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专题01 函数的定义域
真题在现
1．（2022·北京·统考高考真题）函数 的定义域是_________．
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
考点一 具体函数的定义域
一、单选题
1．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，得 ，解得 ，所以函数的定义域为 .故选：D．
2．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，解得 ，故定义域为 .故选：B.
3．函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 可知， ，
即 ，解得 ，故 的定义域为 .故选：A.
4．已知 的定义域是（ ）A．[1,10] B．(1,10] C． D．
【解析】由题意可得 ，即 ，
解得： 或 ，故选：D．
5．函数 定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ；故选：C
6．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知可得 ，解得 ，
当 时，解得不等式组 ，所以函数的定义域为 .故选：A.
二、填空题
7．函数 的定义域为__________．
【解析】对于函数 ，有 ，解得 .
故函数 的定义域为 .8．函数 的定义域为__________.
【解析】函数 中， ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
9．函数 的定义域为______．
【解析】由 ，得 ，
故函数的定义域为： ．
10．函数 的最小值为___________.
【解析】函数 的定义域为 .
由复合函数的单调性可知, 在 上单调递减,在 上单调递增.
而 .所以,函数 的最小值为1.
11．函数 的定义域为________．
【解析】由题设 ，即 ，
所以 ，可得 ，故函数定义域为 .
12．函数 的定义域是___．
【解析】为使函数 有意义，需满足 ，
即 ，∴ 且 ，∴函数 的定义域是 且 .
13．函数 的定义域是__________.
【解析】由题意可得 ，解得 且 .
因此，函数 的定义域是 .
14．求函数 的定义域为_________．
【解析】函数 有意义，则 ，即 ，
解 ，得 ，
解 ，得 ，于是 ，
所以所求定义域为 .
15．函数 的定义域为______.
【解析】由 ，解得 ，所以 ，
即函数 的定义域为 .
16．函数 的定义域为________．【解析】由 ，得 ， ，
在数轴上表示如图所示，
所以
三、解答题
17．求下列函数的定义域：
(1) ；(2) ；(3) ；(4) .
【解析】（1）由题意知， ，即： ，所以这个函数的定义域为 .
（2）由题意知， ，解得： 且 ，所以这个函数的定义域为 且 .
（3）由题意知， ，解得： ，所以这个函数的定义域为 .
（4）由题意知， ，解得： 且 ，所以这个函数定义域为 且 .
考点二 抽象函数的定义域
一、单选题
1．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得 ，故 ，故函数 的定义域为 .故选：D2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵ 的定义域为 ，∴ ，由 ，得 ，
则函数 的定义域为 ，故选：A.
3．已知函数 的定义域为(－2,0)，则 的定义域为（ ）
A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．
【解析】由题设，若 ，则 ，
∴对于 有 ，故其定义域为 .故选：C
4．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由条件可知 ，且 ，解得: 且 ，
所以函数的定义域 .故选：D
5．若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得： ，故 ，
所以 ，解得： ，又 ，解得： ，
综上： 的定义域为 .故选：B
6．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）A． B． C． D．
【解析】函数 的定义域为 ，即 ，则 ，
所以对于 ，有 ，解得 ，即 的定义域为 ；
由 解得 ，所以 的定义域为 .故选：A
7．已知函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，解得 ，所以 的定义域为 .
令 ，则 ，所以 的定义域为 .故选：D
8．已知函数 ，则函数 的定义域是（ ）
A．[-5，4] B．[-2，7] C．[-2，1] D．[1，4]
【解析】由 ，则 ，解得 ，
所以函数 的定义域满足 ，解得 ，
所以函数的定义域为[1，4].故选：D
9．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 的定义域为 ，又函数 有意义，
则有 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域是 .故选：C二、填空题
10．函数 ， ，则 的定义域是_________．
【解析】 的定义域需要满足 ，解得 ，
故 的定义域为
11．已知函数 ， ，则函数 的定义域为______.
【解析】解法1：由函数 ，则满足 ，可得 ，
即函数 的定义域为 ，
对于函数 ，令 ，即 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .
解法2：由 ， ，
可得 ，
令 ，解得 ，所以 的定义域为 .
考点三 利用定义域求参
一、单选题
1．已知函数 的定义域为R，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由条件可知， 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时， ，解得： ，
综上可知， .故选：B2．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 的定义域为 ，所以 在 上恒成立，
当 时， ，得 ，不合题意，
当 时，则 ，解得 ，
综上实数 的取值范围为 ，故选：C
二、填空题
3．已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围是_______．
【解析】由 ，可知 ，解得 ，故答案为： .
4．已知函数 的定义域为 ，则实数 的范围________.
【解析】因为函数 的定义域为 ，所 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述， .
5．函数 在 上有意义，则实数a的取值范围为______．
【解析】由题意函数 在 上有意义，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，解得 ，故实数a的取值范围为
6．函数 的定义域为 ，则实数 的值为______．
【解析】 的定义域满足： ，解集为 ，
故 且 ，解得 .
7．若函数 中自变量x的取值范围为一切实数，则实数 的取值范围是______________
【解析】由题得可得 对一切实数恒成立.
若 ，则 ，与 无关，故 符合已知条件．
若 ．则 .
故实数 的取值范围是 ．
8．已知函数 的定义域为 ，则实数 的值是______．
【解析】由题意，要使函数 有意义，则 ，即 ，
所以 ，此时由 ，可得 ，符合题意.故答案为：2.
三、解答题
9．已知函数 ．
(1)若 的定义域为R，求a的取值范围；
(2)若 的值域为R，求a的取值范围；(3)若 在 上单调，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意得 恒成立，所以 ，
得 ，即a的取值范围为 ．
（2）由题意得， 的值能取到所有正数，所以 ，
得 或 ，即a的取值范围为 ．
（3）当 在 上单调递增时， 得 ．
当 在 上单调递减时， 得 ．
综上，a的取值范围为 ．
