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第02课 函数的单调性与最值（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2012·天津·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为
A． ，x R
B． ，x R且x≠0
C． ,x R
D． ，x R
2．（2022秋·浙江杭州·高一校考期中）函数 在 上单调递减，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020春·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）若关于x的不等式 在 区间上有解，
则k的取值范围是
A． B． C． D．
5．（2022·吉林白城·校考模拟预测）若函数 存在平行于 轴的切线，则实数 取值范
围是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
6．（2021秋·甘肃兰州·高一兰州一中校考期中）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上是增函数
B．函数 的图象关于点 中心对称
C．函数 的图象上存在两点 ， ，使得直线 轴
D．函数 的图象关于直线 对称
7．（2023春·重庆九龙坡·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设函数 ，
则（ ）
A． 的一个周期为 B． 在 上单调递增
C． 在 上有最大值 D． 图象的一条对称轴为直线
8．（2021秋·福建三明·高三校考期中）下列函数中是偶函数，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为 B． 是偶函数
C．函数 的零点为0 D．当 时， 的最大值为三、填空题
10．（2022秋·陕西西安·高一西安市第八十三中学校考阶段练习）函数 的单调增区间
为 ．
11．（2023春·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）已知定义域为 的减函数 满足
，且 ，则不等式 的解集为 .
12．（2016·北京·高考真题）函数 的最大值为 .
13．（2022秋·天津西青·高一天津市西青区杨柳青第一中学校考期中）若两个正实数x，y满足
，且不等式 恒成立，则实数m的取值范围是 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足 ，则 的最小值是
.
【二层练综合】
一、单选题
1．（2022秋·高一单元测试）已知函数 满足 ，且对任意的 ，都有
，则满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高一专题练习）函数y＝ ，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是（ ）
A．(1，2) B．(－1，2) C．[1，2) D．[－1，2)
3．（2023·四川·模拟预测）已知函数 且 在定义域上是单调函数，则实数t的取
值范围为（ ）A． B． C． D．
4．（2022·安徽滁州·高二校考学业考试）已知函数 的定义域为 ，满足：①对任意 ，都有
，②对任意 且 ，都有 ，则函数 叫“成功函
数”，下列函数是“成功函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义域为 的奇函数，且当 时， ．
若函数 在 上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
6．（2022秋·山东潍坊·高三校考期中）下列四个函数中，以 为周期且在 上单调递增的偶函数有
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023春·湖北恩施·高一校联考期中）已知函数 ， ，则（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 为奇函数
C．函数 在区间 上的最大值与最小值之和为0D．设 ，则 的解集为
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ，
在 单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例
如 ， .则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在区间 （ ）上单调递增
B．若函数 ，则 的值域为
C．若函数 ，则 的值域为
D． ，
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的最小值为1，则 的值为
.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （x>0），若 的最大值为 ，则正实数
a= .
12．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ，则实数 的取值范围为 .13．（2023·全国·高三专题练习）若 ，使 成立，则实数 的取值范围是
．
14．（2021秋·湖北荆州·高一荆州市沙市第五中学校考阶段练习）同学们，你们是否注意到：自然下垂的
铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索．这些现象中都
有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光
学等方面有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 （其中 ， 是非
零常数，无理数 …），对于函数 以下结论正确的是 ．
①如果 ，那么函数 为奇函数；
②如果 ，那么 为单调函数；
③如果 ，那么函数 没有零点；
④如果 那么函数 的最小值为2．
【三层练能力】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b，c满足 ， ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 有且仅有两个正整数解（其中
为自然对数的底数），则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·全国·校联考一模）曲线的曲率就是针对曲线上㭉个克的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线
偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线 在点 处的曲率
，其中 是 的导函数．（ ）
A．若函数f（x）= ．则曲线y=f（x）在点（- ，- ）与点（ ， ）处的弯曲程度相同
B．若 是二次函数．则曲线 的曲率在顶点处取得最小值
C．若函数 ，则函数 的值域为
D．若函数 ，则曲线 上任意一点的曲率的最大值为
5．（2023春·重庆江北·高二字水中学校考阶段练习）定义：在区间 上，若函数 是减函数，且
是增函数，则称 在区间 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A． 在 上是“弱减函数”
B． 在 上是“弱减函数”
C．若 在 上是“弱减函数”，则
D．若 在 上是“弱减函数”，则
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 是函数 的一个周期B． 是函数 的一条对称轴
C．函数 的最大值为 ，最小值为
D．函数 在 上单调递增
【一层练基础】参考答案
1．B
【详解】首先判断奇偶性：A,B为偶函数，C为奇函数，D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D，
对于 先减后增，排除A，故选B.
