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数 图象关于直线 对称，则 ，
则 ，所以导函数 图象关于点 对称．
若导函数 图象关于点 对称，则 ，
令 ，则 ，则 (c为常数)，
又 ，所以 ，
则 ，所以 图象关于直线 对称．
若函数 图象关于点 对称，则 ，
则 ，所以 图象关于直线 对称．
若导函数 图象关于直线 对称，则 ，
令 ，则 ，则 (c为常数)，
又 ，所以 ，
则 ，所以 图象关于点 对称．故下面可以直接引用以上定理．
由 是偶函数， 的图象关于点 对称，则有 ， ，
由定理1，则 图象关于点 对称，所以 ，
和定理2，则 的图象关于 ，所以 ，
对于A，令 ，则 ，所以 ，故A正确；
对于B，令 ，则 ，所以 ，故B正确；
对于C，令 ，则 ，所以 ，故C正确；
对于D，令 ，则 ，所以 ，故D错误．
故选：ABC．
20．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数 ，下列说法正
确的有（ ）
A．若 与 图象至多有2个公共点
B．若 与 图象至少有2个公共点
C．若 与 图象至多有2个公共点
D．若 与 图象至少有2个公共点
【答案】ACD
【分析】对于选项AC，联立方程利用判别式判断该选项正确；对于选项B, 假设 ，
可以判断该选项错误；对于选项D，说明 有两个解即可判断该选项
真假.
【详解】对于选项A. ，所以 与
图象至多有2个公共点，所以该选项正确；对于选项B, 假设 ，则 令 ，
所以 或 ，所以 .所以此时 与
图象只有1个公共点，所以该选项错误；
对于选项C， ，令 ，所以
，此时 与 图象至多有2个公共点，所以该选项正确；
对于选项D, ,令 ，假设
或 ，所以 和 是
的两个解，所以 与 图象至少有2个公共点，
所以该选项正确.
故选：ACD
21．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若函数 为函数 的导函数，且对于任
意实数 ，均有 ，且 ，则（ ）
A．函数 不可能为奇函数 B．存在实数M，使得
C．存在实数N，使得 D．函数 不存在零点
【答案】AC
【分析】根据 为递增的等差数列，进而根据原函数与导数的关
系可得 ，进而可判断BCD，
由奇函数的性质可判断A.
【详解】由 ，且 可知： 为递增的等差数列，设 ，则 ，由于
，所以 ，
由于 ，所以存在正实数 使得 ，所以 ，
则 ，进而 ，
所以存在实数 使得 ，
，
若 为奇函数，则 ，又 ，
这与 矛盾，故函数 不可能为奇函数，故A正确，
由于 ，当 时， 单调
递增，当 时， 单调递减，故当 时， 取极小
值也是最小值，所以 ，故C正确，
由于当 时， ，故B错误，
，所以 有零点 ，故D错误，
故选：AC
22．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）设函数 的定义域为 是 的
极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． B． 是 的极大值点C． 是 的极小值点 D． 是 的极大值点
【答案】BC
【分析】根据极值的定义结合函数的对称性进行判断即可.
【详解】 是 的极大值点．则存在区间 ， ，对任意 有
， 不一定是最大值，A错误；
的图象与 的图象关于 轴对称，因此 ，对任意 有
， 是 的极大值点，B正确；
的图象与 的图象关于 轴对称，因此对任意 有 ，C
正确；
由BC的推理可知 是 的极小值点，D错误．
故选：BC．
23．（2023·浙江金华·统考模拟预测）当 且 时，不等式 恒成立，
则自然数 可能为（ ）
A．0 B．2 C．8 D．12
【答案】BC
【分析】构造函数 利用导数确定单调性进而最值，将问题转化
成 ，进一步由对数运算得 恒成立，即可
代入选项逐一求解.
【详解】由于 且 ，所以 ，所以
，构造函数 ，
当 ，且 时，
故当 当 ，因此 在 单调递减，在
单调递增，故当 时， 取最小值 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
故当 时， 取最大值 ，
当 时，不妨取 ，则 而 ，不满足 ，
故A错误，
当 时， ， ，显然 ，故满
足题意，B正确，
要使 恒成立，则需要 ，即
恒成立即可由于 ，因
此
当 时， ， C正确，
当 时， ，不满足题意，错误，
故选：BC
【点睛】处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量
问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条
件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注
代数式和积关系的转化.
（3）构造函数，利用导数求解最值.
24．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 的图
象关于直线 对称， ，又 ，则
（ ）
A． 为偶函数 B． 的图象关于点 中心对称
C． 是奇函数 D．
【答案】AD
【分析】由 的图象关于直线 对称，可得 为偶函数，可判断A；令
中 ，求出 可判断B；由 可得
的周期为4，故 ，令 等价于 ，可得 为偶函数可判断C；
求出 ，再结合 和 的周期为4可判断
D.
【详解】由 的图象关于直线 对称，
可得 ，即 ，令 ，则 ，即 ，故 为偶函数，A正确；
又因为 ，令 等价于 ，
则 ①，令 等价于 ， ②，
②减①可得： ，故 的周期为4，
又 ，所以 ③，
令 等价于 ，则 ④，因为 为偶函数，
③减④可得： ，故 是偶函数，故C不正确；
令 中 ，可得 ，
解得： ，故B不正确；
令 中 ，可得 ，
因为 ，则 ，
令 中 ，可得 ，
因为 ，则 ，由 ，
因为 的周期为4，且 ，
则 ，
，故D正确.
