专题10函数的单调性和奇偶性综合(含2021-2023高考真题)(解析版)_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_2024年新高考数学之函数专项重难点突破练（新高考专用）

专题10 函数的单调性和奇偶性综合 一、单选题 1．下列函数中，既是奇函数，又在区间 上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项，定义域 ，所以单调性直接不满足，排除； 对于B选项，定义域 ， ，不是奇函数，排除； 对于C选项， ， ， 为奇函数，且在 上单调递增，故C 选项正确； 对于D选项，定义域 ， ，故 为偶函数，排除.故选：C. 2．若偶函数 在 上是减函数，则（ ） A． B． C． D． 【解析】 是偶函数，所以 ， 在 上是减函数，所以 在 上是增函数， 所以 ，故 .故选：B 3．已知函数 为定义在 上的奇函数，对于任意的 ，且 ，都有 ， ，则 的解集为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，，在函数 中， ， 为奇函数， ，∴ ， ， ∵对于任意的 ，且 ，都有 ， ∴函数在 上单调递增，在 上单调递增， 当 时，若 ，则 ；若 ，则 ，此时 .故选：D. 4．设 是奇函数，且在 上是减函数， ，则 的解集是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【解析】当 时， 得出 ，因为 在 上是减函数，所以 ； 当 时， 得出 ，因为 在 上是减函数，所以 即 的解集是 或 ，故选：D 5．已知 是定义在 上的偶函数，对于任意的 ， （ ），都有 成 立．若 ，则实数m的取值范围为（ ） A． 或 B． C． 或 D． 【解析】由任意的 ， （ ），都有 可知 在 单调递减， 由于 是定义在 上的偶函数，所以 在 单调递增， 由 得 ，平方可得 ，解得 或 ，故选：A 6．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ， ， 则 ， ， 大小关系为（ ）A． B． C． D． 【解析】 ，因为 是定义在 上的偶函数， 所以 ， 因为 ， ， ， 且 在 上单调递减，所以 ，即 .故选：A. 7．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C． D． 【解析】 的定义域为 ， ，所以 是奇函数， 又 恒成立（仅当 时等号成立），所以 在 上单调递增， 由 得 ，所以 ，解得 ，故选：B. 8．已知函数 ，若 ，不等式 恒成立，则正实数 的取值范围 为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，其中 ，则 ，且 不恒为零， 所以，函数 在 上为增函数， 又因为 ，故函数 为奇函数， 由 可得 ， 所以， ，所以， ，令 ，因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以， . 故选：B. 9．设 是定义在 上的奇函数，对任意的 满足 且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【解析】不妨设 ，且 ，因为 ，所以 ， 不等式两边同除以 得， ，即 ， 令 ，则 ，所以 在 上单调递减， 定义域为 ，又 是定义在 上的奇函数， 故 ，所以 为偶函数， 故 在 上单调递增，因为 ，所以 ， 当 时， 变形得到 ，即 ，解得 ，所以解集为 ， 当 时， 变形得到 ，即 ，解得 ， 所以解集为 ，所以不等式 的解集为 .故选：D 10．已知 分别为定义域为 R 的偶函数和奇函数，且 ，若关于 x 的不等式 在 上恒成立，则实数a的最大值是（ ）A． B． C． D． 【解析】因为 分别为偶函数和奇函数，且 ①， 所以 ，即 ②， ①②联立可得 ， ， 不等式 为 ，且 ， 设 ， ，则 ，故 在 上是增函数， ， 所以 ，则 ，又 在 时是增函数， 所以 ，故 ，要使 ，在 恒成立，则 ， 即实数a的最大值是 .故选：D． 二、多选题 11．定义在 上的函数 满足 ，且 是单调函数， ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为定义在 上的函数 满足 ， 所以 是奇函数，从而 ，所以A正确； 因为 是单调函数，且 ， 所以 是 上的单调递增函数，故 ，所以B正确； 取 ，则 满足题干的所有条件，此时 ，所以C错误；由于 ，且 是 上的单调递增函数， 故 ，所以D正确.故选：ABD. 12．已知函数 ，实数 满足不等式 ，则 的取值可以是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】因为 ， 所以 ， 所以 关于 对称， ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 又因 ，所以 恒成立，则 是增函数， 因为 ，所以 ，则 .故选：CD. 13．已知函数 在 上单调递增，且 是偶函数，奇函数 在 上的图象与函数 的图象重合，则下列结论中正确的有（ ） A． B．函数 的图象关于y轴对称 C．函数 在 上是增函数 D．