考点：函数的奇偶性、单调性.
2．B
【分析】由分段函数单调性列不等式组求解
【详解】 ，故 在 上单调递减，由题意得 解得 ，
故选：B
3．D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，
故选： .
4．D
【分析】用分离参数法得出不等式k＞ ﹣x在x [1，2]上成立，根据函数f（x）= ﹣x在x [1，2]上的
∈ ∈
单调性，即可求出k的取值范围．
【详解】关于x的不等式x2+kx﹣1＞0在区间[1，2]上有解，
∴kx＞1﹣x2在x [1，2]上有解，
∈
即k＞ ﹣x在x [1，2]上成立；
∈
设函数f（x）= ﹣x，x [1，2]，
∈
∴f′（x）=﹣ ﹣1＜0恒成立，
∴f（x）在x [1，2]上是单调减函数，
∈
且f（x）的值域为[﹣ ，0]，
要k＞ ﹣x在x [1，2]上有解，则k＞﹣ ，
∈
即实数k的取值范围为（﹣ ，+∞）．
故答案为：D
【点睛】（1）本题主要考查了不等式的有解问题，考查利用导数求函数的值域，意在考查学生对这些知
识的掌握水平和分析推理能力.(2)处理参数的问题常用的有分离参数法和分类讨论法，本题利用的是分离参数法，解题效率比分类讨论法解题效率高.
5．C
【分析】由题意， 在 上有解，分离参数 转化为值域问题即可求解.
【详解】解：因为函数 存在平行于 轴的切线，
所以 在 上有解，即 在 上有解，
因为 ，
所以 ，
故选：C.
6．AC
【分析】 ，然后画出其图象可得答案.
【详解】 ，其大致图象如下，
结合函数图象可得AC正确，BD错误.
故选：AC
7．BD【分析】利用诱导公式化简可得 ，可判断选项A；利用换元法和函数的单调性，可判断
选项B和C；利用诱导公式化简可得 ，可判断选项D．
【详解】对A： ，故 不是 的
周期，A错误；
对B：令 ，则 ，
则 ，
∵ ，则 ，
∴ 在 上单调递增，且 ，
又∵ 在 上单调递增，故 在 上单调递增，B正确；
对C：∵ ，则 ，
∴ ，则 ，
又∵ 在 上单调递增，且 ，
∴ 在 上最大值为 ，
即 在 上有最大值 ，C错误；对D： ，故 图象的一条对称轴
为直线 ，D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：
若 ，则 关于直线 对称，特别地 ，则 关于直线
对称；
若 ，则 关于点 对称，特别地 ，则 关于点
对称.
8．AD
【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性.
【详解】A，因为 ， 是偶函数，在区间 上为增函数，符合题
意；
B，因为 ， 是奇函数，且在区间 上为减函数，不符合题意；
C，因为 ， 是偶函数，当 时， 单调
递减，不符合题意；
D，因为 ， 是偶函数，且在区间 上为增函数，符合题意.
故选：AD
9．AD
【分析】根据函数的解析式，分别从定义域、奇偶性、零点、最值考察即可求解.
【详解】对A，由解析式可知 的定义域为 ，故A正确；对B，因为 ，可知 是奇函数，故B不正确；
对C, ，得 ，故C不正确；
对D, 当 时， ，当且仅当 时取等号，
故D正确.
故选：AD
10．
【分析】根据复合函数的单调性即得.