故选：AD.
25．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 的定义域均为
.若 时 ，且时 ，则（ ）
A． B．函数 的图像关于点 对称
C． D．
【答案】AD
【分析】根据条件先求出 ，再根据 求值判断A，结合
已知 ，然后利用对称中心的概念判断B，根据数列知识及函数性质求
出函数值的和即可判断C、D.
【详解】因为 时 ，
所以 ，
又 时 ，所以 ， ， ，
，
所以 ，
故选项A正确；
由 得 ，
由 知 是奇函数，所以 ，
上面两个式子相加得 ，所以 关于 对称，所以 错误；
，故选项 错误；
由 得
，所以 正确.
故选：AD
26．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知 ，函数
，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】AD
【分析】根据选项的结论，需判断 在 单调递减，故对 求导并根据选项
判断 在 的符号即可.
【详解】由题知 ，令 ，则 ，
所以 即 在 上单调递增.
， .
对于选项A，当 时， ，所以 ，
故 在 恒成立，所以 在 单调递减，从而 ，选
项A正确；
对于选项B，当 时， ，所以 ，
所以 在 不单调，选项B错误；
对于选项C，当 时， ，所以 ，而 ， ，所以 正负无法确定，
所以 在 的单调性不确定，选项C错误；
对于选项D，当 时， ，所以 ，
故 在 恒成立，所以 在 单调递减，从而 ，选
项D正确；
故选：AD.
27．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知函数 的定义域为 的
导函数 的图象关于 中心对称，且函数 在 上单调递增，若
且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，可得函数 的图象对称轴，结合给定等式探求出正数a，b
的关系，再逐项分析判断作答.
【详解】因为函数 的图象关于 中心对称，则有 ，
，
而 ，即 ， ，
，令 ， 为常数，当 时， ，
因此 ， ，即函数 的图象关于直线 对称，又函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递减，
由 ，得 ，A正确；
而 ，即有 ，
，
因此 ，B错误；
显然 ，即 ，则 ，因此 ，C正确；
，D正确.
故选：ACD
28．（2023·浙江·二模）已知 时， ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】BCD
【分析】本题考虑到不等式可以用 ， ， 这3个函
数进行表示，可将不等式转化为这三个函数在 时的大小位置关系.可结合 ，
进行初步判断函数的大小关系，结合 的变化对 ， 的相对位置的
变化影响可解得本题.
【详解】设 ， ， ，
由 得 ，
所以 时， 或 .
A和B选项：
当 时， ，设 ，则 ，
当 时 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
即当 时， ，
故 .
设 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递减.
故 ，即 ，
所以有 ，
即 ， .
设 ，由题意可知 ， ，
，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 单调递增，
所以 ，得 ，
由 得 ，
，
当 时，由 得 ，
则 ，故B正确，
取 ， ， ，则 ，故A错误；
C和D选项：
当 时，
由题意， 恰为 ， 两交点 ，
所在直线，
则
则
由对数平均不等式知，
.
故 ，
故CD正确
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考察用导数解决不等式问题，本题解题的关键是从不等式中能抽象出来 ， ， 这三个函数，然后根据不等式
得到三个函数的图象在不同位置时的联系进而去解决问题.
29．（2023·浙江·校联考模拟预测）若定义在 上的函数 满足
，且当 时， ，则下列结论正确的是（ ）．
A．若 ， ， ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 的图像关于点 对称
D．若 ，则
【答案】BC
【分析】根据已知应用单调性分情况可以判断A选项，应用单调性结合反证法可以判
断D选项，赋值法可以求出B选项，根据对称性可以判断C选项.
【详解】令 ，则 ，
∴ 为奇函数，把y用 代替，得到 ，
设 ， ，∴ ．
又∵当 时， ，∴ ，
∴ 在 上单调递减．
∵ ， ，
当 时， ，则当 时，则 ， ，
当 时，则 ， ．综上， ，∴A错误．
令 ，得 ，∴ ，
令 ，得 ，∴ ，∴B正确．
由 ，得 ，得 ，
又∵ ， 为奇函数，∴ ，
则 ，则 的图像关于点 对称，∴C正确．
，
假设 ，可得 ，即 ，
当 时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D错误．
故选：BC.
【点睛】方法点睛：抽象函数已知奇偶性结合单调性定义得出单调性，结合对称性可
以确定对称中心进而可以解题.
30．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知 ,若
,其中 是自然对数的底数,则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 得 ,由 得,构造函数 ,易知函数 为 上的增函
数,可得 , ,对于A,依据零点存在性定理判断;对于B,依据条件进行判断即
可;对于C,利用当 时, 判断即可;对于D,利用 在 上的
单调性判断即可.
【详解】由 得 ,①
由 得 ,
即 ,②
令 ,
易知函数 为 上的增函数,
又①式化为: ,所以 ,
②式化为: ,所以 ,
对于A,令 ,
根据函数单调性的性质,函数 在 上为增函数,
当 时, ;当 时, ,
则由零点存在性定理可知 ,故A正确;对于B,因为 , ,
所以 ,则 ,故B错误;
对于C,设 ,
则 ,
当 时, ,则函数 在 上为增函数,
所以函数 ,
即 ,
所以 ,故C正确;
对于D,由A知, ,
在 上递减,
当 时, ,故D正确.
故选：ACD.
【点睛】将 转化为 , 转化为
,构造函数 ,利用单调性得到 ，
是解本题的关键.