若 ，则 【解析】对于B选项，因为 是偶函数，所以 ， 所以函数 关于直线 对称，且 在 上单调递增，故B错误； 对于A选项，由上知 ， 在 上单调递增，所以 ，即有 ，故A正确； 对于C选项，因为奇函数 在 上的图象与函数 的图象重合， 在 上单调递增，即 在 上单调递增， 由奇函数性质知， 在 上单调递增，故C正确； 对于D选项，由 得 ，又 在 上单调递增， 在 上单调递增，所以 ， ， 所以 ，故D正确．故选：ACD． 14．已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ， 均在 上单调 递增，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意得 在 上单调递减， 在 上单调递增. 因为 ，所以 ，A正确； 因为 ，所以 ，B错误； 因为 ，所以 ，C正确； 因为 ，所以 ，D错误.故选：AC 15．已知定义在 上的函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ， ；②，当 时， ；③ .则下列选项成立的是（ ） A． B．若 ，则 或 C．若 ，则 D． ，使得 【解析】由① ， ，得 为偶函数， ② ， ，当 时，都有 ，所以 在 上单调递减， 故 ,故A正确； 对于B，由 ,可得 或 ，解得 或 ，故B正确； 对于C，由 ，得 ， 若 ，则 或 ，解得 ，故C错误； 对于D，由 为 上的偶函数，在 单调递减，在 单调递增， 又因为函数 的图象是连续不断的，所以 为 的最大值， 所以 ， ，使得 ，故D正确．故选：ABD 16．已知函数 ，则（ ） A． 为奇函数 B． 的值域为 C．若 ，则 D．若 ，则 【解析】函数 的定义域为R，且 ， 则 为奇函数，故A正确；，则 ，则 ，故B正确； 即 ，即 ，得 ，故C错误； 在R上单调递增且 ，则 在R上单调递减， 故 在R上单调递减，又 为奇函数， 则 ，即 ； 解得 ，故D正确；故选：ABD. 17．已知函数 .则下列说法正确的是（ ） A． B．函数 的图象关于点 对称 C．函数 的定义域上单调递减 D．若实数 ， 满足 ，则 【解析】对于A选项，对任意的 ， ， 所以函数 的定义域为 ， 又因为 ，所以 ，故A正确； 对于B选项，因为函数 满足 ，故函数 的图象关于点 对称，故B正确； 对于C选项，对于函数 ，该函数的定义域为 ， ， 即 ，所以函数 为奇函数，当 时，内层函数 为增函数，外层函数为增函数，所以函数 在 上为增函数，故函数 在 上也为增函数，因为函数 在 上连续，故函数 在 上为增函数，又因为函数 在 上为增函数，故函数 在 上 为增函数，故C不正确； 对于D选项，因为实数a，b满足 ，则 ，可得 ，即 ， 故D错误. 故选：AB. 18．已知函数 ，实数 ， 满足不等式 ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】利用函数的性质可以判断 为奇函数， 由 可得： ； ， 利用导数可知其在 上单调递增，从而可得： ，即有： . 显然可得：选项AC成立，选项D错误；令 ， ，可验证选项B错误；故选：AC. 三、填空题 19 ． 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， ， 当 时 ， ，则不等式 的解集是______. 【解析】 函数 是定义在 上的偶函数， ，解得 . 又 ，当 时， ， 函数 在 上单调递减， ， ，解得 ，故答案为： . 20．已知定义在 上的奇函数 ，满足 ，且在区间 上是增函数，则 、、 的大小关系为__________． 【解析】因为定义在 上的奇函数 ，满足 ， 则 ，所以，函数 是周期为 的周期函数， 所以 ， ， 因为函数 在 上为增函数，则该函数在 上也为增函数， 故函数 在 上为增函数，所以， ，即 . 21．已知函数 ，若任意的正数 ， 均满足 ，则 的最小值 为________． 【解析】∵ 恒成立，∴函数 的定义域为 ． ，有 成立， ， ，∴ ，∴ 为定义在 上的奇函数． 由复合函数的单调性易知，当 时， 与 均单调递减， ∴ 在区间 上单调递减， 又∵ 为定义在 上的奇函数，∴ 在 上单调递减. ∴由 得 ， ∴正数 ， 满足 ，即 ，∴由基本不等式， ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，∴ 的最小值为 ． 22．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是_______. 【解析】由 ，且定义域为R， 所以 为奇函数，则 ， 根据 在R上均为减函数，故 也为减函数，所以 ，则 . 23．已知函数 是定义在R上的奇函数，若 ，且 ，都有 成立 则不等式 的解集为_________． 【解析】令 ，因为函数 是定义在R上的奇函数， 则 ，故 为定义在R上偶函数， 由 ，得 在 为减函数， 由 ，可得 ， 即 ，故 ，所以 ，即 ， 解得 或 ，所以不等式的解集是 . 24．奇函数 满足：对任意 ， ，都有 且 ，则不 等式 的解集为______． 【解析】因为对任意 ， ，都有 ， 即 ，所以 在 上递减，又因为 是奇函数，所以 在 上递减， ，则当 时， 或 ， 当 时， 或 ，因为 ， 所以不等式 ，等价于不等式 ，即 ， 则有 或 ，解得 或 ， 所以不等式 的解集为 . 25．已知函数 为定义在 上的奇函数，则不等式 的解 集为__________. 