【详解】函数 的定义域是 ，
在定义域内函数 的单调增区间是 ，
而函数 的单调增区间就是在定义域内函数 的增区间，
所以函数 的单调增区间为 .
故答案为： .
11．
【分析】根据题意可得 ， ，进而将原不等式转换为不等式组，
解之即可.
【详解】由题意知，
， ，故答案为： .
12．2
【分析】分离常量，由函数 可得函数单调递减，然后求解函数的最大值即可.
【详解】[方法一]：分离常量法
由函数 ，得 在 单调递减，
即 .
故答案为：2.
[方法二]：换元法
由函数 ，令 ， ，得 ，
可知 在 是单调递减的，即 .
故答案为：2.
[方法三]：反函数法
由函数 ，得 ，由 ，得 ，
从而有 ，即 .
故答案为：2.
[方法四]：函数图像法
由函数 ，由 在 单调递增，
得 在 单调递减，即 .
故答案为：2.13．
【分析】不等式 恒成立，即为 不大于xy的最小值，运用基本不等式，计算即可得到所
求最小值，解不等式可得m的范围．
【详解】∵正实数x，y满足 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，
由 恒成立，可得 ，
解得
故答案为：
14．
【分析】先判断出 ，且 .令 ，利用判别式法求出 的最小值.
【详解】因为实数a，b满足 ，
所以 ，且 .
令 ，则 ，所以 ，
代入 ，则有 ，
所以关于b的一元二次方程 有正根，
只需 ，解得： .
此时，关于b的一元二次方程 的两根 ，所以两根同号，只需 ，
解得 .
综上所述： .即 的最小值是 （此时 ，解得： ）.
故答案为： .
【二层练综合】参考答案
1．A
【分析】 可化为 ，构造函数 ，再结合奇偶性可
知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】根据题意可知，
可转化为 ，
所以 在[0，+∞)上是增函数，又 ，
所以 为奇函数，所以 在R上为增函数，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
即x的取值范围是 .
故选：A.
【关键点点睛】本题的关键是将不等式 化为 ，从而构造
函数 ，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.
2．D【分析】先将函数化简转化，判断函数的单调性，根据条件求出 的值，即可求出 的取值范围.
【详解】函数 ，
可以判断函数在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f（2）＝0，所以n＝2，
根据题意，x∈(m，n]时，y ＝0，
min
∴m的取值范围是[－1，2).
故选：D.
【点睛】本题考查已知给定函数在未知区间的最值，求区间内参数范围，判断函数的单调性是解决问题的
关键.
3．A
【分析】先判断 的单调性，然后对 进行分类讨论，由此求得 的取值范围.
【详解】由于函数 在定义域上单调递增，所以函数 在定义域上是单调递增函数．
当 时，函数 在定义域上不单调，不符合题意；
当 时，函数 图象的对称轴为 ，
当 时，函数 在区间 上单调递减，不符合题意，
当 时，函数 在区间 上单调递增，
要使函数 在定义域上单调递增，则需 ，解得 ．
故实数t的取值范围为 ．
故选：A
4．B
【解析】根据已知可得判断“成功函数”为定义域上单调递增的奇函数，逐项判断，即可得出结论.
【详解】由任意 ，都有 知 是奇函数，
由任意 且 ，都有 ，知 是增函数，
因为 在定义域上是奇函数，
但在定义域上不是单增函数，故A错；
因为 是奇函数， ，
所以在定义域上是增函数，故B正确；
因为 在定义域 是减函数，
故C错；
因为 在 上单调递减，故D错.
故选:B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，熟练掌握初等函数单调性，以及应用导数法判断函数的
单调性，属于中档题.
5．D
【分析】由已知结合奇函数定义先求出当 时的函数解析式，然后利用导数对 进行分类讨论，确定函
数单调性，进而可求．
【详解】因为 是定义域为 的奇函数，且当 时， ．
当 时， ，则 ，
所以当 时， ，此时
当 时， 在 ， 上恒成立，函数 在 ， 上单调递增，当 时，函数取
得最小值 ，解得 （舍 ，
当 时， ， ，函数单调递减； ， ，函数单调递增， 时，
函数取得最小值 ，解得 ，
综上， ．
故选：D．6．BD
【分析】根据题意，结合三角函数的图象性质以及图象的变换，一一判断即可.
