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第10课 函数图象（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2021·天津·统考高考真题）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当 时， ，排除D，即可得解.
【详解】设 ，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除AC；
当 时， ，所以 ，排除D.
故选：B.
2．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 的图象关于点 对称C． 为奇函数 D． 的图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】把 化简成 ，进而得到 是由 先向左平移一个单位，再向下平移一个
单位得到的，然后根据 的图象画出 的图象，即可判断选项
【详解】
化简得 ，
的可以看作是函数 先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
先画出 的图象，再进行平移画出 的图象，
明显可见，对于原函数 ，为奇函数，关于点 对称，且在 和 上为单调减函数，
所以， 经过平移后变成的 在 上单调递减，关于 对称，非奇函数也非偶函数，图象
关于直线 对称，所以，D正确；A、B、C错误.
故选：D
3．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第一中学校校考期中）如图所示，点 从点 出发，按逆时
针方向沿边长为 的正三角形 运动一周， 为△ 的中心，设点 走过的路程为 ，△ 的面
积为 （当 、 、 三点共线时，记面积为0），则函数 的图象大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时, ，为一次递增函数,去掉B；当 (BC中点) 时
为一次递减函数，去掉C,D；所以选A.
点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)
在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，
结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现
去 ，即将函数值的大小转化自变量大小关系
4．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知函数 ， ，若函数 在 上的大
致图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据图象判断函数的奇偶性，结合特殊值，可得答案.
【详解】易知 为偶函数，由 ，则 为奇函数，
由图象可知，该函数是奇函数，因为 是偶函数， 是奇函数，所以 是非奇非偶函数，A，
B不符合题意.
因为当 时， 无意义，所以C不符合题意.
故选：D.
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）关于函数 ，下列描述正确的有（ ）
A． 在区间 上单调递增 B． 的图象关于直线 对称
C．若 则 D． 有且仅有两个零点
【答案】ABD
【分析】作出函数 的图象，由图象观察性质判断各选项．
【详解】根据图象变换作出函数 的图象（ ，作出 的图象，
再作出其关于 轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把 轴下方的部分关于 轴翻折上去即可得），如图，
由图象知 在 是单调递增，A正确，函数图象关于直线 对称，B正确；
，直线 与函数 图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是 ，则 不成立，C错误，
与 轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．
故选：ABD．6．（2021·全国·高三专题练习）如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】根据图象用特殊值验证、排除可得答案.
【详解】由图象可知当 时， ，
而A中函数当 时， ，
B中函数当 时， ，故A和B不可能；
C中函数的定义域是 ，与图象不符，故C不可能.
对于 ，当 时， ，当 时， ，
当 时， ，所以D符合，
故选：ABC.
【点睛】本题考查了函数图象的性质，属于基础题.
【二层练综合】
一、单选题1．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）函数 在 上的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.
【详解】函数 定义域为 ，
而 ，且 ，
即函数 既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；
而当 时， ，排除选项A，选项B符合要求.
故选：B
2．（2022秋·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）定义在 上的函数 满足 ，
，当 时， ，则方程 在 上解的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】首先将问题转化为 与 在 上的交点个数，然后根据 的对称性和周期性以及
已知条件作出 的图像，再利用导函数作出 的大致图像，结合图像即可求解.【详解】由题意可知，方程 在 上解的个数可转化为 与 在 上的交点个数，
因为 ，所以 的图像关于 对称；
又由 ，故 ，
从而 是周期为2的周期函数，
又由 可得， ，
从而 ； ，
故 在 上单调递增，在 单调递减，且 ，
当 时， ，
故 与 在 上的图像如下：
从而 与 在 上的交点个数为4，
故方程 在 上解的个数为4.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 满足 对任意 恒成立，又函数
的图象关于点 对称，且 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用赋值法求出 ，代入等式赋值得到 ，即对称轴为 ，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到 ，则
可求出结果.