【解析】根据奇函数定义可知 ，可得 ，函数定义域为 ； 又 ，可得 ，所以 ； 易知函数 在 上单调递增，所以不等式 即为 ， 根据函数单调性和奇偶性可得 ，解得 .故答案为： 26．已知函数 ，对 ，不等式 恒成立，则实数 的取 值范围_______. 【解析】解：令 ， 则 ， 是奇函数， 设 ，则 ， ， ， ，∴ ，从而 ， 所以 在 上是单调递减，又 是奇函数，所以它在 上也是单调递减，所以 在 上是减函数， 不等式 可化为 ， 即 ， ， 所以 ， ，令 设 ， ， ， 当 时， ， ， ，所以 在 单调递减， 当 时， ， ， ， 所以 在 单调递增，因为 ，∴ 在 上的最小值为 ，所以 27．函数 是奇函数，且在 是单调增函数，又 ，则满足 对所有的 及 都成立的t的范围是___________. 【解析】依题意函数 是奇函数，且在 是单调增函数，又 ， 所以 ，所以 的值域是 .所以 对任意 恒成立， 即 任意 恒成立， 所以 ，解得 或 或 ，所以 的取值范围是 . 28．已知函数 ，若不等式 对任意实数x恒成立，则a 的取值范围为______． 【 解 析 】 的 定 义 域 为 ， 且则 为奇函数，由增函数加增函数为增函数可知，函数 为增函数， 不等式 对任意实数 恒成立，等价于 ， 可得 ，即 ，因为 , 当且仅当 即 时,取等号，所以 . 四、解答题 29．已知函数 是奇函数． (1)求b的值； (2)证明 在R上为减函数； (3)若不等式 成立，求实数t的取值范围． 【解析】（1）∵ 的定义域为R，又∵ 为奇函数，∴由 得 ， 此时 ，∴ 为奇函数，所以 ． （2）任取 ， ，且 ，则 ， ∵ ，∴ ，∴ ．又∵ ，∴ ，即 ， 故 为R上的减函数． （3）因为 为奇函数，所以 ，可化为 ， 又由（2）知 为减函数，所以 ，所以 或 ． 30．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， . (1)求函数 的解析式.(2)若对任意的 ， 恒成立，求m的取值范围. 【解析】（1）函数 是定义在R上的奇函数，所以 ，解得 . 当 时， ，当 时， ， 所以 . （2）当 时， ， 单调递增， 因为 在 上是增函数，又 为奇函数，所以 在R上单调递增. 因为 为奇函数， ，所以 ，即 ， 则对任意的 ， 恒成立，即 对任意的 恒成立. 当 时， 取最大值 ，所以 .故 的取值范围是 . 31．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ． (1)求函数 的解析式； (2)判断 在 上的单调性（无需证明），并解不等式 ． 【解析】（1）设 ，则 ，因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，所以 ； （2）由（1）知， 时， . 因为 与 在 上都是增函数， 所以 在 上为增函数， 在 上为减函数，由 ， 解得 ，所以该不等式的解集为 . 32．已知函数 对于任意实数 恒有 ，且当 时， ，又 ． (1)判断 的奇偶性并证明； (2)求 在区间 的最小值； (3)解关于 的不等式： ． 【解析】（1） 为奇函数，理由如下：函数 的定义域为 ，关于原点对称， 令 得 ，解得 ， 令 得 所以 对任意 恒成立，所以 为奇函数， （2）任取 ，且 ，则 .因为当 时， ，所以 . ，即 ，所以 在 上单调递增， 所以 在区间 的最小值为 ，因为 ，令 得 ， 令 ， 得 ， 在区间 的最小值为 ， （3）由 ，得 ， 由 得 ，由 在 上单调递增得 整理得 ，即 ， 当 时， ，解得 ；当 时， ， 当 时， ， ，解集为 ， 当 时， ， 当 时， ，解集为 ， 当 时， ，解集为 ， 当 时， ，解集为 ， 综上所述：当 时，解集为 ；当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ；当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 33．已知函数 为偶函数． (1)求实数 的值； (2)解关于 的不等式 ； (3)设 ，若函数 有2个零点，求实数 的取值范围． 【解析】（1）易知函数 的定义域为 ， 函数 为偶函数． ，即 ， ， . （2） ，设 ，， 所以当 时 单调递增， 在 上单调递增， 又函数 为偶函数，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减； ， ，解得 或 ， 所以不等式的解集为 （3） 函数 与 图象有2个公共点， 有两个解， 即 有两个解，设 ，则 ，即 ， 又 在 上单调递增，所以方程 有两个不等的正根； 从而 必须满足： ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 ． 34．已知函数 定义域为 ， . (1)求关于 的不等式 的解集； (2)若存在两不相等的实数 ，使 ，且 ，求实数 的取值范围. 【解析】（1）因为 ，所以 ，所以 为定义域上的奇函数，又因为 ， 易知 为单调递增函数，所以不等式 等价于 ， 解得 ，所以不等式的解集为： ； （2）解：由(1)可知 为 上的单调递增的奇函数， 又因为 ，所以 ，所以 ， 因为 ，又因为 ， 所以 ， 即 ，即有 ， 令 ，由题意可得 ，设 ，则 ，所以 单调递增， 所以 ，则有 ， 即存在实数 ，使 在 上成立，所以只需 即可， 由二次函数的性质可得，只需 或 即可，即 或 ，解得 ， 所以实数 的取值范围为 .