【详解】对于选项A，因为 在 上单调递减，所以 上单调递减，故A错；
对于选项B，结合 的图象性质，易知 是以 为周期且在 上单调递增的偶函数，故B
正确；
对于选项C，结合 的图象性质，易知 没有 周期性，故C错；
对于选项D，令 ，易知 是以 为周期且在 上单调递增的偶函数，因 也是单调
递增的，所以 是以 为周期且在 上单调递增的偶函数，故D正确.
故选：BD.
7．BCD
【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案
【详解】对于A： ，定义域为 ， ，
则 为奇函数，故A错误；
对于B： ，定义域为 ，
，
则 为奇函数，故B正确；
对于C： ， ， 都为奇函数，
则 为奇函数，
在区间 上的最大值与最小值互为相反数，
必有 在区间 上的最大值与最小值之和为0，故C正确；对于D： ，则 在 上为减函数，
，则 在 上为减函数，
则 在 上为减函数，
若 即 ，
则必有 ，解得 ，
即 的解集为 ，故D正确；
故选：BCD
8．BD
【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合 ， 逐
项判断即可.
【详解】因为 是定义在R上的偶函数， 是定义在R上的奇函数，且两函数在 上单调递减，
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以BD正确，C错误；
若 ，则 ，A错误.
故选：BD
9．AC
【分析】求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断B，D；变形函数式，分析计算判断C作答.
【详解】对于A， ， ，有 ，则函数 在 上单调递增，A正确；对于B， ，则 ，B不正确；
对于C， ，
当 时， ， ，有 ，
当 时， ， ，有 ， 的值域为 ，C正确；
对于D，当 时， ，有 ，D不正确.
故选：AC
10．1
【分析】分 ， 讨论，利用函数的单调性求最值即得.
【详解】由题意得 ，
当 时， 在 上单调递减，
∴ 的最小值为 ， ，
所以 不成立；
当 时， ， 在 单调递减，在 上单调递增，
∴ 的最小值为 ，符合题意.
故 .
故答案为：1.
11．1
【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.
【详解】令 ，则 ，则
令当 时， 在 上单调递增，
则 ，即 的最大值为
则 ，解之得 .
当 时， （当且仅当 时等号成立）
则 ，即 的最大值为
则 ，解之得 （舍）
综上，所求正实数
故答案为：1
12．
【分析】利用基本不等式 的最小值，由此可得出实数 的取值范围.
【详解】 ， ，则 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 ，
因此实数 的取值范围是 .
故答案为： .
13．
【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】由 可得， ，因为 ，所以 ，根据题意， 即可，
设 ，易知 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
14．②③
【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质对①②③④逐一分析即可得到结论.
【详解】对①：当 时，函数 ，此时 为偶函数，故①错误.
对②：当 时，令 ，函数 在其定义域上为单调递增函数，函数 在其定义域上
也为单调递增函数，故函数 在其定义域上为单调递增函数；当 ，函数 在
其定义域上为单调递减函数，函数 在其定义域上也为单调递减函数，故函数 在其定
义域上为单调递减函数；综上：如果 ，那么 为单调函数；故②正确.
对③：当 时，函数 ，
当 时，函数 ；
综上：如果 ，那么函数 没有零点；故③正确.
对④：由 ，则 ，
当 时，函数 ；当 时，函数 ；
故 时，函数 没有最小值；故④错误.
故答案为：②③
【点睛】本题考查了函数的奇偶性和最值的应用，考查基本不等式，考查指数函数的性质，属于中档题.
【三层练能力】参考答案
1．B
【分析】构造函数 ，利用其单调性，分 ， ， 讨论即可.