【详解】因为对任意 ，都有
令 得 解得
则 即
所以函数 的图象关于直线 对称.
又函数 的图象关于点 对称，则函数 的图象关于点 对称，
即函数 为奇函数，所以
所以 所以8是函数 的一个周期，
所以
故选：D.
4．（2022秋·河南·高一校联考阶段练习）若函数 的大致图象如图，则 的解析式可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据定义域排除A，根据奇偶性排除B，根据值域或单调性排除C.
【详解】由图可知函数定义域为{x|x≠0}，由此排除A；
该函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数，需满足f(x)＋f(－x)＝0，
对于B项：f(x)＋f(－x)≠0，故排除B；
C和D均满足f(x)＋f(－x)＝0，
对于C： ，当x ＋∞时， 0，故 ，
→ →
∵y＝ 增长的速率比y＝ 增长的速率慢，∴ ，即图像在x轴上方无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C.
综上，D选项正确.
故选：D.
二、填空题
5．（2011·江苏南京·统考一模）如图放置的等腰直角 薄片， 沿x轴滚动，设顶
点 的轨迹方程是 ，则 在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为
．
【答案】
【分析】由题意确定轨迹的形状，作出图象，进而求解其与x轴所围区域的面积，即可得到答案.
【详解】作出点A的轨迹中相邻两个零点间的图象，如图所示，
其轨迹为两段圆弧，一段是以C为圆心，CA为半径的四分之一圆弧；
一段是以B为圆心，BA为半径，圆心角为 的圆弧，
其与x轴围成的图形的面积为 .
故答案为： .
6．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上函数 满足 ，且当 时，．若当 时， ，则 的最小值等于 ．
【答案】
【分析】转化条件为在区间 上， ，作出函数的图象，数形
结合即可得解．
【详解】当 时，故 ，
当 时，故 …，
可得在区间 上， ，
所以当 时， ，作函数 的图象，如图所示，
当 时，由 得 ，
由图象可知当 时， ，所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
【三层练能力】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 与
的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用导数分段画出函数 的大致图象，将函数
与 的图象恰有5个不同公共点的问题转化为方程
有5个不同的根的问题，然后采用换元法将问题变为讨论
在给定区间上有解的问题.
【详解】当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 时， ；
当 时， ，
当 时， 有极大值 ，当 时， ，
作出 的大致图象如图：
函数 与 的图象恰有5个不同公共点，即方程 有5个不同的根，
令 ，根据其图象，讨论 有解情况如下：
令 ,
(1当 在 和 上各有一个解时，
即 ，解得 ，
（2）当 在 和 上各有一个解时，
，解得 ，
（3）当 有一个根为6时，解得 ，此时另一个根为 ，不合题意；
（4）当 有一个根为1时，解得 ，此时另一个根也为1，不合题意，
综上可知： ，
故选：A
二、多选题
2．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）已知 ，若存在
，使得 ，则下列结论正确的有（ ）
A．实数 的取值范围为 B．
C． D． 的最大值为
【答案】AC【分析】画出 的图象，数形结合得到 ，且 ， 关于 ， ，再运用基本不等式
求出 的最大值，得到AC正确.
【详解】画出 的图象，如下：
要想 与 有三个不同的交点，需要 ，A正确；
由题意可知 ， 且 关于 对称，
故 ，B错误，C正确；
则 ，解得： ，当且仅当 时等号成立，
但 ，故等号取不到，
故 ，D错误，
故选：AC.
三、填空题
3．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）已知函数 是定义域为R的偶函数，当 时，，若关于x的方程 有且仅有7个不同实数根，则
【答案】
【分析】根据题意，作出函数 的图像，令 ，将原问题转化为图像交点问题，即可求解.
【详解】根据题意，作出函数 的图像，如下，
.
由关于x的方程 有且仅有7个不同实数根，
结合图像，令 ，则关于 的方程 有两个根，且 ， ，
故 ，即 .
故答案为： .