【详解】由题意得 ，即 ，则 ，则 ，
令 ，根据减函数加减函数为减函数的结论知：
在 上单调递减，
当 时，可得 ， ，两边同取以5为底的对数得
，对 通过移项得 ，
两边同取以3为底的对数得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，且 ，
故此时， ，故C,D选项错误，
时， ，
，且 ，故A错误,下面严格证明当 时， ， ，
根据函数 在 上单调递增，且 ，
则当 时，有 ，
， ，
下面证明： ，
要证： ，
即证： ，等价于证明 ，
即证： ，此式开头已证明，
对 ，左边同除分子分母同除 ，右边分子分母同除 得
，
则
故当 时， ，则当 时，可得 ， ，两边同取以5为底的对数得
，对 通过移项得 ，
两边同取以3为底的对数得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，且 ，
故 ，故此时， ，
下面严格证明当 时， ，
当 时，根据函数 ，且其在 上单调递减，可知
，则 ，则 ，
根据函数函数 在 上单调递增，且 ，
则当 时， ，
下面证明： ，
要证：
即证： ，等价于证 ，
即证： ，此式已证明，
对 ，左边同除分子分母同除 ，右边分子分母同除 得，
则 ，
故 时， ，则
当 时， ，则 ， ，
综上 ， ，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数 ，利用其单调性及 ，从而得到
之间的大小关系，同时需要先求出 的范围，然后再对 进行分类讨论.
2．D
【分析】由 ，可得 ，构造函数 ，利用函数的导数与单调
性的关系，可得 在 上单调递增，进而可得 ，
，从而即可得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 ；
令 ， ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ；
同理 ，所以 ，即 ，也即 ，
所以 ，
所以 .
综上， ，
故选：D.
3．D
【分析】问题转化为 （ ）有且仅有两个正整数解，讨论 、 并构造
、 ，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.
【详解】当 时，由 ，可得 （ ），
显然当 时，不等式 在 恒成立，不合题意；
当 时，令 ，则 在 上单调递增，
令 ，则 ，故 上 ， 上 ，
∴ 在 上递增，在 上递减，
又 且 趋向正无穷时 趋向0，故 ，
综上， 图象如下：由图知：要使 有两个正整数解，则 ，即 ，解得 ．
故选：D
【点睛】关键点点睛：问题转化为 （ ）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调
性及正整数解个数列不等式组求范围.
4．ACD
【分析】根据求导法则和运算性质分别求出选项的 ，求出曲率 的表达式，结合偶函数的
定义、复合函数的单调性、基本不等式的应用依次判断即可.
【详解】对于A， ， ，则 ，
又 ，所以 为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确；
对于B，设 ， ，
则 ，当且仅当 ，
即 时，曲率取得最大值，故B错误；对于C， ，
，
当 时， ；当 时，函数 为增函数，
所以 的最大值为 ，故C正确；
对于D， ，
，
当且仅当 时，等号成立，故D正确．
故选：ACD.
5．BCD
【分析】利用“弱减函数”的概念逐项分析即得.
【详解】对于A， 在 上单调递减， 不单调，故A错误；
对于B， ， 在 上 ，函数 单调递减，
， ，∴ 在 单调递增，故B正确；
对于C，若 在 单调递减，由 ，得 ，
∴ ， 在 单调递增，故C正确；
对于D， 在 上单调递减，
在 上恒成立 ，令 ， ，令 ，
，
∴ 在 上单调递减， ，
∴ ，∴ 在 上单调递减， ，
∴ ，
在 上单调递增，
在 上恒成立，
∴ ，
令 ， ，
∴ 在 上单调递增， ，
∴ ，
综上： ，故D正确.
故选：BCD.
6．ABC
【分析】根据给定条件利用周期定义、对称性性质判断选项A，B；换元借助二次函数最值判断选项C；
利用复合函数单调性判断选项D作答.
【详解】因 ，A正确；
因，B正确；
令 ，有 ，则 ， ，
因为 在 上单调递增，即函数 的最大值为 ，最小值为 ， C正确；
函数 由 和 复合而成，函数 在 上单调递增，
在 上递增，在 上递减，则函数 在 上不单调，D不正确.
故选：ABC
【点睛】结论点睛：函数 的定义域为D， ，
存在常数a使得 ，则函数 图象关于直线
